tài liệu toán về ba đường conic
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (172.13 KB, 24 trang )
Ba đờng cônic
Lý thuyết
I.Elíp
1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c (c > 0) và hằng số a>c.
Elíp (E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF
1
+MF
2
= 2a.
(E) = { M: MF
1
+MF
2
= 2a}
Ta gọi : F
1
, F
2
là tiêu điểm của (E).
Khoảng cách F
1
F
2
= 2c là tiêu cự của (E).
2)Phơng trình chính tắc của elip:
(E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
( với b
2
= a
2
- c
2
)
3)Hình dạng và tính chất của (E):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F
1
(- c; 0)
Tiêu điểm phải F
2
( c; 0)
*Các đỉnh : A
1
( -a ; 0); A
2
( a; 0); B
1
(0; - b); B
2
(0; b)
*Trục lớn : A
1
A
2
= 2a, nằm trên trục Ox
Trục nhỏ :B
1
B
2
= 2b, nằm trên trục Oy
*Tâm sai : e =
a
c
<1
*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x
M
; y
M
) thuộc (E) là:
Bán kính qua tiêu điểm trái: MF
1
= a + e.x
M
= a+
a
c
x
M
Bán kính qua tiêu điểm phải: MF
2
= a - e.x
M
= a-
a
c
x
M
*Đờng chuẩn: x =
e
a
*Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x=
a; y =
b ( Độ dài hai cạnh là
2a và 2b)
*Trục đối xứng: Ox; Oy
Tâm đối xứng: O
4)Tiếp tuyến của elip
Định nghĩa: Cho elip (E) và đờng thẳng (d) .Đờng thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của
(E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (H)
Định lý :Cho elip (E) có phơng trình chính tắc:
1
(E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
với b
2
= a
2
- c
2
Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A
2
+B
2
0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ
khi : A
2
a
2
+B
2
b
2
=C
2
( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm duy
nhất
=++
=+
0
1
2
2
2
2
CByAx
b
y
a
x
=+
+
=
+
0
1
22
C
b
y
Bb
a
x
Aa
b
y
a
x
(I)
Đặt X=
a
x
, Y=
b
y
ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
=++
=+
0
1
22
CYBbXAa
YX
(II)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất
Đờng thẳng (d): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đờng tròn (C ): X
2
+Y
2
=1
Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đờng thẳng (d) bằng bán kính R = 1
1
2222
=
+ bBaA
C
A
2
a
2
+B
2
b
2
=C
2
Hệ quả: Cho elip (E) có phơng trình chính tắc:
(E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
với b
2
= a
2
- c
2
Nếu điểm M(x
M
; y
M
) thuộc (E) thì tiếp tuyến của (E) tại M có phơng trình là (d):
1
22
=+
b
yy
a
xx
MM
Chứng minh
Do M thuộc (E) nên có :
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
MM
Hiển nhiên M thuộc (d)
Ta có (d):
1
22
=+
b
yy
a
xx
MM
01
22
=+
b
yy
a
xx
MM
2
Theo điều kiện của định lý có :
2
2
2
2
2
2
b
b
y
a
a
x
MM
+
=
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
MM
Vậy (d) là tiếp tuyến của (E) tại M
II.Hypebol
1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c (c > 0) và hằng số
a<c.Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF
1
-MF
2
= 2a.
(H) = { M: MF
1
-MF
2
= 2a}
Ta gọi : F
1
, F
2
là tiêu điểm của (E).
Khoảng cách F
1
F
2
= 2c là tiêu cự của (E).
2.Phơng trình chính tắc của hypebol:
(H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
( với b
2
= c
2
- a
2
)
3.Hình dạng và tính chất của (H):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F
1
(- c; 0)
Tiêu điểm phải F
2
( c; 0)
*Các đỉnh : A
1
( -a ; 0); A
2
( a; 0)
*Trục thực: A
1
A
2
= 2a, nằm trên trục Ox
Trục ảo: B
1
B
2
= 2b, nằm trên trục Oy
*Tâm sai : e =
a
c
>1
*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x
M
; y
M
) thuộc (E) là:
Bán kính qua tiêu điểm trái: MF
1
= a + e.x
M
= a+
a
c
x
M
Bán kính qua tiêu điểm phải: MF
2
= a - e.x
M
= a-
a
c
x
M
*Đờng chuẩn: x =
e
a
*Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x=
a; y =
b ( Độ dài hai
cạnh là 2a và 2b)
*Phơng trình các đờng tiệm cận: y =
a
b
x
* Trục đối xứng: Ox; Oy
Tâm đối xứng: O
4.Tiếp tuyến của hypebol
3
Định nghĩa:Cho hypebol (H) và đờng thẳng (d) .Đờng thẳng (d) gọi là tiếp tuyến
của (H) nếu (d) không song song với các đờng tiệm cận của (H) và (d) có một điểm
chung duy nhất với (H)
Định lý :Cho hypebol (H) có phơng trình chính tắc:
