Tài liệu môn toán " ma trận nghịch đảo" pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (67.15 KB, 3 trang )
• Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả
các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng
không.
• Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.
Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó
• Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên vành V nếu tồn tại ma trận A'
cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của
ma trận A, kí hiệu là A
−1
.
Các tính chất
1. Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là
phần tử khả nghịch trong vành V.
2. Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức
của nó khác 0.
3. Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
4. Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và (AB)
− 1
= B
− 1
A
− 1
.
5. Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với phép
nhân ma trận.
Tìm ma trận nghịch đảo
Định thức con và phần bù đại số
• Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử a
ij
. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra
từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng
với phần tử a
ij
, ký hiệu là M
ij
.
• Định thức con M
ij
với dấu bằng (-1)
i+j
được gọi là phần bù đại số của phần tử a
ij
, kí
hiệu là A
ij
.
Ví dụ: Cho ma trận
.
Khi đó
Tương tự A
12
=0; A
13
=0; A
21
=-3 ;A
22
=3 ;A
23
=0;A
31
=-1 ;A
32
=-1;A
33
=2;
Công thức tính ma trận nghịch đảo
Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính
bằng công thức:
Ví dụ
Trong ví dụ trên, ta có
=
Ví dụ: Cho ma trận
. Khi đó
Tương tự A12=0; A13=0; A21=0 ;A22=6 ;A23=0;A31=-1 ;A32=-1;A33=2; [sửa] Công
thức tính ma trận nghịch đảo Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận
nghịch đảo của A được tính bằng công thức:
Ví dụ Trong ví dụ trên, ta có
=
Các bước tìm ma trận nghịch đảo
• Bước 1: Tính định thức của ma trận A
Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo A
− 1
Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo A
− 1
, chuyển sang bước 2
• Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A.
• Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau
A
*
= (A'
ij
)
nm
với A' = (A'
ij
) là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A'.
• Bước 4: Tính ma trận
Ví dụ
Cho . Tính A
− 1
, nếu có.
Đáp án
Ma trận liên hợp: .
Ma trận nghịch đảo:
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép khử Gauss-Jordan
Phép khử Gauss-Jordan là một phương pháp số tìm ma trận nghịch đảo. Ví dụ
Cho viet them ma tran don vi co cap bang cap ma tran A vao ngay sau
ma tran A. Duoc phan cach bang duong gach ngang. ===>
. Sau do dung phep bien doi so cap bien doi ma
tran A da cho dan ve ma tran don vi, khi do ma tran don vi vua viet se tro thanh ma
tran nghich dao cua ma tran A can tim.
