giáo trình sức bền vật liệu - giảng viên lê đức thanh - 4 ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (743.2 KB, 29 trang )
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
6
Công thức kỹ thuật:
Nếu mômen uốn dương, dầm bò căng ( bò kéo ) thớ dưới, các thớ trên
bò nén . Kết quả ngược lại nếu mômen uốn âm. Do vậy trong thực hành, ta
có thể sử dụng công thức kỹ thuật để tính ứng suất,
|| y
J
M
x
x
z
±=
σ
(7.3)
ta sẽ lấy: dấu (+) nếu M
x
gây kéo tại điểm cần tính ứng suất.
dấu (–) nếu M
x
gây nén tại điểm cần tính ứng suất.
.
7.2.3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trò:
♦ Biểu đồ ứng suất pháp:
+Những điểm càng ở xa trục trung hòa có trò số ứng suất càng lớn.
+Những điểm cùng có khoảng cách tới thớ trung hòa sẽ có cùng trò số
ứng suất pháp.
Biểu đồ phân bố ứng suất pháp là đồ thò biểu diễn giá trò các ứng suất
tại các điểm trên mặt cắt ngang.
*Trường hợp mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (Hình tròn, chữ nhật ) cho
bởi H.7.9
*Trường hợp mặt cắt ngang chỉ có một trục đối xứng (chữ I,U) cho bởi
H.7.10.
Dấu (+) chỉ ứng suất kéo.
Dấu (-) chỉ ứng suất nén.
+
_
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
7
H. 7.9 Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có hai trục đối xứng
H. 7.10 Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có một trục đối xứng
♦ Ứng suất pháp cực trò:
Tính ng suất pháp khi kéo và khi nén lớn nhất trên mặt cắt ngang dầm
ở những điểm xa đường trung hòa nhất.
Gọi
nk
yy
maxmax
,
lần lượt là khoảng cách thớ chòu kéo và thớ chòu nén ở
xa đường trung hòa nhất. Khi đó ứng suất chòu kéo lớn nhất
σ
max
và ứng
suất chòu nén lớn nhất
σ
min
sẽ tính bởi các công thức:
k
x
x
k
x
x
W
M
y
J
M
==
maxmax
σ
(7.4a)
n
x
x
n
x
x
W
M
y
J
M
==
maxmin
σ
(7.4b)
với:
n
x
n
x
k
x
k
x
y
J
W
y
J
W
maxmax
;
'
==
(7.5)
Các đại lượng
k
x
W
và
n
x
W
gọi là các suất tiết diện hoặc mômen chống uốn
của mặt cắt ngang.
Trường hợp đặt biệt: Nếu trục x (trục trung hoà
) cũng là trục đối xứng
(mặt cắt chữ nhật, tròn, Ι,…) thì:
2
maxmax
h
yy
nk
==
khi đó:
h
J
WWW
x
x
n
x
k
x
2
===
(7.6)
và ứng suất nén và kéo cực đại có trò số bằng nhau:
x
x
W
M
=σ=σ
minmax
(7.7)
∗ Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b và chiều cao h :
+
_
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
8
6
;
12
23
bh
W
bh
J
xx
==
(7.8)
∗ Mặt cắt ngang hình tròn:
3
3
4
4
1,0
32
;05,0
64
d
d
Wd
d
J
xx
≈=≈=
ππ
(7.9)
∗ Mặt cắt ngang hình vành khăn : đường kính ngoài D, trong, d
)1(
32
;)1(
64
4
3
4
4
η
π
η
π
−=−=
D
W
D
J
xx
với η = d/ D
∗ Mặt cắt ngang hình Ι, C: Tra bảng thép đònh hình.
Ý nghóa vật lý của mômen chống uốn: khi mômen chống uốn càng lớn
dầm chòu được mômen uốn càng lớn.
7.2.4 Điều kiện bền- Ba bài toán cơ bản
Điều kiện bền:
+ Dầm bằng vật liệu dòn: [σ]
k
≠ [σ]
n
⏐σ
min
⏐≤ [σ]
n
σ
max
≤ [σ]
k
(7.10a)
+ Dầm bằng vật liệu dẻo: [σ]
k
= [σ]
n
= [σ]
max ⏐σ
z
⏐≤ [σ] (7.10b)
Ba bài toán cơ bản:
+Bài toán kiểm tra bền,(Đây là bài toán thâûm kế.)
+Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang,(bài toán thiết kế).
+Bài toán chọn tải trọng cho phép.(bài toán sữa chữa,nâng cấp)
Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền- Kiểm tra thanh chòu lực có đảm bảo
độ bền hay không. Dùng (7.10a) hay (7.10b) để kiểm tra.
Thí dụ 7.1 Trên mặt cắt ngang của một dầm chữ T ngược (H.7.11), mômen
uốn M
x
= 7200 Nm. Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép khi kéo
và nén khác nhau:
` [
σ
]
k
= 20 MN/m
2
; [
σ
]
n
= 30 MN/m
2
`
` Kiểm tra bền biết rằng: J
x
= 5312,5 cm
4
Giải.
