TĨNH HỌC VẬT RẮN
Tĩnh học vật rắn là một bộ phận của cơ học nghiên cứu điều kiện cân
bằng của vật rắn dưới tác dụng của các lực, cụ thể trong chương trình THPT
trình bày điều kiện cân bằng trong một số trường hợp sau: vật chịu tác dụng
của hai lực, của ba lực, vật có giá đỡ, vật có trục quay cố định.
I. Các vấn đề chung
1. Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình
CHỦ ĐỀ MỨC ĐỘ CẦN ĐẠT GHI CHÚ
a) Cân bằng của một vật rắn chịu
tác dụng của hai hay ba lực
không song song.
b) Cân bằng của vật rắn chịu tác
dụng của các lực song song.
c) Cân bằng của vật rắn có trục
quay cố định. Quy tắc momen
lực. Ngẫu lực
d) Chuyển động tịnh tiến của vật
rắn.
e) Chuyển động quay của vật rắn
quanh một trục cố định
Kiến thức
Phát biểu được điều kiện cân bằng của một vật rắn
chịu tác dụng của hai hay ba lực không song song.
Phát biểu được quy tắc xác định hợp lực của hai lực
song song cùng chiều.
Nêu được trọng tâm của một vật là gì.
Phát biểu được định nghĩa, viết được công thức tính
momen lực và nêu được đơn vị đo momen lực.
Phát biểu được điều kiện cân bằng của một vật rắn có
trục quay cố định.
Phát biểu được định nghĩa ngẫu lực và nêu được tác

dụng của ngẫu lực. Viết được công thức tính momen ngẫu
lực.
Nêu được điều kiện cân bằng của một vật có mặt chân
đế. Nhận biết được các dạng cân bằng bền, cân bằng
không bền, cân bằng phiếm định của một vật rắn.
Nêu được đặc điểm để nhận biết chuyển động tịnh
tiến của một vật rắn.
Nêu được, khi vật rắn chịu tác dụng của một momen
lực khác không, thì chuyển động quay quanh một trục cố
định của nó bị biến đổi (quay nhanh dần hoặc chậm dần).
Nêu được ví dụ về sự biến đổi chuyển động quay của
vật rắn phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng của vật đối
với trục quay.
Kĩ năng
Vận dụng được điều kiện cân bằng và quy tắc tổng
hợp lực để giải các bài tập đối với trường hợp vật chịu tác
dụng của ba lực đồng quy.
Vận dụng được quy tắc xác định hợp lực để giải các
bài tập đối với vật chịu tác dụng của hai lực song song
cùng chiều.
Trọng tâm của một vật là
điểm đặt của trọng lực.
Vận dụng quy tắc momen lực để giải được các bài
toán về điều kiện cân bằng của vật rắn có trục quay cố
định khi chịu tác dụng của hai lực.
Xác định được trọng tâm của các vật phẳng đồng chất
bằng thí nghiệm.
I.2. Hướng dẫn thực hiện
1. CÂN BẰNG CỦA MỘT VẬT CHỊU TÁC DỤNG CỦA HAI LỰC VÀ CỦA BA
LỰC KHÔNG SONG SONG

Stt
Chuẩn KT, KN quy định
trong chương trình
Mức độ thể hiện cụ thể của chuẩn KT, KN Ghi chú
1
Phát biểu được điều kiện
cân bằng của một vật rắn
chịu tác dụng của hai hoặc
ba lực không song song.
Vận dụng được điều kiện
cân bằng và quy tắc tổng
hợp lực để giải các bài tập
đối với trường hợp vật chịu
tác dụng của ba lực đồng
quy.
[Thông hiểu]
• Điều kiện cân bằng của một vật chịu tác dụng của hai
lực :
Muốn cho một vật chịu tác dụng của hai lực ở trạng thái
cân bằng thì hai lực đó phải cùng giá, cùng độ lớn và
ngược chiều.
1 2
F F= −
ur ur
• Điều kiện cân bằng của một vật chịu tác dụng của ba lực
không song song :
Ba lực đó phải có giá đồng phẳng và đồng quy
Hợp lực của hai lực phải cân bằng với lực thứ ba
2 3
1

F F F+ = −
ur ur ur
• Quy tắc tổng hợp hai lực đồng quy :
Muốn tổng hợp hai lực có giá đồng quy tác dụng lên một
vật rắn, trước hết ta trượt hai vectơ lực đó trên giá của
chúng đến điểm đồng quy, rồi áp dụng quy tắc hình bình
hành để tìm hợp lực.
[Vận dụng]
Biết cách chỉ ra các lực và áp dụng điều kiện cân bằng,
quy tắc tổng hợp lực để giải các bài tập đối với trường hợp
vật chịu tác dụng của ba lực đồng quy.
2 Nêu được trọng tâm của
một vật là gì.
Xác định được trọng tâm
của các vật phẳng, đồng
chất bằng thí nghiệm.
[Thông hiểu]
• Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực tác dụng lên vật.
• Để xác định trọng tâm của vật phẳng, đồng chất bằng
phương pháp thực nghiệm, ta treo vật bằng sợi dây lần
lượt ở hai vị trí khác nhau. Giao điểm của phương sợi dây
kẻ trên vật giữa hai lần treo chính là trọng tâm của vật.
Có thể yêu cầu HS làm
thực hành xác định trọng
tâm của vật rắn phẳng,
mỏng ở nhà.
Vật phẳng, mỏng, đồng
chất hình tam giác, hình
chữ nhật, hình vuông,
Đối với những vật rắn phẳng đồng tính có dạng hình học

