Chơng 9.
sự ổn định của hệ đn hồi
I. Khái niệm
Thực tế có nhiều trờng hợp nếu chỉ tính độ bền v độ cứng
vẫn cha đủ đảm bảo an ton cho kết cấu, vì nó có thể bị phá
hỏng do
sự mất ổn định
cần phải chú ý đến
sự ổn định
.
Khái niệm về ổn định của hệ đn hồi: Ví dụ, một vật nặng
hình cầu đặc trên một mặt lõm (hình 9.1a), quả cầu ở
trạng thái
cân bằng ổn định
. Nếu ta đặt quả cầu trên một mặt lồi (hình
9.1b), quả cầu ở
trạng thái cân bằng không ổn định (mất ổn định)





Xét một thanh thẳng mảnh chịu lực nh hình 9.2a. Khi lực
P
r
còn nhỏ. Nếu ta dùng một lực ngang rất nhỏ
K
r
đẩy thanh
chệch khỏi vị trí cân bằng, thanh trở lại vị
trí thẳng đứng ban đầu sau khi bỏ

K
r
. Đó
gọi l
trạng thái ổn định
của thanh.
Nhng khi lực
P
r
vợt quá một giới hạn
nhất định P
th
(
tải trọng tới hạn
) thì thanh
sẽ dời vị trí cân bằng ban đầu với biến dạng
ngy cng tăng ngay cả sau khi lực ngang
triệt tiêu, cho đến khi cong hẳn về một phía,
không trở về dạng thẳng ban đầu nữa. Lúc
ny ta nói rằng
trạng thái cân bằng (dới
dạng thẳng) của thanh không ổn định.

Đối với các chi tiết máy hoặc công
trình, ngoi việc bảo đảm an ton về độ bền v độ cứng còn phải
bảo đảm cả ổn định nữa.
Điều kiện ổn định
:
th
ôd

P
P
n

, n
ôđ
hệ số an ton về ổn định.
Ví dụ một thanh ngm di có mặt cắt ngang chữ nhật hẹp
(hình 9.3a) bị uốn phẳng bởi lực
r
P
song song với chiều di của
a
)

b
)
Hình 9.
1
Hình 9.2
a
)

b
)
mặt cắt, khi
P
r
lớn hơn lực tới hạn
th

P
r
dễ bị mất ổn định: thanh bị
vênh đi v bị uốn xoắn đồng thời. Một ống tròn mỏng bị xoắn
thuần tuý (hình 9.3b) khi mômen xoắn M > M
th
, thnh ống sẽ bị
méo vì mất ổn định.

Hình 9.3
Khi mất ổn định, biến dạng của hệ tăng rất nhanh so với
mức tăng của tải trọng. Chẳng hạn, với thanh thẳng chịu nén
nh hình 9.2: khi P=1,010 P
th
thì f=9%l; P=1,015 P
th
thì f=22%l.
Bi toán ổn định l
xác định tải trọng tới hạn
. Bi toán đơn
giản nhất l xác định lực tới hạn của thanh bị nén đúng tâm (bi
toán
uốn dọc
thanh thẳng hay
bi toán Ơle
(Euler).
II. bi toán ơle (EULER, 1774)
1. Công thức Ơle về lực tới hạn
Xét một thanh thẳng chịu lực nén
đúng tâm P. Khi P đạt tới giá trị tới

hạn P
th
thanh sẽ bị uốn cong trong mặt
phẳng m thanh có độ cứng nhỏ nhất
(hình 9.4).

