BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

PGS. TS. NGUYỄN HẢI THANH









VẬN TRÙ HỌC

Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

Hà Nội −
−−
− 2008

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 2



MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ðẦU
7
CHƯƠNG I. MỞ ðẦU
9
1. Giới thiệu về Vận trù học / Khoa học quản lí
9
1.1. Vai trò của Vận trù học 9
1.2. Các bước áp dụng Vận trù học 10
1.3. Quá trình phát triển của Vận trù học 11
2. Các ứng dụng và phương pháp ñịnh lượng cơ bản của Vận trù học
12
2.1. Một số ứng dụng 12
2.2. Các phương pháp ñịnh lượng 14
2.3. Hệ thông tin quản lí 14
CHƯƠNG II. MỘT SỐ MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU
16
1. Mô hình quy hoạch tuyến tính

16
1.1. Phát biểu mô hình quy hoạch tuyến tính 16
1.2. Phương pháp ñơn hình giải BTQHTT dạng chính tắc 19
1.3. Phương pháp ñơn hình hai pha giải BTQHTT
dạng tổng quát

23
1.4. Phương pháp cắt Gomory giải BTQHTT nguyên 29
1.5. Một số ứng dụng của phương pháp ñơn hình 33
2. Mô hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu
35
2.1. Các khái niệm cơ bản 35
2.2. Phương pháp tổng quát giải BTQHTT ña mục tiêu 37
2.3. Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT
ña mục tiêu

39
2.4. Một ứng dụng của mô hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu 44
3. Mô hình tối ưu phi tuyến ñơn và ña mục tiêu
45
3.1. Một số khái niệm cơ bản 45
3.2. Một số phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến
ñơn mục tiêu và ứng dụng

47
3.3. Một số phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuy
ến
ña mục tiêu và ứng dụng

51


BÀI TẬP CHƯƠNG II
54
CHƯƠNG III. CÁC MÔ HÌNH MẠNG
57
1. Mô hình mạng vận tải
57
1.1. Phát biểu bài toán vận tải 57
1.2. Tạo phương án vận tải xuất phát 58
1.3. Phương pháp phân phối giải bài toán vận tải 60
1.4. Phương pháp phân phối cải biên giải bài toán vận tải 62
2. Mô hình mạng PERT
66
2.1. Các khái niệm cơ bản về PERT 66

2.2. Sơ ñồ PERT với số liệu ngẫu nhiên 71
2.3. ðiều chỉnh dự án khi kế hoạch một số hoạt ñộng bị phá vỡ 73
2.4. Tính thời gian rút gọn tối ưu bằng phương pháp ñơn hình 74
2.5. Áp dụng mạng PERT trong phân tích chi phí và
quản lí tài chính dự án

75
3. Một số mô hình mạng khác
77
3.1. Bài toán cây khung tối thiểu 77
3.2. Bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất và quy hoạch ñộng 79
3.3. Mô hình mạng trung chuyển hàng 86
3.4. Bài toán tìm luồng cực ñại 88
BÀI TẬP CHƯƠNG III
90

CHƯƠNG IV. GIỚI THIỆU LÍ THUYẾT MÔ PHỎNG VÀ
MÔ HÌNH HÀNG CHỜ

96
1. Mục ñích và các công cụ của mô phỏng
96
1.1. Khái niệm về mô phỏng ngẫu nhiên 96
1.2. Các công cụ chủ yếu của mô phỏng 97
1.3. Mô phỏng một số phân phối xác suất 98
2. Áp dụng mô phỏng ngẫu nhiên
101
2.1. Vai trò của phương pháp mô phỏng 101
2.2. Các bước cần tiến hành khi áp dụng mô phỏng 102
2.3. Một số ví dụ về áp dụng phương pháp mô phỏng 102
3. Một số vấn ñề về mô hình hàng chờ
112
3.1. Một số yếu tố cơ bản của hệ thống hàng chờ 112
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 4


3.2. Các chỉ số cần khảo sát 115
3.3. Tính toán các chỉ số 116
3.4. Áp dụng mô phỏng cho một số hệ thống hàng chờ 118
BÀI TẬP CHƯƠNG IV
127
CHƯƠNG V. PHÂN TÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG
131
1. Các khái niệm cơ bản về xích Markov
131