đối xứng thì trọng tâm nằm ở tâm đối xứng của vật.
hình tròn, có trọng tâm
chính là tâm đối xứng
hình học của vật.
2. CÂN BẰNG CỦA MỘT VẬT CÓ TRỤC QUAY CỐ ĐỊNH. MOMEN LỰC
Stt
Chuẩn KT, KN quy định
trong chương trình
Mức độ thể hiện cụ thể của chuẩn KT, KN Ghi chú
1 Phát biểu được định nghĩa,
viết được công thức tính
momen của lực và nêu được
đơn vị đo momen của lực.
[Thông hiểu]
• Momen của lực đối với một trục quay là đại lượng
đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực và được đo
bằng tích của lực với cánh tay đòn của nó.
• Công thức tính momen của lực:
M = F.d
trong đó, d là cánh tay đòn, là khoảng cách từ trục
quay đến giá của lực
F
ur
(
F
ur
nằm trong mặt phẳng vuông
góc với trục quay).
• Trong hệ SI, đơn vị của momen lực là niutơn mét
(N.m).

2 Phát biểu được điều kiện cân
bằng của một vật rắn có trục
quay cố định.
Vận dụng quy tắc momen lực
để giải được các bài toán về
điều kiện cân bằng của vật
rắn có trục quay cố định khi
chịu tác dụng của hai lực.
[Thông hiểu]
Quy tắc momen lực :
Muốn cho một vật có trục quay cố định ở trạng thái
cân bằng, thì tổng các momen lực có xu hướng làm vật
quay theo chiều kim đồng hồ phải bằng tổng các
momen lực có xu hướng làm vật quay ngược chiều kim
đồng hồ.
M = M’
trong đó, M là tổng các momen lực có xu hướng làm
cho vật quay theo chiều kim đồng hồ, M’ là tổng các
momen lực có xu hướng làm cho vật quay ngược chiều
kim đồng hồ
[Vận dụng]
Biết cách chỉ ra các lực, tính được momen của các lực
tác dụng lên vật và áp dụng quy tắc momen lực để giải
bài tập.
Quy tắc momen lực còn
được áp dụng cho trường
hợp vật rắn không có trục
quay cố định, nếu trong
một tình huống cụ thể nào
đó, ở vật xuất hiện trục

quay.
3. QUY TC HP LC SONG SONG CNG CHIU
Stt
Chun KT, KN quy nh
trong chng trỡnh
Mc th hin c th ca chun KT, KN Ghi chỳ
1 Phỏt biu c quy tc xỏc
nh hp lc ca hai lc
song song cựng chiu.
Vận dụng đợc quy tắc xác
định hợp lực song song để
giải các bài tập đối với vật
chịu tác dụng của hai lực
[Thụng hiu]
Quy tc xỏc nh hp lc ca hai lc song song cựng
chiu :
Hp lc ca hai lc
1
F
r
v
2
F
r
song song, cựng chiu,
tỏc dng vo vt rn l mt lc
F
r
song song, cựng chiu
vi hai lc v cú ln bng tng ln ca hai lc ú :

F = F
1
+ F
2
Giỏ ca
F
r
nm trong mt phng cha
1
F
r
,
2
F
r
v chia
khong cỏch gia hai lc ny thnh nhng on t l
nghch vi ln ca hai lc :
1 2
2 1
F d
F d
=
trong ú, d
1
v d
2
l khong cỏch t giỏ ca hp lc ti
giỏ ca lc
1

F
r
v giỏ ca lc
2
F
r
.
[Vn dng]
Bit cỏch ch ra cỏc lc v ỏp dng quy tc quy tắc xác
định hợp lực song song để giải các bài tập đối với vật
chịu tác dụng của hai lực.
4. CC DNG CN BNG. CN BNG CA MT VT Cể MT CHN
Stt
Chun KT, KN quy nh
trong chng trỡnh
Mc th hin c th ca chun KT, KN Ghi chỳ
1 Nhn bit c cỏc dng cõn
bng bn, cõn bng khụng
bn, cõn bng phim nh
ca vt rn.
[Nhn bit]
Cõn bng ca mt vt cú mt im ta hoc mt trc
quay c nh:
Cõn bng khụng bn : Mt vt b lch khi v trớ cõn
bng khụng bn thỡ vt khụng th t tr v v trớ ú c,
vỡ trng lc lm cho vt lch xa v trớ cõn bng.
Cõn bng bn : Mt vt b lch khi v trớ cõn bng bn
thỡ di tỏc dng ca trng lc, vt li tr v v trớ ú.
Cõn bng phim nh : Nu trng tõm ca vt trựng
vi trc quay thỡ vt trng thỏi cõn bng phim nh.