Giả thiết
: ứng suất trong thanh do
P
th
gây ra cha vợt giới hạn tỉ lệ (
đn
hồi tuyến tính)
. Dới tác dụng của P
th

trục của thanh bị cong với chuyển vị
(độ võng) tại mặt cắt có tọa độ z l y(z)
rất bé. Mômen uốn trên mặt cắt đó l:
M(z) = P
th
. y(z) (a)
Hình 9.4

Do các giả thiết trên ta có thể dùng công thức tính mômen
uốn theo phơng trình vi phân gần đúng đờng đn hồi:

()
2
2

dy
Mz EJ
dz
=
(b)
Thay (a) vo (b) ta đợc:

+
=
2
y(z) y(z) 0
(9.1)
trong đó:
=
2
th
P
EJ
(c)
Nghiệm tổng quát của phơng trình trên l:

=+
12
y(z) C sin z C cos z

Các hằng số tích phân đợc xác định theo điều kiện biên:
khi z = 0 thì y = 0 (d)
khi z = 1 thì y = 0 (e)
Từ (d) ta có ngay C
2

= 0. Từ (e) ta có:
y(l) = C
1
sinl = 0 (9.2)
Nh vậy hoặc C
1
= 0 hoặc sinl = 0. Tuy nhiên vì C
2
= 0, nên
nếu C
1
= 0 thì y(z) = 0, khi đó thanh cha bị uốn cong hay cha
mất ổn định. Vậy chỉ còn lại điều kiện
sinl= 0 l = n (n = 1, 2, )

=
n
l
(n = 1, 2, ) (f)
Thay giá trị của vo (c) ta có giá trị lực tới hạn:


=
22
th
2
nEJ
P
l
(n = 1, 2, 3 ) (g)

P
th
l giá trị nhỏ nhất trong các giá trị (g), ứng với n = 1, khi
thanh bắt đầu mất ổn định, với độ cứng nhỏ nhất nên J trong (g)
nhỏ nhất J
min
của MCN. Do đó, lực tới hạn bằng:


=
2
min
th
2
EJ
P
l
(9.3)
Công thức ny do Ơle tìm ra năm 1774.
Đối với các thanh thẳng khác, bằng những suy diễn tơng tự
nh trên, ta đợc
công thức Euler dới dạng tổng quát
sau:


=
2
2
min
th

2
EJ
Pm
l
hay
()

=

2
min
th
2
EJ
P
l
(9.4)
trong đó v m =

1
l các hệ
số phụ thuộc vo dạng liên kết
ở hai mút thanh (hình 9.5).
Có thể thấy m bằng số nửa
bớc sóng hình sin của đờng
đn hồi của thanh sau khi
thanh bị mất ổn định.
2. ứng suất tới hạn
ứng suất tới hạn trong
thanh chịu nén đúng tâm bởi

lực P
th
:

()
2
th min
th
2
PEJ
F
lF

= =

hay:
()
22
th min
th
2
PEi
F
l

= =


trong đó,
=

2
min
min
J
i
F
l bán kính quán tính cực tiểu của MCN.
Đặt:

=
min
i
l
- đợc gọi l
độ mảnh
của thanh (9.5)
Công thức tính ứng suất tới hạn sẽ có dạng:
2
th
2
E
=

(9.6)
3. Giới hạn áp dụng của công thức Ơle
Các công thức Ơle đợc thnh lập với
giả thiết vật liệu đn
hồi tuyến tính
chúng chỉ dùng khi ứng suất trong thanh nhỏ
hơn giới hạn tỉ lệ

tl
điều kiện áp dụng các công thức Ơle:

th tl

hay




2
tl
2
E




2
tl
E
(9.7)
Nh vậy công thức Ơle chỉ đúng với các thanh có độ mảnh
lớn hơn độ mảnh giới hạn:
2
0
tl
E

=


(9.8)
Với thép, E 2.10
5
N/mm
2
,
tl
= 200N/mm
2


=
25
0
.2.10
100
200

Với gỗ
0
70, với gang
0
80.
H
ình 9.5
Những thanh có độ
mảnh >
0
đợc gọi l những

thanh có
độ mảnh lớn
.
Những thanh có
1
<<
0

đợc gọi l những thanh có
độ
mảnh vừa v bé
.
Đối với những thanh có
độ mảnh vừa v bé, thờng
dùng công thức kinh nghiệm
sau đây của E.S. Yaxinxky:

th
ab=
(9.9)
trong đó a v b l các hằng
số phụ thuộc vật liệu của thanh, đợc xác định bằng thực nghiệm
v tra
Sổ tay kĩ thuật
. Ví dụ với thép số 3: a = 336 MN/m
2
, b =
2,47 MN/m
2
, với gỗ: a = 29,3 MN/m