1.1. Một số ñịnh nghĩa 131
1.2. Ma trận xác suất chuyển trạng thái và phân phối dừng 132
1.3. Các tính chất và ñịnh lí 137
2. Một số ứng dụng của phân tích Markov
138
2.1. Tìm cân bằng thị phần 138
2.2. Chính sách thay thế vật tư thiết bị 138
2.3. Phân tích Markov trong dự báo thất thu cho
các hợp ñồng thực hiện trước

140
2.4. Tìm phân phối giới hạn cho một hệ thống kĩ thuật 142

2.5. 2.5.
Một ứng dụng của quá trình sinh−tử cho hệ thống hàngchờ
147
3. Mô phỏng xích Markov
149
3.1. Mô phỏng xích Markov thời gian rời rạc 149
3.2. Mô phỏng xích Markov thời gian liên tục 151
BÀI TẬP CHƯƠNG V
152
CHƯƠNG VI. MỘT SỐ MÔ HÌNH RA QUYẾT ðỊNH VÀ ỨNG DỤNG
158
1. Ra quyết ñịnh trong môi trường bất ñịnh
158
1.1. Một số khái niệm cơ bản 158
1.2. Ra quyết ñịnh trong môi trường bất ñịnh nghiêm ngặt 160
1.3. Ra quyết ñịnh trong môi trường rủi ro 163
2. Phân tích quyết ñịnh Bayes

167
2.1. Phân tích quyết ñịnh Bayes dựa trên xác suất tiên nghiệm 167
2.2. Phân tích quyết ñịnh Bayes dựa trên xác suất hậu nghiệm 167
3. Cây quyết ñịnh và các bài toán quyết ñịnh nhiều giai ñoạn
169
3.1. Bài toán quyết ñịnh nhiều giai ñoạn 169
3.2. Phân tích Bayes sử dụng cây quyết ñịnh 171
4. Ra quyết ñịnh dựa trên tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối ña
174

4.1. Khái niệm hàm thỏa dụng 174
4.2. Tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối ña 175
5. Lí thuyết trò chơi và ứng dụng
179
5.1. Một số khái niệm cơ bản của lí thuyết trò chơi 179
5.2. Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược thuần nhất 181
5.3. Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược hỗn hợp 182

5.4. Lời giải bằng ñồ thị cho các trò chơi cỡ 2×N hoặc M×2
186
5.5. Giới thiệu về trò chơi nhiều người 188
BÀI TẬP CHƯƠNG VI
190
CHƯƠNG VII. CÁC MÔ HÌNH QUẢN LÍ HÀNG DỰ TRỮ
193
1. Các khái niệm cơ bản
193
1.1. Các chức năng của việc dự trữ hàng 193
1.2. Hệ thống quản lí hàng dự trữ theo phân loại giá trị ABC 193
1.3. Mô hình quản lí hàng dự trữ tổng quát 194

2. Một số mô hình tất ñịnh trong quản lí hàng dự trữ
196
2.1. Mô hình tĩnh Wilson với một mặt hàng 196
2.2. Mô hình tĩnh một mặt hàng với dự trữ ñệm 199
2.3. Mô hình tĩnh một mặt hàng với giá chiết khấu 200
2.4. Mô hình tĩnh nhiều mặt hàng với diện tích kho hạn chế 202
2.5. Mô hình ñộng một mặt hàng N chu kì 204
3. Mô hình lập kế hoạch sản xuất N chu kì
207
3.1. Mô hình lập kế hoạch không cho phép nợ hàng 208
3.2. Mô hình lập kế hoạch cho phép nợ hàng 209
4. Một số mô hình xác suất trong quản lí hàng dự trữ
210
4.1. Mô hình xác suất với chế ñộ báo cáo theo dõi thường xuyên 210
4.2. Mô hình xác suất một chu kì 213
4.3. Mô hình xác suất nhiều chu kì 218
BÀI TẬP CHƯƠNG VII
224
PHẦN PHỤ LỤC
229
TÀI LIỆU THAM KHẢO
234

