1
TCH PHN XC NH V CC NG DNG
1.1. Định nghĩa tích phân xác định
1.1.1 Định nghĩa:
Cho HS f(x) xác định và bị chặn trên [a,b].
+ Chia tuỳ ý [a,b] bởi các điểm chia:
a= x
0
< x
1
< x
2
<< x
k
< x
k+1
<< x
n
= b
+ Trên mỗi đoạn [x
k-1
, x
k
] lấy điểm

bất kì và lập tổng :
1 1
( )
n
S f xx= D
2 2

( ) f xx+ D +
( )
n n
f xx+ D
( )
1
n
k k
k
f xx
=
= D
ồ
k

O
x
y
x
k 1

k
f(
k
)
x
k
2
+ Nếu khi sao cho max , S
n

dần tới một giới hạn
xác định S không phụ thuộc vào cách chia [a, b] và cách chọn
điểm trong đoạn [ x
k-1
; x
k
] thì giới hạn đó đ ợc gọi là tích phân
xác định của hàm số f(x) trên [a,b], ký hiệu là .

Khi đó ta nói f(x) khả tích trên [a,b] .
([a,b] là khoảng lấy tích phân, a là cận d ới , b là cận trên, x là
biến số lấy tích phân, f(x) là h m s d ới dấu tích phân, f(x)dx là
biểu thức d ới dấu tích phân).
n +
k
x
( )
b
a
f x dx

+ Nếu h m s f(x) liên tục trên [a,b] ho c hàm số f(x) bị chặn
và có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì nó khả tích trên
[a,b].
0
k
x
3
Chia [0;1] thành n đoạn nhỏ bằng nhau và lấy các điểm
là đầu mút phải của mỗi đoạn nhỏ, khi đó ta có :

x
k
= , = x
k
=k. ( k = 1,2,,n ) và max khi

1
2
0
x dx

1
2
0
x dx

( )
2
max 0
1
lim
k
n
k k
x
k
xx
D đ
=
= D

ồ
k

1
n
0
k
x
1.1.2. VD: Tính

k

Vì f(x) = x
2
liên tục trên [0;1] nên nó khả tích trên [0;1], do đó
ta có:
1
n
n
4
1
2
0
x dx =
ò
2
1
1 1
lim .
n

n
k
k
n n
®¥
=
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
å
2
3
1
1
lim
n
n
k
k
n
®¥
=
=
å
2 2 2

3
1
lim (1 2 )
n
n
n
®¥
= + + +
3
( 1)(2 1)
lim
6
n
n n n
n
®¥
+ +
=
1
2
0
1
3
x dx =
ò
Vậy,
1
3
=
Do đó:

5
( )
b
a
f x dx
∫
* NÕu f(x) 0, x∈[a;b] th× 0

* NÕu f(x) ≥

g(x), x∈[a;b] th× : ≥

* NÕu m ≤ f(x) ≤ M,∀x∈[a;b] (M, m lµ h»ng sè) th× :

m(b-a) ≤ ≤ M(b-a)
1.2. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh
( )
*
b
a
kf x dx
ò
( )
*
b
a
f x dx
ò
( )
* [ ( )]

b
a
f x g x dx+
ò
( )
a
b
f x dx=-
ò
( )
b
a
f x dx
ò
( )
c
a
f x dx= +
ò
( )
b
c
f x dx
∫
( )
*
b
a
f x dx
ò

≥
∀
( )
b
a
f x dx= +
ò
( )
b
a
g x dx
∫
∀
( )
b
a
k f x dx=
ò
≥
( )
b
a
g x dx
∫
( )
b
a
f x dx
ò
6

* Giả sử trên [a, b], m ≤ f(x) ≤ M và g(x) khả tích.
+Nếu g(x) không đổi dấu trên [a, b] thì ∃ µ ∈ [m, M] sao cho :
f(x)g(x)dx ≤ µ g(x)dx.
Hệ quả: g(x) = 1: ∃ µ ∈ [m, M] sao cho f(x)dx = µ (b – a)
+Nếu f(x) ∈ C[a, b] thì ∃c ∈[a, b] sao cho:
f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx
Hệ quả: g(x) = 1: ∃c ∈[a, b] sao cho f(x)dx = f(c)(b – a).
*Tích phân trên miền đối xứng của hàm chẵn, hàm lẻ
+Nếu f( – x) = – f(x) thì f(x)dx = 0,
+Nếu f( – x) = f(x) thì f(x)dx = 2 f(x)dx
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
a

