TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN - TIN














Bài dịch

Lớp Toán VB2-K2 (nhóm 1)

ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 1 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

HUỲNH VĂN AN (dịch từ trang 3 – 12)


MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU v

1. SỐ NGUYÊN 1
1.1. Ƣớc Số ……………………………………………………………………… 1
1.2. Số Nguyên Tố ………………………………………………………………. 2
1.3. Đồng Dƣ Thức ……………………………………………………………… 3
1.4. Số Nguyên Môđun
n
……………………………………………………… 5
Bài Tập Ôn Tập …………………………………………………………………. 6

2. HÀM SỐ 7
2.1. Hàm Số ……………………………………………………………………… 7
2.2. Quan Hệ Tƣơng Đƣơng …………………………………………………… 8
2.3. Hoán Vị .…………………………………………………………………… 10
Bài Tập Ôn Tập ………………………………………………………………… 12


3. NHÓM 13
3.1. Định Nghĩa Nhóm …………………………………………………………… 13
3.2. Nhóm Con …………………………………………………………………… 15
3.3. Xây Dựng Các Ví Dụ ……………………………………………………… 17
3.4. Đẳng Cấu ………………………………………………………………… 18
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 2 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

3.5. Nhóm Xyclic ……………………………………………………………… 20
3.6. Nhóm Hoán Vị ……………………………………………………………… 21
3.7. Đồng Cấu …………………………………………………………………… 22
3.8. Lớp, Nhóm Con Chuẩn Tắc Và Nhóm Thƣơng …………………………… 24
Bài Tập Ôn Tập …………………………………………………………………. 26
4. ĐA THỨC 27
Bài Tập Ôn Tập 27

5. VÀNH GIAO HOÁN 29
Bài Tập Ôn Tập 29


6. TRƢỜNG 33
Bài Tập Ôn Tập …………………………………………………………………. 33

LỜI GIẢI 33

1. Số Nguyên 35
2. Hàm Số 49

3. Nhóm 57
4. Đa Thức 87
5. Vành Giao Hoán 93
6. Trƣờng 101
TÀI LIỆU THAM KHẢO 104
BẢNG THUẬT NGỮ 105
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 3 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam


LỜI NÓI ĐẦU

Lần đầu tiên giảng dạy khóa học đại số trừu tƣợng năm 1968, tôi đã sử dụng quyển sách
Herstein’s Topics in Algebra làm tài liệu. Thật khó để phát triển nội dung của quyển sách đó;
môn học trở nên rộng lớn hơn với phần ứng dụng trong tính toán và các lĩnh vực khác, tuy nhiên
các chủ đề của sách bao hàm hạt nhân của bất kỳ khóa học đại số trừu tƣợng nào. Tiếc rằng, môn
học đã không trở nên dễ dàng hơn, vì vậy sinh viên tiếp cận đại số trừu tƣợng phải cố gắng học
nhiều khái niệm mới, hơn nữa họ còn phải học cách trình bày phần chứng minh của mình nhƣ
thế nào.
Quyển sách “hƣớng dẫn học” sẽ hỗ trợ những sinh viên mới bắt đầu học đại số trừu tƣợng. Thay
vì chỉ mở rộng nội dung trong sách bài học, tôi cố gắng giảng dạy thông qua các ví dụ và thông
qua cách trình bày rõ ràng lời giải của bài tập. Tôi cố gắng sử dụng bài tập để làm bài học, và
trong nhiều trƣờng hợp sẽ có những lời nhận xét giúp ngƣời đọc thấy đƣợc điều gì thật sự xảy ra.
Tất nhiên, quyển sách này không thay thế cho một giáo viên giỏi hay những lần thảo luận nhóm
giữa các sinh viên để giải quyết một số vấn đề khó.
Cuối cùng, tôi chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của Đại học Northern Illinois trong thời gian tôi
viết sách này. Với tƣ cách là “Presidential Teaching Professor”, tôi đƣợc cho nghỉ phép vào mùa
xuân năm 2000 để thực hiện các dự án liên quan đến giảng dạy.


DeKalb, Illinois
Tháng 10 – 2000
John A. Beachy









ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 4 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam


Chƣơng 1

SỐ NGUYÊN

Chƣơng 1 giới thiệu những khái niệm cơ bản trong lý thuyết số và đây là điều kiện tiên quyết để
nghiên cứu đại số trừu tƣợng. Nhiều khái niệm đƣợc giới thiệu có thể trừu tƣợng hóa cho các
tình huống tổng quát hơn. Chẳng hạn, trong Chƣơng 3 bạn sẽ đƣợc giới thiệu khái niệm nhóm.
Một trong những lớp rộng lớn đầu tiên của nhóm mà bạn sẽ gặp phụ thuộc vào định nghĩa của
một nhóm xyclic. Nhóm xyclic có đƣợc bằng cách xem xét tất cả lũy thừa của một phần tử cụ
thể. Các ví dụ trong Mục 1.4 đƣợc xây dựng thông qua lớp đồng dƣ của số nguyên sẽ nói cho
bạn những điều cần biết về nhóm xyclic. Thực tế, mặt dù Chƣơng 1 khá đơn giản nhƣng nó là

một bƣớc quan trọng để tiếp cận lĩnh vực đại số trừu tƣờng.

1.1. Ƣớc số

Trƣớc khi giải quyết toàn bộ bài tập trong mục 1.1, bạn phải chắc chắn bạn quen thuộc với tất cả
các định nghĩa và định lý trong mục này. Trong nhiều trƣờng hợp, phần chứng minh định lý có
nhiều kỹ thuật quan trọng bạn cần phải sử dụng để giải các bài tập trong sách. Dƣới đây là một
số kỹ thuật hữu ích bạn nên dùng.
- Khi gặp các bài tập liên quan đến chia hết, bạn sẽ thấy hữu ích khi xem lại Định nghĩa 1.1.1.
Nếu bạn khai triển biểu thức
ba
bằng cách viết “
a bq
với số
q
nào đó thuộc ” thì bạn sẽ
có đƣợc một phƣơng trình. Phƣơng trình này liên quan đến số nguyên thông thƣờng nên bạn có
thể sử dụng tất cả kiến thức đã biết (đại số ở bậc trung học) để giải.
- Để chứng tỏ
ba
, cố gắng viết ra một biểu thức của
a
, sau đó khai triển, rút gọn, hay thay thế
cho đến khi bạn đƣợc
a
bằng tích của một thừa số nào đó với
b
.
- Một kỹ thuật khác để chứng minh
ba

là sử dụng thuật toán chia (xem Định lý 1.1.3) để viết
a bq r
, với
0 rb
. Khi đó để chứng minh
ba
bạn chỉ cần tìm cách chứng minh
0r 
.
- Định lý 1.1.6 phát biểu rằng với hai số nguyên
a
và
b
khác không bất kỳ có một ƢCLN và
ƢCLN đó đƣợc biểu diễn dƣới dạng tổ hợp tuyến tính dƣơng nhỏ nhất của
a
và
b
. Một số
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 5 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

nguyên là một tổ hợp tuyến tính của
a
và
b
nếu và chỉ nếu nó là bội số của ƢCLN đó. Điều này
thật sự hữu ích khi giải quyết các câu hỏi liên quan đến ƢCLN.