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 6



LỜI NÓI ðẦU


Vận trù học (Operations Research) ñược xem là một công cụ ñịnh lượng nền tảng
của Khoa học quản lí mà trong ñó các phương pháp và kĩ thuật của Toán học và các
công cụ tính toán, lưu trữ và xử lí dữ liệu của Tin học ñược áp dụng ñể mô hình hóa,
phân tích và tìm ra lời giải cho các bài toán quyết ñịnh, nhằm hỗ trợ bộ máy quản lí
ñưa ra các quyết ñịnh hợp lí nhất. Trên thế giới việc nghiên cứu và ứng dụng Vận trù
học ngày càng phát triển sâu rộng với nhiều tạp chí chuyên ngành nổi tiếng, môn Vận
trù học ñược giảng dạy với thời lượng khá lớn bao gồm nhiều nội dung phong phú và
cấp thiết trong nhiều chương trình ñào tạo ñại học và cao học.
Hiện nay, những môn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế - quản lí nói chung
và các phương pháp toán - tin ứng dụng trong mô hình hóa và phân tích các bài toán
quyết ñịnh nói riêng ñược ñưa vào giảng dạy trong các chương trình ñào tạo ñại học
trong và ngoài nước. ðối với sinh viên các ngành Tin học, Công nghệ thông tin và
Toán - Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế - quản lí là thực sự cần thiết cho các
cương vị làm việc sau này, ñặc biệt là cương vị CIO (Chief Information Officer -
Giám ñốc Thông tin). Trong chương trình ñào tạo ngành Tin học của Khoa Công
nghệ thông tin, Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức trên bao gồm Tối
ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Các phương pháp toán kinh tế và Vận trù
học. Giáo trình “Vận trù học” với thời lượng 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu nhằm
trước hết phục vụ việc dạy và học môn học này cho sinh viên năm thứ ba hoặc năm
thứ tư ngành Tin học. Hi vọng rằng, sau khi ra trường các kĩ sư Tin học sẽ áp dụng và
triển khai các phương pháp vận trù học ñược một cách rộng rãi với nhiều hiệu quả
thiết thực trong việc xây dựng các hệ thống thông tin quản lí và các phần mềm tính
toán cho các bài toán quản lí, quản trị kinh doanh và kinh tế - công nghệ khác.
Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm ñược một số mô hình vận trù học cơ bản,
biết cách vận dụng các phương pháp và kĩ thuật toán học, các quy trình tính toán
khoa học thích hợp ñể phân tích và xử lí các mô hình ñó. Các chủ ñề trong giáo trình
bao gồm: Một số mô hình tối ưu (Optimization Model) như các mô hình quy hoạch
tuyến tính cũng như phi tuyến ñơn và ña mục tiêu ñược ñề cập tới trong Chương II.
Chương III giới thiệu về các mô hình mạng (Network Model) với các bài toán về mạng
vận tải, mạng PERT, về quy hoạch ñộng áp dụng trong tìm ñường ñi ngắn nhất và bài

toán tìm luồng cực ñại. Một số ứng dụng của mô hình hàng chờ (Waiting Line Model)

và mô phỏng ngẫu nhiên (Stochastic Simulation) ñược trình bày trong Chương IV.
Chương V giới thiệu các khái niệm cơ bản và ứng dụng của xích Markov (Markov
Chain). Chương VI là các kiến thức cơ sở của lí thuyết quyết ñịnh (Decision Theory)
như các quy tắc ra quyết ñịnh trong các môi trường bất ñịnh và rủi ro, phân tích quyết
ñịnh Bayes, cây quyết ñịnh và lí thuyết trò chơi. Chương VII trình bày về mô hình
quản lí hàng dự trữ (Inventory Management Model), một vấn ñề quan trọng phát sinh
trong quản lí tài nguyên và nguồn lực của các doanh nghiệp. ðây là các chủ ñề chủ
yếu nhất của môn Vận trù học mà sinh viên các ngành Tin học, Công nghệ thông tin
và Toán - Tin ứng dụng tại các trường ñại học nước ngoài bắt buộc phải học. Phần
bài tập sau từng chương giúp sinh viên củng cố các kiến thức ñã học và thực hành áp
dụng các quy trình tính toán khoa học. Những sinh viên khá có thể tự học sâu thêm
bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt trên Internet và viết
các phần mềm nhỏ.
Giáo trình cũng có thể ñược lấy làm tài liệu tham khảo hay dạy và học các
phương pháp toán ứng dụng hay mô hình hóa cho các chuyên ngành như: Quản lí ñất
ñai, Kinh tế nông nghiệp, Cơ ñiện và một số chuyên ngành quản lí
−
kinh tế
−
công
nghệ khác ở bậc ñại học hoặc cao học.
Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Gillet B. E., Introduction to
Operations Research, McGraw Hill, New York, 1990; Taha H. A., Operations
Research, MacMillan Publishing Company, New York, 1989; Levin R. I., Rubin D. S.
and Stinson J. P., Quantitative approaches to management, McGraw Hill, New York,
1986; Phan Quốc Khánh, Vận trù học, Nxb Giáo dục, 2004; Tạp chí Ứng dụng Toán
học, Hội Ứng dụng Toán học Việt Nam, 2003 - 2007.
Trong quá trình biên soạn, tuy tác giả rất cố gắng nhưng có lẽ không tránh khỏi