2
, b = 0,194 MN/m
2
.
Đối với thanh có độ mảnh bé quá (0
1
) khi chịu nén thanh
không thể bị cong, sự mất ổn định của thanh thực tế không xẩy
ra, khi đó trạng thái tới hạn của thanh cũng l trạng thái phá
hoại của vật liệu:
th
=
0
(9.10)
với
=
0ch
đối với vật liệu dẻo,

=
0B
đối với vật liệu giòn.
III. Phơng pháp thực hnh để tính ổn định
Nh đã biết, điều kiện bền của thanh bị nén đúng tâm l:

[]

= =
0
n

n
thực
P
Fn

trong đó, []
n
l ứng suất nén cho phép. Trong khi đó điều kiện
ổn định của thanh l:
ôđ
=
ng
P
F
[]
ôđ
=
th
ôđ
P
n
(9.11)
trong đó []
ôđ
l ứng suất cho phép về ổn định.
Để tiện cho việc tính toán, ta đặt:
[
]
[]



= =


ôđ th
ôđ 0
n
n
n
(9.12)
đợc gọi l
hệ số giảm ứng suất cho phép
hay
hệ số uốn dọc
,
1 vì thông thờng []
ôđ
[]
n
. Hệ số phụ thuộc vo vật liệu, độ
mảnh của thanh v các hệ số an ton về bền v ổn định. Bằng

th

1

tl

0





0
0

Đờng I-a-xin-xki

Hypecbôn Ơle
Hình 9.
6

thực nghiệm, ngời ta đã lập đợc bảng tra trị số theo độ mảnh
v vật liệu, v cho trong các
Sổ tay kĩ thuật
.
Thay (9.12) v (9.11) suy ra công thức
kiểm
tra ổn định
các thanh bị uốn dọc:

[]

n
ng
P
F
(9.13)
Vì 1 nên nếu điều kiện ổn định đã đợc
bảo đảm thì điều kiện bền cũng đợc đảm bảo.

Thực nghiệm cho thấy những lỗ khuyết trên
mặt cắt ngang (nh lỗ đinh, rãnh chêm, v.v ) ảnh hởng rất ít
đến độ ổn định của thanh, nên khi kiểm tra ổn định theo công
thức (9.32) vẫn dùng
diện tích nguyên
của mặt cắt. Hình 9.7 mô tả
một MCN bị giảm yếu cục bộ, khi đó F
th
= F
1
+ F
2
, còn F
ng
l diện
tích của hình tròn.
Từ công thức cơ bản trên, có thể xác định
lực nén cho phép
:

[
]
[
]


ng
n
PF
(9.14)

IV. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 9.1
. Tính lực tới hạn v ứng suất tới hạn của
một thanh chịu nén đúng tâm nh hình 9.8. Cho biết
vật liệu thanh l đuya-ra: E = 0.71.10
5
MN/m
2
;

tl
=180 MN/m
2
; l = 2 m; D = 4 cm; d = 3 cm.
Giải
Mômen quán tính của MCN hình vnh khăn l:

()

==
44
175
JDd
64 64
(cm
4
)
Diện tích MCN của thanh:
()



==
22
7
FDd
44
(cm
2
)
Bán kính quán tính của mặt cắt (i
min
= i
max
= i)


== =

J175.45
i
F 64.7 4
(cm)
Hệ số liên kết
= 0,7, do đó độ mảnh của thanh l:
Hìn
h
9.
8
P
l

D
d

H
ình 9.7


= = =
0,7.120.4
67,2
i5
l

Độ mảnh

0
tơng ứng với
tl
l:

= = =

5
0
tl
E 0,71.10
3,14 62
180

Do

>
0
, nên ta áp dụng công thức Ơle để tính lực tới hạn

()

== =

2
3
th
2
EJ
P 85,3.10 N 85,3kN
l

ứng suất tới hạn:

()

= = = =

2
62 2
th
th
2
P
EJ
155.10 N /m 155MN / m

F
lF

Ví dụ 9.2
. Tính lực tới hạn v ứng suất tới hạn của một cột lm
bằng thép CT3 chịu liên kết khớp ở hai đầu, MCN hình chữ I số
22a. Xét hai trờng hợp:
a) Cột cao 3 m.
b) Cột cao 2,25 m.