BÀI TẬP: §1.1
22. Tìm ƢCLN
 
435,377
và biểu diễn nó dƣới dạng một tổ hợp tuyến tính của
435
và
377

23. Tìm ƢCLN
 
3553,527
và biểu diễn nó dƣới dạng một tổ hợp tuyến tính của
3553
và
527
.
24. Số nguyên nào từ
0,1, ,10
có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng
12 20mn
, với
m
,
n
là
các số nguyên?
25. Nếu
n
là một số nguyên dƣơng, hãy tìm các giá trị có thể của ƢCLN

 
, 10nn
.
26. Chứng minh rằng: Nếu
a
và
b
là các số nguyên dƣơng khác không sao cho
ba
và
ab

thì
ba
.
27. Chứng minh rằng: Nếu
m
và
n
là các số nguyên lẻ thì
22
mn
chia hết cho 8.
28. Chứng minh rằng: Nếu
n
là một số nguyên và
1n 
thì
ƢCLN
 

2
1, 1 1n n n   
hoặc ƢCLN
 
2
1, 1 3n n n   
.
29. Chứng minh rằng: Nếu
n
là một số nguyên dƣơng thì

0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 1
n

   
   

   
   
   
nếu và chỉ nếu
4 n
.
30. Chứng minh bằng quy nạp: mỗi số trong dãy số
12,102,1002,10002,
đều chia hết
cho
6

.

1.2 Số nguyên tố

Mệnh đề 1.2.2 phát biểu rằng hai số nguyên
a
và
b
là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu tồn
tại hai số nguyên
m
và
n
sao cho
1ma nb
. Đây là một trong những công cụ hữu ích nhất
khi làm việc với số nguyên tố cùng nhau. Lƣu ý rằng, mệnh đề trên chỉ đúng khi
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 6 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

ƢCLN
 
,1ab 
. Tổng quát hơn, nếu bạn có một tổ hợp tuyến tính
ma nb d
thì điều đó chỉ
cho biết rằng ƢCLN
 

,ab
là một ƣớc của
d
(xem lại Định lý 1.1.6).
Bởi vì định lý cơ bản của số học (dựa vào dạng phân tích nguyên tố) đƣợc chứng minh trong
mục này nên bây giờ bạn có một số kỹ thuật quen thuộc hơn để sử dụng.

BÀI TẬP: §1.2
23. (a) Sử dụng thuật toán Ơclít để tìm ƢCLN
 
1776,1492
.
(b) Sử dụng dạng phân tích nguyên tố của
1492
và
1776
để tìm ƢCLN
 
1776,1492
.
24. (a) Sử dụng thuật toán Ơclít để tìm ƢCLN
 
1274,1089
.
(b) Sử dụng dạng phân tích hóa nguyên tố của
1492
và
1776
để tìm
ƢCLN

 
1776,1492
.
25. Đƣa ra sơ đồ dàn tất cả các ƣớc của 250. Làm tƣơng tự với 484.
26. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phƣơng trình:
2 3 25xy y x  
.
27. Với
a
,
b
là các số nguyên dƣơng, chứng minh rằng: ƢCLN
 
,1ab 
nếu và chỉ nếu
ƢCLN
 
22
,1ab 
.
28. Chứng minh rằng:
1n 
và
21n
là nguyên tố cùng nhau, với mọi số nguyên
1n 
. Đều
đó có đúng với
21n
và

31n
không?
29. Cho
m
và
n
là các số nguyên dƣơng. Chứng minh rằng:
ƢCLN
 
2 1,2 1 1
mn
  
nếu và chỉ nếu ƢCLN
 
,1mn 
.
30. Chứng minh rằng:
 
22
2 4 3,2 6 4 1n n n n    
với mọi số nguyên
1n 
.

1.3 Đồng dƣ thức

ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 7 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam


Trong mục này, điều quan trọng hãy nhớ rằng mặc dù làm việc đồng dƣ thức gần giống với
phƣơng trình, tuy nhiên giữa chúng không hoàn toàn giống nhau.
Những điểm nào giống nhau? Bạn có thể cộng, trừ hay nhân hai vế của đồng dƣ thức với cùng
một số nguyên. Bạn có thể sử dụng phƣơng pháp thế, và bạn có thể sử dụng sử dụng đều hiển
nhiên sau: nếu
 
moda b n
và
 
modb c n
thì
 
moda c n
. (Xem lại Mệnh đề 1.3.3
và lời nhận xét ở trƣớc và sau phần chứng minh của mệnh đề).
Những điểm nào khác nhau? Đối với một phƣơng trình thông thƣờng, bạn có thể chia hai vế
cho một số khác không. Đối với một đồng dƣ thức môđun
n
, bạn chỉ có thể chia hai vế cho một
số nguyên khi số nguyên đó và
n
là nguyên tố cùng nhau. Điều này thƣờng đƣợc diễn đạt là nếu
ƢCLN
 
,1an 
và
 
modac ad n
thì

 
modc d n
. Vì vậy phải cẩn thận!
Một trong những kỹ thuật quan trọng phải hiểu rõ là làm thế nào để chuyển đổi giữa đồng dƣ
thức và phƣơng trình thông thƣờng. Điều cơ bản là mọi phƣơng trình liên quan đến số nguyên
đều có thể đƣợc chuyển thành đồng dƣ thức bằng cách quy về môđun
n
. Điều này thực hiện
đƣợc bởi vì nếu hai số nguyên bằng nhau thì hiển nhiên chúng đồng dƣ môđun
n
.
Thực hiện chuyển từ đồng dƣ thức sang phƣơng trình bạn phải cẩn thận hơn. Nếu hai số
nguyên đồng dƣ môđun
n
thì không có nghĩa là chúng bằng nhau, nhƣng chỉ bảm bảo rằng, khi
chia cho
n
thì phần dƣ của chúng bằng nhau. Nói cách khác, hai số nguyên đó có thể sai khác
một bội số của
n
.
Cách chuyển đổi đƣợc minh họa trong Ví dụ 1.3.5, với đồng dƣ thức

 
7 mod 8x 

đƣợc chuyển thành phƣơng trình

78xq
, với số

q
nào đó thuộc .
Lƣu ý rằng khi chuyển từ một đồng dƣ thức sang một phƣơng trình làm nó phức tạp hơn bởi vì ta
phải giới thiệu một biến khác. Trong ví dụ này, ta thực sự muốn có một đồng dƣ thức môđun
5

nên bƣớc tiếp theo là viết lại phƣơng trình sang dạng nhƣ sau:

 
7 8 mod5xq
.
Thực tế, chúng ta có thể rút gọn mỗi số hạng cho môđun
5
, vì vậy cuối cùng chúng ta đƣợc:

 
2 3 mod5xq
.
Bạn nên đọc cẩn thận phần chứng minh Định lý 1.3.5. và Định lý 1.3.6. Phần chứng minh các
định lý đó thực sự cho bạn thấy đƣợc nhiều kỹ thuật cần thiết để giải tất cả các đồng dƣ thức
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 8 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

tuyến tính dạng:
 
modax b n
và hệ phƣơng trình tuyến tính dạng:
 

modx a n
và
 
modx b m
, với môđun
n
và môđun
m
là nguyên tố cùng nhau. Nhiều định lý trong sách
đƣợc xem nhƣ “phần tóm lƣợc”, và bạn không nên bỏ qua phần chứng minh của chúng, bởi vì
bạn sẽ không nắm đƣợc các thuật toán hoặc kỹ thuật tính toán quan trọng.
BÀI TẬP: §1.3
26. Giải đồng dƣ thức:
 
42 12 mod 90x 
.
27. (a) Tìm tất cả các nghiệm của đồng dƣ thức:
 
55 35 mod75x 
.
(b) Tìm tất cả các nghiệm của đồng dƣ thức:
 
55 36 mod75x 
.
28. (a) Tìm một nghiệm nguyên nào đó của phƣơng trình:
110 75 45xy
.
(b) Chứng minh rằng: Nếu
xm
và

yn
là một nghiệm nguyên của phƣơng trình
trong câu (a) thì
15x m q
và
22y n q
cũng là một nghiệm, với
q
là số nguyên.
29. Giải hệ đồng dƣ thức:
   
2 mod 9 4 mod 10xx
.
30. Giải hệ đồng dƣ thức:
   
5 14 mod 17 3 2 mod 13xx
.
31. Giải hệ đồng dƣ thức:
   
5 mod 25 23 mod 32xx
.
32. Chỉ ra các số nguyên
a
,
b
,
m
,
n
để dẫn tới một trƣờng hợp hệ đồng dƣ thức:

   
mod modx a m x b n
vô nghiệm.
33. (a) Tính chữ số cuối cùng trong khai triển thập phân của
100
4
.
(b)
100
4
có chia hết cho
3
không?
34. Tìm tất cả các số nguyên
n
thỏa mãn
 
2
13 4 1n 
.
35. Chứng minh rằng:
1
10 4.10 4
nn

chia hết cho
9
, với mọi nguyên dƣơng
n
.

36. Chứng minh rằng: Lũy thừa 4 của một số nguyên là một số có chữ số hàng đơn vị chỉ có
thể là
0
,
1
,
5
hoặc
6
.

1.4. Số nguyên Môđun
n

ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 9 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

Các khái niệm trong mục này cho phép ta làm việc với phƣơng trình thay vì đồng dƣ thức nếu ta
nghĩ về các lớp tƣơng đƣơng. Chính xác hơn, mọi đồng dƣ thức tuyến tính có dạng

 
modax b n

đều có thể đƣợc xem nhƣ một phƣơng trình trong
n
và đƣợc viết:

     

n n n
a x b
.
Điều này cho bạn một cách nữa để xem xét các vấn đề liên quan đến đồng dƣ thức. Đôi khi,
nó giúp có nhiều phƣơng pháp tiếp cận khác nhau để suy nghĩ về một bài toán, và điều quan
trọng là biết tất cả các phƣơng pháp để bạn dễ dàng chuyển đổi qua lại giữa chúng và chọn
phƣơng pháp nào là thuận tiện nhất. Ví dụ, khi chia cho
a
trong đồng dƣ thức
 
modax b n

có thể làm bạn lo lắng nếu ƢCLN
 
,1an 
. Thay vì nghĩ về phép chia, có lẽ tốt hơn khi bạn
nhân hai vế của phƣơng trình
     
n n n
a x b
với
 
1
n
a

, nếu
 
1
n

a

tồn tại.
Bạn nên dành thời gian để tìm hiểu về tập hợp
n
và
n

. Các tập hợp này sẽ cung cấp một
nguồn quan trọng các ví dụ trong Chƣơng 3 khi bạn bắt đầu nghiên cứu về nhóm.
Bài tập trong Mục 1.4 có nhiều định nghĩa liên quan đến các phần tử của
n
. Nếu
 
,1an 

thì số nguyên dƣơng nhỏ nhất
k
thỏa
 
1 mod
k
an
đƣợc gọi là cấp nhân của
 
a
trong
n

.

Tập hợp
n

đƣợc gọi là xyclic nếu có một phần tử cấp nhân
 
n
. Vì
 
n
n


, điều này
tƣơng đƣơng khi nói rằng
n

là xyclic nếu có một phần tử
 
a
thỏa mãn mỗi phần tử của
n


bằng với lũy thừa nào đó của
 
a
. Cuối cùng, phần tử
 
n
a 

đƣợc gọi là lũy đẳng nếu
   
2
aa
, và lũy linh nếu tồn tại
k
sao cho
   
0
k
a 
.

BÀI TẬP: §1.4
30. Tìm phần tử nghịch đảo của phép nhân của mỗi phần tử khác không trong
7
.
31. Tìm phần tử nghịch đảo của phép nhân của mỗi phần tử khác không trong
13
.
32. Tìm
 
1
501
91

, nếu có (trong
501

).

33. Tìm
 
1
4061
3379

, nếu có (trong
4061

).
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 10 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

34. Trong
20
: tìm tất cả các phần tử khả nghịch (liệt kê các phần tử nghịch đảo của phép
nhân của mỗi phần tử); tìm tất cả các phần tử lũy đẳng; tìm tất cả các phần tử lũy linh.
35. Trong
24
: tìm tất cả các phần tử khả nghịch (liệt kê các phần tử nghịch đảo của phép
nhân của mỗi phần tử); tìm tất cả các phần tử lũy đẳng; tìm tất cả các phần tử lũy linh.
36. Chứng minh rằng:
17

là xyclic.
37. Chứng minh rằng:
35


không là xyclic nhƣng mỗi phần tử của nó đều có dạng
   
35 35
84
ij

, với
i
,
j
là các số nguyên dƣơng nào đó.
38. Giải phƣơng trình:
       
2
11 11 11 11
60xx  
.
39. Cho
n
là một số nguyên dƣơng, và
a
với ƢCLN
 
,1an 
. Chứng minh rằng: Nếu
k
là số nguyên dƣơng nhỏ nhất thỏa
 
1 mod
k

an
thì
 
kn
.
40. Chứng minh rằng:
 
n
a
là một phần tử lũy tinh của
n
nếu và chỉ nếu mỗi ƣớc nguyên tố
của
n
cũng là ƣớc của
a
.

