Giải tích hàm nâng cao1 ppsx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (135.27 KB, 5 trang )
Giải tích hàm nâng cao
12
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
Các bước chứng minh
Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định
trên không gian con của X ta đặt một quan hệ < như sau:
1 2 1 2
( , )
g g G g g
1
1 2
2. ( ) ( ) ( )
g
x D g x g x
2
2
3. ( ) ( ) ( )
g
x D g x x
1 2
1.
g g
D D
Kiểm tra S là tập được sắp một phần.
{ | }
S g G g f
11
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
Định lý Hahn-Banach
là một phiếm hàm tuyến tính trên M.
f
Cho X là không gian tuyến tính thực, M - không gian con của X.
Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính , sao cho
:
X R
: ( ) ( )
x M f x x
thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính , sao cho
:
F X R
1. ( ) ( ) ( )
x M F x f x
2. ( ) ( ) ( )
x X F x x
13
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trên
của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác
định của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng với
giá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g.
Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F.
F là hàm cần tìm.
15
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
cần chọn sao cho
0 0
| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |
sup
inf
F
F
x D
y D
F y y x x x F x
vì F là hàm tuyến tính nên có thể chọn được
( ) ( ) ( ) ( )
F x y F x F y x y
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
F x F y x x y x
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
F y y x x x F x
Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■.
16
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
Cho E và F là hai không gian định chuẩn.
L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.
( ( , )) || || inf{ : ( ) , }
f L E F f k f x kx x F
0 || || 1 || || 1
|| ( )||
2. || || || ( )|| || ( )||
sup sup sup
|| ||
x x x
f x
f f x f x
x
1. Hàm là một chuẩn trong L(E,F).
|| ||
f f
Định lý
17
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
Hệ quả 1
Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
f
con M của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho
1. | ;
M
F f
2. || || || ||
F f
18
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
Chứng minh
Để sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn
( ) ( ) || || || ||
x E x f x
1. Cần kiểm tra là một sơ chuẩn
2. ( ) | ( )| || || || || ( )
x M f x f x x
Tồn tại phiếm hàm tuyến tính , sao cho và
:
F E R
|
M
F f
( ) | ( ) | ( ) || ||.|| ||
x E F x x f x
Suy ra F(x) liên tục và
0 0
|| ( )|| || ||.|| ||
|| || sup || || || ||
sup sup
|| || || ||
x x
F x f x
F f f
x x
Mặt khác
( ) ( ) ( ) || || || ||
x M F x f x F f
Vậy ||F|| = ||f||
19
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
Hệ quả 2
Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và
Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,
sao cho
\ : ( , ) inf || || 0
x M
v E M d v M v x
1. ( ) ( ) 0
x M F x
2. ( )
F v
3. || || 1
F
20
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
Chứng minh
Đặt
,
G M v
:
g G R
( )
g x v
0 ( ) 0
g x
0: || || | |.|| ( )|| | |.
x
x v v
| ( )| | | || ||
g x v x v
lieân tuïc t
su
re
y ra .
ân
g G