Ta có: y
k
max
= 75 mm= 7,5.10
–2
m
y
n
max
= 125 mm = 12,5.10
–2
m
H. 7.11
z
125
75
Dầm chữ T chòu uốn
M
x
y
x
O
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
9
36
2
8
max
m103,708
105,7
105,5312
−
−
−
×=
×
×
==
k
x
k
x
y
J
W
36
2
8
max
m10425
105,12
105,5312
−
−
−
×=
×
×
==
n
x
n
x
y
J
W
[]
k
k
x
x
W
M
σ<=×=
×
==σ
−
226
6
max
MN/m 20,10N/m1020,10
103,708
7200
[]
n
n
x
x
W
M
σ<=×=
×
==σ
−
226
6
min
MN/m 17N/m1017
10425
7200
vậy dầm đủ bền.
Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang sao cho dầm thỏa điều
kiện bền.
Từ điều kiện bền tổng quát (7.10a,b) ⇒ mômen chống uốn và kích thước
của mặt cắt ngang sẽ được xác đònh.
Thí dụ 7.2 Cho dầm chòu lực như H.7.12.
Dầm làm bằng hai thép chữ , Chọn số
hiệu của thép chữ để dầm thỏa điều kiện
bền. Biết [
σ
] = 16 kN/cm
2
.
Giải.
Dầm chòu uốn thuần túy; trên mọi mặt cắt
ngang của dầm có mômen uốn M
x
=60
kNm.
Áp dụng công thức (7.7) và (7.10b) ta được:
3
max
cm 375
16
100.60
][
==
σ
≥
M
W
x
Tra bảng thép hình ta chọn 2 20 có W
x
= 2 × 184 = 368 cm
3
.
Kiểm tra lại điều kiện bền ta có:
2
max
max
kN/cm 3,16
368
100.60
===σ
x
W
M
sai số tương đối:
%9,1%100
16
163,16
=×
−
; vậy dầm đủ bền. Chọn 2 20
Bài toán cơ bản 3: Đònh tải trọng cho phép [P] để dầm thỏa điều kiện
bền.
Thí dụ 7.3 Một dầm bằng gang có mặt cắt ngang như H.7.13. Xác đònh trò
số mômen uốn cho phép(mômen có chiều như hình vẽ). Biết:
[
σ
]
κ
= 1,5 kN/cm
2
.
Hỏi với trò số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn nhất trong
dầm là bao nhiêu?
Cho biết J
x
= 25470 cm
4
x
H.7.12
M
= 60 kNm
M
= 60 KNm
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
10
Giải.
Từ điều kiện bền
k
x
x
k
x
x
W
M
y
J
M
==
maxmax
σ
≤ [σ]
k
⇒
[][]
Ncm5,3537
8,10
25470
5,1
max
k
y
J
M
k
x
kx
=×==
σ
Tương ứng ta có:
[]
2
maxmin
N/cm 67,2 19,2
54702
5,3537
ky
J
M
n
x
x
−=×−=−=
σ
7.2.5 Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang.
Hình dáng hợp lý là sao cho khả năng chòu lực của dầm là lớn nhất
nhưng đồng thời ít tốn vật liệu nhất. Điều kiện:
k
k
x
x
y
J
M
σσ
==
max
max
,
n
n
x
x
y
J
M
σσ
==
maxmin
Lập tỉ số các ứng suất :
[]
α
σ
σ
==
n
k
n
k
y
y
max
max
- Nếu vật liệu dòn: α < 1 vì :
nk
σσ
p nên
nk
yy
maxmax
p
Ta chọn mặt căùt ngang không đối xứng qua trục trung hoà.
- Nếu vật liệu dẻo: α =1 nên
nk
yy
maxmax
=
Ta chọn mặt căùt ngang đối xứng qua trục trung hoà.
Theo biểu đồ ứng suất ta thấy càng gần trục trung hoà ứng suất càng nhỏ,
nên tại đó vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa trục trung hòa, vì vậy
thường cấu tạo hình dáng mặt cắt sao cho vật liệu xa trục trung hòa . ví dụ
hình chữ I,U,vành khăn ,hình rỗng…
H.7.13
z
192mm
108mm
M
y
x
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
11
7.3 UỐN NGANG PHẲNG
7.3.1 Đònh nghóa- Dầm gọi là chòu uốn ngang phẳng khi trên mặt cắt
ngang có 2 nội lực là: mômen uốn M
x
và lực cắt Q
y
( H 7.14).
7.3.2 Các thành phần ứng suất:
1- Thí nghiệm và quan sát biến dạng
Kẻ những đường song song và vuông góc với trục thanh (H.7.16a).
Sau biến dạng các góc vuông không còn vuông ( H.7.16b).
2- Trạïng thái ứng suất:
Khác với trường hợp uốn thuần túy, ngoài ứng suất pháp σ
z
do mômen
M
x
gây ra còn có ứng suất tiếp τ
zy
do lực cắt Q
y
gây ra. Trạng thái ứng suất
của một phân tố có các mặt song song các trục tọa độ biểu diển như hình
7.15 và 7.16c
a)
1 2
dz
P
P b)
τ
y
z
c)
τ
z
y
H. 7.16. a) Thanh trước biến dạng
b) Thanh sau biến dạng
c) Trạng thái ứng suất phẳng
σ
z
σ
z
P
L
1
1
P
PL
+
M
x
Q
y
H.7.14. Só đồ dầm
chòu uốn ngang
y
H.7.15 Mặt cắt ngang dầm
chòu uốn ngang phẳûng
z
M
x
Q
y
0
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
12
3. Công thức tính ứng suất pháp:
Chấp nhận với sai số không lớn dùng công thức (7.2 ) để tính ứng suất
pháp trong thanh chòu uốn ngang phẳng.(Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh)
y
J
M
x
x
z
=
σ
(7.2 )
4. Công thức tính ứng suất tiếp:
Giả thiết:
- Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao.