Bài tập Ôn tập

1. Tìm ƢCLN
 
7605,5733
, và biểu diễn nó dƣới dạng một tổ hợp tuyến tính của
7605
và
5733
.
2. Với
13

22
i   
, chứng minh rằng:
1
n

nếu và chỉ nếu
3 n
, với
n
nguyên.
3. Giải đồng dƣ thức:
 
24 168 mod 200x 
.
4. Giải hệ đồng dƣ thức:
   
2 9 mod15 8 mod 11xx
.
5. Liệt kê các phần tử của
15

. Với mỗi phần tử, tìm phần tử nghịch đảo nghịch đảo và cấp
nhân của nó.
6. Chứng minh rằng: Nếu
n
là số nguyên lẻ và
1n 
thì
   

2nn  
.
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Nguyễn Văn An Trang 11 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam


ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 12 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

TRẦN NINH GIA BẢO (dịch từ trang 13 – 22)
CHƢƠNG 2:
HÀM
Mục tiêu đầu tiên của chƣơng này là cung cấp một số đánh giá các hàm. Trong mục nghiên cứu
này là về cấu trúc đại số trong các chƣơng sau, Hàm này sẽ cung cấp cách thức để so sánh hai
cấu trúc khác nhau. Trong phần này, các hàm song ánh tƣơng ứng sẽ đặc biệt quan trọng.
Mục tiêu thứ hai của chƣơng này là để bắt đầu nghiên cứu các nhóm hoán vị, trong đó cung cấp
ví dụ quan trọng về lớp. Khi bạn bắt đầu nghiên cứu các nhóm trong chƣơng 3, bạn sẽ có thể áp
dụng vào kiến thức của bạn về các nhóm hoán vị, cũng nhƣ trên kiến thức của bạn của các nhóm
n
Z
và
:
n
Z

2.1 Hàm:

Bên cạnh đọc mục 2.1, nó có thể giúp đỡ để có đƣợc ra khỏi sách giáo khoa tính toán của bạn và
xem xét các hàm tổng hợp, hàm song ánh, và hàm nghịch đảo.
Xét các hàm:
:
:
f R R
g R R




xác định bởi
 
,
x
f x e x R  

Và
 
ln ,g y y y R

  

Đây là một trong những ví dụ quan trọng nhất của một cặp hàm nghịch đảo.
Định nghĩa 2.1.1:
Định nghĩa về hàm, chứ không phải là tuyên bố chính thức về các cặp. (Hãy suy nghĩ về điều này
nhƣ một định nghĩa đƣợc đƣa ra trong điều khoản của "đồ thị" của hàm).
Về thực sự sử dụng định nghĩa này, nội dung gần nhƣ ngay lập tức
quay ngƣợc lại với những gì có thể là một định nghĩa quen thuộc hơn.
Một hàm

:f S T

Là một "quy tắc" mà chỉ định cho mỗi phần tử của S là một yếu tố duy nhất của T.

Một trong những ý tƣởng cơ bản nhất của đại số giao hoán là các cấu trúc đại số đƣợc coi là cơ
bản giống nhau nếu hiệu số duy nhất giữa chúng là cách thức các phần tử đã đƣợc đặt tên.
Để thực hiện chính xác này, chúng tôi sẽ nói rằng cấu trúc là nhƣ nhau nếu chúng ta có thể thiết
lập một hàm khả nghịch (nghịch đảo) từ một chỗ khác để giữ gìn cấu trúc đại số cần thiết.
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 13 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

Mà làm cho nó đặc biệt quan trọng để hiểu đƣợc khái niệm về một hàm nghịch đảo, nhƣ đã giới
thiệu trong phần này.


Vấn đề giải quyết: § 2.1

20. Các "vạch thử đứng" từ giải tích nói rằng một đƣờng cong trong
xy
– mặt phẳng là đồ thị của
một hàm số của x khi và chỉ khi không có đƣờng thẳng đứng cắt đƣờng cong nhiều hơn một lần.
Giải thích tại sao điều này đồng ý với định nghĩa 2.1.1.

21. Các "vạch thử ngang" từ giải tích nói rằng một hàm song ánh khi và chỉ khi không có đƣờng
ngang giao cắt đồ thị của nó nhiều hơn một lần. Giải thích tại sao điều này đồng ý với định nghĩa
2.1.4.
nhiều hơn một.


22. Trong tính toán đồ thị của một hàm nghịch đảo thu đƣợc bằng sự thể hiện
đồ thị của
f
về đƣờng thẳng y = x. Giải thích tại sao điều này nhất trí với định nghĩa 2.1.7.

23. Cho
A
là một ma trận
*nn
nguyên trong R.
Định nghĩa một biến đổi tuyến tính
:
nn
L R R
xác định bởi
 
,L x Ax x R  

(a) Chứng minh rằng L là một hàm nghịch đảo khi và chỉ khi det (A) = 0.
(b) Chứng minh rằng nếu L có thể là hàm song ánh hoặc hàm toàn ánh, sau đó nó là khả nghịch.

24. Cho A là một ma trận
*nn
nguyên trong R, và giả sử rằng
mn
.
Xác định biến đổi tuyến tính
:,
nm
L R R

xác định bởi
 
,L x Ax x R  
.
Thấy rằng
L
là một hàm song ánh nếu
 
det 0
T
AA
, nơi mà
T
A
là ma trận chuyển vị của
A
.

25. Cho
A
là một ma trận
*nn
nguyên trong R.
Định nghĩa một biến đổi tuyến tính
:
nn
L R R
xác định bởi
 
,L x Ax x R  


Chứng minh rằng
L
là song ánh nếu và chỉ khi không có giá trị riêng của
A
là số không.
Lƣu ý: Một vector x đƣợc gọi là vector riêng của A nếu nó là khác không và tồn tại
một vô hƣớng (giá trị riêng)

nhƣ vậy
Ax x


.
26. Cho
a
là một phần tử không thay đổi của
17
X
Z
.
Xác định hàm:
17 17
:
XX
ZZ



Xác định bởi:

 
17
,
X
x ax x Z

  
vậy

có phải là song ánh không? Nếu có thể,
1


là hàm
nghịch đảo.
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 14 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

2.2 Quan hệ tƣơng đƣơng:
Trong một loạt các tình huống nó có ích để chia lập thành các tập con trong đó các phần tử có
một số tính chất chung. Bạn đã quen thuộc với một trong những ví dụ quan trọng: trong chƣơng
1 chúng tôi chia tập hợp các số nguyên thành các tập con, tùy thuộc vào số còn lại khi các số
nguyên đƣợc chia cho số nguyên
n
cố định.
Điều này dẫn đến các khái niệm về đồng dƣ môđun
n
, mà là một mô hình cho khái niệm chung

của chúng ta về một quan hệ tƣơng đƣơng.
Trong phần này bạn sẽ tìm thấy ba quan điểm khác nhau, nhìn vào ý tƣởng một trong những cách
phân chia một tập
S
từ ba điểm thuận lợi khác nhau.
Đầu tiên là định nghĩa của một quan hệ tƣơng đƣơng trên
S
, mà cho bạn biết khi hai yếu tố khác
nhau của
S
thuộc tập con tƣơng tự.
Sau đó, có khái niệm về một phân vùng của S, trong đó chú trọng vào việc mô tả các tập hợp
con. Cuối cùng, nó chỉ ra rằng tất cả các phân vùng (và quan hệ tƣơng đƣơng) thực sự xuất phát
từ một hàm
ST
, nơi mà chúng ta nói rằng
12
,xx
là tƣơng đƣơng nếu
   
12
f x f x
.
Lý do để xem xét một số quan điểm khác nhau xem nhƣ là một trong những tình huống một quan
điểm có thể hữu ích hơn chổ khác. Mục tiêu của bạn nên là tìm hiểu về mỗi quan điểm, để bạn có
thể dễ dàng thay đổi với nhau, đó là một trợ giúp lớn trong việc quyết định quan điểm thực hiện.
Vấn đề giải quyết: § 2.2

