đề thi vào lớp 10.hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (102.73 KB, 5 trang )
đề thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2008-2009
Môn: Toán - lớp 9
(Thời gian làm bài 120')
Câu 1: Cho biểu thức P=
2 2
5 5
2( 5)
x x
x
x x
+
với x
5
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị x để P
1
2
Câu 2: Giải phơng trình: a)
2
(3 1) ( 1) 2x x x x
x
+ =
b) (x-1)
2008
+ (x-2)
2008
=1
Câu 3: Cho đa thức: P=(x+y+z)
3
-x
3
-y
3
-z
3
. Hãy chứng tỏ:
a) P = 0 thì (x
2007
+y
2007
)(y
2009
+z
2009
)(z
2011
+x
2011
) = 0
b) Nếu x,y,z là các số nguyên cùng tính chẵn, lẽ thì P
M
24
Câu 4: Cho 8x
2
+y
2
+
2
1
4x
= 4 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A = xy
Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD), E là giao điểm của DA và CB, F là
giao điểm của hai đờng chéo. Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của
các cạnh AB và CD
Câu 6: Cho tam giác ABC gọi độ dài ba cạnh AB, AC, BC theo thứ tự là c, b,
a các
đờng cao hạ từ A, B, C tơng ứng là h
a
, h
b
, h
c
. Chứng minh rằng:
a)
1 1 1
a b c
h h h
+ +
=
1
r
với r là bán kính đuờng tròn nội tiếp tam giác ABC
b) (a+b+c)
2
4(
2 2 2
a b c
h h h
+ +
)
Câu 7: Tìm các số nguyên x,y thoã mãn: (y+2)x
2
+1 = y
2
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện lớp 9
năm học 2008-2009
Môn: Toán - lớp 9
Đáp án
Câu 1. (3 điểm) Cho biểu thức P=
2 2
5 5
2( 5)
x x
x
x x
+
với x
5
a/ Rút gọn biểu thức P
Ta có P
2
=
5 2 ( 5)( 5) 5 5 2 ( 5)( 5) 5
2( 5)
x x x x x x x x
x
+ + + + + + +
=
2 2
5 5 5 5x x x x
+ + +
:
2( 5)x
=
5 5 5 5
2( 5)
x x x x
x
+ + + +
=
2 5 2
2( 5)
5
x
x
x
=
P=
1
5x
b/ Tìm các giá trị x để P
1
2
Ta có P
1
2
1
5x
1
2
5x
2
0
x-
5
4
0
x
4+
5
kết hợp với x
5
ta đợc:
5
x
4+
5
Câu 2: ( 3 điểm)
a/ Giải phơng trình:
2
(3 1) ( 1) 2x x x x
x
+ =
ĐK:
(3 1) 0
( 1) 0
(3 1) ( 1)
x x
x x
x x x x
+
+
Với điều kiện trên bình phơng hai vế ta đợc PT :x(3x+1)+x(x-1)-2
2 2
(3 1)( 1) 4x x
x x
+ =
2
2
(3 1)( 1) 0x x
x
+ =
0
1
3
1
x
x
x
=
=
=
Kết hợp với điều kiện đợc tập nghiệm của PT là: S=
{ }
0;1;
b/ (x-1)
2008
+ (x-2)
2008
=1
2008 2008
1
1 2x x
+ =
-Ta nhận thấy x= 2 là một nghiệm của PT
- Nừu x
2 thì vế trái
1 nên x
2 không phải là nghiệm của PT
- Nếu x
1 thì vế trái
1 nên x
1 không phải là mhgiệm của PT
- Nếu 1
x
2 thì
1 1x
và
2 1x
khi đó
2008 2008
1 2x x
+ =
2008 2008
1 2x x
+
x-1+2-x = 1 nên 1
x
2 không
phải là nghiệm của PT
Vậy PT đã cho có nghiệm là x=2
Câu 3:( 3 điểm) Biến đổi rút gọn P ta đợc: P=3(x+y)(y+z)(x+z)
a/ P=3(x+y)(y+z)(x+z)=0
x y
y z
x z
=
=
=
(x
2007
+y
2007
)(y
2009
+z
2009
)(z
2011
+x
2011
)=0
b/ x,y, z cùng tính chẵn, lẽ thì x+y, y+z, x+z là các số chẵn
(x+y)(y+z)
(x+z)
M
8
P=3(x+y)(y+z)(x+z)
M
24
Câu 4: (3 điểm)Trớc hết ta có: (a-b)
2
0
với mọi a,b
a
2
+b
2
2ab
(a+b)
2
4ab
a+b
2 ab
với a,b không âm dấu bằng xẩy ra khi a=b. Do đó ta
có:
1
2
xy
Vậy: A
Max
=
1
2
đạt đợc khi
2
2
2
2
1
2
1
4
4
4
xy
x
x
y
x
=
=
=
1
2
1
x
y
=
=
và A
Min
= -
1
2
đạt đợc khi
2
2
2
2
1
2
1
4
4
4
xy
x
x
y
x
=
=
=
1
2
1
x
y
=
=
Câu 5: ( 3 điểm)
Qua F ta vẽ đờng thẳng song song với DC cắt AD,BC tại M và N
áp dụng định lý ta lét trong các tam giác ADC và BDC có:
AF FM
AC DC
=
và
BF FN
BD DC
=
mà do AB//DC nên
AF BF
AC BD
=
MF FN
DC DC
=
FM=FN
KA=KB, QD=QC
Q
K
N
M
F
E
D
C
B
A
Câu 6: (3 điểm) a/Ta có
.
a
a
a
h
=
2
a
S
. . .
a b c
a b c
a b c
h h h
+ +
=
2
a b c
S
+ +
=r
1 1 1
a b c
h h h
+ +
=
1
r
(đpcm)
b/ Qua A vẽ đờng thẳng d//BC, lấy M đối xứng với B
qua d khi đó MB = 2
a
h
Theo định lý Pi ta go trong tam giác vuông MBC ta có:
BM
2
+BC
2
= MC
2
(MA+AC)
2
BM
2
(b+c)
2
-a
2
Tức là: 4
2
a
h
(b+c)
2
-a
2
Tơng tự ta có: 4
2
b
h
(a+c)
2
-b
2
4
2
c
h
(a+b)
2
-c
2
Suy ra: 4(
2
a
h
+
2
b
h
+
2
c
h
)
(a+b+c)
2
(đpcm)
B
h
a
A
C
M
Câu 7: ( 2 điểm) Ta có:
(y+2)x
2
+1=y
2
(y+2)x
2
=y
2
-1
(1)
Dễ thấy y
-2
Nên (1)
x
2
=
2
1
0
2y
y
+
nên
2 1
1
y
y
(I)
Mà với y
Z
thì ( y
2
-4)
M
(y+2) nên -3
M
( y+2) để x
2
=
2
1
2
Z
y
y
+
y
{ }
1, 3,1, 5
kết hợp với (I) ta đợc:
Vậy: (x,y) = (0,-1)