- Ứùng suất tiếp phân bố đều theo bề rộng của mặt cắt và cùng chiều
với lực căõùt (nghóa là mọi điểm nằm cách đều đường trung hòa thì có cùng trò
số ứng suất tiếp).
Ta xác đònh quy luật phân bố ứng suất tiếp dọc theo chiều cao của mặt cắt
ngang.
Xét đoạn dầm giới hạn bởi 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 cách nhau dz (H.7.17a).
Để khảo sát ứng suất tiếp tại điểm K cách đường trung hòa x một khoảng y,
ta dùng mặt cắt đi qua K vuông góc với lực cắt.
Xét cân bằng của phần dưới ABCDEFGH ( H.7.17b)
Theo các giả thiết đã nêu, các ứng suất tiếp
τ
zy
thẳng đứng có phương song
song với lực cắt thì phân bố đều trên mặt thẳng đứng ABCD. Ngoài ra theo
đònh luật đối ứng của ứng suất tiếp , trên mặt vuông góc với mặt cắt ngang
ABFE cũng có ứng suất tiếp
τ
yz
có giá trò bằng với
τ
zy
( H.7.17b).
M
x
dz
Q
1y
Q
2
y
M
x
+ dM
x
Q
1y
M
x
dz
0
1
Y
X
y
G
F
E
D
C
B
A
zy
τ
yz
τ
1z
σ
0
1
0
2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
13
Như
vậy, tồn tại ứng suất tiếp theo phương ngang giữa các lớp song
song với trục dầm cũng như các ứng suất tiếp thẳng đứng trên các mặt cắt
ngang của dầm. Tại một điểm, các ứng suất này có giá trò bằng nhau.
Phương trình cân bằng theo phương z dọc trục thanh cho:
0
21
=+− T
N
N
(a)
trong đó: N
1
- là hợp của các lực tác dụng trên mặt 1-1 được tính bởi:
∫∫
==
Fc
x
Fc
z
ydF
J
M
dFN
11
σ
(b)
N
2
- là hợp của các lực tác dụng trên mặt 2-2 được tính bởi:
∫∫
+
==
Fc
x
xx
Fc
z
ydF
J
dMM
dFN
22
σ
(c)
T - là hợp của các lực tác dụng trên mặt trên ABEF của phần tử:
dzbT
c
yz
τ
= (d)
Thay (b), (c), (d) vào (a) ⇒
0
c
=+
+
−
∫∫
dzbydF
J
dMM
dFy
J
M
c
yz
F
x
xx
F
x
x
c
τ
(e)
⇒
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
c
F
c
x
x
yzzy
ydF
bJdz
dM 1
ττ
(f)
thay Q
y
= dM
x
/dz ta được:
∫
==
c
F
c
x
y
yzzy
ydF
bJ
Q
ττ
(g)
Đặt:
∫
=
c
F
c
x
ydFS
⇒
c
x
c
xy
yzzy
bJ
SQ
==
ττ
(7.11)
Công thức (7.11) gọi là công thức D.I. Zhuravski
S
c
x
:momen tỉnh của phần diện tích bò cắt (F
c
)đối với trục trung hòa.
b
c
: bề rộng tiết diện cắt.
J
x
:Momen quán tính của tiết diện.
Q
y
: Lực cắt tại tiết diện đang tính.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
14
5-Phân bố ứng suất tiếp trên một số mặt cắt thường gặp:
+ Mặt cắt ngang chữ nhật (H.7.18):
Diện tích bò cắt F
c
là hình chữ nhật , nên
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
422
2/
2
y
hbyh
yy
h
bS
c
x
(i)
Thay vào (7.11) ⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
42
y
h
J
Q
x
y
zy
τ
(7.12)
Hệ thức này chứng tỏ ứng suất tiếp trong dầm tiết diện chữ nhật biến
thiên theo quy luật bậc hai theo khoảng cách y từ trục trung hòa và biểu đồ
theo chiều cao của dầm có dạng như trên H.7.18c.
τ
zy
= 0 khi 2
/
h
y
±= ( các điểm ở biên trên, dưới của mặt cắt)
zy
τ
= τ
max
khi y= 0 ( các điểm trên trục trung hòa)ø:
F
Q
J
hQ
y
x
y
2
3
8
2
max
==
τ
(7.13)
trong đó: F = bh - là diện tích của mặt cắt ngang.
Thí dụ 7.4 Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp cực đại trên dầm có mặt
cắt ngang hình chữ nhật bxh (H. 7.19)
Cho biết: q = 12 kN/m , l = 4 m; h = 27 cm, b = 18 cm, ứng suất cho phép
[σ ] = 1,1 kN/cm
2
, [τ] = 0,22 kN/cm
2
.
Giải.