14. Trên tập
 

 
,ab
của tất cả cặp số nguyên dƣơng, xác định
   
1 1 2 2
,,x y x y

nếu
1 2 2 1
,x y x y
. Cho thấy đây là một định nghĩa mối quan hệ tƣơng đƣơng.
15. Trên tập
C
của số phức, xác định
12
zz
Nếu
12
zz
. Cho thấy ~ là một quan hệ tƣơng
đƣơng.
16. Cho
u
là một vector không đổi trong
3
R
, và cho rằng
u
có chiều dài 1. Đối với vectơ
v


và
w
, xác định
wv
nếu v • u = w • u, • là biểu thị dấu chấm sản phẩm tiêu chuẩn.
Cho thấy ~ là một quan hệ tƣơng đƣơng, và đƣa ra một mô tả hình học của các lớp tƣơng đƣơng
của ~.
17. Cho hàm
:f R R
xác định bởi
 
2
,f x x R 
, mô tả quan hệ tƣơng đƣơng trên
R

đƣợc xác định bởi
f
.
18. . Cho biến đổi tuyến tính
33
:L R R
xác định bởi:

L (x, y, z) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z)

cho tất cả
 
3

,,x y z R
, diễn tả cấu trúc hình học của các phân vùng của
3
R
đó
đƣợc xác định bởi
L
.

19. Xác định công thức f:
12 12
ZZ
xác định bởi
 
 
   
2
12
12 12 12
,f x x x Z  

ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 15 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

Cho thấy công thức trên định nghĩa một hàm
f
. Tìm thấy những hình ảnh của
f

và tập
12
/Zf
của lớp tƣơng đƣơng đƣợc xác định bởi
f
.

20. Trên tập của tất cả các
.nn
ma trận trên R, xác định
AB
nếu có tồn tại một ma trận
nghịch đảo
P
mà
1
PAP B


. Kiểm tra thấy ~ là một mối quan hệ tƣơng đƣơng.

2.3 Phép hoán vị
Phần này giới thiệu và nghiên cứu ví dụ quan trọng cuối cùng mà chúng ta cần làm trƣớc
khi chúng tôi bắt đầu nghiên cứu các nhóm trong Chƣơng 3. Bạn cần phải làm đủ các tính toán
do đó bạn sẽ cảm thấy hài lòng trong việc giải quyết với hoán vị.
Nếu bạn đang đọc một cuốn sách khác cùng với cuốn sách này, bạn cần phải lƣu ý rằng
một số tác giả đã mở rộng phép hoán vị bằng cách đọc từ trái sang phải, thay vì cách chúng ta đã
xác định các phép nhân. Cách nhìn của chúng tôi là hoán vị là một hàm, và chúng tôi viết các
hàm bên trái, cũng giống nhƣ trong tính toán, vì vậy chúng tôi phải làm các tính toán từ phải
sang trái.

Trong nội dung chúng tôi lƣu ý rằng nếu S là bất kỳ tập hợp nào, và ký hiệu Sym(S) là tập
hợp của tất cả các hoán vị trên S.
Sau đó chúng tôi có tính chất sau:
(i) Nếu
 
, Sym S


,thì
 
Sym S


;
(ii)
 
1
S
Sym S
;
(iii) Nếu
 
Sym S


, thì
 
1
Sym S




.
Trong hai vấn đề,chúng ta cần định nghĩa sau đây:
Nếu G là một tập hợp con khác rỗng của Sym (S) chúng ta sẽ nói rằng G là một nhóm các hoán vị
nếu các điều kiện sau đây giữ nguyên:
(i) Nếu
 
, Sym S


,thì
 
Sym S


;
(ii)
 
1
S
Sym S
;
(iii) Nếu
 
Sym S


, thì
 

1
Sym S



.
Ta sẽ thấy sau đó điều này đồng ý với Định nghĩa 3.6.1 của văn bản.

Vấn đề giải quyết: § 2.3
13. Cho hoán vị
1 2 3
75
4 5 6 7 8 9
9 2 4 8 1 3 6





, Viết

ở trong 2 dấu ngoặc tròn. Trình
tự

là gì? Có phải

là một hoán vị?
Tính
1



.
14. Cho 2 hoán vị
1 2 3
25
4 5 6 7 8 9
8 3 6 4 7 9 1





và
1 2 3
15
4 5 6 7 8 9
7 2 6 8 9 3 4






viết mỗi hoán vị là một sản phẩm của chu kỳ phân chia.
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 16 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam



1 1 1 1
, , , , , , ,
       
   

15. Cho
    
9
2,4,9,7 6,4,2,5,9 1,6 3,8,6 S


Viết

nhƣ một sản phẩm của
chu kỳ phân chia. Thứ tự của

là gì? Tính
1


.
16. Hãy tính trình tự của
1 2 3
72
4 5 6 7 8 9 10 11
4 6 8 9 10 1 3 11 5






. Cho
 
3,8,7


tính toán
thứ tự của
1


.
17. Chứng minh rằng nếu
n
S


là một hoán vị với thứ tự m, sau đó
1


có thứ tự m,
cho bất kỳ hoán vị
n
S


.
18. Cho thấy
10

S
có các yếu tố của thứ tự 10, 12, và 14, nhƣng không phải 11 hoặc 13.
19. S là một tập hợp, và để cho X là một tập hợp con của S. Để cho
   
 
G Sym S X X

  

Chứng minh rằng G là một nhóm các hoán vị.
20. Cho G là một nhóm các hoán vị, với
 
G Sym S
, cho tập S.

đƣợc gọi là một hoán vị cố
định trong
 
Sym S
. Chứng minh rằng:
 
 
1
,G Sym S G
     

    
là một nhóm các hoán vị.

Xem xét các vấn đề:

1. Cho hàm
:f R R
xác định bởi
 
2
,f x x x R  
, mô tả quan hệ tƣơng đƣơng trên R
đƣợc xác định bởi
f
.
2. Xác định
:f R R
của
 
3
3 5,f x x xz x R    
. Chứng minh rằng
f
là hàm song
ánh.
Gợi ý: Sử dụng đạo hàm của
f
để hiển thị
f
là một hàm tăng vô hạn nghiêm ngặt.
3. Trên Q tập hợp các số hữu tỉ, xác định
xy
nếu
xy
là một số nguyên. Cho thấy ~ là

một quan hệ tƣơng đƣơng.
4. Tại
10
S
, cho
     
1,3,5,7,9 , 1,2,6 , 1,2,5,3
  

. Cho
 

, viết

nhƣ một sản
phẩm của chu kỳ phân chia, và sử dụng nó để tìm thứ tự của nó và nó
ngƣợc. Vậy

chẵn hay lẻ?
5. Xác định hàm
17 17
:
XX
ZZ


bởi
 
1
17

,
X
x x x Z


  
.

là một hàm song ánh?

là hàm
toàn ánh? Nếu có thể, hãy tìm hàm nghịch đảo
1


.
6. (a) Hãy

là một nhân tố cố định của
n
S
. Cho thấy
:
nn
SS



đƣợc xác định bởi
 

1
n
S

   

  
, là một hàm song ánh và toàn ánh.
(b) Trong
3
S
, cho
 
1,2


. Tính


.
CHƢƠNG 3:
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 17 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