Trng lc khụng cũn tỏc dng lm quay v vt ng yờn
v trớ bt kỡ.
[Vn dng]
Bit cỏch nhn bit v ly c vớ d v cỏc dng cõn
bng ca mt vt cú mt im ta hoc mt trc quay c
nh trong trng trng lc.
2 Nờu c iu kin cõn bng
ca mt vt cú mt chõn .
[Nhn bit]
iu kin cõn bng ca mt vt cú mt chõn l giỏ ca
trng lc phi xuyờn qua mt chõn (hay l trng tõm
ri trờn mt chõn ).
Ch xột vt trong
trng trng lc.
Mt chõn l hỡnh a
giỏc li nh nht cha
tt c cỏc din tớch tip
xỳc.
Mc vng vng ca
cõn bng c xỏc
nh bi cao ca
trng tõm v din tớch
ca mt chõn . Trng
tõm ca vt cng cao
v din tớch ca mt
chõn cng nh thỡ
vt cng d b lt v
ngc li.
5. CHUYN NG TNH TIN CA VT RN.
CHUYN NG QUAY CA VT RN QUANH MT TRC C NH.

Stt
Chun KT, KN quy nh
trong chng trỡnh
Mc th hin c th ca chun KT, KN Ghi chỳ
1 Nờu c c im
nhn bit chuyn ng tnh
tin ca mt vt rn
[Thụng hiu]
Chuyn ng tnh tin ca mt vt rn l chuyn ng
trong ú ng thng ni hai im bt kỡ ca vt luụn
luụn song song vi chớnh nú.
Trong chuyn ng tnh tin, tt c cỏc im ca vt u
chuyn ng nh nhau, u cú cựng mt gia tc.
Cú th thay th vt
bng mt cht im v
ỏp dng c nh lut
II Niu-tn tớnh gia
tc ca vt :
F
a
m
=
ur
r
trong ú,
F
ur
l hp lc
ca cỏc lc tỏc dng
vo vt, m l khi

lng ca vt.
2 Nêu đợc, khi vật rắn chịu
tác dụng của một momen lực
khác không, thì chuyển
[Thụng hiu]
Momen lực tác dụng vào một vật quay quanh một trục cố
định làm thay đổi tốc độ góc của vật. Chuyển động
Mọi điểm của vật
đều quay với cùng một
tốc độ góc , gọi là
động quay quanh một trục
cố định của nó bị biến
đổi (quay nhanh dần hoặc
chậm dần).
Nêu đợc ví dụ về sự biến
đổi chuyển động quay của
vật rắn phụ thuộc vào sự
phân bố khối lợng của vật
đối với trục quay.
quay bị biến đổi, tức là quay nhanh dần hoặc quay
chậm dần.
tốc độ góc của vật.
Vật quay đều thì =
const, vật quay nhanh
dần thì tăng dần,
vật quay chậm dần
thì giảm dần.
Ví dụ : Khi biểu diễn
động tác quay trên
băng, ngời diễn viên

càng gập tay lại sát
thân thể thì quay
càng nhanh, và ngợc
lại, muốn giảm tốc độ
quay thì dang tay ra.
6. NGU LC
Stt
Chun KT, KN quy nh
trong chng trỡnh
Mc th hin c th ca chun KT, KN Ghi chỳ
1 Phỏt biu c nh ngha
ngu lc v nờu c tỏc
dng ca ngu lc.
Vit c cụng thc tớnh
momen ngu lc.
[Thụng hiu]
H hai lc song song, ngc chiu, cú ln bng
nhau v cựng tỏc dng vo mt vt gi l ngu lc.
Ngu lc tỏc dng vo vt ch lm cho vt quay ch
khụng tnh tin. Nu ch cú ngu lc tỏc dng v vt
khụng cú trc quay c nh, thỡ vt quay quanh trc i
qua trng tõm. Momen ca ngu lc l
M = Fd
trong ú, F l ln ca mi lc : F = F
1
= F
2
, d l cỏnh
tay ũn ca ngu lc (khong cỏch gia hai giỏ ca hai
lc).

Đơn vị của momen ngẫu lực là niutơn mét (N.m).
Momen ca ngu lc
khụng ph thuc vo
v trớ ca trc quay
vuụng gúc vi mt
phng cha ngu lc.
I.3. Kiến thức cơ bản
II. Phân tích kiến thức
II.1. Vật rắn
“Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng cách giữa hai chất
điểm bất kỳ không thay đổi”. Như vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích
thước, thể tích nhất định và không bị biến dạng hoặc bị gãy dưới tác dụng
của lực.
Vật rắn là vật có kích thước cụ thể nên chuyển động của vật rắn rất
phức tạp, nó vừa chuyển động tịnh tiến có gia tốc như một chất điển, đồng
thời nó chuyển động quay xung quanh một trục qua trọng tâm của vật.
“Vật rắn tuyệt đối là tập hợp vô hạn các chất điểm mà khoảng cách
giữa hai điểm bất kỳ luôn luôn không đổi” .
Trên thực tế, không có vật rắn tuyệt đối. Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của
các điều kiện bên ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng
cách giữa các phần tử trong vật có thay đổi đôi chút. Tuy nhiên, trong phạm
vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là không đáng kể thì ta coi vật đó là vật rắn.
Vật rắn trong đó khoảng cách giữa hai điểm không đổi trong suốt thời
gian chuyển động được gọi là vật rắn lý tưởng. Vật rắn lý tưởng giữ nguyên
hình dạng hình học của nó không phụ thuộc tác động của của các vật khác.
Vật rắn có kích thước đáng kể nên các lực tác dụng vào vật có thể đặt
vào vật tại những điểm khác nhau, điều này khác với chất điểm là các lực
tác dụng vào chất điểm đều có cùng điểm đặt.
II.2. Hệ lực cân bằng
Khi tổng các lực đặt lên vật rắn bằng không thì khối tâm của vật rắn