Mômen cực đại ở giữa dầm:
kNcm 2400
8
104412
8
22
max
=
×××
==
ql
M
h/2
h/2
M
M
+dM
m
n
m
1
n
1
p p
1
a)
F
c
y
h
b
x
y
b) c)
H.7.18. Phân bố của ứng suất tiếp trên mặt cắt
ngang chữ nhật
τ
max
q
q
l/2
q
l/2
ql
2
/
8
Q
M
l
b
h
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
15
Lực cắt cực đại ở hai gối tựa:
kN 24
2
412
2
max
=
×
==
q
l
Q
Ứng suất cực đại:
22
2
max
max
kN/cm 1,1kN/cm095,1
2718
62400
<=
×
×
==
W
M
σ
22
max
max
kN/cm 22,0kN/cm 075,0
27182
243
2
3
<=
××
×
==τ
bh
Q
+ Mặt cắt ngang hình tròn và hình vành khăn (H.7.20)
Khi dầm có mặt cắt ngang là hình tròn, ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang
không còn song song với lực cắt nữa. Nếu không có lực tác dụng trên mặt
ngoài của dầm, ứng suất tiếp trên hai diện tích vi phân tại các điểm 1 và 2
trên vùng sát chu vi của mặt cắt ngang phải hướng theo phương tiếp tuyến
với chu vi này (H.7.20a).
Các tiếp tuyến này có phương đồng quy tại điểm C trên phương tác
dụng của lực cắt. Bởi vì lực cắt Q
y
là hợp của các ứng suất tiếp (H.7.20),
nên các ứng suất tiếp tại các diện tích vi phân tại 3 và 4 có cùng khoảng
cách y tới trục trung hòa sẽ có phương đi ngang điểm C.
Mỗi ứng suất tiếp này có thể phân thành hai thành phần: thành phần
thẳng đứng
τ
1
, và nằm ngang
τ
2
. Các thành phần nằm ngang tác dụng trên
hai phần trái và phải sẽ tự cân bằng nhau do tính đối xứng, trong khi các
thành phần thẳng đứng hợp lại thành lực cắt Q
y
.
H.7.19
C
Q
y
b(y)
τ
1
τ
1
2
1
τ
2
3
4
a)
ξ
d
ξ
y
b(
ξ
)
b(y)
R
b)
H.7.20. Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang hình tròn
τ
max
c)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
16
Như vậy, trong dầm có mặt cắt ngang tròn, thành phần
τ
1
sẽ đóng vai
trò của
τ
trong dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật.
Mômen tónh của phần diện tích giới hạn bởi biên dưới mặt cắt ngang và
mặt cắt song song với mặt trung hòa ở khoảng cách y từ trục trung hòa x
cho bởi:
∫∫
==
cc
FF
c
x
dbdFS
ξξξξ
)(
(j)
ta có:
()
22
2 yRbb
c
−=ξ=
(k)
trong đó: R - là bán kính của hình tròn mặt cắt ngang.
Do vậy:
(
)
2/3
2222
3
2
.2 yRdyRS
r
y
c
x
−=ξξ−=
∫
(l)
và thành phần ứng suất tiếp theo phương thẳng đứng có trò số:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
1
3
4
R
y
F
Q
y
zy
τ
(7.14)
τ
zy
= 0 khi 2
/
h
y
±= ( các điểm ở biên trên, dưới của mặt cắt)
zy
τ
= τ
max
khi y= 0 ( các điểm trên trục trung hòa)ø:
F
Q
y
3
4
max
=
τ
,( F:diện tích hình tròn) (7.15)
+ Mặt cắt ngang hình chữ Ι, hay chữ T
a
b c
d
e
f
y
b
h
h
1
/2
h
1
/2
x
a)
H
.7.17. Ứng suất tiếp trong lòng của dầm chữ I
b)
h
1
/2
h
1
/2
max
τ
t
1
τ
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
17
Các mặt cắt ngang chữ hay chữ T được xem như cấu tạo bởi các hình
chữ nhật ghép nên với mức độ chính xác nhất đònh, các công thức dùng cho
dầm mặt cắt ngang chữ nhật cũng dùng được cho các loại mặt cắt này. Ứng
suất tiếp được tính bằng công thức Zhuravski :
c
x
c
xy
bI
SQ
=τ
♦ τ
zy
trong bản bụng: Xét điểm có tung độ y ( H.7.21a)
b
c
chính là bề rộng bản bụng: b
c
= d
S
x
c
là mômen tónh của phần diện tích gạch chéo dưới mức ef đối với
trục trung hòa x. S
x
c
có thể tính bằng mômen tónh của nửa hình Ι ( trong
bảng ghi là S
x
) trừ mômen tónh của phần diện tích (y x d)
)(
2
y
ydSS
x
c
x
××−= (o)
⇒ Ứng suất tiếp τ
zy
trong bản bụng của dầm chữ Ι là
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×−=
)(
2
2
y
dS
dJ
Q
x
x
y
zy
τ
(p)
(p) chỉ rằng ứng suất tiếp trong bản bụng của dầm chữ I biến thiên
theo quy luật parabol dọc theo chiều cao của dầm.
zy
τ
= τ
max
khi y = 0 ( các điểm trên trục trung hòa)ø:
x
x
y
S
dJ
Q
=
max
τ
(7.17)
zy
τ
= τ
1
khi
1
2
ht
h
y =−= ( điểm tiếp giáp giữa bụng và cánh).