NHÓM
Nghiên cứu về nhóm, mà chúng tôi bắt đầu trong chƣơng này, thƣờng đƣợc coi là sự bắt
đầu thực sự của đại số trừu tƣợng. Bắt đầu từ số học của đại số liên quan đến việc bắt đầu sử dụng
các biến, mà chỉ biểu diễn số khác nhau. Nhƣng các thao tác vẫn còn là những con số thông

thƣờng nhƣ là cộng, trừ, nhân, chia.
Bƣớc đi từ đại số đến đại số trừu tƣợng liên quan đến việc cho phép các phép toán nhƣ một
biến. Lúc đầu chúng tôi sẽ sử dụng * hoặc • để đại diện cho một phép toán, để cho thấy rằng có thể
đại diện cho phép cộng thông thƣờng hay phép nhân, hoặc có thể là phép toán trên các ma trận hay
Hàm số, hoặc thậm chí có một cái gì đó khá xa từ kinh nghiệm của bạn.
Một trong những điều chúng tôi cố gắng để tạo ra ký hiệu là để cho nó trông quen thuộc, ngay cả
khi nó đại diện một cái gì đó mới; rất sớm, chúng tôi sẽ chỉ viết
ab
thay vì
*ba
, miễn là tất cả
mọi ngƣời đồng ý rằng chúng ta sử dụng ký hiệu này.
3.1 Định nghĩa Nhóm:
Phần này bao gồm các định nghĩa: phép toán hai ngôi, nhóm, nhóm Abel, và nhóm hữu hạn.
Những định nghĩa này cung cấp các ngôn ngữ mà bạn sẽ làm việc với nó, và bạn chỉ cần phải biết
ngôn ngữ này. Cố gắng tìm hiểu nó rất tốt mà bạn không có thậm chí một dấu vết của điểm nhấn!

Nói một cách đơn giản, một nhóm là một tập hợp mà trên đó nó có thể xác định là một phép toán
hai ngôi có các tính kết hợp, có một phần tử đơn vị, và có phần đảo cho mỗi phần tử của nó. Nhận
định chính xác đƣợc đƣa ra trong Định nghĩa 3.1.3; bạn phải chú ý cẩn thận đến từng phần, đặc
biệt là lƣợng hóa ("cho tất cả", "cho mỗi", "tồn tại"), và cần đƣợc nêu trong chính xác theo đúng
thứ tự.
Từ một điểm trên, các tiên đề cho một nhóm đƣa chúng ta những gì mà chúng ta cần phải làm
việc với các phƣơng trình liên quan tới các phép tính trong nhóm. Ví dụ, một trong những
nguyên tắc mà bạn đƣợc sử dụng để nói rằng bạn có thể nhân cả hai bên của một phƣơng trình
bằng giá trị nhƣ nhau, và phƣơng trình vẫn sẽ giữ nguyên.
Sự hoạt động các phép toán trong một nhóm, vì nếu x và y là các nhân tố của một nhóm G, và
xy
, sau đó
a x a y  

, đối với bất kỳ yếu tố
a
trong G.
Đây là một phần sự bảo đảm mà đi kèm với định nghĩa của một phép toán hai ngôi. Điều quan
trọng cần lƣu ý là ở cả hai bên của phƣơng trình,
a
nhân bên trái. Chúng tôi cũng có thể đảm bảo
rằng
a x y a  
, nhƣng chúng ta không thể đảm bảo rằng
a x y a  
, kể từ khi thao tác trong
nhóm không thể thỏa mãn luật giao hoán.
Sự tồn tại của phép nghịch đảo cho phép hủy bỏ (xem Phần 3.1.6 cho các phần nêu chính xác).
Hãy nhớ rằng trong một nhóm không có đề cập đến phép chia, do đó bất cứ khi nào bạn đang
viết
,/a b a b
, bạn phải viết
1
.ab

hoặc
1
.ba

.Nếu bạn là cẩn thận về phép nhân, và không lầm
về phép chia, bạn có thể đƣợc an toàn khi làm những điều quen thuộc với một phƣơng trình có
liên quan đến các yếu tố của một nhóm.
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1


SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 18 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

Hiểu biết và ghi nhớ các định nghĩa sẽ cho bạn một mức độ hiểu biết. Cấp độ tiếp theo nhờ hiểu
biết một số ví dụ điển hình. Cấp độ thứ ba của sự hiểu biết đến từ cách sử dụng định nghĩa để
chứng minh sự khác nhau về các nhóm. Dƣới đây là một số ví dụ quan trọng. Đầu tiên, các tập
hợp
, , ,Z Q R C
tạo thành nhóm thuộc phép cộng. Tiếp theo, các tập hợp
X
Q
,
X
R
, và
X
C
tồn
tại số khác không tạo thành các nhóm với phép nhân. Các tập hợp
Z
và
n
Z
là nhóm thuộc phép
cộng, trong khi
X
n
Z
là một nhóm với phép nhân.
Ta thƣờng để chỉ danh sách các tập hợp là các nhóm, không đề cập các phép tính của nó, vì trong

mỗi trƣờng hợp chỉ có một trong hai phép tính quen thuộc có thể đƣợc sử dụng để làm cho các
tập hợp tạo thành một nhóm.
Tƣơng tự nhƣ vậy, các tập hợp
 
n
MR
của tất cả các
nn
ma trận với các mục trong R là một
nhóm thuộc phép cộng, nhƣng không phải phép nhân, trong khi tập
 
n
GL R
của tất cả các ma
trận nghịch đảo
nn
với R là một nhóm với phép nhân, nhƣng không phải phép cộng.
Không nên có bất kỳ sự nhầm lẫn trong danh sách các nhóm, mà không đề cập cụ thể các phép
toán đƣợc sử dụng.
Trong việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn, ví dụ quan trọng nhất đến từ nhóm các ma trận. Tôi
vẫn nên đề cập đến các động cơ ban đầu để nghiên cứu các nhóm
đến từ việc nghiên cứu tập hợp các hoán vị, và do đó, nhóm đối xứng
n
S
vẫn có một vai trò
quan trọng.
Xem xét các vấn đề 3.1:
22. Sử dụng ký hiệu dấu chấm để xác định một phép nhân trên
3
R

. Điều này làm cho
3
R
vào
một nhóm?
23. Cho vectơ
 
1 1 1
,,x y z
và
 
2 2 2
,,x y z
trong
3
R
,ký hiệu dấu chéo đƣợc xác định bởi
     
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, , , , , ,x y z x y z y z z y z x x z x y y x    
.
3
R
là một nhóm với phép nhân này?
24. Trên các tập hợp
X
GQ
của các số hữu tỉ khác 0, xác định một phép nhân mới bởi
* , ,
2

ab
a b a b G  
. Chứng minh rằng G là một nhóm với phép nhân này.
25. Viết ra các bảng nhân cho
9
X
Z
.
26. Viết ra các bảng nhân cho
15
X
Z
.
27. Cho
G
là một nhóm, và giả sử rằng a và b là phần tử bất kỳ của G. Chứng minh rằng
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 19 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

nếu
 
2
22
ab a b
, thì
ba ab
.
28. Cho G là một nhóm, và giả sử rằng a và b là phần tử bất kỳ của G. Chứng minh rằng