đứng yên hay chuyển động thẳng đều nhưng vật có thể quay nếu như
momen của lực khác không. Vậy điều kiện cần để vật đứng yên hay chuyển
động thẳng đều là ngoài tổng các lực tác dụng bằng không phải có tổng
momen lực đối với một điểm O bất kỳ bằng không.
Hệ lực mà có tổng các lực bằng không và tổng momen cũng bằng
không gọi là hệ lực cân bằng.
Khi có hệ lực cân bằng tác dụng lên vật thì cũng chưa đủ kết luận là
vật đứng yên mà phải xét thêm điều kiện ban đầu. Nếu vật ban đầu đứng
yên thì dưới tác dụng của hệ lực cân bằng vật rắn tiếp tục đứng yên.
Như vậy trong tĩnh học, hệ lực cân bằng là hệ lực tác dụng lên cùng một vật
rắn đứng yên làm cho vật tiếp tục đứng yên.
II.3. Hợp lực của hệ lực
Khi chịu tác dụng của một hay nhiều lực thì vật rắn thu gia tốc và
chuyển động. Trạng thái chuyển động của vật rắn được xác định bởi các
ngoại lực tác dụng lên vật và các momen của các lực này.
Như vậy, để nghiên cứu chuyển động của các vật rắn, trước tiên phải
biết được tất cả các lực tác dụng lên vật.
Trong một số trường hợp ta có thể thay hệ lực tác dụng lên vật rắn
bằng một lực duy nhất mà trạng thái chuyển động của vật không thay đổi.
Một lực duy nhất đạt được yêu cầu trên được gọi là hợp lực.
Hợp lực của một hệ lực là một lực bằng tổng các lực thành phần và
có điểm đặt sao cho momen của nó tác dụng lên vật bằng tổng momen của
các lực thành phần.
Hợp lực
F
r
của một hệ lực
i
F
r

thỏa mãn:
i
i
F F=
∑
r r
( )
i i
M r F= ∧
∑
r r
r
Tuy nhiên không phải bất kì hệ lực nào cũng có thể quy về một hợp
lực được.
F
r
F
r
2
F
r
1
Ι
r
0
Hình 1
II.3.1. Hợp lực của hệ lực đồng quy
Xét hệ lực đồng quy
1 2
, ,

n
F F F
r r r
.Cho mỗi lực
i
F
r
trượt trên giá của nó để
tất cả các lực
i
F
r
đều có điểm đặt tại điểm đồng quy I.
Lấy tổng các lực
i
F
r
theo quy tắc cộng vecto ta có lực
F
r
thỏa:
i
i
F F=
∑
r r
Dịch chuyển các lực như vậy cũng không làm thay đổi momen của
mỗi lực đối với một điểm bất kỳ vì cánh tay đòn của lực không hề thay đổi.
Khi đã có chung điểm đặt I thì các
vecto tia

i
r
r
của các lực
i
F
r
đều trùng với vecto
tia
r
r
của lực
F
r
(mút của
r
r
là điểm đặt của
F
r
):
( ) ( ) ( ) ( )
i i i i
i i i
M r F r F r F r F= ∧ = ∧ = ∧ = ∧
∑ ∑ ∑
r r r r r
r r r r
Do đó
F

r
là hợp lực của hệ lực
i
F
r

* Quy tắc tổng hợp hai lực đồng quy
Xét hai lực
1 2
,F F
r r
tác dụng lên cùng một
vật rắn, có giá cắt nhau tại một điểm I.
Để tổng hợp hai lực đồng quy làm như sau:
Ι
A
B
F
r
1
F
r
2
- Trượt hai lực trên giá của chúng cho tới khi điểm đồng quy.
- Áp dụng quy tắc hình bình hành, tìm hợp lực
F
r
của hai lực cùng đặt
trên điểm I :
II.3.2. Hợp lực của hệ lực song song

Giả sử ta có một hệ các lực song song. Hợp lực của hệ được xác định
như sau: gọi
e
r
là vecto đơn vị trên một trục song song với giá các lực
i
F
r
.
Mỗi lực
i
F
r
sẽ có biểu thức:
i i
F eF=
r
r
(F
i
>0 khi
i
F
r
cùng chiều với
e
r
và ngược
lại).
Hợp lực sẽ bằng :

i i
i i
F F e F= =
∑ ∑
r r
r
Điểm đặt của hợp lực
F
r
được xác định từ điều kiện:
( ) ( ) ( )
i i i
i i
r F r e F r Fe∧ = ∧ = ∧
∑ ∑
r
r r r r r
hay là
( ) ( )
i i i
i i
r F e r F e∧ = ∧
∑ ∑
r r r r
Từ đó suy ra:
i i
i
i
i
F r

r
F
=
∑
∑
r
r

Ι
F
r
1
F
r
2
Ι
F
r
1
F
r
2
1 2
F F F= +
r r r
II.3.2.1.Hợp hai lực song song
1
F
r
,

