Đề chọn HS GIỎI 9 VÀ ĐÁP ÁN.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (108.49 KB, 4 trang )
UBND HUYỆN ĐẠI LỘC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO
Năm học : 2009-2010
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1(2đ) : Cho đa thức : x
4
- x
2
+ 2x + 2
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử.
b/ Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức là số chính phương.
Bài 2(3đ) : Cho biểu thức
( )
2
2 1
2
1 1
x
x x x x
P
x x x x
−
− +
= − +
+ + −
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c/ Cho Q =
2 x
P
. Tìm giá trị nguyên của Q.
Bài 3(2đ) : Cho đường thẳng y = mx + m - 1 (1)
a/ Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định với
mọi giá trị của m
b/ Tính giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục toạ độ một tam giác
có diện tích bằng 2.
Bài 4(1đ) : Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10 cm, đáy nhỏ bằng chiều
cao và đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính chiều cao của hình thang.
Bài 5(2đ) : Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r ( R > r ). M và A
là hai điểm trên đường tròn (O;r) với M cố định, A di động. Qua điểm M
vẽ dây BC của đường tròn (O;R) vuông góc với AM. Chứng minh rằng :
a/ Tổng MA
2
+ MB
2
+ MC
2
không phụ thuộc vào vị trí của điểm A.
b/ Trọng tâm G của tam giác ABC là điểm cố định.
Họ và tên thí sinh :
Số Báo danh :
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
ĐẠI LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Bài Câu Nội dung Điểm
1
(2đ)
a
(1đ)
x
4
- x
2
+ 2x + 2 = (x
4
- 2x
2
+ 1)+(x
2
+ 2x + 1)
= (x
2
- 1)
2
+ (x + 1)
2
= (x + 1)
2
(x - 1)
2
+ (x + 1)
2
= (x + 1)
2
[(x - 1)
2
+ 1]
= (x + 1)
2
(x
2
- 2x + 2)
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1đ)
Ta có x
4
- x
2
+ 2x + 2 = (x + 1)
2
[(x - 1)
2
+ 1] (cmt)
Là số chính phương thì :
hoặc (x + 1)
2
= 0 và (x - 1)
2
+ 1 tuỳ y
hoặc (x + 1)
2
≠ 0 và (x - 1)
2
+ 1 là số chính phương.
• Nếu (x + 1)
2
= 0 ; ta có x + 1 = 0 <=> x = - 1
• Nếu (x + 1)
2
≠ 0 ; ta có (x - 1)
2
+ 1 là số chính phương
nên đặt (x - 1)
2
+ 1 = y
2
(y
∈
N)
Ta có : (y + | x - 1|)(y - | x - 1|) = 1
Mà y
∈
N , | x - 1|
∈
N nên chỉ xãy ra
y + | x - 1| = 1 và y - | x - 1| = 1
Suy ra |x - 1| = 0 <=> x - 1 = 0 <=> x = 1
Vậy giá trị của đa thức là số chính phương khi x = ± 1
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(3đ)
a
(1đ)
( )
2
2 1
2
1 1
x
x x x x
P
x x x x
−
− +
= − +
+ + −
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1 2 1 1
1 1
x x x x x x x x
x x x x
− + + + − +
− +
+ + −
với x>0
x ≠ 1
=
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1x x x x− − + + +
=
2 1 2 2x x x x− − − + +
= x -
x
+ 1
0.5
0.25
0.25
b
(1đ)
P = x -
x
+ 1 =
1 1 1
2 1
2 4 4
x x− + − +
=
2
1 3 3
2 4 4
x
− + ≥
÷
P đạt GTNN là
3
4
khi
x
-
1
2
= 0 <=> x =
1
4
0.25
0.25
0.5
c
(1đ)
2 2
1
x x
Q
P
x x
= =
− +
=
2 2
1
1
M
x
x
=
+ −
(
1
1M x
x
= + −
)
Vì x > 0, x ≠ 1 nên
1
1M x
x
= + −
> 1 (BĐT Côsi)
Suy ra 0 < Q < 2 . Mà Q nguyên nên Q = 1
0.5
0.25
0.25
3
(2đ)
a
(1đ)
Điều kiện để đường thẳng (1) đi qua 1 điểm cố định N(x
0
;y
0
)
với mọi m là y
0
= mx
0
+ m - 1 với mọi m
<=> (x
0
+ 1)m - (y
0
+ 1) = 0 với mọi m
<=>
0
0
1 0
1 0
x
y
+ =
+ =
<=>
0
0
1
1
x
y
= −
= −
Vậy các đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố đinh N(-1 ;-1)
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1đ)
Gọi A là giáo điểm của đt (1) với Oy.
Với x = 0, y = m - 1 .Ta có OA =|m - 1|
Gọi B là giao điểm của đt (1) với Ox.
Với y = 0, x =
1 m
m
−
. Ta có OB =
1 m
m
−
S
(AOB)
= 2 <=>
.
2
2
OA OB
=
<=> OA.OB = 4
<=>
( )
2
1
4
m
m
−
=
<=>
2
2
( )
2 1 4
( )
2 1 4
a
m m m
b
m m m
− + =
− + = −
Giải pt (a) … m = 3±
2 2
Giải pt (b) … m = - 1
Có 3 đường thẳng đi qua N và tạo với các trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng 2 là :
m = 3 +
2 2
: y = (3 +
2 2
)x + 2 +
2 2
m = 3 -
2 2
: y = ( 3 -
2 2
)x + 2 -
2 2
m = 1 : y = - x - 2
0.25
0.25
0.25
0.25
4
(1đ)
(1đ)
Tam giác DAC vuông tại A, ta có AH
2
= HD.HC
2
x
=
10 10
.
2 2
x x− +
=
2
100
4
x−
2 5x =
cm.
0.25
0.25
0.25
0.25
Vẽ AH, BK cùng vg góc với CD.
Đặt AB = AH = BK = x
Cm: DH = CK =
10
2
x−
Từ đó cm: HC =
10
2
x+
5
(2đ)
a
(1đ)
OMH∆
vuông tại H nên : HM
2
= OM
2
- OH
2
= r
2
- OH
2
(2)
OBH∆
vuông tại H nên : HB
2
= OB
2
- OH
2
= R
2
- OH
2
(3)
(1),(2),(3) : MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= MA
2
+ 2(HB
2
+ HM
2
)
= 4 OH
2
+ 2( r
2
-OH
2
+ R
2
- OH
2
)
= 2(r
2
+ R
2
)
Vậy tổng MA
2
+ MB
2
+ MC
2
không phụ thuộc vào
vị trí điểm A
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1đ)
ABC∆
có AH là trung tuyến , G là trọng tâm (gt)
=> G
∈
AH và AG =
2
3
AH (*)
AMN∆
có AH là trung tuyến (HM=HN)
nên G cũng là trọng tâm của
AMN∆
mà MO là trung tuyến của
AMN∆
(AO=ON)
nên MO đi qua G.
Các điểm M,O cố định nên G cố định.
0.25
0.25
0.25
0.25
Học sinh giải cách khác nếu đúng đầy đủ vẫn được điểm tối đa.
Điểm toàn bài không làm tròn số.
Vẽ OH
⊥
BC => HM = HN
Và HB = HC
·
0
90AMN =
nên AN là đg kính
của đtròn (O;r)
OH là đường Trg bình của
AMN∆
=> MA = 2 OH
MA
2
= 4 OH
2
(1)
MB
2
+ MC
2
= (HB - HM)
2
+
(HC+HM)
2
= (HB-HM)
2
+ (HB+HM)
2
= 2(HB
2
+HM
2
)