 
11
n
n
aba ab a


với bất kỳ số nguyên dƣơng n.
29. Định nghĩa 3.1.3 trong bài, thay thế điều kiện (iii) với điều kiện là có tồn tại
eG
nhƣ vậy
,e a a a G   
, và thay thế điều kiện (iv) với điều kiện là cho mỗi
aG
có tồn tại
'aG
với
'a a e
. Chứng minh rằng những điều kiện yếu hơn (đƣa ra chỉ bên trái), chỉ ra G là một nhóm.
30. Bài tập trƣớc cho thấy rằng trong định nghĩa của một nhóm đó là đủ để đòi hỏi sự tồn tại của
một phần tử đơn vị trái và tồn tại của nghịch đảo. Cho một ví dụ để cho thấy rằng nó không phải
là đủ để yêu cầu sự tồn tại của một phần tử đơn vị trái cùng với sự tồn tại của nghịch đảo ngay.
31. Cho F là tập hợp của tất cả các biến đổi tuyến tính phân số của mặt phẳng phức hợp. Có
nghĩa là, F là tập hợp của tất cả các hàm có dạng
 
:f z C C
có dạng
 
az b
fz

cz d




nơi các hệ số
, , ,a b c d
là các số nguyên với
1a d bc
. Chứng minh rằng F tạo thành một
nhóm theo thành phần của hàm.
32. Cho
 
1G x R x  
là tập hợp của tất cả các số thực lớn hơn 1. Đối với
,x y G
, xác định
*2x y xy x y   

(a) Chứng minh rằng phép toán * là tập đóng trên G.
(b) Chứng minh rằng các quy luật kết hợp với *
(c) Chứng minh rằng 2 là phần tử nhận dạng của phép tính.
(d) Chứng minh rằng cho các phần tử
aG
có tồn tại một nghịch đảo
1
aG


.

3.2 Nhóm con:
Nhiều lần một nhóm đƣợc xác định bằng cách nhìn vào một tập con của một nhóm đƣợc biết
đến. Nếu tập hợp con là một nhóm ở bên phải của riêng của nó, bằng cách sử dụng phép tính
tƣơng đƣơng nhƣ các tập hợp lớn hơn, sau đó nó đƣợc gọi là một nhóm nhỏ. Ví dụ, bất kỳ nhóm
hoán vị là một nhóm nhỏ của Sym (S), đối với một số tập S. Bất kỳ nhóm
nn
ma trận (với các
mục R) là một nhóm của
 
n
GL R
.
Nếu ý tƣởng của một nhóm con nhắc nhở bạn về nghiên cứu không gian con trong đại số tuyến
tính của bạn. Tất nhiên, bạn là đúng. Nếu bạn chỉ nhìn vào các phép toán cộng trong một không
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 20 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

gian vector, nó tạo thành một nhóm Abel, và bất kỳ không gian con tự động là một nhóm nhỏ.
Bây giờ có thể là một thời điểm tốt để lấy phần đại số tuyến tính của bạn và xem xét không gian
vectơ và không gian con.
Định lý Lagrange là rất quan trọng. Nó nói rằng trong một nhóm hữu hạn số lƣợng các yếu tố
trong bất kỳ nhóm con phải là một số chia tổng số các phần tử trong nhóm. Đây là một thực tế
hữu ích để biết khi bạn đang tìm kiếm nhóm trong một nhóm nhất định.
Nó cũng quan trọng để nhớ rằng mọi phần tử trong một nhóm định nghĩa
a
là một nhóm con
 
a

, bao gồm tất cả các quyền hạn (tích cực và tiêu cực) của phần tử này. Các nhóm con này có
 
oa
các phần tử, trong đó o (a) là thứ tự của
a
. Nếu nhóm là hữu hạn, sau đó bạn chỉ cần nhìn
vào quyền hạn tích cực, vì trong trƣờng hợp đó nghịch đảo
1
a

của bất kỳ yếu tố có thể đƣợc thể
hiện dƣới dạng
n
a
, đối với một số n> 0.
Nhận xét 3.2:
23. Tìm tất cả nhóm Cyclic là nhóm con của
24
X
Z

24. Trong
20
X
Z
, tìm thấy hai nhóm con thứ tự là 4, một trong đó là Cyclic và một trong đó không
phải là Cyclic.
25. (a) Tìm các nhóm con cyclic của
7
S

đƣợc tạo ra bởi các phần tử (1, 2, 3) (5, 7).
(b) Tìm một phân nhóm của
7
S
có chứa 12 phần tử. Bạn không cần phải liệt kê tất cả các yếu
tố nếu bạn có thể giải thích tại sao phải có 12, và tại sao họ phải hình thành một nhóm con.
26. Trong
21
X
GZ
thấy rằng:
 
 
21
1 mod3H x x
và
 
 
21
1 mod7K x x
và là nhóm con của
G
.
27. Cho
G
là một nhóm Abel, và để cho
n
là số nguyên dƣơng cố định. cho thấy
 
n

N g G g a a G    
là một nhóm con của G.
28. Giả sử p là một số nguyên tố có dạng
21
n
p 
.
(a) Chứng minh rằng trong
X
p
Z
thứ tự
2
p


là
2n
.
(b) Sử dụng phần (a) để chứng minh rằng
n
phải là một lũy thừa của 2.
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Trần Ninh Gia Bảo Trang 21 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

29. Trong nhóm phép nhân của tập
X
C

của số phức, tìm thứ tự của các phần tử
22
22
i
và
22
22
i

30. Trong nhóm
 
2
G GL R
của ma trận nghịch đảo
22
với điểm nhập đơn giản thấy rằng
cos sin
sin cos
HR















là một nhóm con của
G
.
















ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Đỗ Văn Bắc Trang 22 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

ĐỖ VĂN BẮC (dịch từ trang 23 – 32)



31. Giả sử
K
là tập hợp con theo sau của
2
()GL
.


, 2 , 0
ab
K d a c b ad bc
cd


     






Chứng tỏ rằng
K
là nhóm con của
2
()GL
.
32. Phép tính về nhóm con trung tâm trong
2
()GL

của ma trận
21
11



.
Chú ý : Bài tập 3.2.14 trong dòng chữ định nghĩa về nhóm con trung tâm của một phần tử
a
của nhóm
G
là
 
()C x G x x
  
  
.

3.3 XÂY DỰNG CÁC VÍ DỤ

Kết quả quan trọng nhất ở phần này là vấn đề 3.3.7, nó chứng tỏ rằng việc thành lập tất cả
các ma trận đảo
nn
từ một nhóm, trong khi đó có thể cho phép chúng ta nhập vào ma trận
từ một vài trƣờng. Dữ liệu các ma trận này đƣợc nhập từ trƣờng
p
Z
, từ một vài số nguyên tố
p
, và cho phép chúng ta xây dựng rất nhiều sự thú vị về các nhóm hữu hạn nhƣ các nhóm

con của
()
np
GL
.
Việc xây dựng thứ hai trong mục này là tích trực tiếp, có hai nhóm đó là nhóm đã biết và
xây dựng một nhóm mới, sắp xếp thành cặp. Điều này có thể mở rộng thành n-tuples, nơi
mà nhập dữ liệu vào trở thành thành phần thứ
i
từ một nhóm
i
G
, và n-tuples là tích bởi hai
thành phần. Ở đây nhằm khái quát hóa thành phần của không gian vecto n chiều (trƣờng hợp
đó trở nên đơn giản hơn nhiều khi nhập các phần tử đều giống nhau ).