2
F
r
tác dụng lên vật
Từ
i i
i i
F F e F= =
∑ ∑
r r
r
và
i i
i
i
i
F r
r
F
=
∑
∑
r
r
có:
1 2
( )F e F F= +
r
r
1 1 2 2

1 2
r F r F
r
F F
+
=
+
r
Từ đó:
1 2
2 1
r r F
r r F
−
=
−
r r
r r
Gọi A, B, C là các điểm đặt của
1 2
, à FF F v
r r r
ta có
1 2
,r r AC r r CB− = − =
uuur uuur
r r r r
2
1
FAC

F
CB
=> =
uuur
uuur
* Nếu
1
F
r
và
2
F
r
cùng chiều thì
2
1
F
F
>0 và các vecto
,AC CB
uuur uuur
cùng chiều.
Ta nói điểm đặt C của hợp lực
F
r
chia trong đoạn thẳng AB thành
những đoạn tỷ lệ nghịch với các lực F
1
, F
2

.
II.3.2.2.Quy tắc hợp lực hai lực song song cùng chiều
A C B
F
r
F
r
2
F
r
1
r
r
r
1
2
Hình 2
Hợp lực của hai lực
F
r
1
và
F
r
2
song song, cùng chiều, tác dụng lên vật
rắn là một lực
F
r
song song, cùng chiều với hai lực đó và có độ lớn bằng

tổng độ lớn của hai lực đó.
F=F
1
+F
2
Giá của hợp lực
F
r
nằm trong mặt phẳng của
F
r
1
,
F
v
2
và chia khoảng
cách giữa hai lực này thành những đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn của hai lực
đó.
1 2
2 1
d F
=
d F
(chia trong)
Trong đó d
1
và d
2
là cánh tay đòn của hai lực.

* Nếu
1
F
r
và
2
F
r
ngược chiều thì
2
1
F
F
<0 và các vecto
,AC CB
uuur uuur
ngược chiều.
A
C
B
F
r
F
r
2
F
r
1
e
r

1
r
2
0
r
Hình 3
O
1
O
O
2
h
1
h
2
d
1
d
1
F
r
2
F
r
1
F
r
Ta nói điểm đặt C của hợp lực
F
r

chia ngoài đoạn thẳng AB thành
những đoạn tỷ lệ nghịch với các lực F
1
, F
2
.
II.3.2.3.Quy tắc hợp lực hai lực song song trái chiều
Hợp lực của hai lực
F
r
1
và
F
r
2
song song, trái chiều, tác dụng lên vật
rắn là một lực
F
r
có những đặt điểm:
- Song song, cùng chiều với lực thành phần có độ lớn lớn hơn lực
thành phần kia (
2
F
r
)
-Có độ lớn bằng hiệu độ lớn của hai lực thành phần F=F
2
-F
1

- Giá của hợp lực
F
r
nằm trong mặt phẳng của
F
r
1
,
F
v
2
khoảng cách
giữa giá của hợp lực với giá của hai lực thành phần tuân theo công thức
1 2
2 1
d F
=
d F
1
d
2
d
d
1
F
r
2
F
r
F

r
Hình 4
Hình 5
Trong đó khoảng cách d giữa giá của hai lực thành phần được chia
ngoài theo tỉ lệ nghịch với độ lớn của hai lực đó.
II.4. Cân bằng của vật rắn
II.4.1. Trạng thái cân bằng của vật rắn
Vật rắn được gọi là cân bằng khi vị trí của nó không thay đổi so với
vị trí của một vật nào đó được chọn làm chuẩn được gọi là hệ quy chiếu.
Cân bằng của vật rắn là hình thức vật rắn giữ nguyên trạng thái đứng
yên hoặc chuyển động thẳng đều của mình. Đó gọi là trạng trái cân bằng.
Nếu một hạt – một chất điểm – đứng yên trong hệ quy chiếu quán tính
nào đó, thì gia tốc của nó bằng không và theo định luật II Newton, tổng hợp
lực tác dụng lên hạt bằng không. Đây là điều kiện cần và đủ để một hạt ở
trạng thái cân bằng. Nhưng trong thực tế, thay vì các vật xem là chất điểm ta
thường phải làm việc với các vật có kích thước, thể tích không thể xem là
chất điểm.
Một vật ở trạng thái cân bằng nếu mọi điểm trên vật là đứng yên và
mãi mãi đứng yên.
Tất nhiên, nếu một vật ở trạng thái cân bằng trong hệ quy chiếu quán
tính nào đó, thì tất cả các điểm của nó sẽ chuyển động với cùng một vận tốc
không đổi trong một hệ quy chiếu khác. Chúng ta sẽ chọn hệ quy chiếu
trong đó vật đứng yên để xét sự cân bằng.
Chuyển động khối tâm của một vật được xác định bởi các ngoại lực
ng C
F Ma=
r
r
. Vật sẽ được nói là ở trạng thái cân bằng tịnh tiến nếu gia tốc của
khối tâm a