1
τ
khá lớn
và:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×−=
2
2
1
1
h
dS
dJ
Q
x
x
y
τ
(7.18)
♦ τ
zy
trong bản cánh: Xét một điểm trong bản cánh, bề rộng cắt b
c
= b khá
lớn so với d, nên τ
zy
trong cánh bé, có thể bỏ qua (H.7.21)
♦ τ
zx
trong bản cánh: Xét một điểm trong cánh (H7.21), b
c
= t
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×=
222
th
x
b
tS
c
x
⇒
x
y
zx
J
th
x
b
Q
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×
=
222
τ
(7.19)
Ứng suất tiếp τ
zx
phân bố bậc nhất theo x , biểu đồ phân bố như H.7.21
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
18
Thí dụ 7.5 Tính ứng suất tiếp ở các điểm trên trục trung hoà trong thân của
dầm chữ T có mặt cắt ngang như trên H.7.22 . Cho b = 8 cm, d = 2 cm, h =
16 cm, h
1
= 14 cm, và Q = 20 kN.
Giải
Khoảng cách c tới trọng tâm của mặt cắt ngang
được xác đònh bởi:
cmc 09,6
21428
9214128
=
×+×
×
×+××
=
Mômen quán tính J
x
của mặt cắt ngang:
4
2
3
2
3
3,1144
)09,69(214
12
142
)109,6(28
12
28
cm
J
x
=
−××+
×
+−××+
×
=
+ Ứng suất tiếp ở các điểm trên trục trung hòa:
b
c
= 2 cm
Mômen tónh của phần diện tích dưới trục trung hòa đối với trục này là:
()
3
2
cm 208,98
2
09,6162
=
−×
=
c
x
S
⇒
2
max
kN/cm 858,0
23,1144
208,9820
=
×
×
=
τ
+ Ứng suất tiếp ở các điểm tiếp giáp cánh và bụng : b
c
= 2 cm
()
3
cm 44,81109,682 =−××=
c
x
S
⇒
2
1
kN/cm 712,0
23,1144
44,8120
=
×
×
=
τ
7.4 KIỂM TRA BỀN DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
Trên mặt cắt ngang của dầm chòu uốn ngang phẳng có 2 ứng suất:
- Ứng suất pháp σ
z
do mômen uốn M
x
gây ra.
- Ứng suất tiếp τ
zy
do lực cắt Q
y
gây ra.
Biểu đồ phân bố ứng suất pháp và ứng suất tiếp theo chiều cao của mặt
cắt ngang hình chữ nhật (H.7.23b,c), ta thấy có ba loại phân tố ở trạng thái
ứng suất khác nhau (H.7.23a):
- Những điểm ở biên trên và dưới τ = 0, chỉ có σ
z
≠
0 nên trạng thái ứng
suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn
- Những điểm nằm trên trục trung hòa σ
a
= 0, chỉ có τmax nên trạng
thái ứng suất của những phân tố ở những điểm này là trượt thuần túy.
H.7.22
c
b = 8 cm
h = 16 cm
=14cm
cm
n
y
x
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
19
- Các điểm khác, σ
z
≠
0 và τ
zy
≠
0, nên chúng ở trạng thái ứng suất
phẳng đặt biệt.
H. 7.23 a) Các phân tố ở trạng thái ứng suất khác nhau
b) Sự phân bố ứng suất pháp; c) Sự phân bố ứng suất tiếp
⇒ Khi kiểm tra bền toàn dầm, phải bảo đảm mọi phân tố đều thỏa điều
kiện bền. (đủ 3 điều kiện bền)
a) Phân tố ở trạng thái ứng suất đơn (những điểm ở trên biên trên và
dưới của dầm), xét tại mặt cắt có
max
M và sử dụng thuyết bền ứng suất pháp
lớn nhất ta có:
+ Dầm làm bằng vật liệu dẻo,
][][][
σ
=
σ
=
σ
nk
, điều kiện bền:
][max σ≤σ
(7.20)
+ Dầm làm bằng vật liệu dòn,
][][
nk
σ≠σ , điều kiện bền :
][
][
min
max
n
k
σ≤σ
σ≤σ
(7.21)
b) Phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy (những điểm nằm trên
trục trung hòa), xét tại mặt cắt có
max
y
Q
ta có
[]
ττ
≤=
c
x
xy
bJ
SQ
.
.
max
max
+ Dầm bằng vật liệu dẻo:
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (TB 3):
2
][
][
max
σ
=τ≤τ
(7.22)
σ
min
+
M
max
σ
τ
max
σ
min
σ
max
σ
max
τ
max
a)
b)
c)
Q
max
τ
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
20
Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (TB 4):
3
][
][
max
σ
=τ≤τ
(7.23)
+ Dầm bằng vật liệu dòn: sử dụng thuyết bền Mohr (TB 5):
m+
σ
=τ≤τ
1
][
][
max
(7.24)
trong đó:
][
][
n
k
m
σ
σ
=
(7.25)
c) Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:
-Xét tại mặt cắt có mômen uốn M
x
và lực cắt Q
y
cùng lớn,(có thể nhiều
mặt cắt).
-Chọn điểm nguy hiểm trên mặt cắt để có
z
σ
và
zy
τ
tương đối lớn (chỉ
cần kiểm tra tại những nơi nguy hiểm như nơi tiếp giáp giữa lòng và đế của
mặt cắt chữ Ι, chữ C…)chỗ thay đổi tiết diện. Các ứng suất của phân tố này
được tính bởi các công thức quen thuộc:
y
J
M
x
x
z
=
σ
và
c
x
c
xy
zy
bJ
SQ
=
τ
-Tính ứng suất chính của phân tố.