(H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
với b
2
= c
2
- a
2
Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A
2
+B
2
0) là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ
khi :
A
2
a
2
-B
2
b
2
=C
2
0
( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
Hai đờng tiệm cận của (H) có phơng trình là:
y=
x
a
b
bx
ay= 0
Điều kiện để (d) không song song với hai đờng tiệm cận là:
b
B
a
A
A
2
b
2
- B
2
b
2
0
Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (H) khi A
2
b
2
- B
2
b
2
0 (*)và hệ phơng trình sau có
nghiệm duy nhất:
(I)
=++
=
0
1
2
2
2
2
CByAx
b
y
a
x
=++
+
=
0
1
22
CByAx
b
y
a
x
=++
=
+
0
1
22
x
C
x
By
A
bx
ay
x
a
=+
+
=
+
0
1
22
A
bx
ay
a
Bb
x
a
a
C
bx
ay
x
a
Đặt X=
x
a
, Y=
bx
ay
ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
=++
=+
0
1
22
AY
a
Bb
X
a
C
YX
(II)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất
Đờng thẳng (d):
a
C
X+
a
Bb
Y+A=0 tiếp xúc với đờng tròn (C ): X
2
+Y
2
=1
Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đờng thẳng (d) bằng bán kính R = 1
4
1
2
22
2
2
=
+
a
bB
a
C
A
A
2
a
2
-B
2
b
2
=C
2
Kết hợp với điều kiện (*) thì (d) là tiếp tuyến của(H) khi và chỉ khi
A
2
a
2
-B
2
b
2
=C
2
0
Hệ quả: Cho (H) có phơng trình chính tắc:
(H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
với b
2
= a
2
- c
2
Nếu điểm M(x
M
; y
M
) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H) tại M có phơng trình là (d):
1
22
=
b
yy
a
xx
MM
Chứng minh
Do M thuộc (H) nên có :
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
MM
Hiển nhiên M thuộc (d)
Ta có (d):
1
22
=
b
yy
a
xx
MM
01
22
=
b
yy
a
xx
MM
Theo điều kiện của định lý có :
2
2
2
2
2
2
b
b
y
a
a
x
MM
=
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
MM
Vậy (d) là tiếp tuyến của (H) tại M
III. Parabol
1. Định nghĩa:Cho điểm cố định F và đờng thẳng cố định không đi qua F.Parabol
(P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đờng thẳng .
(P) = { M: MF= d(M; )}
Ta gọi : F là tiêu điểm của (P).
Đờng thẳng là đờng chuẩn của
p= d(F; ) là tham số tiêu
2.Phơng trình chính tắc của parabol:
(P): y
2
= 2px
3.Hình dạng và tính chất của (E):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm F(
2
p
; 0)
5
*Phơng trình đờng chuẩn : x = -
2
p
*Đỉnh : O(0; 0)
*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x
M
; y
M
) thuộc (P) là:
MF = d(M; ) = x
M
+
2
p
*Trục đối xứng: Ox
4.Tiếp tuyến của parabol
Định nghĩa: Cho parabol (p) và đờng thẳng (d) .Đờng thẳng (d) gọi là tiếp tuyến
của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểm
chung duy nhất với (P)
Định lý:Cho parabol (P) có phơng trình chính tắc:
(P): y
2
= 2px
Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A
2
+B
2
0) là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ
khi :
pB
2
=2AC
( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
Ta thấy trục 0x cắt (P) tại một điểm nhng không là tiếp tuyến của (P)
Để (d) không song song với trục 0x thì A 0
Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất
(I)
=++
=
0
2
2
CByAx
pxy
+
=
+
=
A
CBy
x
A
CBy
py )1(2
2
( Do A 0)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi phơng trình (1) có nghiệm duy nhất
y
2
+2p
A
B
y + 2p
A
C
= 0 có nghiệm duy nhất
=
A
pC
A
B
p
2
2
=0
pB
2
=2AC ( thỏa mãn A0) (đpcm)
Hệ quả: Cho parabol (P) có phơng trình chính tắc:
(P): y
2
= 2px
Nếu điểm M(x
M
; y
M
) thuộc (P) thì tiếp tuyến của (P) tại M có phơng trình là (d):
y.y
M
= p(x+x
M
)
6
Chứng minh
Vì M thuộc (P) nên
IV.Ba đờng cônic
1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , một đờng thẳng cố định không đi qua F và
một số dơng e. Cônic (C) là tập hợp các điểm M sao cho
e
Md
MF
=
);(
.
(C)=
=
e
Md
MF
M
);(
:
Ta gọi: F là tiêu điểm
là đờng chuẩn
e là tâm sai
2.Nhận xét
*Cho elip (E) có phơng trình chính tắc:
(E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
với b
2
= a
2
- c
2
Tâm sai e=
a
c
<1
Đờng chuẩn:
1
: x = -
e
a
ứng với tiêu điểm trái F
1
(- c; 0)
2
: x =
e
a
ứng với tiêu điểm phải F
2
( c; 0)
Với mọi điểm M thuộc (E) thì:
);(
1
1
Md
MF
=
);(
2
2
Md
MF
= e
Vậy đờng (E) là đờng cônic với e< 1.
*Cho hypebol (H) có phơng trình chính tắc:
(H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
với b
2
= c
2
- a
2
Tâm sai e=
a
c
>1
Đờng chuẩn:
1
: x = -
e
a
ứng với tiêu điểm trái F
1
(- c; 0)
2
: x =
e
a
ứng với tiêu điểm phải F
2
( c; 0)
7
Với mọi điểm M thuộc (H) thì:
);(
1
1
Md
MF
=
);(
2
2
Md
MF
= e
Vậy đờng (H) là đờng cônic với e> 1.
*Cho parabol (P): y
2
= 2px
Tiêu điểm F(
2
p
; 0)
Phơng trình đờng chuẩn : x = -
2
p
Với mọi điểm M thuộc (P) thì:
);( Md
MF
= 1
Vậy đờng (P) là đờng cônic với e=1.
Một số dạng bài tập
Dạng 1. Xác định các yếu tố của (E),(H),(P) khi biết phơng trình chính tắc
của chúng.
Phơng pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố của (E),(H),(P).
Ví dụ 1. Cho elip (E) có phơng trình
1
14
22
=+
yx
Tìm tiêu điểm , tâm sai, đờng chuẩn của (E)
Giải
Từ phơng trình của (E) a
2
= 4, b
2
=1c
2
=a
2
-b
2
=3.
Vậy a = 2, b = 1, c =
3
Khi đó : Tiêu điểm của (E) là F
1
(-
3
; 0), F
2
(
3
; 0)
Tâm sai của (E) là e=
2
3
=
a
c
Đờng chuẩn của (E) là x=
3
4
Ví dụ 2. Cho hypebol (H) có phơng trình
1
54
22
=
yx
Tìm tiêu điểm , tâm sai, các đờng tiệm cận của (H)
Giải
Từ phơng trình chính tắc của (H) a
2
= 4, b
2
=5c
2
=a
2
+b
2
=9.
Vậy a = 2, b =
5
, c = 3
Khi đó : Tiêu điểm của (H) là F
1
(-3; 0), F
2
(3; 0)
8
Tâm sai của (H) là e=
2
3
=
a
c
Đờng tiệm cận của (H) là y=
2
5
x
Ví dụ 3. Cho parabol (P) có phơng trình y
2
= 4x
Tìm tiêu điểm và đờng chuẩn của (P).
Giải
Từ phơng trình của (P)2p= 4p = 2
Ta có : Tiêu điểm của (P) là F(1; 0)
Đờng chuẩn của (P) là x = - 1
Dạng 2. Lập phơng trình chính tắc của (E),(H),(P).
Phơng pháp :Để lập phơng trình chính tắc của (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ số
a, b,p trong các phơng trình đó.
Ví dụ 4.Lập phơng trình chính tắc của elip (E) , biết (E) đi qua điểm M(
5
; - 2) và
khoảng cách giữa hai đờng chuẩn bằng 10.
Giải
Gọi phơng trình chính tắc của (E) là:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
với b
2
=a
2
- c
2
Phơng trình đờng chuẩn là: x =
e
a
Khoảng cách giữa hai đờng chuẩn là
c
a
e
a
2
22
=
= 10
a
2
= 5c
a
4
=25 c
2
a
4
=25(a
2
-b
2
)
b
2
=a
2
-
25
4
a
(*)
Do (E) đi qua điểm M(
5
; - 2) nên:
1
45
22
=+
ba
1
25
45
4
2
2
=
+
a
a
a
5(1-
25
2
a
)+4= a
2
-
25
4
a
a
4
- 30a
2
+225 = 0
(a
2
- 15)
2
= 0 a
2
= 15
Thay vào (*) thì b
2
= 6
9
Vậy phơng trình của (E) là:
1
615
22
=+
yx
Ví dụ 5. Viết phơng trình chính tắc của hypebol (H) , biết (H) đi qua M(- 2;1)và
góc giữa hai đờng tiệm cận bằng 60
0
.
Giải
Gọi phơng trình chính tắc của (H) là:
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
với b
2
=c
2
- a
2
Vì M (H) nên
1
14
22
=
ba
(*)
Phơng trình hai đờng tiệm cận là:
1
: y =
a
b
x bx- ay = 0
2
: y = -
a
b
x bx+ ay = 0
Góc giữa hai đờng tiệm cận là:
cos(
1
;
2
) =
22
22
ab
ab
+
cos60
0
=
22
22
ab
ab
+
2
1
=
22
22
ab
ab
+
2
22
ab
= b
2
+a
2
+=
+=
)()(2
)(2
2222
2222
abab
abab
=
=
22
22
3
3
ba
ab
Với b
2
= 3a
2
thay vào (*) đợc a
2
=
3
11
; b
2
= 11
Pt (H):
1
11
3
11
22
=
yx
Với a
2
=3b
2
thay vào (*) đợc a
2
= 1; b
2
=
3
1
Pt (H):
1
3
1
1
22
=
yx
Ví dụ 6. Viết phơng trình chính tắc của hypebol (H) biết tâm sai e = 2 , các tiêu
điểm của (H) trùng với các tiêu điểm của elip.
Giải
Ta có elip (E):
1
925
22
=+
yx
có a
2
= 25, b
2
= 9 c
2
= a
2
-b
2
=16 c = 4.
Tiêu điểm của (E) là F
1
(-4; 0), F
2
(4; 0)
10
Gọi phơng trình chính tắc của hypebol (H) là:
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
với b
2
= c
2
- a
2
.
Vì các tiêu điểm của(H) trùng với các tiêu điểm của (E) nên có c = 4
Do (H) có tâm sai e =
a
c
= 2 c = 2a a = 2
b
2
= c
2
- a
2
= 12
Vậy phơng trình của (H) là :
1
124
22
=
yx
Ví dụ 7.Viết phơng trình chính tắc của parabol (P) biết tiêu điểm F(5; 0)
Giải
Gọi phơng trình chính tắc của parabol (P) là: y
2
= 2px
Do tọa độ tiêu điểm F(5; 0) nên
2
p
= 5 p = 10
Vậy phơng trình của (P) : y
2
= 20x
Ví dụ 8.Viết phơng trình chính tắc của elip biết elip tiếp xúc với hai
đờng thẳng d
1
: x+ y - 5 = 0
d
2
: x- 4y - 10 = 0
Giải
Phơng trình chính tắc của elip có dạng (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
với b
2
= a
2
- c
2
Do (E) tiếp xúc với hai đờng thẳng d
1
và d
2
nên theo điều kiện tiếp xúc có
=+
=+
10016
25
22
22
ba
ba
=
=
5
20
2
2
b
a
Vậy phơng trình của (E):
1
5
20
22
=+
yx
Ví dụ 9. Viết phơng trình chính tắc của parabol (P) biết khoảng cách từ ttiêu điểm F
đến đờng thẳng x + y- 12 = 0 là 2
2
Giải
Gọi phơng trình chính tắc của (P) : y
2
= 2px
Tọa độ tiêu điểm F(
2
p
;0)
Theo đầu bài , khoảng cách từ F đến đờng thẳng : x +y 12 = 0 bằng 2
2
nên:
d(F; )=
2
12
2
p
=2
2
p= 16 hoặc p = 32.
11
Vậy phơng trình của (P): y
2
= 32x hoặc y
2
= 64x
Dạng 3. Lập phơng trình tiếp tuyến của các đờng cônic
Ví dụ 10.Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) và tiếp xúc với
hypebol (H) :
1
41
22
=
yx
. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Giải
Gọi M(x
o
;y
o
) là tiếp điểm của (d). Khi đó đờng thẳng d có phơng trình dạng:
(d): x
0
.x-
4
.
0
yy
= 1
Vì (d) đi qua A(1; 4) nên: x
o
- y
o
= 1 (1)
Mặt khác M thuộc (H) nên:
1
41
2
0
2
0
=
yx
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
=
=
0
1
0
0
y
x
hoặc
=
=
3
8
3
5
0
0
y
x
M ( 1;0) hoặc M( -
3
5
; -
3
8
)
Tiếp tuyến của (H) là: x = 1 x - 1 = 0
hoặc -
3
5
x +
3
2
y = 1 5x -2y + 3 = 0
Ví dụ 11.Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng elip:
1
45
22
=+
yx
và
1
54
22
=+
yx
Giải
Gọi tiếp tuyến chung của hai elip là (d): Ax+ By+C = 0 ( với A
2
+B
2
0)
Theo điều kiện tiếp xúc có :
=+
=+
222
222
54
45
CBA
CBA
=
=
22
22
9BC
BA
Chọn A= 1
=
=
3
1
C
B
Vậy phơng trình tiếp tuyến chung của hai elip là:
(d): x y 3 = 0 ( đây là 4 tiếp tuyến chung)
Dạng 4. Lập phơng trình các đờng cônic không ở dạng chính tắc
Xác định các yếu tố của các đờng cônic không ở dạng chính tắc
Phơng pháp: * Sử dụng phép tịnh tiến trục tọa độ đa về dạng chính tắc
12
- Trong hệ tọa độ 0xy có I(x
0
; y
0
)
- Tịnh tiến hệ tọa độ 0xy theo vectơ
OI
đợc hệ tọa độ IXY
- Công thức đổi tọa độ là
+=
+=
0
0
yYy
xXx
( Thật vậy, nếu lấy điểm M bất kỳ. Giả sử tọa độ M= (x; y) trong hệ
tọa độ 0xy và tọa độ M= (X; Y ) trong hệ tọa độ IXY. Khi đó :
OI
=
(x
0
; y
0
)= x
0
i
+y
0
j
OM
= (x; y)= x
i
+y
j
IM
= (X; Y)= X
i
+Y
j
Do
IMOIOM +=
nên
+=
+=
0
0
yYy
xXx
)
* Sử dụng định nghĩa để lập phơng trình các đờng cônic
Ví dụ 12.Cho đờng cong (H) có phơng trình x
2
-4y
2
- 2x- 16y -19= 0. Chứng minh
rằng (H) là một hypebol. Tìm tọa độ các tiêu điểm , các đỉnh , phơng trình hai đờng
tiệm cận của hypebol (H).
Giải
Ta có (H) : x
2
-4y
2
- 2x- 16y -19= 0
(x-1)
2
- 4(y+2)
2
= 4
( ) ( )
1
1
2
4
1
2
2
=
+
yx
Tịnh tiến hệ trục 0xy theo vectơ
OI
với I(1; - 2) thành hệ tọa độ IXY.
Công thức đổi tọa độ :
=
+=
2
1
Yy
Xx
Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có phơng trình:
1
14
22
=
YX
a
2
=4, b
2
=1 nên c
2
=a
2
+b
2
=5 a= 2, b = 1, c=
5
Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có:
+ Tọa độ tiêu điểm: F
1
( -
5
; 0), F
2
(
5
;0)
+ Các đỉnh A
1
(- 2; 0), A
2
( 2; 0)
+ Phơng trình hai đờng tiệm cận: Y =
2
1
X
Chuyển kết qua trên về hệ tọa độ 0xy thì (H) có:
13
+ Tọa độ tiêu điểm : : F
1
( 1-
5
; - 2), F
2
(1+
5
;- 2)
+ Các đỉnh A
1
(- 1; - 2), A
2
( 3; -2 )
+ Phơng trình hai đờng tiệm cận: y =
2
1
(x-1)-2
Ví dụ 13. Viết phơng trình của parabol (P) có trục đối xứng là trục 0x, có đờng
chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(5; 4)
Giải
Theo đầu bài thì phơng trình đờng chuẩn của (P) là:
: x = 0 ( trục 0y)
Vì trục đối xứng 0x đi qua tiêu điểm nên tọa độ tiêu điểm của (P)là F( c; 0)
Do điểm A thuộc (P) nên: AF = d(A;)
(c-5)
2
+(-4)
2
= 5
2
c= 8 hoặc c = 2
Với c = 8 thì F(8;0). Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)
MF= d(M, )
22
)8( yx +
= x
(8-x)
2
+ y
2
= x
2
y
2
= 16x 64
Vậy phơng trình (P): y
2
= 16x 64
Với c = 2 thì F(2;0). Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)
MF= d(M, )
22
)2( yx +
= x
(2-x)
2
+ y
2
= x
2
y
2
= 4x 4
Vậy phơng trình (P): y
2
= 4x 4
Ví dụ 14. Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đờng cong (P) có phơng trình
16x
2
+ 9y
2
+ 24xy 56x +108y +124 = 0
Chứng minh rằng (P) là một parabol. Tìm tọa độ tiêu điểm và phơng trình đờng
chuẩn của parabol đó.
Giải
Ta có M(x; y)(P) 16x
2
+ 9y
2
+ 24xy 56x +108y +124 = 0
25( x
2
+y
2
-2x+4y+5) = 9x
2
+16y
2
-24xy+6x-8y+1
14
( x-1)
2
+ (y+2)
2
=
2
5
143
+ yx
(*)
Đặt F(1; -2) và đờng thẳng : 3x- 4y + 1= 0.
Khi đó (*) MF
2
= d
2
(M; )
MF = d(M; )
Vậy (P) là phơng trình parabol với tiêu điểm F(1; -2) và đờng chuẩn
: 3x- 4y + 1= 0.
Dạng 5. Xác định điểm M nằm trên (E),(H),(P) thỏa mãn điều kiện cho trớc.
Ví dụ 15. Cho elip (E) :
1
925
22
=+
yx
. Tìm trên (E) một điểm M sao cho MF
1
=2MF
2
Giải
Ta có a
2
= 25 a= 5
b
2
= 9 b= 3
c
2
= a
2
- b
2
= 16 c =4
Giả sử M(x
0
; y
0
) (E)
1
925
2
0
2
0
=+
yx
(*)
Mặt khác theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có :
MF
1
= a +
a
c
x
0
=5 +
5
4
x
0
MF
2
= a -
a
c
x
0
=5 -
5
4
x
0
Để MF
1
= 2MF
2
thì : 5 +
5
4
x
0
= 2( 5-
5
4
x
0
)
5
12
x
0
= 5 x
0
=
12
25
Thay vào (*) ta có :
1
9144
25
2
0
=+
y
144
119
9
2
0
=
y
y
0
=
119
12
3
Vậy tọa độ của M=
119
12
3
;
12
25
Ví dụ 16. Cho hypebol (H):
1
39
22
=
yx
a)Tìm trên (H) điểm M có tung độ là 1
b)Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F
1
MF
2
bằng 90
0
.
c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F
1
M= 2F
2
M.
15
Giải
Ta có : a
2
= 9 a =3
b
2
= 3 b =
3
c
2
=a
2
+ b
2
= 12c=
12
a)Thay y = 1 vào phơng trình của (H) đợc:
1
3
1
9
2
=
x
32
3
4
9
2
== xx
Vậy tọa độ của M là
( )
1;32
b)Gọi tọa độ M= ( x
0
; y
0
)
Do góc F
1
MF
2
bằng 90
0
OM= OF
1
=OF
2
cyx =+
2
0
2
0
x
0
2
+ y
0
2
= 12
Do M thuộc (H) nên
1
39
2
0
2
0
=
yx
3x
0
2
- 9y
0
2
= 27
Ta có hệ
=
=+
2793
12
2
0
2
0
2
0
2
0
yx
yx
=
=
4
3
5
45
2
0
2
0
y
x
=
=
2
3
2
53
0
0
y
x
Vậy tọa độ điểm M là:
2
3
;
2
53
;
2
3
;
2
53
;
2
3
;
2
53
;
2
3
;
2
53
c)Vì MF
1
= 2MF
2
nên F
1
M > F
2
M M thuộc nhánh phải và F
1
M- F
2
M = 2a = 6
Ta có
=
=
6
2
21
21
MFMF
MFMF
=
=
6
12
2
1
MF
MF
Theo công thức bán kính qua tiêu điểm:
MF
1
=
=+
0
x
a
c
a
a+
a
c
x
0
= 3+
3
32
x
0
= 12
x
0
=
2
39
16
Do M thuộc (H) nên thay x
0
=
2
39
vào (H) ta đợc:
1
34
27
2
0
=
y
y
0
2
=
4
69
y
0
=
2
69
Vậy tọa độ của M là :
2
69
;
2
39
Ví dụ 17. Cho parabol (P): y
2
= 4x.
a)Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4.
b)Tìm trên (P) điểm M O sao cho khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng
cách từ M đến 0x.
Giải
a)Từ phơng trình (P): y
2
= 4x p = 2
Ta có : MF = x
M
+
2
p
= 4 x
M
+1 = 4 x
M
= 3
Thay vào (P) y
M
2
= 12 y
M
=
Vậy tọa độ điểm M là: (3;
32
).
b)Gọi tọa độ M= (x ;y).
Do M thuộc (P) nên : y
2
= 4x x
0
Từ giả thiết M O và khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến
0x ta có:
02 = yx
x =
02 y
Ta có hệ:
=
=
02
4
2
yx
xy
=
=
8
16
y
x
Vậy tọa độ M là (16; 8) và ( 16; - 8).
Dạng 6.Chứng minh các tính chất của đờng cônic
Ví dụ 18. Cho hypebol (H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
với b
2
= c
2
- a
2
có các tiêu điểm F
1
, F
2
. Lấy
M là điểm bất kì trên (H). Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M đến hai đờng
tiệm cận có giá trị không đổi.
Giải
Phơng trình hai đờng tiệm cận của (H) là:
1
: bx+ay = 0
2
: bx - ay = 0
Đặt toạ độ M= (x
0
; y
0
)
17
Khi đó : d
1
= d(M;
1
)=
22
00
ba
aybx
+
+
d
2
= d(M;
2
) =
22
00
ba
aybx
+
d
1
.d
2
=
22
00
ba
aybx
+
+
.
22
00
ba
aybx
+
=
22
2
0
2
2
0
2
ba
yaxb
+
Vì M thuọc (H) nên :
= 1
2
2
0
2
2
0
b
y
a
x
b
2
x
0
2
- a
2
y
0
2
= a
2
.b
2
Vậy d
1
.d
2
=
22
22
.
ba
ba
+
(Đpcm)
Ví dụ 19. Cho parabol (P): y
2
= 4x.Đờng thẳng (d) bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ
số góc k 0 cắt (P) tại M và N.
a.Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M và N đến trục 0x có giá trị không đổi.
b.Tìm k sao cho FM = 4.FN.
Giải
Vì (d) đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k 0 nên có phơng trình:
d: y = k( x - 1)
Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
[k(x - 1)]
2
= 4x k
2
x
2
- 2(k
2
+ 2) x + k
2
= 0 (*)
'= (k
2
+2)
2
- k
4
= 2k
2
+4 > 0 k
Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Vậy đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N
a.Hoành độ hai điểm M và N là hai nghiệm của phơng trình (*)
Theo định lý Viet có: x
M
+ x
N
=
2
2
)2(2
k
k +
(1)
x
M
.x
N
= 1 (2)
Ta có : d
1
= d(M; 0x) =
M
y
=
M
x4
d
2
= d(M; 0x) =
N
y
=
N
x4
d
1
.d
2
=
NM
xx16
= 4 không đổi.