C
bằng không. Nhưng nếu a
C
= 0 thì:
0
ng
F =
r
. Đây chính là điều
kiện cân bằng tịnh tiến. Tuy nhiên, thậm chí nếu khối tâm của một rắn dứng
yên, thì vật đó không nhất thiết phải ở trạng thái cân bằng. Nó vẫn có sự
thay đổi định hướng trong không gian của nó, chẳng hạn bằng cách quay
quanh khối tâm đứng yên. Một vật không quay, hoặc quay đều xung quanh
một trục được xem là trạng thái cân bằng quay.
Một vật rắn ở trạng thái cân bằng sẽ không chuyển động tịnh tiến và
cúng không quay, vì vậy nó vừa là cân bằng tịnh tiến vừa cân bằng quay.
II.4.2. Các dạng cân bằng
- Một vật rắn trở về trạng thái cân bằng sau khi bị một lực đẩy ra khỏi
vị trí đó, thì vật được gọi là ở vị trí cân bằng bền.
- Một vật ở vị trí cân bằng, nếu có một lực nhỏ có thể làm vật dịch
chuyển và phá vỡ sự cân bằng đó, thì vật được gọi là ở vị trí cân bằng
không bền.
- Một vật cân bằng ở bất kỳ vị trí nào, thì vật được gọi là ở vị trí cân
bằng phiến định.
II.4.3. Điều kiện cân bằng của vật rắn
Điều kiện cân bằng tịnh tiến của vật được cho
bởi phương trình
0
ng
F =

r
. Một vật rắn ở trạng thái cân bằng cũng phải là cân
bằng tịnh tiến và cân bằng quay. Điều kiện cân bằng quay được phát biểu
qua momen của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Cân bằng quay đòi hỏi
sự cân bằng quay của các xu hướng làm quay thuận chiều và ngược chiều
kim đồng hồ đối với một trục bất kỳ. Tức là sự cân bằng của các momen lực
đối với trục đó. Điều kiện này có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình
sau:
0
ng
M =
uur
Gộp các điều kiện cân bằng tịnh tiến và điều kiện cân bằng quay ta
được điều kiện cân bằng của một vật rắn.
Đối với một vật rắn ở trạng thái cân bằng, tổng các ngoại lực bằng
không và tổng các momen ngoại lực cũng bằng không.
0
ng
F =
r
và
0
ng
M =
uur
Trạng thái cân bằng khi không có chuyển động tịnh tiến: đó là trạng
thái cân bằng của một vật có trục quay cố định, vật không thể chuyển động
tịnh tiến được, vật chỉ có thể quay quanh một trục mà thôi. Khi ấy chuyển
động tịnh tiến bị khử bởi phản lực của trục quay
Trạng thái cân bằng khi không có chuyển động quay: giả sử có hai lực

tác dụng vào vật làm cho vật chuyển động tịnh tiến chứ không quay. Muốn
thế thì hợp lực của hai lực này phải có giá đi qua trọng tâm của vật. Ta có
thể buộc vật phải đứng yên hay chuyển động tịnh tiến thẳng đều bằng cách
tác dụng thêm vào vật một lực thứ ba cùng giá, cùng độ lớn nhưng ngược
chiều với hợp lực trên. Khi ấy trạng thái cân bằng của một vật được gọi là
trạng thái cân bằng khi không có chuyển động quay.
Mỗi phương trình vectơ trên đều có các thành phần x, y và z vì vậy có
tất cả 6 phương trình. Tuy nhiên, trong nhiều tình huống, tất cả các ngoại
lực đều nằm trong cùng một mặt phẳng đã cho mà ta giả sử là mặt phẳng xy.
Những lực như vậy được gọi là đồng phẳng và chúng sẽ giới hạn chỉ xét các
lực đồng phẳng. Khi đó các ngoại lực sẽ chỉ có các thành phàn x, y và các
momen ngoại lực chỉ có thành phần z. Các thành phần của momen lực này
tương ứng với các momen thuận chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim
đồng hồ với một trục nào đó vuông góc với mặt phẳng xy. Các điều kiện cân
bằng bây giờ trở thành:
0
x
F =
;
0
y
F =
và
,
0
z ng
M =
Các phương trình trên có thể giải được cho nhiều nhất là ba ẩn
số. Các phương trình này chứa các lực, các khoảng cách, các góc.
II.4.3.1. Cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của hai lực

Xét một vật rắn chịu tác dụng của hai lực
1
F
r
và
2
F
r
. Hai lực này không
song song và cùng nằm trên một mặt phẳng, có giá của hai lực này sẽ cắt tại
một điểm I.
Theo quy tắc tổng hợp hai lực đồng quy, ta trượt lên giá của chúng
cho tới khi điểm đặt hai lực là I, lấy tổng hai lực
1
F
r
và
2
F
r
theo quy tắc cộng
vecto ta có lực
F
r
,
1 2
F=F +F
r r r
và
F

r
cũng là hợp lực của hai lực đó.
Theo điều cân bằng của vật rắn, để vật rắn cân bằng, hợp lực này có
tổng các lực thỏa mãn (6), nên:
F
r
= 0 hay ta có
1
F
r
+
2
F
r
= 0 =>
1
F
r
= -
2
F
r
Như vậy, điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hai lực:
muốn cho vật rắn chịu tác dụng của hai lực ở trạng thái cân bằng thì hai
lực phải trực đối nhau.
Do ta xét hai lực
1
F
r
và