GIẢI CÁC BÀI TẬP : § 3.3

16. Chứng tỏ rằng
53
ZZ
là nhóm cilic, và liệt kê các phần tử sinh của một nhóm.
17. Tìm bậc của phần tử
   
 
12 18
9 , 15
trong nhóm Z
12
x Z

18
.
18. Tìm hai nhóm G
1
và G
2
của tích G
1
x G
2
có là nhóm con nó không phải của từ H
1
x H
2
, để
nhóm con
11
HG
và
22
HG
.
ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Đỗ Văn Bắc Trang 23 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

19. Trong nhóm
36
GZ



, giả sử H = {[x]| x ≡ 1(mod 4)} và K = {[y]│ y ≡ 1 ( mod 9)}.Chứng
tỏ rằng H và K là các nhóm con của G, và tìm nhóm con HK.
20. Chứng tỏ rằng nếu
p
là con số nguyên tố, khi đó bậc của nhóm đơn tuyến tính tổng quát
GL
n
(Z
P
) là (p
n
-1)(p
n
– p)…(p
n
- p
n -1
).

21. Tìm bậc của phần tử
00
0 1 0
00
i
A
i








trong nhóm GL
3
(C)
22. Gỉa sử G là nhóm con của GL
2
(R) định nghĩa bởi G =
01
mb






m

0




Gỉa sử A =
11
01




và B =
10
01




. Tìm nhóm con trung tâm C(A) và C(B) và chứng tỏ
C(A) C(B) = Z(G) , khi đó Z(G) là con của G
23. Tính nhóm con trung tâm GL
2
(Z
3
) của ma trận
21
02




24. Tính nhóm con trung tâm GL
2
(Z
3
) của ma trận
21
11





25. Gỉa sử tồn tại tập hợp con chuyển tiếp của nhóm G=GL
2
(Z
5
).
H=
01
mb







GL
2
(Z
5
) m,b

Z
5
,m= ±1





a) Chứng tỏ rằng H là nhóm con của G với 10 phần tử.
b) Chứng tỏ rằng nếu chúng ta giả sử A =
11
01



và B=
10
01




, lúc đó BA= A
-1
B.
c) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của H có thể viết duy nhất dạng
ij
AB
,trong đó
05i
và
0 ≤ j ≤ 2.








ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy
Nhóm 1

SVTH: Đỗ Văn Bắc Trang 24 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

3.4 PHÉP ĐẲNG CẤU

Một song ánh tƣơng ứng

: G
1


G
2
giữa nhóm G
1
và G
2
gọi là nhóm đẳng cấu nếu
( ) ( ) ( )ab a b
  

với mọi
1
,a b G
, Hàm


có thể xem đơn giản là đổi tên phần tử của G
1
, khi
nó là song ánh và toàn ánh. Với điều kiện đó là
( ) ( ) ( )ab a b
  

với mọi
1
,a b G
, tất nhiên
việc nhân có thể thực hiện trên nhóm và chuyển nó sang nhóm khác, khi đó hàm nghịch đảo

-
1
cũng đóng vai trò quan trọng trong phép nhân của hai nhóm.
Trong điều kiện phép nhân của từng nhóm ta lập bảng tƣơng ứng của G
1
và G
2
, sự tồn tại
của phép đẳng cấu đảm bảo nó là một phƣơng pháp tập hợp trên một đẳng cấu giữa các phần tử
của nhóm trong cùng một loại lập bảng phép nhân của nhóm sẽ thấy rõ ràng chúng giống nhau.
Ở góc độ một môn đại số, chúng ta nên hiểu nhóm đẳng cấu thực chất giống nhau. Bài toán tìm
thấy ở nhóm Aben thứ 8 khó thể lý giải , bỏi vì chúng có nhiều khả năng là vô tận. Nhƣng nếu
chúng ta tìm hiểu từ mục lục của nhóm Aben thứ 8 đảm bảo nhiều vấn đề khó từ nhóm Aben thứ
8 phải tồn tại một phép đẳng cấu trên bảng danh sách của một nhóm. Trong thực tế , chúng ta chỉ
ra ( trong phần 7.5) ở đó có sự trả lời cho câu hỏi này là sự liệt kê Z
8
, Z

4
x Z
2,
Z
2
x Z
2
x Z
2
.
Trong tình cảnh này chúng ta có thể nói rằng nó sẽ giúp chúng ta tìm kiếm tất cả nhóm Aben thứ
8, trên phép đẳng cấu.
Từ đó cho thấy hai nhóm G
1
và G
2
là đẳng cấu, bạn có thể thật sự đƣa ra phép đẳng cấu
12
:GG


.Từ việc lựa chọn phƣơng pháp sử dụng của hàm số, ta có thể cần thấy một vài sự
giống nhau giữa sự điều động của các nhóm.
Trong một vài phƣơng pháp cho thấy hai nhóm không phải là đẳng cấu. Nếu chúng ta đã thấy
một nhóm là đẳng cấu thì một nhóm kia thì không phải là đẳng cấu, khi đó chúng ta lựa chọn hai
nhom không đẳng cấu( miễn là đặc tính đó có thể đƣợc chuyển bằng nhiều phép đẳng cấu). Cho
rằng G
1
và G
2

là nhóm đẳng cấu. Nếu G
1
là nhóm Aben khi đó G
2
cũng thế. Nếu G
1
là nhóm xilic
thì khi đó nhóm G
2
cũng vậy. Vã lại từ mỗi số thực n, hai nhóm phải có sự rõ ràng nhƣ nhau về
những con số nguyên tố n. Mỗi khi ta gặp một tính chất mới của nhóm, ta có thể nói liệu là nó
có giữ đƣợc tính chất các nhóm đẳng cấu.

GIẢI BÀI TẬP: 3.4

21. Chứng tỏ rằng Z
17
là phép đẳng cấu từ Z
16
.
22. Gỉa sử

: R
x


R
x
từ định nghĩa cho


(x) = x
3
, mọi x

R. Khi đó chứng tỏ rằng

là
nhóm đẳng cấu.
23. Giả sử G
1
,G
2
,H
1
,H
2
là nhóm, và cho Φ
1
: G
1

H
2
và Φ
2
: G
2


H

2
là nhóm đẳng cấu.
Định nghĩa

: G
1
x G
2


H
1
x H
2
bởi

(x
1,
x
2
) = (Φ
1
(x), Φ
2
(x)), tất cả (x
1,
x
2 )



G1 x
G
2
. Chứng minh rằng

là phép đẳng cấu nhóm.
24. Chứng minh rằng nhóm Z
7
x Z
11
là nhóm đẳng cấu từ nhóm Z
6
x Z
10
.