sai sót. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến ñóng góp chỉnh sửa bản thảo bài
giảng môn học của các ñồng nghiệp trong Khoa Công nghệ thông tin và sinh viên
ngành Tin học các khóa K47, K48, K49, K50 của Trường ðại học Nông nghiệp Hà
Nội và luôn mong muốn tiếp tục nhận ñược nhiều góp ý của các nhà khoa học, các
giảng viên và sinh viên ñể cho giáo trình ñược hoàn chỉnh hơn, chính xác hơn và sinh
ñộng hơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2008
Tác giả


Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 8


Chương I
MỞ ðẦU
1. GIỚI THIỆU VỀ VẬN TRÙ HỌC VÀ KHOA HỌC QUẢN LÍ
1.1. Vai trò của Vận trù học
Vận trù học (Operations Research
−
OR) là ngành học nghiên cứu về các hoạt ñộng
hợp lí. Việc tổ chức và tiến hành các hoạt ñộng trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, xã hội,
quốc phòng, kinh doanh, sản xuất, dịch vụ ñòi hỏi các nhà quản lí phải vận dụng một
cách thích hợp các ñiều kiện cho phép ñể trù tính và ñưa ra các quyết ñịnh.
ðối với bộ máy quản lí các cấp trong các doanh nghiệp, tập ñoàn, công ti , ra quyết
ñịnh chính là trách nhiệm then chốt nhất. Quá trình ra quyết ñịnh ñược bắt ñầu khi bộ
máy quản lí phát hiện một vấn ñề nào ñó cần quan tâm tới. Sau ñó, cần xác ñịnh rõ vấn
ñề, phát biểu mục tiêu phải hướng tới và các ñiều kiện hạn chế (còn gọi là các ñiều kiện
ràng buộc) cũng như tìm kiếm và ñánh giá các phương án. Cuối cùng, phải chọn ra một
phương án hành ñộng ñược coi là hợp lí hơn cả nhằm giải quyết vấn ñề một cách tốt

nhất. Năng lực của bộ máy quản lí ñược thể hiện ở khả năng phát hiện vấn ñề và giải
quyết bài toán quyết ñịnh phát sinh.
Một quá trình ra quyết ñịnh chính là một quá trình phân tích và tổng hợp thông tin,
có thể có hình thức ñịnh tính hay ñịnh lượng. Với cách tiếp cận ñịnh tính, người quản lí
có thể dựa vào các nhận ñịnh chủ quan và kinh nghiệm sẵn có của mình ñể ñưa ra quyết
ñịnh. Trong một số trường hợp, cách tiếp cận này có tính “trực giác” nhưng cũng giúp
ñưa ra ñược quyết ñịnh ñủ tốt. Tuy nhiên, trong rất nhiều trường hợp khác, cách tiếp cận
ñịnh lượng sẽ có hiệu quả thật sự trong việc trợ giúp quá trình ra quyết ñịnh. Cách tiếp
cận ñịnh lượng thường ñược nhà quản lí thực hiện trong các trường hợp sau:
- Vấn ñề ñặt ra khá phức tạp bao gồm nhiều biến và do ñó cần phải thiết lập mô
hình toán học và sử dụng các công cụ ñịnh lượng ñể tìm ra ñược phương án giải quyết.
- Các dữ liệu liên quan tới vấn ñề cần khảo sát có dạng dữ liệu số và mục tiêu cần
hướng tới có tính chất ñịnh lượng, chẳng hạn như cần nâng cao hay hạ thấp một chỉ số
nào ñấy.
- Vấn ñề ñặt ra có tính chất “lặp”, tức là quá trình giải quyết vấn ñề có thể bao gồm
một số công ñoạn/thủ tục lặp ñi lặp lại nhiều lần và vì vậy, tiếp cận ñịnh lượng sẽ giúp
người quản lí tiết kiệm thời gian cũng như chi phí.
- Tiếp cận ñịnh lượng ñã tỏ ra hữu hiệu trong một số tình huống tương tự hoặc khi
người quản lí ñã có kinh nghiệm và thành công trong việc giải quyết các vấn ñề tương
tự dựa trên tiếp cận ñịnh lượng.

