TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009

95
DẠY VÀ HỌC CÔNG THỨC XÁC SUẤT BAYES VỚI SỰ
TRỢ GIÚP PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE
TEACHING AND LEARNING BAYES’ FORMULA WITH THE HELP
OF THE MAPLE MATHEMATICS SOFTWARE

Trần Ngọc Việt
Trường Cao đẳng GTVT II
Phạm Văn Tiến
Trường Cao đẳng Công nghệ -
Kinh tế và Thủy lợi miền Trung

TÓM TẮT
Mục tiêu của bài báo này là viết chương trình toán học bằng phần mềm MAPLE để
phân tích quá trình áp dụng công thức xác suất toàn phần - công thức xác suất Bayes và điều
quan trọng hơn hết là phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán, các tình
huống cụ thể. Từ đó áp dụng giải một số bài toán xác suất dạng nâng cao hơn. Như vậy mới
gọi là nắm vững và hiểu thấu đáo môn học, đồng thời đưa những thành tựu nổi bật của công
nghệ thông tin để hỗ trợ việc đổi mới phương pháp dạy và học theo chủ trương của Bộ Giáo
dục & Đào tạo.
ABSTRACT
This paper presents a new approach to the computing of probabilities – Bayes’ formula
with the help of a program written in the Maple math software. It is important that we should
know how to apply such knowledge to solving mathematical problems and dealing with practical
situations. Accordingly, this can be applied to the solution of various probability problems. In this
way, the subjects are thoroughly mastered so that great IT achievements in support of the
teaching and learning innovation issued by the Ministry of Education and Training can be
recorded.
1. Đặt vấn đề

Từ mấy năm lại đây, môn học Xác suất thống kê đã được giảng dạy rộng rãi ở
các trường đại học, cao đẳng khối tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế, …Để đáp ứng nhu cầu dạy
và học đó, qua kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm môn học này cho các đối tượng khác
nhau, chúng tôi nghiên cứu viết chương trình xác suất Bayes và sử dụng nó như một
công cụ làm việc thì thường thu được kết quả bất ngờ. Thực tế cho thấy cán bộ kỹ thuật
có thể tự mình giải quyết một bài toán nẩy sinh từ thực tiễn công việc.
Định nghĩa (xác suất cổ điển)
Cho
{ }
1
w , ,w
n
Ω=
là không gian các sự kiện cơ bản. Giả sử các sự kiện cơ bản
{ }
{ }
1
w , , w
n
có cùng khả năng xuất hiện, tức có cùng xác suất, nghĩa là
{ }
{ }
1
1
( w ) ( w )
n
PP
n
= = =
. Khi đó với

{ }
1
w , ,w
i ik
A =
, ta nói
1
w , ,w
i ik
là
các sự kiện cơ bản thuận lợi cho
A
; và
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009

96
()
k
PA
n
=
(với
k
là các sự kiện ngẫu nhiên cơ bản thuận lợi cho
A
;
n
là các
sự kiện ngẫu nhiên cơ bản của không gian mẫu).
Định nghĩa (xác suất có điều kiện)

Giả sử
() 0PB≠
. Xác suất có điều kiện của
A
khi điều kiện
B
được định
nghĩa bởi:

()
(/)
()
P AB
PA B
PB
= (1.1)
Mệnh đề (xác suất tích)
(a)
( ) ( / ). ( ) ( / ). ( )PAB PA BPB PB APA= =
(1.2)
(b)
12 1 2 2 3 1
( ) ( / ). ( / ) ( / ). ( )
n n n nn n
PAA A PA A A PA A A PA A PA
−
=

Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [3], mệnh đề 2.5.1 , tr.34.
Định nghĩa (sự kiện độc lập)

a) Hai sự kiện
A
và
B
được gọi là độc lập với nhau nếu

( ) ().()PAB PAPB=

b) Các sự kiện
1
, , ( 2)
n
A An>
được gọi là độc lập từng đôi nếu

( ) ( ). ( ), 1
ik i k
PAA PA PA i k n= ≤≠ ≤

Mệnh đề (công thức xác suất toàn phần)
Giả sử
1
, ,
n
AA
là xung khắc từng đôi và đầy đủ. Khi đó với bất kỳ sự kiện
A
,
ta có:


1
( ) ( / ). ( )
n
ii
i
PA PA A PA
=
=
∑
(1.3)
Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [3], mệnh đề 2.6.1 , tr.36.
Mệnh đề (công thức xác suất Bayes)
Giả sử
1
, ,
n
AA
là xung khắc từng đôi và đầy đủ, và
A
là một sự kiện ngẫu
nhiên. Khi đó:
( / ). ( )
( /)
()
ii
i
PA A PA
PA A
PA
=

(1.4)
Chứng minh
Áp dụng công thức (1.1), (1.2) và (1.3) ta có:

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009

97
1
( .) ( / ).( ) ( / ).( )
( / ) , 1, ,
() ()
( / ). ( )
i ii ii
i
n
kk
k
PAA PA A PA PA A PA
PA A i n
PA PA
PA A PA
=
= = = ∀=
∑

2. Chương trình toán học - xác suất Bayes
2.1. Lệnh nhập xuất dữ liệu
+Hàm readstat("<prompt>"): hiện dấu nhắc <prompt>
+Hàm
trả về dữ liệu

nhập từ bàn phím.
print(data1, data2,… ): hiển thị dữ liệu ra màn hình. Lưu ý: xâu
ký tự đặt trong dấu ` `
2.2. Xây dựng thủ tục trong Maple
.
+Maple là một ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục (procedure). Chế độ thủ tục được
thực hiện bằng cách đóng gói một dãy các lệnh xử lí cùng một công việc vào một thủ
tục duy nhất, sau đó chỉ cần gọi thủ tục này và Maple tự động thực hiện các lệnh trong
thủ tục đó và trả lại kết quả cuối cùng.
+Khai báo thủ tục như sau:
Procedure_name:=proc(parameter_sequence)
[local local_sequence]
[global global_sequence]
[options options_sequence]
statements_sequence
end;
>
>
restart;
proc_xs2:=proc() # Thu tuc xs Toan Phan-Bayes
local
P1,P11,P2,P21,P3,P31,xstoanphan,toanphan,tph,xsbayes,bayes1
,bayes11,bayes2,bayes21,bayes3,bayes31,bien:global
global_toanphan:
P1:=readstat("P(A[1])="):
P11:=readstat("P(A/A[1])="):
P2:=readstat("P(A[2])="):
P21:=readstat("P(A/A[2])="):
P3:=readstat("P(A[3])="):
P31:=readstat("P(A/A[3])="):

global_toanphan:=toanphan:
print(` Bài Giai `);
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009

98
print(`Goi A[i]la Su kien lay san pham cua phan
xuong thu i:`);
print(`P(A[1])=`);
print(P1);
print(`P(A[2])=`);
print(P2);
print(`P(A[3])=`);
print(P3);
print(`Goi A la Su kien san pham lay ra la Phe Pham:`);
print(`P(A/A[1])=`);
print(P11);
print(`P(A/A[2])=`);
print(P21);
print(`P(A/A[3])=`);
print(P31);
xstoanphan:=P(A)=Sum(P(A[i])*P(A/A[i]),i=1 n):xstoanpha:
print(`+Cong thuc xac suat TOAN PHAN:`);
print(xstoanphan);
toanphan:=P(A)=P(A[1])*P(A/A[1])+P(A[2])*P(A/A[2])+P(A[3]
)*P(A/A[3]):toanphan:
print(toanphan);
tph:=P(A)=P1*P11+P2*P21+P3*P31:tph:
bien:=P1*P11+P2*P21+P3*P31:bien:
print(`Vay, xac suat cua Bien Co A la:`);
print(tph);

xsbayes:=(P(A[i]/A)=(P(A[i])*P(A/A[i]))/P(A),i=1 n):xsba
yes:
print(`+Cong thuc xac suat BAYES:`);
print(xsbayes);
bayes1:=(P(A[1]/A)=(P(A[1])*P(A/A[1]))/P(A)):bayes1:
print(bayes1);
bayes11:=(P(A[1]/A)=(P1*P11)/bien):bayes11:
print(bayes11);
bayes2:=(P(A[2]/A)=(P(A[2])*P(A/A[2]))/P(A)):bayes2:
print(bayes2);
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009