Giải
Mặt cắt ngang hình chữ I số 22a có F = 32,4 cm
2
v i
min
= 2,5cm
a) Khi cột cao 3m độ mảnh của cột l:

min
1.3
120
i 0,025

= = =
l

Với thép CT3 ta có

0
= 100 nên ta thấy >

0
, do đó ta có thể
sử dụng công thức Ơle.
ứng suất tới hạn:


= =

2
2
th
2
E
14,3kN / cm

Lực tới hạn của thanh l:
P
th
=
th
.F = 14,3.32,4 = 463,32 kN
Hìn
h
9.
9

P

l
b) Khi cột cao 3m độ mảnh của cột l:

0
min
1.2,25
90
i0,025


== =<
l

Vì
<
0
, nên ta phải dùng công thức Yaxinxki để tính lực tới
hạn với thép số 3, ta có:

== =
2
th
a b 336 1,47.90 20,4kN / cm

Khi đó lực tới hạn l:
P
th
=
th
. F = 20,4 . 32,4 = 660 kN
Ví dụ 9.3
. Cho cột chữ I lm từ thép số 3. Biết []=16 kN/cm
2

,
P=400kN, l=2 m. Xác định số hiệu mặt cắt ngang?
Giải
Ta giải bi toán theo phơng pháp đúng dần.
a) Chọn lần thứ nhất
Chọn

0
=0,60
Khi đó [
]
ôđ
= .[] = 0,6.16 = 9,6 kN/cm
2
.
Diện tích MCN:
[]
==

2
od
P 400
F41,7kN/cm
9,6

Tra bảng thép chữ I thấy có loại thép I N
0
27 có
F= 40,2 cm
3

; i
min
=2,54cm.
Độ mảnh của cột l:


= = =
min
l 1.200
78,8
i2,54

Đối với thép số 3, khi
= 70 thì = 0,758, khi = 80 thì =
0,75. Dùng phng pháp nội suy ta có hệ số

1
=

+
0,81 0,75
0,75 .1,3
10
=0,758 tơng ứng với = 78,8.
Hệ số

1
ny khác nhiều so với hệ số giảm ứng suất ta chọn lúc
đầu nên ta phải chon lần hai.
b) Chọn lầm thứ hai:

Ta lấy:
679,0
2
10
2
=
+
=
;
Khi đó: []
ôđ
= .[] = 0,679.16 = 10,86 kN/cm
2
Diện tích MCN:
2
cm8,36
86,10
400
F ==

Tra bảng ta chọn thép chữ I N
0
24 có diện tích gần nhất F =
34,8 cm
3
; i
min
=2,37cm.
Độ mảnh của cột:
min

l 1.200
84,5
i2,37

= = =

Tra bảng đối với thép số 3 ta có: khi
= 80 thì = 0,75, khi =
90 thì
= 0,69.
Dùng nội suy ta có với
= 84,5 thì hệ số giảm ứng suất l:


3
=

+
0,75 0,69
0,69 .5,5
10
= 0,723;
Kiểm tra lại điều kiện ổn định:
ứng suất cho phép ổn định:
[
]
ôđ
=
3
.[] = 0,723.16 = 11,57 kN/cm

2
ứng suất thực tế trong cột:

[]
2
od
2
cm/kN57,11cm/kN5,11
8,34
400
F
P
====

ứng suất ít hơn l:

[
]
[
]
[]

==

ôd
ôd
0,07
.100% .100% 0,8%
11,57


chọn I N
0
24 thì cột ổn định.
Vì
= 84,5 <
0
= 100, nên theo công thức Yaxinxki ta có:

2
th
cm/kN37,21ba ==
;

==

th
ôd
ôd
n1,85