Có thể nói, Vận trù học là một công cụ ñịnh lượng nền tảng của Khoa học quản lí
(Management Science − MS), mà trong ñó các phương pháp và kĩ thuật của Toán học
cũng như các công cụ tính toán, lưu trữ và xử lí dữ liệu của Tin học ñược áp dụng ñể
mô hình hóa, phân tích và tìm ra lời giải cho các bài toán quyết ñịnh, nhằm hỗ trợ bộ
máy quản lí ñưa ra ñưa ra ñược quyết ñịnh ñúng ñắn trong ñiều kiện nguồn lực và tài
nguyên hạn chế. Vì vậy, Vận trù học có một vai trò rất quan trọng trong việc thiết lập
các kế hoạch dài hạn, phát triển các chiến lược chủ ñạo cũng như trong việc hỗ trợ các
hoạt ñộng diễn ra hàng ngày trong nhiều lĩnh vực.
Vận trù học là một ngành học vừa có tính khoa học vừa có tính nghệ thuật. Với tư

cách là một khoa học, Vận trù học nghiên cứu và thiết lập các mô hình toán học của các
vấn ñề phát sinh từ thực tế cũng như các phương pháp toán học/các thuật giải ñể giải
quyết mô hình ñặt ra. Tuy nhiên, Vận trù học cũng là một nghệ thuật, vì rằng sự thành
công của quá trình ra quyết ñịnh phụ thuộc phần lớn vào tính sáng tạo và năng lực của
các nhà phân tích quyết ñịnh. Việc thu thập số liệu, thiết lập mô hình và triển khai
phương án tìm ñược trên thực tế phụ thuộc vào khả năng của chuyên gia hay nhóm
chuyên gia làm Vận trù học trong việc khai thác ñược thông tin xác thực cũng như xây
dựng ñược sự giao tiếp tin cậy với bộ máy quản lí.
1.2. Các bước áp dụng Vận trù học
Các bước cơ bản khi áp dụng Vận trù học ñể thiết lập và giải quyết một mô hình
phát sinh từ thực tế có thể ñược tóm lược như sau:
− Khảo sát thực tế và phát hiện vấn ñề. Tại bước này, cần áp dụng và hoàn thiện
các kĩ năng như: biết lắng nghe, ñiều tra và khảo sát dữ liệu, biết phân tích các hoạt
ñộng thực tế cũng như phân biệt ñược các yếu tố quan trọng với các chi tiết thứ yếu.
− Phân tích vấn ñề và xây dựng mô hình. Trước hết cần xác ñịnh rõ mục tiêu
nghiên cứu và ñịnh dạng rõ bài toán phát sinh và phương án giải quyết, từ ñó xác ñịnh
các yếu tố liên quan mà nhà quản lí có thể kiểm soát ñược. Nói cách khác, cần xác
ñịnh mục tiêu và các ñiều kiện hạn chế/ñiều kiện ràng buộc dưới dạng ñịnh tính. Sau
ñó lựa chọn các biến quyết ñịnh và xây dựng mô hình toán học phù hợp, phản ánh
ñược thực tế khách quan.
− Thu thập số liệu ñầu vào và xác ñịnh phương pháp giải quyết. Căn cứ mô hình ñã
xây dựng ñược cần thu thập các số liệu ñầu vào cần thiết, ñộ tin cậy của số liệu ñầu vào
ảnh hưởng rất ñáng kể tới kết quả ñầu ra của mô hình. Với mô hình ñã xây dựng ñược
cần tìm ra một phương pháp giải quyết thích hợp dựa trên các phương pháp ñã biết hoặc
phát triển phương pháp mới.
− Xác ñịnh quy trình giải/thuật giải và chọn lựa phương án hợp lí. Có thể giải mô
hình bằng cách tính toán thông thường nhằm lựa chọn trong các phương án khả thi một
hoặc một số phương án hợp lí hơn cả. ðối với các mô hình lớn, gồm nhiều biến quyết
ñịnh và nhiều ñiều kiện ràng buộc cần lập trình và giải mô hình trên máy tính.
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học

