


=
≥
ax
x
2
0
CHỦ ĐỀ 1
CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI
VẤN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
I.TÓM TẮT KIẾN THỨC
a. Căn bậc hai của một số a > 0 là một x sao cho x
2
= a
VD : CBH của 4 là 2 và -2
b. Căn bậc hai số học của một số a không âm là một x, ký hiệu là
a
sao
cho
Vậy ta có : x =
a
⇔
VD :
5;24 == 25
Như vậy, khi biết căn bậc số học của một số, ta dể dàng xác đònh được các căn bậc hai của nó.
Chẳng hạn, căn bậc hai số học của 25 là 5 suy ra 25 có hai căn bậc hai là 5 và -5
• Chú ý : Với hai số a và b không âm, ta có : a < b ⇔
ba <
II.LUYỆN TẬP

Bài 1: Điền vào chổ trống :
12
9
là của họcsố hai bậcCăn f) 26 là của hai bậcCăn e)
0,04 là của hai bậcCăn d)
2
1
là của họcsố hai bậcCăn
haicăn có không Số c)
4
3
là của họcsố hai bậcCăn
±
±
)
)
b
a
Bài 2: Xác định tính đúng (Đ), sai (S) của các khẳng đònh sau :
Khẳng đònh Đ S
a) Mọi số dương đều có hai giá trò căn bậc hai đối nhau
b) Mọi số thực a đều có một giá trò căn bậc hai số học
c) Với mọi a ∈ R,
aa =
2
d) Với mọi a ∈ R,
0≥− a
e)
5,25,6 <
f)

7,045,0 <
g)
1,001,0 <
h) Nếu 0 < a < 1 thì
aa <
i) Nếu a > 1 thì
aa >
Bài 3:
a. Tìm căn bậc số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng :
121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400; 0,01; 0,04; 0,49; 0,64; 0,25; 0,81.
b. So sánh :
a) 2 và
3
11) −+ 3 và 1 e) 2 và 2 d) 47 và 7 c) 41 và 6 b
c. Tìm x không âm, biết :
422053) <<−==== 2x f) x e) x d) x c) x b) x a
1



=
≥
ax
x
2
0
VẤN ĐỀ 2. CĂN THỨC BẬC HAI
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
a) Cho A là một biểu thức đại số, khi đó
A

được gọi là căn thức bậc hai.
b)
A
xác đònh (có nghóa) ⇔ A ≥ 0
c)
AA =
2
II. LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:
2
4 1 x
) 2 7 b) -3x 4 c) -2x 3 d) e) f) g) -5x h) 2x i) 1 x
3 -1 x 3
a x
x
+ + + +
+ +

Bài 2: Xác đònh tính Đúng (Đ), sai (S) :
Khẳng đònh Đ S
a)
( )
3131
2
−=−
b)
( )
1221
2
−=−

c)
11 ±=
d)
xx −=−
2
)(
e)
-2 a với ≥+=+ 2)2(
2
aa
f)
20)2(
2
−=⇔=+ aa
g)
x mọi với axxa =
2
h)
0 x mọi với ≤=− xx 33
2
i)
2- a với <+=+ 2)2(
2
aa
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
) 2 3 b) 3- 11 c) 4 2 d) 3- 3 e) 4- 17 f) 2 3 2 3a − + + −
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau :
2 2 4 2 6 3

)2 5 (a 0) b) 36a 3 (a 0) c) 81a 5 d) 7 9a 3 (a 0)a a a a a a− < + ≥ + − <
Bài 5: Phân tích thành nhân tử :
a) x
2
– 3 b) x
2
– 6 c)
332
2
++ xx
d) x
2
- 2
55 +x
Bài 6: Xác đònh tính Đúng (Đ), sai (S) :
Khẳng đònh Đ S
a) Mọi số dương đều có hai giá trò căn bậc hai đối nhau
b) Mọi số thực a đều có một giá trò căn bậc hai số học
c) Với mọi a ∈ R,
aa =
2
d) Với mọi a ∈ R,
0≥− a
e)
5,25,6 <
f)
7,045,0 <
g)
1,001,0 <
h) Nếu 0 < a < 1 thì

aa <
i) Nếu a > 1 thì
aa >

2
VẤN ĐỀ 3. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CĂN THỨC
Bài 1: Tính :
) 10. 40 b) 5. 45 c) 52. 13 d) 2. 162 e) 7. 63 ) 0,4. 6,4
g) 2,5. 30. 48 h) 2,7. 5. 1,5
a f
Bài 2: Tính :
4 2 2 4
) 45.80 b) 75.48 c) 90.6,4 d) 2,5.14,4 ) 0,09.64 f) 2 .( 7) g) 12,1.360 h) 2 .3a e
−
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau :
0 a với a)-(3 h) 0 a với 5a g)
0 a với 13a f) 0 a với
3
2a
e)
b a với
b-a
1
d) 1 a với a)-27.48(1 c)
3 a với a b) 0a với
2
2
4
>−>−
>>

>−>
≥−<
2
24
22
180.2,0345.
52
8
3
.
)(
)3(36,0)
aaa
a
a
baa
aaa
Bài 4: Chứng minh :
( ) ( )
( )
nhau của đảo nghòch số hailà 2006( và 2006
22 b) 17-9
)20052005)
962221238179.)
2
+−
=−++−=+
c
a
Bài 5: Rút gọn rồi tính