99
bayes21:=(P(A[2]/A)=(P2*P21)/bien):bayes21:
print(bayes21);
bayes3:=(P(A[3]/A)=(P(A[3])*P(A/A[3]))/P(A)):bayes3:
print(bayes3);
bayes31:=(P(A[3]/A)=(P3*P31)/bien):bayes31:
print(bayes31);
end;
2.3. Lưu và nạp chương trình
#Ket thuc chuong trinh
+Maple cho phép lưu chương trình để sử dụng một cách thuận tiện như sau:
>
+Trong file có sử dụng chương trình thực hiện lệnh read fileproc, trong đó
fileproc là tên file (có cả đường dẫn) chứa chư ơng trình biên dịch, được tạo bởi lệnh
save:
save proc_xs2 "\\xac_suat.m":
>
>

restart;
>
read "\\xac_suat.m";
2.4. Sử dụng chương trình
proc_xs2(0.36, 0.12, 0.34, 0.1, 0.3, 0.08);
Ví dụ: Một Công ty có 3 phân xưởng sản xuất cùng một loại sản phẩm. Trong
đó phân xưởng I chiếm 36%, phân xưởng II chiếm 34%, phân xưởng III chiếm 30% sản
lượng toàn Công ty. Biết tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các phân xưởng là 12%, 10%,
8%.
a)Tính tỷ lệ phế phẩm chung của toàn Công ty ?
b)Lấy ngẫu nhiên từ kho một sản phẩm, biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Tìm
xác suất để sản phẩm ấy thuộc phân xưởng I, phân xưởng II và phân xưởng III ?
>
P(A[1])=
proc_xs2();
P(A/A[1])=
0.36;
P(A[2])=
0.12;
P(A/A[2])=
0.34;
P(A[3])=
0.1;
P(A/A[3])=
0.3;
Bài Giai
0.08;

Goi A[i]la Su kien lay san pham cua phan xuong thu i:


TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009

100
P(A[1])=

0.36

P(A[2])=

0.34

P(A[3])=

0.3

Goi A la Su kien san pham lay ra la Phe Pham:

P(A/A[1])=

0.12

P(A/A[2])=

0.1

P(A/A[3])=

0.08

+Cong thuc xac suat TOAN PHAN:


= ( )P A
∑
= i 1
n
( )P A
i










P
A
A
i

= ( )P A + + ( )P A
1











P
A
A
1
( )P A
2










P
A
A
2
( )P A
3











P
A
A
3

Vay, xac suat cua Bien Co A la:

= ( )P A 0.1012

+Cong thuc xac suat BAYES:

, =










P
A

i
A
( )P A
i










P
A
A
i
( )P A
= i 1 n

=











P
A
1
A
( )P A
1










P
A
A
1
( )P A

=











P
A
1
A
0.4268774704

=










P
A
2
A
( )P A
2











P
A
A
2
( )P A

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009

101
=










P
A

2
A
0.3359683794

=










P
A
3
A
( )P A
3











P
A
A
3
( )P A

=










P
A
3
A
0.2371541502


3. Kết luận
Bài báo đã trình bày các bước cơ bản bài toán xác suất toàn phần - xác suất
Bayes bằng chương trình toán học. Kinh nghiệm cho thấy là nếu viết một chương
trình phức tạp thì trước hết ta viết và chạy từng lệnh một để xem kết quả thế nào, khi
thấy kết quả tốt ta nhóm các lệnh trên thành một chương trình hoàn chỉnh. Hy vọng

qua chương trình xác suất Bayes sẽ giúp cho người học có thêm phương pháp và tư
duy mới về xác suất.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Quốc Chiến, Giáo trình Phần mềm toán học, ĐH ĐN, 2008.
[2] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng , Hướng dẫn thực hành tính toán
trên chương trình MAPLE V, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1998.
[3] Nguyễn Văn Hộ, Xác suất thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2006.
[4] Đặng Hùng Thắng, Bài tập Xác suất thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2006.
[5] Trần Quốc Chiến, Trần Ngọc Việt, Tạp chí khoa học & công nghệ số 28-năm 2008,
ĐHĐN.
[6] Trần Quốc Chiến, Phạm Văn Tiến, Tạp chí khoa học & công nghệ số 31-năm 2009,
ĐHĐN.