∫
b
a
∫
b
a
∫
7
Vì 0 ≤ sin
2
x ≤ 1 trên [0; ] nên 1≤ .
2
2
0
1
1 sin
2
xdx
π
+
∫
2
1 3
1 sin
2 2
x+ ≤
2
π
2
2

0
1
1 sin
2
xdx
p
£ + £
ò
3
2 2
π
VD: ¦íc l îng giá tr cña TP: I = ị
2
p
Do đó:

hay 1,57 ≤ I ≤ 1,92
8
dx x C= +
∫
1
ln , ( 0)dx x C x
x
= + >
∫
1
, ( 1)
1
x
x dx C

α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x
e dx e C= +
∫
,( 0, 1)
ln
x
x
a
a dx C a a
a
= + > ≠
∫
sinx osdx c x C=− +
∫
os sinc dx x C= +
∫
2
1
os
dx tgx C
c x
= +

∫
2
1
sin
dx cotgx C
x
=− +
∫
2 2
dx x
arctg C
a x a
= +
+
∫
2 2
1
ln
2
dx a x
C
a x a a x
+
= +
− −
∫
2 2
arcsin
dx x
C

a
a x
= +
−
∫
2 2
2 2
ln
dx
x x a C
x a
= + ± +
±
∫
1.3.Cách tính tích phân xác định
1.3.1.Các tích phân cơ bản
9
( )
( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = -
ò
0
sin ( cos ) os +cos0=2
0
xdx x c

p
p
p= - = -
ò
1.3.2Công thức Newton –Leibniz: Nếu F(x) là nguyên hàm của
hàm số f(x) liên tục trên [a;b] thì:

* VD:

10
1.4.1 Dạng 1: Cho trong đó f(x) liên tục trên [a;b],
thực hiện phép đổi biến x = ϕ(t). Nếu:

+ ϕ(α) =a , ϕ( ) = b

+ ϕ(t) và ϕ’(t) liên tục trên [α; ].

+ f[ϕ(t)] liên tục trên [α; ]

( )
b
a
f x dx
∫
β
β
( )
b
a
f x dx =

ò
( ) ( )
'f t t dt
β
α
ϕ ϕ
 
 
∫
β
Khi đó ta có:
1.4. Phép đổi biến trong tích phân xác định
11
1
2
0
1 x dx−
∫
2 2
t
π π
− ≤ ≤
2 2
1 cos cosx t t− = =
1
2
0
1 x dx−
∫
2

2
0
cos tdt
p
=
ò
2
0
1
(1 cos2 )
2
t dt
p
= +
ò
1 sin2
2
2 2
0
t
t
p
é ù
ê ú
= + =
ê ú
ë û
4
π
* VD: Tính:


Đổi biến x = sint với
;
2
p
Ta có: 0 = sin0; 1 = sin
Vậy
12
NÕu f(x) lµ hµm lÎ
NÕu f(x) lµ hµm ch½n
( )
0
0
2 ( )
a
a
a
f x dx
f x dx
−


=



∫
∫
( )
a

a
f x dx
−
=
∫
( )
0
a
f x dx
-
=
ò
( )
0
a
f x dx+
ò
( )
0
a
f x dx
−
∫
( )
0
a
f t dt- -
ò
( )
0

a
f x dx= -
ò
( )
a
a
f x dx
−
=
∫
[ ]
0
( ) ( )
a
f x f x dx+ −
∫
( )
0
0
2 ( )
a
a
a
f x dx
f x dx
−


=




∫
∫
NÕu f(x) lµ hµm lÎ
NÕu f(x) lµ hµm ch½n
* VD: CMR nếu f(x) liên tục [-a;a] thì:

Thật vậy, ta có:
Trong tích phân thứ nhất ở VP đặt x = - t =>dx = - dt ta có:
Do ®ã :
VËy:
13
Nếu hàm số d ới dấu tích phân có dạng f(x) = g[(x)] (x) thì
để tính
ta đổi biến số (x) = t. Nếu (x) biến thiên đơn điệu và có đạo
hàm (x) liên tục trên [a;b] còn g(t) liên tục trên [ (a); (b)] ,
ta có công thức:

( )
b
a
f x dx

( ) ( )
'
b
a
g x x dxj j
ộ ự

=
ờ ỳ
ở ỷ
ũ
( )
b
a
f x dx

( ) ( )
'
b
a
g x x dxj j
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
ũ
( )
( )
( )
b
a
g t dt
j
j
=
ũ
1.4.2.Dạng 2:

14
2
2
0
cos
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
0;
2
π
 
 
 
2
2
0
cos
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
1

2
0
1
dt
t
=
+
ò
4
p
=
* VD 1: TÝnh
§Æt t = sinx, ta cã hµm t =sinx biÕn thiªn ®¬n ®iÖu trªn ,
dt = cosxdx
15
1
2
1
, (0 )
2 cos 1
dx
x x
a p
a
-
< <
- +
ò
1
2

1
2 cos 1
dx
x x
α
−
− +
∫
1
2 2
1
( cos ) sin
dx
x a a
-
=
- +
ò
1
2
1
2 cos 1
dx
x x
α
−
− +
∫
1 cos
2 2

1 cos
sin
dt
t
a
a
a
-
- -
=
+
ò
1 1 cos 1 cos
( )
sin sin sin
arctg arctg
a a
a a a
- +
= +
2
2sin
1 cos
2
,
sin 2
2sin cos
2 2
tg
a

a a
a a a
-
= =
1 cos
cot ( )
sin 2 2 2
g tg
α α π α
α
+
= = −
1
2
1
1
( )
2 cos 1 s in 2 2 2 2sin
dx
x x
α π α π
α α α
−
= + − =
− +
∫
* VD 2: TÝnh
Ta cã
Nh ng v×:
Nªn:

Đặt t = x – cos , ta có dt = dx và:
a
16
1.5.Phép lấy tÝch ph©n tõng phÇn
Giả sử u(x), v(x) lµ nh÷ng hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc trªn
[a;b], khi ®ã:
b b
a a
b
udv uv vdu
a
= −
∫ ∫
* VD 1: TÝnh
1
ln
e
xdx
∫
Ta cã u = lnx => du = dx
dv = dx => v = x
1 1
ln ln ln ln1 ( 1) 1
1
e e
e
xdx x x dx e e e= − = − − − =
∫ ∫
17
§Æt u=sin

n-1
x, dv = sinxdx, ta cã du = (n-1)sin
n-2
xcosxdx, v = - cosx.
Do ®ã: In = - cosx sin
n-1
+ (n-1)
2
0
x
π
2
2 2
0
sin cos
n
x xdx
π
−
∫
2
2 2
0
( 1) sin (1 sin )
n
n x x dx
p
-
= - -
ò

= (n-1)I
n-2
- (n-1)I
n
4
3
2
n
n
I
n
−
−
−
2
1
n n
n
I I
n
-
-
Þ =
2 2
2
0 0
( 1)[ sin sin ]
n n
n xdx xdx
p p

-
= - -
ò ò
Thay n = n -2, ta ® îc: I
n-2
=
2
0
sin
n
xdx
π
∫
* VD 2: TÝnh In = , n nguyªn d ¬ng
18
TiÕp tôc nh vËy , ta cã:
2
0
0
sin xdx
p
=
ò
2
0
sin cos 1
2
0
xdx x
p

p
= = - =
ò
I
0
nÕu n ch½n
( ) ( )
( )
2
2 1 2 3 3.1.
.
2
2 2 2 4.2
m
m m
I
m m
p
- -
=
-
( ) ( )
( )
2 1
2 2 2 4.2.
(2 1) 2 1 5.3
m
m m
I
m m

+
-
=
+ -
2
p
=
I
1
nÕu n lẻ
Như vậy,
+ Nếu n chẵn (n = 2m) thì
+ Nếu n lẻ (n =2m+1) thì
2
0
dx
p
=
ò
19
2 2
3 3
x
2
3
3 4
0
2.2 1 9S x x dxp= +
ũ
25

9
2
3
25
9
1
4
36
dt
S tp=
ũ
25
9
1
2
1
9
t dt
p
=
ũ
3
2
25
2
9
9 3
1
t
p

=
125
( 1)
27 27
p
= -
+ VD: Tính diện tích mặt tròn xoay sinh bởi sự quay quanh trục
Ox của cung y=x
3
với
Vì tính đối xứng của đ ờng y=x
3
, chỉ cần tính 1/2 diện tích mặt
tròn xoay ứng với x biến thiên từ 0 đến .
Ta cú:
Đổi biến 1+ 9x
4
= t, ta đ ợc 36x
3
dx = dt,
t = 1 khi x= 0, t = khi x = .
2
3
Do ú: