TSL10 Chuyen Toan Gia Lai 10-11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (118.51 KB, 3 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
Năm học 2010 – 2011
Môn thi : TOÁN (Không chuyên)
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )
ĐỀ BÀI:
Câu 1: (1,5 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3 2 2
2 25x x y xy x
− + −
b) Giải phương trình:
( )
2
2 2
5 7 5 5 0x x x x
− + + − + =
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho biểu thức: P =
( )
2
3
3 5
1
2
:
1
x
x
x
x x x
+
+
− +
, với x > 0
a) Rút gọn P.
b) Xác định giá trị của P khi
1
; 3 2 2
4
x x= = −
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 3: (1 điểm)
Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
2010y x
= − +
và cắt đồ
thị hàm số
2
1
2011
y x
=
tại điểm có tung độ bằng 2011
Câu 4: (2 điểm)
Cho phương trình
2
2( 1) 2 0x m x
− − − =
( )
m R
∈
.
a) Giải phương trình với m = 0
b) Chứng minh rằng với mọi m ∈ R, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân
biệt x
1
; x
2
.
c) Chứng minh rằng nếu m là số nguyên chẵn thì giá trị của biểu thức
2 2
1 2
x x
+
là số
nguyên chia hết cho 8.
Câu 5: (3 điểm)
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Qua B, kẻ
đường thẳng vuông góc với AB, cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai là C và D.
a) Chứng minh B là trung điểm của CD.
b) Lấy điểm E trên cung nhỏ BC của đường tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đường
thẳng EB với đường tròn (O’) là F và giao điểm của hai đường thẳng CE, DF là M.
Chứng minh rằng tam giác EAF cân và tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.
… …….Hết………….
ĐÁP ÁN Môn : TOÁN (Không chuyên)
1
Câu 1
(1,5điểm)
a/
3 2 2 2 2
2 25 ( 2 25)x x y xy x x x xy y
− + − = − + −
2
. ( ) 25x x y
= − −
( 5)( 5)x x y x y
= − + − −
b/ Đặt t =
2
5 7x x
− +
. Phương trình trở thành: t
2
+ t – 2 = 0
Giải Pt ta được: t
1
= 1; t
2
= - 2
Với t = 1 => x
2
– 5x + 7 = 1 x
2
– 5x + 6 = 0 x
1
= 2 ; x
2
= 3
Với t = - 2 => x
2
– 5x + 7 = -2 x
2
– 5x + 9 = 0, Pt vô nghiệm.
Vậy: Pt đã cho có hai nghiệm x
1
= 2 ; x
2
= 3
Câu 2
(2,5điểm)
a/ P =
( )
2
2
3 2
2
3 5
1
2 2 (1 )(1 ) 2
: .
1 (1 ) 1
(1 )
x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
+
+ − +
= =
+ + +
− +
− +
b/ Khi x =
1
4
=> P =
4
5
;
Khi x =
( )
2
3 2 2 2 1− = −
=> P =
2
2
c/ P =
2
2 1 ( 2 1) ( 1)
1 1
1 1 1
x x x x x
x x x
+ − − + −
= = − ≤
+ + +
( Vì x > 0 => 1 + x > 0;
( )
2
1 0x − ≥
)
Dấu “=” xảy ra khi
( )
2
1 0 1 0 1x x x− = ⇔ − = ⇔ =
Vậy: GTLN của P là 1 khi x = 1
Câu 3
(1,0điểm)
Giả sử đường thẳng d có dạng: y = ax + b (b≠ 0) (*)
Ta có: + d // đt: y = -x + 2010 => a = - 1
+ d cắt đồ thị hàm số y =
1
2011
x
2
tại điểm có tung độ y = 2011 nên:
2011 =
1
2011
.x
2
=> x = 2011; - 2011
Th
1
: Thay x = 2011; y = 2011; a = -1 vào (*) ta được b = 0
(d): y = -x
Th
1
: Thay x = - 2011; y = 2011; a = -1 vào (*) ta được b = 4022
(d): y = -x + 4022
Câu 4
(2điểm)
Xét phương trình:
2
2( 1) 2 0x m x
− − − =
( )
m R
∈
.
a/ m = 0, phương trình trở thành: x
2
+ 2x – 2 = 0
Giải Pt ta được: x
1
=
3 1−
; x
2
=
( )
3 1− +
b/
( ) ( )
2
2
' 1 2 1 2 0,m m m
∆ = − − + = − + > ∀
vì
( )
2
1 0m − ≥
Vậy Pt luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
c/ Theo hệ thức Viets, ta có: x
1
+ x
2
= 2(m-1); x
1
x
2
= - 2. Khi đó:
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= 4(m – 1)
2
+ 4 = 4.(m
2
– 2m + 2) chia hết cho 4
2
Mặt khác: m là số nguyên chẵn => m = 2k ( k là số nguyên)
m
2
= 4k
2
; 2m = 4k => m
2
– 2m + 2 = 4k
2
– 4k + 2 chia hết cho 2
Do đó : x
1
2
+ x
2
2
= 4.(m
2
– 2m + 2) chia hết cho 8
Câu 5
(3,0 điểm)
a/ + AB ⊥ CD(gt) =>
·
0
ABC 90=
=> AC là đường kính của đường tròn (O)
+ AB ⊥ CD(gt) =>
·
0
ABD 90=
=> AD là đường kính của đường tròn (O’)
+ (O) ; (O’) là hai đường tròn bằng nhau => AC = AD = 2R
∆ACD cân tại A. Khi đó: đường cao AB đồng thời là đường trung tuyến.
Vậy: B là trung điểm của CD.
b/ + Chứng minh ∆AEF cân tại A
Ta có :
·
·
AEB ACB=
( cùng chắn cung AB);
·
·
AFB ADB=
( cùng chắn cung AB)
Mà :
·
·
ACB ADB=
(vì ∆ACD cân tại A)
Do đó:
·
·
AEB AFB=
=> ∆AEF cân tại A
+ Chứng minh: tứ giác ACMD nội tiếp.
Ta có: AE = AF (∆AEF cân tại A)
=> ∆AEC = ∆AFD( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=>
·
·
ACE ADF=
( 2 góc tương ứng)
Mà:
·
·
0
ADM ADF 180+ =
(kề bù) =>
·
·
0
ADM AEM 180+ =
Vậy: tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.
3
M
F
E
D
C
B
A
O'
O