22
31
4
2
1
2
τσ
σ
σ
+±=
,
Điều kiện bền (chương 5):
+ Dầm làm bằng vật liệu dẻo:
Theo TB 3: (7.26)
][4
22
313
σ≤τ+σ=σ−σ=σ
zyzt
Theo TB 4:
][3
22
4
σ≤τ+σ=σ
zyzt
(7.27)
+ Dầm làm bằng vật liệu dòn: Dùng TB 5
][4
2
1
2
1
22
5
σ≤τ+σ
+
+σ
−
=σ
zyzzt
mm
(7.28)
Từ đây cũng có ba bài toán cơ bản:
Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền
Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang
Dựa vào điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn để chọn
sơ bộ kích thước mặt cắt ngang dầm. Sau đó, tiến hành kiểm tra bền đối với
các phân tố ở trạng thái ứng suất khác . Nếu không đạt thì thay đổi kích
thước mặt cắt ngang.
Bài toán cơ bản 3: Đònh tải trọng cho phép.
Từ điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, xác đònh sơ
bộ tải trọng cho phép sau đó tiến hành kiểm tra bền các phân tố còn lại
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
21
Thí dụ 7.9 Cho dầm có mặt cắt ngang và chòu lực như hình vẽ.
1/ Vẽ biểu đồ M
x
và Q
y.
2/ Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp lớn nhất tại mặt cắt m-m
(bên trái c).
3/Tính ứng suất chính tại điểm K(mặt cắt tiếp giáp lòng và đế)mặt m-m,
Theo TB3.
4
41388 cmJ
X
,=
Tại mặt cắt m-m cónội lực :
mkNqaM
x
−=×××== 5421110
4
17
4
17
2
,
kNqLQ
y
527110
4
11
4
11
,=××==
cmycmy
nk
6744 ,,,,
maxmax
==
2
471344 cmkNy
J
M
k
x
x
mm
/,,
1388,4
4250
max
max
=×==
−
σ
7,6cm
4,4cm
3ql
A
qa
ql
q
3L
L
L
L
B
C
D
H
m
m
ql
2
qL
4
13
qa
4
11
qL
4
15
4cm
8cm
12cm
3cm
3cm
X
Y
4
qL
q
L
4
11
_
qL
4
13
qL
4
1
ql
2
ql
2
4
17
qL
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
22
2
262367 cmkNy
J
M
n
x
x
mm
/,,
1388,4
4250
max
min
−=×−=−=
−
σ
2
5720 cmkN
bJ
SQ
c
x
c
xy
mm
/,
max
==
−
τ
, với
3
28173
2
67
6732
cmS
C
X
,)
,
,( =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
××=
Tính ứng suất chính tại K.
2
1740
1841388
4158527
cm
k
,
,
,,
=
×
×
=
τ
,
(
)
33
415822418 cmcmS
c
x
,, =××
()
2
kN/cm,,
,
221444
41388
4250
=−×=
z
k
σ
Theo thuyết bền 3:
() ( )
/,,,
2
2
2
22
3
22274042214 cmkN
KKt
=+=+=
τσσ
Thí dụ 7.6 Xác đònh kích thước mặt cắt ngang hình chữ nhật ,
cho[
σ
] = 1 kN/cm
2.
,
L=1m
,h=2b .Tính
max
τ
22
2
2
6100126
)(
max,
max
bbhb
qa
W
M
x
×
×××
=
×
×
==
σ
≤
1 ⇒ b=7cm,h=14cm
q=2kN/m
P=3qa
L
h=2b
b
2qa
qa
qa
+
qa
2
2
2
qa
L
A
B
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
23
2
060
98
12251
147
251
51 cmkN
qa
F
Q
y
/,
,,
,
max
=
×××
=
×
×
==
τ
Thí dụ 7.7 Xác đònh số hiệu mặt cắt ngang theo yêu cầu độ bền, nếu
[
σ
] = 16 kN/cm
2
.
Giải.
Mô men uốn cực đại và lực cắt cực đại xảy ra tại cùng một mặt cắt dưới tác
dụng của tải trọng:
M
max
= 60 kNm; Q
max
= 60 kN
Mô men chống uốn cần thiết là:
[]
3
cm375
16
6000
max,
===
σ
x
x
M
W
Tra bảng thép hình mặt cắt [ OCT 8240-56 ta chọn 2[22 với:
một [22 có d = 5,3 mm, F = 26,7 cm
2
; W
x
= 193 cm
2
; S
x
= 111 cm
3
;
J
x
= 2120 cm
4
; h = 22 cm; t = 0,96 cm; b = 8,2 cm.
Kiểm tra bền thép hình mới chọn:
* Phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: đương nhiên thỏa
* Phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý: tại mặt cắt có:
Q
y,max
= 60 kN
t
60 kN
60 kN
1 m
6 m
1 m
60 kNm
60 kN
60 kN
Q
y
M
x
H
.7.21
z
o
b
h/2
h/2
d
t
A
H
.7.22
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
24
c
x
c
xy
bI
SQ
=
max
τ
với
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
×==
×=
×==
kN
cm
cm
cm
4
3
60
53,022
21202
11122
y
c
x
x
c
x
Q
db
J
SS
Suy ra:
2
kN/cm 96,2
53,0221202
111260
max
=
×××
××
=
τ
Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại:
[]
[]
max
8
2
16
2
τ
σ
τ
>===
2
kN/cm
vậy phân tố này thỏa điều kiện bền.
* Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: đó là phân tố ở nơi tiếp giáp
giữa lòng và đế tại mặt cắt nầy có:
kNm 60
max,
=
x
M
và
kN 60
max,
=
y
Q
()
2
21,1496,011
21202
6000
kN/cm =−×
×
=
A
x
σ
3
cm 626,165
2
96,0
1196,02,82 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×××=
c
x
S
2
kN/cm 21,2
53,0221202
626,16560
=
×××
×
=
A
τ
Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại:
()()
/,,,
2
2
2
22
3
3814212421144 cmkN
AAt
=+=+=
τσσ
vậy phân tố này thỏa điều kiện bền.
Kết luận: Chọn 2 [ 22.
Thí dụ 7.8 Xác đònh tải trọng cho phép [P] của dầm cho trên H.7.25.
Cho: a = 80 cm, [
σ
] = 16 kN/cm
2
Giải
♦ Biểu đồ lực cắt Q
y
và mômen uốn M
x
(H.7.25). Mặt cắt nguy hiểm có:
PaM
x
4
7
=
và
PQ
y
4
7
=
Mặt cắt I 10 có:h = 10 cm; J
x
= 198 cm
4
W
x
= 39,7cm
3
; S
x
= 23cm
3
,
5/4
P
P
/4
7/4
P
5/4P
a
7/4P
a
M
x
Q
y
a
a
2ø
a
P
2øP
10
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
25
d = 0,45 cm; t = 0,72 cm; b = 5,5 cm
♦ Từ điều kiện bền của phân tố ở
TTỨS đơn nguy hiểm ta có:
][
4
7
σ≤
x
W
Pa
⇒
kN 537,4
80
7,3916
7
4
][
7
4
=
×
×=
σ
≤
a
W
P
x
Ta chọn [P] = 4,53 kN.
♦ Với trò số của P đã chọn, ta kiểm tra bền các phân tố còn lại ở TTỨS
trượt thuần túy và TTỨS phẳng đặc biệt.
++ Phân tố ở TTỨS trượt thuần túy ; ở trục trung hòa của mặt cắt có:
kN 923,753,4
4
7
4
7
=×== PQ
y
⇒
22
max
kN/cm 8
2
][
][kN/cm 046,2
45,0198
2353,4
4
7
=
σ
=τ<=
×
×
×=τ
⇒ phân tố này thỏa điều kiện bền.
++ Phân tố ở TTỨS phẳng đặc biệt; ở nơi tiếp giáp giữa lòng và đế tại
mặt cắt có:
kNm 342,68,053,4
4
7
4
7
=××== PaM
x
và
kN 923,7
4
7
== PQ
y
3
cm 37,18
2
)72,010(
72,05,5 =
−
××=
′
c
x
S
2
kN/cm 634,1
45,0198
37,1853,4
4
7
=
×
××
=τ
zy
2
kN/cm 71,1372,0
2
10
198
2,634
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×=σ
z
Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại:
() ()
22
22
22
3
kN/cm 16][kN/cm 09,14
634,1471,134
=σ<=
×+=τ+σ=σ
zyzt
♦ Kết luận: Tải trọng cho phép [P] = 4,53 kN
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
26
Thí du ï7.10:Cho dầm ABC chòu lực như hình vẽ
.
Đònh [q] cho[
σ
] = 16 kN/cm
2.
[
τ
]=9kN/cm
2
h=20cm,b=0,76cm
d =0,72cm,t=0,9cm
J
X
=1520cm
4
,W
X
=152cm
3
S
X
=87,8cm
3
,
Tính:
42
3
65702116510
12
1316
2 cmJJ
xX
=+××+
×
= )),((
[]
σσ
≤=
x
x
z
W
M
Max
max
, với
3
3597
11
6570
2
cm
H
J
W
X
x
,===
q
2ql
l
ql
l
4l
2ql
2
B
A
C
16×1cm
16
×
1cm
N
0
20
Y
X
H
2,2ql
4,8ql
ql
2,2ql
3,8ql
1,8ql
3ql
2
ql
2
2,42ql
2
0,8ql
2
+
+
+
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
27
⇒
[]
[]
mkN
l
W
q
x
/,
),(
,
214
513
359716
3
22
=
×
=
×
≤
σ
, với
2
3qlM
x
=
max
Kiểm tra lại ứng suất tiếp với q vừa tìm.
[]
ττ
≤==
2
074 cmkN
bJ
SQ
c
x
c
xy
/,
max
, với
=××==
×==
==
××+=
80,94kN1,514,23,83,8ql Q
cm ,
,,cm
cm ),(
y
4
3
52022
516570
5101162
db
mlJ
SS
c
x
x
c
x
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
28
7.5 Q ĐẠO ỨNG SUẤT CHÍNH
Trong phần bên trên chúng ta chỉ mới xác đònh trò số của ứng suất
chính đối với một phân tố bất kỳ mà chưa đề cập đến phương của chúng.