2
F
r
đặt vào cùng vật rắn, nên điều kiện cân bằng
của vật rắn dưới tác dụng của hai lực là hai lực cân bằng nhau: cùng giá,
cùng độ lớn, ngược chiều, cùng đặt vào vật.
Nếu hai lực có giá không cắt nhau thì chuyển động của vật rắn rất
phức tạp, ban đầu vật rắn có thể chuyển động theo hai phương của hai lực
thành phần, sau đó vật rắn sẽ chuyển động theo tác dụng của hợp lực hai lực
này. Trong chương trình SGK ta chỉ xét trường hệ lực tác dụng lên vật rắn
đồng quy hoặc cắt nhau.
II.4.3.2. Cân bằng của vật rắn trên giá đỡ nằm ngang
Xét vật rắn trên giá đỡ nằm ngang thì trọng lực
P
r
đặt tại trọng tâm ép
vật vào giá đỡ, vật tác dụng lên giá đỡ một lực. Phản lực
N
r
của mặt phẳng
tác lên vật hướng lên trên. Vật rắn chịu tác dụng hệ hai lực nằm cân bằng
khi
P
r
và
N
r
là hai lực trực đối (
0P N+ =
r r

).
Phản lực
N
r
của giá đỡ nằm ngang bao giờ cũng nằm ngang bao giờ
cũng đặt lên vật ở diện tích tiếp xúc (mặt chân đế). Nếu đường thẳng đứng
vẽ từ trọng tâm của vật không đi qua diện tích tiếp xúc thì trọng lực
P
r
và
N
r

có giá khác nhau, không thể là hai lực trực đối được. Do đó vật rắn không
thể cân bằng.
Mặt chân đế của một người đứng trên mặt
đất
N
r
P
r
Hình 6
Vậy điều kiện cân bằng của vật rắn có mặt chân đế: Đường thẳng
đứng qua trọng tâm của vật gặp mặt chân đế.
* Mặt chân đế là hình đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các diện tích
tiếp xúc.
II.4.3.3. Cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của ba lực không song
song
Xét vật rắn chịu tác dụng
của nhiều lực

1
F
r
,
2
F
r
,
3
F
r
. Cũng
tương tự, ta xét các lực này cùng
nằm trên một mặt phẳng, điểm
đặt các lực này khác nhau và giá
của các lực thành phần cắt nhau
tại một điểm I, điểm này là điểm
đồng quy và hệ lực này là hệ lực
đồng quy .
Theo cách tìm hợp lực của hệ lực đồng quy ở phần trên, bằng cách
trượt các điểm đặt của của các lực thành phần trên giá của chúng đến điểm
đồng quy I, lấy tổng các lực theo quy tác cộng vecto ta có lực
F
r
và
F
r
cũng
chính là hợp lực của hệ ba lực trên.
Từ điều kiện cân bằng:


1 2 3
0F F F F= + + =
r r r r
Hay
)(0
213321
FFFFFF
rrrrrr
+−=⇒=++
Hình
1
F
r
2
F
r
-3
F
r
3
F
r
I
Hình 7
Từ công thức trên ta thấy lực tổng hợp hai lực bất kỳ phải cân bằng
với lực thứ ba. Vậy điều kiện cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của ba lực
đồng quy là: Điều kiện cân bằng của một vật rắn chịu tác dụng của ba lực
không song song là hợp lực của hai lực bất kì cân bằng với lực thứ ba.
II.4.3.4. Cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của ba song song

Xét vật rắn chịu tác dụng của ba lực song song là
1
F
r
,
2
F
r
và
3
F
r
.
Tương tự như trường hợp vật rắn chịu tác dụng của ba lực không song
song, ta tìm hợp lực của hai lực song song
1
F
r
và
2
F
r
, sau đó tìm hợp lực của
1 2
( )F F+
r r
và
3
F
r


Ta có:
1 2 3 1 2 3
F +F +F =0 (F +F )=-F
ur uur uur ur uur uur
Þ
Ta đi tới một kết luận: Điều kiện cân bằng của một vật rắn dưới tác
dụng của ba lực
1
F
r

2
F
r
và
3
F
r
song song là hợp của hai lực bất kỳ phải cân
bằng với lực thứ ba.
Độ lớn của lực
3
F
r
bằng độ lớn của hợp lực
1 2
( )F F+
r r
, tức: F

3
=F
1
+F
2
Giá của lực
3
F
r
cũng là giá của
21
FF
rr
+
chia khoảng cách giá hai lực
này theo tỷ lệ nghịch với độ lớn.
1 2
2 1
d F
=
d F
( chia trong)
II.5. Trọng tâm
Nếu F
i
là trọng lực tác dụng lên từng phần tử m
i
của một vật rắn thì
các lực F
i

coi như song song nếu vật có kích thước không lớn. Lúc này
F
i
=m
i
g
i
. Thay giá trị này vào công thức (4) được:
i i i
i i
m g r
r
m g
=
∑
∑
r
r
Điểm đặt của hợp lực
F
r
(trong trường hợp này là trọng lực tác dụng
lên vật) được xác định bằng mút của vecto
r
r
theo công thức gọi là trọng
tâm của vật rắn.
Nếu trọng trường là đều (g=const) thì:
i i
i