……………………………… 10


− Kiểm thử mô hình và ñánh giá phương án tìm ñược. Trong trường hợp phương án
tìm ñược kéo theo các kết quả bất thường về mặt tính toán hoặc không phù hợp với thực
tế, cần kiểm tra và chỉnh sửa lại mô hình, rà soát lại các số liệu ñầu vào cũng như các
bước tính toán hay chọn lựa phương án. Sau ñó giải lại mô hình ñể tìm ra phương án
phù hợp hơn.
− Triển khai phương án tìm ñược trên thực tế. Trong toàn bộ quá trình ra quyết
ñịnh, chuyên gia Vận trù học cần quan hệ chặt chẽ với nhà quản lí, giải thích rõ ràng về
tác dụng của mô hình ñã ñặt ra. ðể phương án cuối cùng ñược triển khai trên thực tế,
cần có báo cáo chi tiết giúp bộ máy quản lí hiểu rõ các hiệu quả thiết thực mà phương
án có thể mang lại. Tuy nhiên, cũng cần nêu rõ các ñiều kiện ñảm bảo cần thiết cũng
như phân tích rõ các yếu tố lợi nhuận/chi phí/rủi ro của phương án.
1.3. Quá trình phát triển của Vận trù học
Những tiến bộ nhân loại ñạt ñược trong vài thế kỉ vừa qua và trong giai ñoạn hiện
tại có phần ñóng góp quan trọng của các phương pháp khoa học trong việc giải quyết
các vấn ñề kinh tế, xã hội. Phương pháp luận khoa học, trước ñây thường ñược biết tới
trong các vấn ñề của Khoa học tự nhiên, ngày nay ngày càng ñược ứng dụng rộng rãi
trong các lĩnh vực của Khoa học quản lí như: lập kế hoạch, tổ chức và kiểm soát các
hoạt ñộng.
Từ hàng vài nghìn năm trước, các hoạt ñộng chế tạo và lắp ráp tàu biển tại Venice
ñã ñược tổ chức một cách khá khoa học. Vào cuối thế kỉ XIX, Frederick W. Taylor ñã
giải quyết thành công bài toán quan trọng của Kĩ nghệ công nghiệp (Industrial
Engineering) lúc ñó là chế tạo ra các loại xẻng ñể khai thác các loại quặng khác nhau
với năng suất cao nhất. Cũng vào thời gian này, Henry L. Gantt giải quyết thành công
bài toán lập tiến trình sản xuất (Production Scheduling) khi sản phẩm ñược chế tạo và
hoàn thiện qua nhiều công ñoạn. Dần dần, các nhà quản lí mở rộng các bài toán trong
một số hoạt ñộng kĩ nghệ công nghiệp sang các hoạt ñộng khác của công ti như: khai
thác và sử dụng các nguồn nguyên liệu, thuê và phát triển nhân lực, chính sách tài

chính, bất ñộng sản Các nhà khoa học tự nhiên, xã hội cũng bắt ñầu quan tâm tới các
bài toán quản lí và nhận thức ñược tầm quan trọng của việc giải quyết vấn ñề một cách
hệ thống, tầm quan trọng của các nghiên cứu liên ngành bao gồm khoa học cơ bản, kĩ
nghệ và quản lí. ðó cũng là khởi nguồn của Khoa học quản lí.
Từ ñầu thế kỉ XX, Vận trù học/Khoa học quản lí ñã ñược áp dụng khá rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực. Tại nước Anh vào năm 1914 - 1915 F. W. Lanchester ñã xem xét các
hoạt ñộng quân sự một cách ñịnh lượng khi ñưa ra phương pháp ñánh giá sức mạnh
quân sự thông qua số lượng bộ binh và hỏa lực. Còn tại Mĩ lúc ñó, T. A. Edison nghiên
cứu và mô phỏng các hoạt ñộng hợp lí của tàu chiến trong tấn công và tiêu diệt các tàu
ngầm. Vào năm 1917, nhà bác học người ðan Mạch A. K. Erlang cho công bố các công
trình về các hoạt ñộng hợp lí trong hệ dịch vụ ñiện thoại và bưu ñiện, có tên gọi tổng