ÔN TẬP CHƯƠNG III
Giáo viên thực hiện
:
Trương Anh Tuyên
TiÕt 1
ÔN TẬP CHƯƠNG III
I) Các định nghĩa:
Nguyên hàm:
Tích phân:
( ) ( ) = ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= −
∫
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F( x) được
gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K .
ÔN TẬP CHƯƠNG III
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM :
1) 0dx =
∫
C
2) dx =
∫
x C+
3) x dx

α
=
∫
1
( 1)
1
x
C
α
α
α
+
+ ≠ −
+
1
4) dx
x
=
∫
ln x C+
5)
x
e dx =
∫
x
e C+
6) sin xdx =
∫
cos x C− +
7) cos xdx =

∫
sin x C+
2
1
8)
cos
dx
x
=
∫
tan x C+
2
1
9)
sin
dx
x
=
∫
cot x C− +
10)
x
a dx =
∫
(0< a 1)
lna
x
a
C+ ≠
1

4) dx
x
=
∫
5)
x
e dx =
∫

ln x C+
x
e C+
MỞ RỘNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM :
6) sin xdx =
∫
cos x C− +
7) cos xdx =
∫
sin x C+
2
1
8)
cos
dx
x
=
∫
tan x C+
2
1

9)
sin
dx
x
=
∫
cot x C− +
1
11) dx
ax b
=
+
∫
ln
(a 0)
ax b
C
a
+
+ ≠
( )
13) sin ax b dx+ =
∫
( )
cos
(a 0)
ax b
C
a
− +

+ ≠
( )
14) cos ax b dx+ =
∫
( )
sin
(a 0)
ax b
C
a
+
+ ≠
12)
ax
e dx =
∫
(a 0)
ax
e
C
a
+ ≠
( )
2
1
15)
cos
dx
ax b
=

+
∫
( )
( )
1
tan
a 0
ax b C
a
+ +
≠
( )
2
1
16)
sin
dx
ax b
=
+
∫
( )
1
cot
( 0)
ax b C
a
a
− + +
≠

II) Các tính chất :
1) '( ) f ( ) + Cf x dx x=
∫
2) ( ) k f ( )kf x dx x dx=
∫ ∫
( )
3) ( ) f ( )dx ( )dxf x g x dx x g x
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫
Bài tập1: Tính:
1/ (1 )(1 )x x dx− +
∫
2
1
2 /
2cos
4
dx
x
π
 
−
 ÷
 
∫
2
1 1
2

cos
4
dx
x
π
=
 
−
 ÷
 
∫
( )
2
1
15)
cos
dx
ax b
=
+
∫
( )
( )
1
tan
a 0
ax b C
a
+ +
≠

1
tan
2 4
x C
π
 
= − +
 ÷
 
( )
2
1 x dx= −
∫
3
3
x
x C= − +
( )
2
1
cos
dx
ax b
=
+
∫
( )
( )
1
tan

a 0
ax b C
a
+ +
≠
ÔN TẬP CHƯƠNG III
6) f ( )dx = f ( )dx + f ( )dx
b c b
a a c
x x x
∫ ∫ ∫
4) kf ( ) = k f ( )
b b
a a
x dx x dx
∫ ∫
( )
b b
a a
5) ( ) = f(x)dx g(x)dx
b
a
f x g x dx
 
± ±
 
∫ ∫ ∫
1. Phương pháp đổi biến số:
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN
HÀM , TÍCH PHÂN:

2. Phương pháp tính nguyên hàm
từng phần, tích phân từng phần:
b b
a a
b
udv = uv - vdu
a
∫ ∫
( ).sin
( ).cos
( ).
x
P x xdx
P x xdx
P x e dx
∫
∫
∫
( )
sin ;cos ;
x
u P x
dv xdx xdx e dx
=

⇒

=

( ).lnP x xdx

∫
ln
( )
u x
dv P x dx
=

⇒

=

ÔN TẬP CHƯƠNG III
( ) ( ) + Cf u du F u=
∫
( ( )) '( ) ( ( )) + Cf u x u x dx F u x⇒ =
∫
Chú ý : Khi tính tích phân thì phải
đổi cận:
( )
( )
b u b
x u
a u a
⇔
( ) ( )
( ) f t ' t
b
a
f x dx dt
β

α
ϕ ϕ
 
=
 
∫ ∫
( ) ( )
( )
[ ]
,
t ,
a b
a t b
ϕ α ϕ β
ϕ α β
= =
≤ ≤ ∀ ∈
udv = uv - vdu
∫ ∫
Chú ý :
1. Phương pháp đổi biến số:
2. Phương pháp tính nguyên từng
phần, tích phân từng phần:
uv - vduudv =
∫ ∫
Bài tập 2: Tính:
2
) sin 4 cos 2 a I x x dx=
∫
Đặt u = cos