b) Từ phơng trình (P) Tham số tiêu p =p
Theo công thức bán kính qua tiêu điểm:
MF = 1 + x
M
18
NF = 1 + x
N
Để MF = 4NF thì 1+ x
M
= 4( 1 + x
N
)
x
M
- 4x
N
= 3 ( 3)
Từ (2) và (3) x
M
= 4; x
N
= 1/4
Thay vào (1) k =
4
3
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hypebol (H) : 4x
2
- y
2
- 4 = 0
a) Xác định toạ độ tiêu điểm của (H)
b) Tìm điểm M nằm trên (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm F
1
; F
2
của (H) dới một
góc vuông
HD: b) - Lập phơng trình đờng tròn (C) đờng kính F
1
F
2
- Ta có M (C) (H)
ĐS: a) F
1
( -
5
; 0); F
2
(
5
; 0)
b) M
5
4
;
5
3
Bài 2.Cho hypebol (H):
1
54
22
=
yx
và : x - y + m = 0
a) Chứng minh rằng : Đờng thẳng luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thuộc hai nhánh
khác của (H) . ( x
M
< x
N
)
b)Xác định m để F
2
N = 2F
1
N biết F
1
, F
2
là hai tiêu điểm của (H)
HD: a) - Lập phơng trình hoành độ giao điểm của và (H)
- Chừng minh phơng trình đó luôn có hai nghiệm trái dấu
b) - Tìm toạ độ x
M
, x
N
- Dùng công thức bán kính qua tiêu điểm
Bài 3. Viết phơng trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trờng hợp dới đây:
a) (E) có một tiêu điểm F
1
( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)
b)(E) đi qua điểm M( 1;
2
15
) và có tiêu cự 4
3
c)(E) đi qua hai điểm M( 3;
5
4
), N (- 4;
5
3
)
d)(E) đi qua M( 1;
2
3
) và tâm sai e =
2
3
19
ĐS: a)
1
147196
22
=+
yx
b)
1
416
22
=+
yx
c)
1
25
2
2
=+ y
x
d)
1
4
2
2
=+ y
x
Bài 4.Viết phơng trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi thờng hợp sau:
a)(H) có tiêu điểm F
1
( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)
b)(H) đi qua điểm A( 4
2
; 5) và có đờng tiệm cận y =
4
5x
c)(H) có tiêu cự bằng 2
5
và có tiệm cận xiên y = 2x
d)(H) đi qua A( 1; 0) và B(
3
; 1)
ĐS: a)
1
48
2
2
=
y
x
b)
1
2516
22
=
yx
c)
1
4
2
2
=
y
x
d)
1
2
1
1
22
=
yx
Bài 5. Viết phơng trình của parabol (P) trong mỗi trơng hợp dới đây
a)(P) có đờng chuẩn là : x+ y = 0 và tiêu điểm F(2; 2)
b)(P) trục đối xứng là trục 0x; có đờng chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(3; 1)
c)(P) có trục đối xứng là trục 0x và đi qua điểm A(4; 1); B(1; 2)
HD:a) M(x; y) (P) d(M; ) = MF Phơng trình của (P)
b)- Do trục đối xứng là trục 0x nên toạ độ F(a; 0)
- Ta có d(A; 0x) = AF suy ra a
- Lập phơng trình theo phần a)
c) -Tiêu điểm F thuộc trục 0x nên toạ độ F(a; 0)
- Đờng chuẩn 0x nên : x = b
- Từ
=
=
BFBd
AFAd
),(
),(
suy ra a và b
- Lập phơng trình (P) nh phần a)
ĐS: a) x
2
+ y
2
-2xy -8x -8y +16 = 0
b) y
2
- 2(3
2
2
)x + (3
2
2
)
2
= 0
c) y
2
= - x + 5
Bài 6. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua (12; -3) và tiếp xúc với elip
1
1832
22
=+
yx
ĐS: 3x + 4y - 24 = 0 và 3x - 28y -120 = 0
Bài 7. Viết phơng trình tiếp tuyến của hypebol (H) :
1
4
2
2
=
y
x
vẽ từ điểm (1; 4)
ĐS: x - 1 = 0 và 5x - 2y + 3 = 0
20
Bài 8. Viết phơng trình tiếp tuyến của parabol (P) : y
2
= 4x đi qua điểm (- 1;
3
8
)
ĐS: x - 3y + 9 = 0 và 9x + 3y + 1 = 0
Bài 9. Cho hypebol (H)
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
a)Tính độ dài phần đờng tiệm cận nằm giữa hai đờng chuẩn
b)Tính khoảng cách từ tiêu điểm tới đờng tiệm cận
c)Chứng minh rằng : Chân đờng vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đờng tiệm
cận nằm trên đờng chuẩn tơng ứng với tiêu điểm đó.
HD:
a) - Lập phơng trình hai đờng chuẩn và hai đờng tiệm cận
- Xác định toạ độ các giao điểm
- Tính độ dài đoạn tiệm cận nằm giữa hai đờng chuẩn (do tình đối xứng nên
hai đoạn là bằng nhau)
b) Do tính đối xứng của (H) nên chỉ cần tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến
một đờng chuẩn bất kỳ
c) - Gọi I là chân đờng vuông góc hạ từ F
2
đến đờng tiệm cận d: bx + ay = 0
- Do I thuộc d nên toạ độ I( x
0
; -
a
b
x
0
)
- Từ
d
uIF
2
suy ra toạ độ I
- Kiểm tra I thuộc đờng chuẩn ứng với tiêu điểm F
2
ĐS: a) 2a b) b
Bài 10( ĐH-CĐ khối D- 2005) Cho elip (E) :
1
14
22
=+
yx
và C( 2; 0). Tìm A, B
thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
HD: - Đặt toạ độ A(x
0
; y
0
) suy ra toạ độ B(x
0
; - y
0
)
- Từ
=
ACAB
EBA )(,
suy ra toạ độ a, b.