Những kết quả đạt được khá tốt đối với vật liệu có ứng suất cho phép khi
kéo và khi nén là như nhau. Tuy nhiên, đối với các vật liệu như bê tông cốt
thép, việc xác đònh phương của ứng suất chính tại mọi điểm rất cần thiết, để
từ đó có thể đặt cốt thép gia cường theo các phương này.
Ta có thể xác đònh phương của ứng suất chính thông qua vòng tròn
Mohr. Giả sử
σ
α
và
τ
α
là các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên
mặt phẳng vuông góc với trục dầm và có trò số dương:
y
J
M
x
x
z
=+=
σσ
α
và
c
x
c
xy
zy
bJ
SQ
=+=
ττ
α
τ
α
= τ
z
y
σ
a
= σ
z
τ
z
y
σ
1
σ
3
σ
β
= 0
τ
β
= τ
z
y
A
B
τ
−τ
C
M
N
σ
τ
P
Phương
σ
1
H. 7.26
Phương
σ
3
Sau khi vẽ vòng tròn Mohr ứng suất chúng ta nhận thấy phương chính
là phương nối từ điểm cực P(0,+
τ
zy
) với hai điểm A và B ở hai đầu đường
kính của vòng tròn Mohr: PA chỉ phương ứng suất chính
σ
1
, còn PB chỉ
phương ứng suất chính
σ
3
.
H.7.26 cho thấy, các vòng tròn Mohr ứng suất và các phương chính tại
nhiều điểm khác nhau trên mặt cắt ngang. Ta giả sử rằng mômen uốn và
lực cắt tại một mặt cắt mang dấu dương. Ứng suất chính thay đổi với biên
mặt cắt ngang. Gần những biên, một trong các ứng suất chính bằng không,
trong khi ứng suất chính kia có phương song song với trục dầm; còn ở trục
trung hoà, các ứng suất chính có phương hợp với trục dầm một góc 45
o
.
Bằng phương pháp tương tự, ta có thể xác đònh được phương của ứng suất
chính ở nhiều điểm trên dầm (H.7.27) Ta vẽ các đường cong có tiếp tuyến
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
29
là phương của ứng suất chính và gọi các đường đó là quỹ đạo ứng suất
chính của dầm chòu uốn. Các quỹ đạo này hợp thành hai họ đường cong
vuông góc nhau, một họ là quỹ đạo ứng suất kéo và một họ là quỹ đạo ứng
suất nén. Các phương của ứng suất chính tùy thuộc vào loại tải trọng và
điều kiện biên của dầm.
Trên H.7.28, quỹ đạo ứng suất kéo được biểu diễn bằng đường nét
đậm còn quỹ đạo ứng suất nén biểu diễn bằng đường nét đứt.
Người ta thường dùng các phương pháp thực nghiệm để xác đònh quỹ
đạo ứng suất chính như phương pháp quang đàn hồi, phương pháp dùng
sơn dòn.
7.6 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN PHẲNG
A
q
B
l
H. 7.28. Quỹ đạo ứng suất chính của dầm
tựa đơn chòu tải phân bố đều
M
x
Q
y
σ
min
σ
min
σ
max
σ
max
σ
σ
τ
τ
τ
max
τ
max
σ
σ
τ
B
A
C
D
E
σ
τ
C
σ
3
σ
τ
C
σ
1
σ
τ
C
Phương
kéo
σ
1
τ
max
P
hương nén
σ
3
σ
τ
C
σ
τ
σ
τ
C
σ
τ
H
.7.25
Phương
nén
σ
3
Phương
kéo
σ
1
Phương
kéo
σ
1
Phương
nén
σ
3
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
GV: Lê đức Thanh
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
30
Trong chương TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT, ta đã có công thức tính thế
năng riêng biến dạng đàn hồi của một phân tố là:
()
[]
133221
2
3
2
2
2
1
2
2
1
σσσσσσμσσσ
++−++==
EV
U
u
(7.29)
Trường hợp dầm chòu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất của phân
tố là phẳng nên một thành phần ứng suất chính bằng không,
σ
2
chẳng hạn,
khi đó biểu thức của thế năng riêng biến dạng đàn hồi có dạng:
[]
31
2
3
2
1
2
2
1
σμσσσ
−+==
E
dV
dU
u
(7.30)
trong đó:
σ
1
và
σ
3
là các ứng suất chính được suy từ
σ
z
và
τ
zy
theo công thức:
2
2
1
22
zy
zz
τ+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
+
σ
=σ
(7.31)
2
2
3
22
zy
zz
τ+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
=σ
(7.32)
thay vào (7.30) ⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
22
2
22
22
2
2
2
2
2
2
1
zy
zz
zy
zz
E
u
τ
σσ
μτ
σσ
rút gọn ta được:
()
E
E
u
zy
z
μ
τ
σ
+
⋅+=
12
22
2
2
(7.33)
Ngoài ra, giữa các hằng số của vật liệu E, G,
μ
tồn tại hệ thức sau:
()
μ
+
=
12
E
G
(7.34)
thay vào (7.33) và rút gọn, cuối cùng ta được:
GE
u
zy
z
22
2
2
τ
+
σ
=
(7.35)
thay biểu thức của
σ
z
và
τ
zy
bằng (7.2) và (7.11) ta được:
()
()
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
x
c
xy
x
x
bGJ
SQ
y
EJ
M
u +=
(7.36)
Thế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn thanh dz là:
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