2
2x
du = ⇒
2cos 2 .( 2sin 2 )x x dx−
-2sin4x dx=
du
sin4xdx = -
2
⇒
( )
) 2 sinb J x xdx= −
∫
du
u -
2
I
 
⇒ =
 ÷
 
∫
2
4
1 1 1
cos 2
2 2 2 4
u
udu C x C= − = − + = − +
∫
2

sin cos
u x du dx
dv xdx v x
= − ⇒ = −


= ⇒ = −

Đặt

J⇒ =
( )
2 cos cos x x x dx− − −
∫
( )
2 cos sinx x x C= − − +
( ).sin
( ).cos
( ).
x
P x xdx
P x xdx
P x e dx
∫
∫
∫
( )
sin ;cos ;
x
u P x

dv xdx xdx e dx
=

⇒

=

( ).lnP x xdx
∫
ln
( )
u x
dv P x dx
=

⇒

=

ÔN TẬP CHƯƠNG III
( ) ( ) + Cf u du F u=
∫
( ( )) '( ) ( ( )) + Cf u x u x dx F u x⇒ =
∫
Chú ý:Khi tính tích
phân thì phải đổi cận:
( )
( )
b u b
x u

a u a
⇔
1. Phương pháp đổi biến số:
2. Phương pháp tính nguyên hàm
từng phần, tích phân từng phần:
uv - vduudv =
∫ ∫
( ).sin
( ).cos
( ).
x
P x xdx
P x xdx
P x e dx
∫
∫
∫
( )
sin ;cos ;
x
u P x
dv xdx xdx e dx
=

⇒

=

( ).lnP x xdx
∫

ln
( )
u x
dv P x dx
=

⇒

=

ÔN TẬP CHƯƠNG III
( ) ( ) + Cf u du F u=
∫
( ( )) '( ) ( ( )) + Cf u x u x dx F u x⇒ =
∫
Chú ý:Khi tính tích
phân thì phải đổi cận:
( )
( )
b u b
x u
a u a
⇔
Bài tập 3: Tính:
3
0
)
1
x
a I dx

x
=
+
∫
: u= 1+xHD
8
3
I⇒ =
2
0
)
x
b J xe dx=
∫
x
u=x
:
dv=e
HD
dx



2
1J e⇒ = +
( )
cos
0
) sin
x

c K e x x dx
π
= +
∫
cos
0 0
: K sin sin
x
HD e x dx x x dx
π π
= +
∫ ∫
1
K e
e
π
⇒ = − +
1. Phương pháp đổi biến số:
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM ,
TÍCH PHÂN:
2. Phương pháp tính nguyên
hàm, tích phân từng phần:
uv - vduudv =
∫ ∫
( ).sin
( ).cos
( ).
x
P x xdx
P x xdx

P x e dx
∫
∫
∫
( )
sin ;cos ;
x
u P x
dv xdx xdx e dx
=

⇒

=

( ).lnP x xdx
∫
ln
( )
u x
dv P x dx
=

⇒

=

CỦNG CỐ
( ) ( ) + Cf u du F u=
∫

( ( )) '( ) ( ( )) + Cf u x u x dx F u x⇒ =
∫
Chú ý :Khi tính tích
phân thì phải đổi cận:
( )
( )
b u b
x u
a u a
⇔
( ) ( )
( ) f t ' t
b
a
f x dx dt
β
α
ϕ ϕ
 
=
 
∫ ∫
( ) ( )
( )
[ ]
,
t ,
a b
a t b
ϕ α ϕ β

ϕ α β
= =
≤ ≤ ∀ ∈
ĐN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM :
AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính
2
1
(2 ) ln x x dx−
∫
2

1
ln
= − ⇒ = −



= ⇒ =


u x du dx
dv xdx v
x
a) Đặt
d) Đặt
c) Đặt
b) Đặt
2


1
ln
u x du dx
dv xdx v
x
= − ⇒ =



= ⇒ =


2
1
ln

(2 ) 2
2
u x du dx
x
x
dv x dx v x

= ⇒ =




= − ⇒ = −



1
ln

(2 ) 1
u x du dx
x
dv x dx v

= ⇒ =



= − ⇒ = −

AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính
2
1
(2 ) ln x x dx−
∫
2