ĐS: A(
7
34
;
7
2
) , B(
7
34
;
7
2
) hoặc A(
7
34
;
7
2
), B(
7
34
;
7
2
)
Bài 11.(CĐ Cơ khí luyện kim -2007)Viết phơng trình của hypebol (H):
1
49
22
=
yx
biết tiếp tuyến đó đi qua A( 3; 1)
ĐS: x - 3 = 0 và 5x - 6y - 9 = 0
Bài 12. (CĐ S phạm Vĩnh phúc - 2007)Cho elip (E) : 9x
2
+ 16y
2
= 144. Lập phơng
21
trình tiếp tuyến của (E) đi qua M( 4;
2
3
) .
ĐS: x - 4 = 0 và 9x +16 y - 60 = 0
Bài 13.
a) Viết phơng trình elip (E) biết hai tiêu điểm là F
1
(-
10
; 0) , F
2
(
10
; 0) và độ dài
trục lớn là 2
18
.
b)Đờng thẳng d tiếp xúc với (E) tại M cắt hai trục toạ độ tại A và B . Tìm toạ độ M
sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất
HD: b) - Đặt toạ độ M(x
0
; y
0
)
- Lập phơng trình tiếp tuyến tại M
- Xác định toạ độ A, B theo x
0
, y
0
.
- Tính diện tích tam giác OAB theo x
0
, y
0
.
- Dùng điều kiện M thuộc (E) để tìm GTNN của S
OAB
ĐS: a)
1
818
22
=+
yx
b)Min S= 12 khi M(
2;3
)
Bài 14.(Cao đẳng tài chính kế toán 2006).Cho elip (E):
1
48
22
=+
yx
với các tiêu điểm
F
1
; F
2
. Tìm M thuộc (E) sao cho MF
1
- MF
2
= 2
HD: Sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm
ĐS: M(
3;2
)
Bài 15.
a) Lập phơng trình chính tắc của hypebol (H) với tổng hai bán trục bằng 7 và phơng
trình hai đờng tiệm cận là y =
4
3
x
b)Lập phơng trình tiếp tuyến của (H) song song với đờng thẳng d:5x -4y +10 =0.
ĐS:a)
1
916
22
=
yx
b)5x - 4y
16 = 0
Bài 16. (CĐ Giao thông vận tải 1997)Cho hypebol (H) : x
2
- y
2
= 8. Viết phơng trình
chính tắc của elip đi qua A( 4; 6) và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của hypebol
đã cho .
ĐS:
1
4864
22
=+
yx
Bài 17.Cho elip (E) : 4x
2
+ 16y
2
= 64
a) Xác định các tiêu điểm F
1
, F
2
, tâm sai và vẽ elip
b) Gọi M là điểm bất kì trên (E) . Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách từ điểm M
22
tới tiêu điểm phải F
2
và tới đờng thẳng x =
3
8
có giá trị không đổi.
HD: b)- Lấy bất kì M(x
0
; y
0
) thuộc (E)
- Sử dụng công thức bán kính qua tiêu điểm tính MF
2
- Tính d(M; ) với : x =
3
8
- Lập tỷ số
),(
2
Md
MF
ĐS: a) F
1
( -
12
; 0), F
2
(
12
; 0)
b)
2
3
),(
2
=
Md
MF
Bài 18.Lập phơng trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e =
2
5
và tiếp xúc
với đờng tròn tâm I( 0; 4) bán kính 2
5
21
.
HD: - Lập phơng trình tổng quát của (H) :
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
- Lập phơng trình đờng tròn (C)
- Lập phơng trình hoành độ giao điểm của (H) và (C).
-Từ điều kiện e =
2
5
và phơng trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép suy
ra a , b.
ĐS:
1
4
2
2
= y
x
Bài 19.(ĐH-CĐ khối A - 2008)Viết phơng trình chính tắc của elip (E) biết tâm sai
e =
3
5
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
HD : Từ
=+
=
20)(2
3
5
ba
e
suy ra a, b.
ĐS:
1
1636
22
=+
yx
Bài 20.Cho elip (E) :
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
(a>b>0)
a) Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ thuộc (E) thì ta có b
ax
23
b) Giả sử đờng thẳng (d): y = kx cắt elip (E) tại A. Tính OA theo a, b, k.
c) Gọi A, b thuộc (E) sao cho OA OB. Chứng minh rằng :
22
11
OBOA
+
có giá trị
không đổi.
HD:
a) - Đặt toạ độ M( x
0
; y
0
)
- Từ điều kiện
1
2
2
0
2
2
0
=+
b
y
a
x
và a>b> 0 suy GTLN, GTNN của OM
2
= x
0
2
+y
0
2
b) - Đặt toạ độ A(x
0
; y
0
)
- Từ A = (d) (E) suy ra toạ độ A
- Tính OA
c) áp dụng phần b)
ĐS: b) OA =
222
2
1
akb
kab
+
+
*** Hết ***
24