2 2 2 2
) 4(1 6x 9x ) tai x - 2 ) 9 ( 4 4 ) tai a -2; b - 3a b a b b+ + = + − = =
Bài 6: Tính :
0,5
12,5
d)
23
2300
c)
144
25
b)
169
9
)a
Bài 7:Rút gọn các biểu thức sau :
( )
( )
3
3 2 4 6
3 6 6
2
4 2
4
2
63
48x 45mn 16a x-2 x 1
) (y 0) b) (x 0) c) (m 0; n 0) d) (a 0; b 0) e) (x 0)
7 20 2 1
3 128

2 1
x-1 (x-2) 1
f) (x,y 1;y 0) g) (x 3)
(3 ) 3
y 1
1
y
b
a
y m x x
x a b
y y
x
x x
x
+
> > > > < ≠ >
+ +
− +
−
≠ > + <
− −
−
−
3 2
2
h) 4x- 8 (x -2)
2
x x
x

+
+ >
+
Bài 8: Xác đònh tính đúng (Đ), sai (S) của các phép tính sau :
Khẳng đònh Đ S
a)
12
15.7
7
21
:
2
35
24
=
b)
7.25
01,0.48
63.100
=
c)
xyy
xy
yx
=
4
5,0
42
d)
0) z 0; x (với <>=

224
3
2
10.01,0
10
y
x
zy
x
z
3
VẤN ĐỀ 4. CÁC PHÉP BIỂN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI
oOo
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
0) (B
≥=
BABA .
2
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
0) B 0;A ( BA
0) B 0;(A
≥≤−=
≥≥=
BA
BABA
.

2
2

3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

0) AB ; 0(B
≥≠=
B
AB
B
A
4. Trục căn thức ở mẫu
a. Trường hợp mẫu có dạng một tích
0) C 0;(B
>≠=
CB
CA
CB
A
.
.
b. Trường hợp có dạng một tổng hoặc một hiệu
CB
CBA
CB
A
−
=
±
)( 
II. LUYỆN TẬP
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :
2

7.63.a 288000,05- 20000 108 ;;;;54
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
0 y và 0 x với
x
2
x
3
2
- 25- >>;;;53 xy
3. So sánh :
2
1
6 và
2
1
d)
5
1
và
3
1
c) 53 và 7 b) 12 và 33 615051)a
4. Khử mẫu của các biểu thức sau :
b
a
a
b
36
9
;;;;

600
1
3
b
a
;
b
a
ab
50
3

540
11

5. Trục căn ở mẫu của các biểu thức sau :
5 5 1 2 2 2 3 2 2 3
; ; ; ; ; ;
10 2 5 3 20 5 2 3 1 3 1 2 3
2 3 1
; ;
6 5 10 7 x y
+ +
+ − −
− + −
6. Rút gọn các biểu thức sau :
( ) ( )
(
)
( )

3
1
15
11
33
75248
4
3
3
4
12
3
4
)
32:6.)2(35327523818)
80
4
1
5349
49
3
4520
2
3
45)
4
+−+−+
−−−−++−
+−−+−
2

1
h)
48 f) 2 e)
2
1

7
5
c)
49
12
b) 180
g
d
a
4
7. Rút gọn các biểu thức sau :
8. Cho biểu thức :
x
x
x
x
x
x
P
−
+
+
+
+

−
+
=
4
52
2
2
2
1
a) Rút gọn P nếu x ≥ 0; x ≠ 4
b) Tìm x để P = 2
9. Cho biểu thức :








−
+
−
−
+









−
−
=
1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
Q
a) Rút gọn Q với a > 0; a ≠ 4 và a ≠ 1
b) Tìm giá trò của a để Q dương.
10. Cho biểu thức :
222222
:1
baa
b
ba
a
ba

a
R
−−








−
+−
−
=
với a > b > 0
a) Rút gọn R
b) Xácđònh giá trò của R khi a = 3b
11. Cho biểu thức :
1 x và 0 x với ≠≥








−
+

+








++
−
−
+
= x
x
x
xx
x
x
x
A
1
1
1
1
12
3
3
a) Rút gọn A
b) Tìm x khi A = 3

12. Cho biểu thức
9 x và 0 x với ≠>








−
−
+








−
+
+
+
=
xxx
x
x
x

x
x
C
1
3
13
:
9
9
3
a) Rút gọn C
b) Tìm x sao cho C < -1
13. Chứng minh các đẳng thức sau :
2 3 6 216 1 14 7 15 5 1
) . 1,5 ) : 2
3
8 6 1 2 1 3 7 5
1 a a
) : (a, b>0 và a b) d) 1 1 1 ( a 0 và a 1)
a 1 1
a 2 2
e) )
2 2 2 2
a b
a b b a a a
c a b a
ab a b a
b a b b b a a
f
b a

a b a b a b
   
− − −
− = − + = −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− − −
   
  
+ + −
= − ≠ + − = − ≥ ≠
 ÷ ÷
 ÷ ÷
− + −
  
+ −
− − =
−
− + −
2
1
b b a b
ab
a b
a b
  
+ +
− =
 ÷ ÷
 ÷ ÷

−
+
  
14.Cho biểu thức :
( )
ab
abba
ba
abba
A
+
−
−
−+
=
4
2
a) Tìm điều kiện để A có nghóa
b) Khi A có nghóa, chứng minh rằng giá trò của A không phụ thuộc vào a
5
0) b0; b0; a (
a
aa
c)
0) x 0; (m
x2x-1
m
b)0) b0; (a
b
a


2
≠>>
−
−
+
+
≠>
+−
+
>>++
1
:
1
81
484
.)
2
b
bb
mxmxm
a
b
b
a
aba