m r
r
m
=
∑
∑
r
r
Biểu thức này cho thấy mút của
r
r
là khối tâm của vật rắn. Hay trong
trọng trường đều thì trọng tâm của vật trùng với khối tâm của nó.
Như vậy vật rắn có điểm đặc biệt gọi là trọng tâm. Trọng tâm là điểm
đặt của hợp lực của tất cả các trọng lực nguyên tố tác dụng lên các phần tử
nhỏ của vật. Trọng tâm có vị trí không đổi đối với vật rắn và khi vật rắn dời
chỗ thì trọng tâm của vật cũng dời chỗ như một điểm của vật. Trọng tâm có
thể nằm ngoài vật rắn.
* Trọng tâm là một điểm rất đặc biệt của vật rắn vì:
- Nếu vật rắn chuyển động tự do trên một mặt phẳng, thì ta có thể xác
định được quỹ đạo của trọng tâm. Vì vậy trọng tâm được gọi là tâm quán
tính để chỉ đặc điểm của chuyển động do quán tính của vật rắn.
- Nếu tác dụng vào vật rắn một lực có giá đi qua trọng tâm thì vật rắn
sẽ chuyển động tịnh tiến giống như một chất điểm có khối lượng tập trung ở
trọng tâm.
- Nếu tác dụng vào vật rắn một lực có giá không đi qua trọng tâm thì
vật rắn sẽ đồng thời tham gia hai chuyển động: chuyển động tịnh tiến và
chuyển động quay quanh một trục đi qua trọng tâm.
* Trọng tâm của một số vật rắn có tính chất đặc biệt:
- Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì trọng tâm của

nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng).
- Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của các phần đó nằm trên một
đường thẳng (mặt phẳng) thì trọng tâm của vật cùng nằm trên đường thẳng
(mặt phẳng) đó.
*Như vậy ta có thể xác định trọng tâm của một số vật rắn thường gặp
như sau:
- Trọng tâm của thanh đồng chất là một điểm nằm ở giữa thanh.
- Trọng tâm của các hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, khối
hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phương đồng chất là tâm của chúng.
- Trọng tâm của tam giác đồng dạng là giao điểm của ba đường trung
tuyến.
II.6. Ngẫu lực
Hai lực song song, ngược chiều, có độ lớn bằng nhau và cùng tác
dụng vào một vật gọi là ngẫu lực.
Ngẫu lực tác dụng vào vật chỉ làm cho vật quay chứ không tịnh tiến.
Momen ngẫu lực M = Fd khong phụ thuộc vào vị trí trục quay vuong
góc với mặt phẳng ngẫu lực.
Hình 8
Vật rắn chịu tác dụng của các lực, nhưng có trường hợp tổng các lực
đặt lên vật rắn bằng không mà vẫn không có hợp lực, lúc này tác dụng của
hệ lực lên vật hoàn toàn được xác định bằng tổng momen lực. Hệ lực đơn
giản nhất có tổng các lực bằng không và tổng momen khác không là hệ hai
lực song song, ngược chiều và cùng độ lớn. Hệ lực như thế gọi là một cặp
lực hay ngẫu lực.
Mặt phẳng chứa cặp lực là mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực. Momen
các ngẫu lực bằng:
1 1 2 2
( ) ( )M r F r F= ∧ + ∧
r r r
r r

Vì
1 2
,F F F F= = −
r r r r
nên
1 1 2 2
( ) ( )M r F r F= ∧ + ∧ −
r r r
r r
1 2
[( ) ] ( )M r r F BA F= − ∧ = ∧
uuur
r r r
r r
Vectơ momen ngẫu lực
M
r
có phương vuông góc với mặt phẳng tác
dụng của nó và có độ lớn bằng F.d, (đơn vị của momen ngẫu lực là N.m),
trong đó d là khoảng cách giữa hai giá và gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực.
Ngẫu lực có tác dụng làm cho vật rắn quay. Ví dụ để vặn đinh ốc,
người ta dùng tuanơvit tác dụng ngẫu lực lên đinh ốc; khi vặn vòi nước ta đã
tác dụng vào vòi nước một ngẫu lực.

Hình 9
Khi dịch chuyển ngẫu lực trong mặt phẳng song song với mặt phẳng tác
dụng của nó thì vecto momen ngẫu lực không đổi, kết quả là tác dụng của
ngẫu lực lên vật rắn không đổi.
Nếu tác dụng lên vật rắn có nhiều ngẫu lực thì tổng các lực bằng không
và tổng các momen lực bằng tổng các momen của các ngẫu lực thành phần.

i
M M=
∑
r r
II.7. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục
II.7.1. Momen quay (momen lực)
Cánh cửa ra vào là vật rắn có trục quay cố định. Khi quan sát thì thấy
quả nắm cánh cửa được đặt hết sức xa bản lề cửa. Nếu muốn mở một cánh
cửa, cần phải tác dụng một lực. Tuy nhiên, phải đặt lực vào chỗ nào và đẩy
theo hướng nào là rất quan trọng. Nếu đặt lực gần bản lề hơn quả nắm, hoặc
dưới một góc bất kỳ khác 90
0
đối với mặt phẳng của cửa, thì phải dùng một
lực lớn hơn, so với khi đặt lực vào quả nắm và vuông góc với mặt phẳng
cửa.
Xét một vật có thể quay được quanh một trục đi qua O và vuông góc
với tiết diện. Một lực
F
r
được đặt vào điểm P, vị trí của nó đối với O được
xác định bởi vectơ vị trí
r
r
. Các vecto
F
r
và
r
r
làm với nhau một góc

φ
(chỉ
xét những lực không có thành phần song song với trục quay).
r
O
F
P
φ
r
O
F
P
φ
F
t
r
O
F
P
φ
r
v
F
r