1
ln
u x du dx
dv xdx v
x
= − ⇒ = −




= ⇒ =


a) Đặt
d) Đặt
c) Đặt
b) Đặt
2

1
ln
u x du dx
dv xdx v
x
= − ⇒ =



= ⇒ =


2
1
ln

(2 ) 2
2

u x du dx
x
x
dv x dx v x

= ⇒ =




= − ⇒ = −


1
ln

(2 ) 1
u x du dx
x
dv x dx v

= ⇒ =



= − ⇒ = −

Rất tiếc bạn đã sai
AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính

2
1
(2 ) ln x x dx−
∫
2

1
ln
u x du dx
dv xdx v
x
= − ⇒ = −



= ⇒ =


a) Đặt
d) Đặt
c) Đặt
b) Đặt
2

1
ln
u x du dx
dv xdx v
x
= − ⇒ =




= ⇒ =


2
1
ln

(2 ) 2
2
u x du dx
x
x
dv x dx v x

= ⇒ =




= − ⇒ = −


1
ln

(2 ) 1
u x du dx

x
dv x dx v

= ⇒ =



= − ⇒ = −

Rất tiếc bạn đã sai
AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính
2
1
(2 ) ln x x dx−
∫
2

1
ln
u x du dx
dv xdx v
x
= − ⇒ = −



= ⇒ =



a) Đặt
d) Đặt
c) Đặt
b) Đặt
2

1
ln
u x du dx
dv xdx v
x
= − ⇒ =



= ⇒ =


2
1
ln

(2 ) 2
2
u x du dx
x
x
dv x dx v x

= ⇒ =





= − ⇒ = −


1
ln

(2 ) 1
u x du dx
x
dv x dx v

= ⇒ =



= − ⇒ = −

Rất tiếc bạn đã sai
AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính
2
1
(2 ) ln x x dx−
∫
2


1
ln
u x du dx
dv xdx v
x
= − ⇒ = −



= ⇒ =


a) Đặt
d) Đặt
c) Đặt
b) Đặt
2

1
ln
u x du dx
dv xdx v
x
= − ⇒ =



= ⇒ =



2
1
ln

(2 ) 2
2
u x du dx
x
x
dv x dx v x

= ⇒ =




= − ⇒ = −


1
ln

(2 ) 1
u x du dx
x
dv x dx v

= ⇒ =




= − ⇒ = −

Đúng rồi, xin chúc mừng
AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính
2
2
0
cos 2 sin I x x dx
π
=
∫
1
2
0
) (u=sin )a I udu x=
∫
2
0
1
) cos2x(1+cos2x)dx
2
b I
π
=
∫
2
0
1

) (2cos2x - 1 + cos4x)dx
4
c I
π
=
∫
2
0
1
) (2cos2x - 1 - cos4x)dx
4
d I
π
=
∫
AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính
2
2
0
cos 2 sin x x dx I
π
=
∫
1
2
0
) (u=sin )a I udu x=
∫
2

0
1
) cos2x(1+cos2x)dx
2
b I
π
=
∫
2
0
1
) (2cos2x - 1 + cos4x)dx
4
c I
π
=
∫
2
0
1
) (2cos2x - 1 - cos4x)dx
4
d I
π
=
∫
Rất tiếc bạn đã sai
AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính
2

2
0
cos 2 sin x x dx I
π
=
∫
1
2
0
) (u=sin )a I udu x=
∫
2
0
1
) cos2x(1+cos2x)dx
2
b I
π
=
∫
2
0
1
) (2cos2x - 1 + cos4x)dx
4
c I
π
=
∫
2

0
1
) (2cos2x - 1 - cos4x)dx
4
d I
π
=
∫
Rất tiếc bạn đã sai
AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính
2
2
0
cos 2 sin x x dx I
π
=
∫
1
2
0
) (u=sin )a I udu x=
∫
2
0
1
) cos2x(1+cos2x)dx
2
b I
π

=
∫
2
0
1
) (2cos2x - 1 + cos4x)dx
4
c I
π
=
∫
2
0
1
) (2cos2x - 1 - cos4x)dx
4
d I
π
=
∫
Rất tiếc bạn đã sai
AI NHANH HƠN?
Chọn cách biến đổi đúng khi tính
2
2
0
cos 2 sin x x dx I
π
=
∫

1
2
0
) (u=sin )a I udu x=
∫
2
0
1
) cos2x(1+cos2x)dx
2
b I
π
=
∫
2
0
1
) (2cos2x - 1 + cos4x)dx
4
c I
π
=
∫
2
0
1
) (2cos2x - 1 - cos4x)dx
4
d I
π

=
∫
Đúng rồi, xin chúc mừng