C2. Mô Tả Toán Học 1

Chương 2

MÔ TẢ TOÁN HỌC
HỆ THỐNG ĐK LIÊN TỤC
C2. Mô Tả Toán Học 2
2.1 Khái Niệm
Các hệ thống ĐKTĐ được mô tả toán học theo hai pp :
• PP hàm truyền đạt
• PP không gian trạng thái

2.2 Hàm Truyền Đạt & Đại Số Sơ Đồ Khối

2.2.1 Phép Biến Đổi Laplace
1. Đònh nghóa

22
0
{()} () ().
st
Lf t Fs fte dt
+∞
−
=
∫
(2.1)
biến Laplace
sj
σ
ω
=+

()
F
s : Biến đổi Laplace của hàm ()ft
L
: Toán tử Laplace

2. Tính chất của phép biến đổi Laplace
• Tính tuyến tính :
11
{()} ()Lft Fs= ,
22

{()} ()Lf t Fs
=

11 2 2 11 2 2
{ () ()} () ()Laf t af t aFs aF s+=+ (2.2)
• Ảnh của đạo hàm :
{()} ()Lft Fs= , →
()
{}()(0)
df t
LsFsf
dt
+
=− (2.3)
• Ảnh của tích phân
{()} ()Lft Fs= , →
0
()
{()}
t
F
s
Lftdt
s
=
∫
(2.5)
• Đònh lý chậm trễ
{( )} .()
Ts

Lft T e Fs
−
−=
(2.6)
• Đònh lý giá trò cuối
0
lim ( ) lim ( )
ts
ft sFs
→∞ →
=
(2.7)




C2. Mô Tả Toán Học 3
3. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
• Hàm dirac (mô tả nhiễu)
00
() () { ()} 1
0
t
tFsLt
t
δδ
≠
⎧
=→==
⎨

∞=
⎩
(2.9)
• Hàm nấc đơn vò (xét ổn đònh)
10
1
() () {()}
00
t
ut Fs Lut
t
s
≥
⎧
=→==
⎨
<
⎩
(2.11)
• Hàm dốc đơn vò (ramp, xét hệ thống theo dõi)
2
0
1
() .() ()
00
tt
rt tut Fs
t
s
≥

⎧
== →=
⎨
<
⎩
(2.13)
Nếu
1
!
() () ()
n
n
n
ft tut Fs
s
+
=→= (2.14)
• Hàm mũ
0
1
() () ()
00
at
at
et
ft e ut Fs
sa
t
−
−

⎧
≥
== →=
⎨
+
<
⎩
(2.16)
• Hàm sin
22
sin 0
() (sin ).() , ()
00
tt
ft tut Fs
t
s
ω
ω
ω
ω
≥
⎧
== →=
⎨
<
+
⎩
(2.18)














C2. Mô Tả Toán Học 4
2.2.2 Hàm Truyền Đạt
1. Đònh nghóa




Hệ thống tự động được mô tả bởi ptvp :
1
01 1
1
() () ()
( )
nn
nn
nn
dct d ct dct
aa aact

dt dt dt
−
−
−
++++=
1
01 1
1
() () ()
( )
mm
mm
mm
drt d rt drt
bb bbrt
dt dt dt
−
−
−
=+ +++
(2.19)

Biến đổi Laplace 2 vế (giả sử đk ban đầu = 0) :
11
01 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( )
nn mm
nn mm
as as a s a Cs bs bs b s b Rs
−−

−−
++++ =++++
→
1
01 1
1
01 1
( )
()
()
( ) ( )
mm
mm
nn
nn
bs bs b s b
Cs
Gs
Rs as as a s a
−
−
−
−
++++
==
++++
(2.20)
()Gs : Được gọi là hàm truyền đạt của hệ thống
• Hàm truyền đạt phụ thuộc vào bậc và các thông số của hệ thống
• Dùng hàm truyền đạt để khảo sát các đặc tính của hệ thống


2. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh
• Khâu tích phân bậc một

Cách xây dựng hàm truyền
- Thành lập ptvp mô tả quan hệ
giữa đầu vào & đầu ra :
() ()
()
CO
dv t dv t
it C C
dt dt
==

() () ()
RCi
vt vt vt+=
.() () ()
Ci
Ri t v t v t+=
()
() ()
O
Oi
dv t
RC v t v t
dt
+=


r(t)
Hệ Thống
c(t)
C2. Mô Tả Toán Học 5
- Biến đổi Laplace 2 vế để suy ra hàm truyền :
()
1
() () () ()
() 1
O
OOi
i
Vs
RCsV s V s V s G s
Vs RCs
+=→= =
+

Đặt
TRC=
Vậy hàm truyền của khâu tích phân bậc một :

1
()
1
Gs
Ts
=
+
(2.22)

• Khâu vi phân bậc một


()
1
Ts
Gs
Ts
=
+
(T=RC) (2.23)
• Khâu sớm pha

1
()
1
C
Ts
Gs K
Ts
α
+
=
+
(2.24)
2
12
C
R
K

RR
=
+
,
21
12
RRC
T
RR
=
+
,
1
TRC
α
=
,
12
2
RR
R
α
+
=
• Khâu trễ pha


1
()
1

C
Ts
Gs K
Ts
α
+
=
+
(2.25)
1
C
K
= ,
12
()TRRC=+ ,
2
TRC
α
=
,
2
12
R
RR
α
=
+















C2. Mô Tả Toán Học 6













• Khâu tỉ lệ P (Proportional)

()
P
Gs K= (2.26)

2
1
P
R
K
R
=−

• Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)


()
I
P
K
Gs K
s
=+ (2.27)
2
1
P
R
K
R
=−
,
1
1
I
K

RC
=−
• Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)


()
P
D
Gs K Ks=+ (2.29)
2
1
P
R
K
R
=−
,
2D
K
RC
=
−
• Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)


()
I
P
D
K

Gs K Ks
s
=++
(2.31)
a) Khâu tỉ lệ P b) Khâu tích phân tỉ lệ PI
c) Khâu vi phân tỉ lệ PD d) khâu vi tích phân tỉ lệ PID
C2. Mô Tả Toán Học 7
11 2 2
12
P
RC RC
K
RC
+
=−
,
12
1
I
K
RC
=− ,
21D
K
RC
=
−

3. Hàm truyền đạt của các đối tượng điều khiển
• Động cơ một chiều kích từ độc lập























: hằng số thời gian điện từ của đcơ

K
: hệ số kích từ,
Φ
: từ thông kích từ
C
J

T
B
= : hằng số thời gian điện cơ của đcơ



=
u
u
u
L
T
R
C2. Mô Tả Toán Học 8
• Lò nhiệt
- Xác đònh hàm truyền lò nhiệt bằng pp thực nghiệm
- Cung cấp 100% công suất vào lò → vẽ đường đặc tính
()
o
Ct











Hàm tín hiệu ra gần đúng :
1
() ( )ct f t T
=
− , dạng của f(t) :
2
/
() (1 )
tT
ft K e
−
=−

Biến đổi Laplace :
2
() ()
(1 )
K
ft Fs
sTs
→=
+

Dùng đònh lý chậm trễ :
1
2
() ()
(1 )
Ts
Ke

ct Cs
sTs
−
→=
+

Hàm truyền lò nhiệt :
1
1
2
2
()
(1 )
()
() 1/ (1 )
Ts
Ts
Ke
Cs Ke
sTs
Gs
Rs s Ts
−
−
+
== =
+
(2.43)
()rt là hàm nấc nên biến đổi Laplace của nó () 1/Rs s
=



2.2.3 Đại Số Sơ Đồ Khối
1. Sơ đồ khối : Các phần tử trong sơ đồ khối
• Khối chức năng








G
x
y
y = xG
C2. Mô Tả Toán Học 9
• Điểm rẽ nhánh : tại điểm rẽ nhánh mọi tín hiệu đều bằng nhau




• Bộ tổng
: tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng đại số của các tín hiệu vào






2. Hàm truyền của hệ thống
• Hệ hồi tiếp một vòng










• Hồi tiếp âm


()
()
1().()
k
Gs
Gs
Gs Hs
=
+
(2.46)
• Hồi tiếp dương


()
()

1().()
k
Gs
Gs
Gs Hs
=
−
(2.48)






x
y
z
x = y = z
x
y
z
z = x-y
+
-
C2. Mô Tả Toán Học 10
3. Các phép biến đổi sơ đồ khối tương đương


































C2. Mô Tả Toán Học 11

















4. Các ví dụ : xem thêm trong sách

2.3 Sơ Đồ Dòng Tín Hiệu
2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu & công thức Mason
1. Đònh nghóa

• Nút : biến
• Nhánh : hàm truyền
• Nút nguồn : các nhánh hướng ra
• Nút đích : các nhánh hướng vào
• Nút hỗn hợp : các nhánh hướng vào & ra, tất cả tín hiệu ra có giá trò bằng
nhau và bằng tổng đại số các tín hiệu vào
C2. Mô Tả Toán Học 12
• Đường tiến : đường gồm các nhánh liên tiếp cùng hướng đi từ nguồn đến

đích và chỉ qua mỗi nút một lần
• Độ lợi của một đường tiến : tích của các hàm truyền trên đường tiến
• Vòng kín : đường khép kín các nhánh liên tiếp cùng hướng và chỉ qua mỗi
nút một lần
• Độ lợi của một vòng kín : tích của các hàm truyền trên vòng kín

2. Công thức Mason
Hàm truyền tương đương tính theo công thức Mason :

1
=∆
∆
∑
kk
k
GP (2.49)
k
P
: độ lợi của đường tiến thứ k
1 ∆= − + − +
∑∑ ∑
iijijm
iij ijm
LLLLLL (2.50)
∑
i
i
L
: tổng độ lợi vòng của các vòng kín
∑

ij
ij
LL : tổng các tích độ lợi vòng của 2 vòng không dính nhau
∑
ijm
ijm
LLL : tổng các tích độ lợi vòng của 3 vòng không dính nhau
∆
k
: suy ra từ
∆
bằng cách bỏ đi các vòng kín có dính tới đường tiến
k
P

“không dính” : không có nút nào chung
“dính” : có ít nhất một nút chung











C2. Mô Tả Toán Học 13
Ví dụ 2.4 : Tính hàm truyền tương đương của hệ thống mô tả bởi sơ đồ dòng

(graph) tín hiệu :









• Độ lợi của các đường tiến :
1 12345
=
P
GGGGG ,
21645
=
P
GGGG ,
3127
=
P
GGG
• Độ lợi của các vòng kín :
141
=−LGH
,
2272
=
−LGGH

,
36452
=
−LGGGH
,
423452
=−LGGGGH

• Đònh thức của sơ đồ dòng tín hiệu :
1234 12
1( )∆= − + + + +LLLL LL
• Các đònh thức con :
1
1∆=,
2
1∆= ,
31
1
∆
=−L
• Hàm truyền tương đương :
11 2 2 33
1
()
=
∆+ ∆+ ∆
∆
GPPP
12345 1645 127 4 1
4 1 27 2 645 2 2345 2 4 127 2

(1 )
1
+
++
=
++ + + +
GGGGG GGGG GGG G H
G
GHGGHGGGHGGGGHGHGGH


2.4 Phương Pháp Không Gian Trạng Thái
2.4.1 Khái niệm
• Một pp khác so với pp hàm truyền
• PP không gian trạng thái chuyển ptvp bậc n thành n ptvp bậc nhất bằng
cách đặt n biến trạng thái.
• Biến trạng thái x : ptvp bậc n có n nghiệm x, mỗi nghiệm x được gọi là
biến trạng thái, x thường mô tả các đại lượng vật lý (dòng điện, nhiệt độ)


C2. Mô Tả Toán Học 14
• Vectơ trạng thái : n biến trạng thái hợp thành vectơ cột
12
[ ]=
T
n
xxx x
• Phương trình trạng thái :
() () ()
() () ()

=+
⎧
⎨
=+
⎩
&
xt Axt Brt
ct Cxt Drt
(2.52)
11 12 1
21 22 2
12



⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
MM M
n
n
nn nn
aa a
aa a
A
aa a

,
1
2
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
M
n
b
b
B
b
,
12
[ ]
=
n
Ccc c ,
1
=

Dd

• Sơ đồ trạng thái của hệ thống








2.4.3 Thành Lập Hệ Phương Trình Trạng Thái Từ PTVP
1. Vế phải ptvp không chứa đạo hàm tín hiệu vào
• Ptvp mô tả hệ thống :
1
110
1
() () ()
() ()
−
−
−
++++=
nn
nn
nn
dct d ct dct
aaactbrt
dt dt dt
(2.53)

• Đặt biến trạng thái :
1
21 2
32 3
1
1
1
() ()
() () ()
() () ()
() ()
() () ()
−
−
−
=
=→=
=→=
=→= →=
&&
&&&
M
&&
nn
nn n n
nn
xt ct
xt xt x ct
xt xt x ct
dct dct

xt x t x xt
dt dt

C2. Mô Tả Toán Học 15
• Thay các biến trạng thái vào pt (2.53)
11210
() () () () ()
−
+++ +=
&
nn n n
xt axt a xt axt brt

• Sắp xếp lại các
&
x về cùng vế
12
23
1
112211 0
() ()
() ()

() ()
() () () () () ()
−
−−
=
=
=

=− − − − +
&
&
&
&
nn
nnn n n
xt xt
xt xt
xtxt
xt axtaxt axtaxtbrt
(2.54)

• Viết lại (2.54) dưới dạng ma trận


11
22
11
12 1 0
( ) 0 1 0 0 ( ) 0
( ) 0 0 1 0 ( ) 0
()
() 0 0 0 1 () 0
() ()
−−
−−
⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
=+
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
−− − −
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦
&
&
MMMM MMM
&
L
&
L
nn
nnnn n
xt xt
xt xt
rt
xt xt
xt a a a a xt b


[]
1
2
1
1
()
()

() () 1 0 0 0
()
()
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
==
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
M
n
n
xt
xt
ct x t
xt
xt








()
&
xt
A
()xt
B
C
C2. Mô Tả Toán Học 16
2. Vế phải ptvp có chứa đạo hàm tín hiệu vào
• Ptvp mô tả hệ thống :
1
11
1
() () ()
( )
−
−
−
++++=
nn
nn
nn
dct d ct dct
aaact

dt dt dt

1
01 1
1
() () ()
( )
mm
mm
mm
drt d rt drt
bb bbrt
dt dt dt
−
−
−
=+ +++ (2.56)
• Đặt biến trạng thái
1
() ()=xt ct
11
() () ()
β
−−
=−
&
ii i
xt x t rt
với (2,)=in
• Hệ phương trình trạng thái sẽ có dạng :


() () ()
() ()
=+
⎧
⎨
=
⎩
&
xt Axt Brt
ct Cxt


12 1
0 1 0 0
0 0 1 0
00 0 1
−−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−− − −
⎣⎦
MM M M
L

L
nn n
A
aa a a
,
1
2
1
β
β
β
β
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

M
n
n
B ,

[
]
1 0 0 0=C

với
10
2111
321221
111 11

β
ββ
βββ
β
ββ
−−−
=
⎧
⎪
=−
⎪
⎪
=− −
⎨
⎪

⎪
=− −
⎪
⎩
nn n n
b
ba
ba a
ba a




C2. Mô Tả Toán Học 17
2.4.4 Thành Lập PTTT từ Hàm Truyền & Sơ Đồ Khối
1. Biến đổi hàm truyền thành ptvp




Ví dụ 2.9 : Thành lập hệ pttt mô tả hệ thống có sơ đồ khối








32

() () 10( 2)
()
() 1 () () 5 6 10
+
== =
+
+++
k
Cs Gs s
Gs
Rs GsHs s s s

32
(5610)()10(2)()+++ = +sss Cs sRs

( ) 5 ( ) 6 ( ) 10 ( ) 10 ( ) 20 ( )+++ = +
&&& && & &
ct ct ct ct rt rt
Xem tiếp ví dụ 2.8

2. Phương pháp tọa độ pha

• Giả sử hàm truyền có dạng :
1
01 1
1
11

()
( )

−
−
−
−
++++
=
++++
mm
mm
nn
nn
bs bs b s b
Cs
Rs s as a s a

• Đặt :
1
01 1
1
11
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−
−
−
−
=++++
=+ ++ +
mm
mm

nn
nn
Cs bs bs b s b Ys
Rs s as a s a Ys

• Biến đổi Laplace ngược :
1
01 1
1
() () ()
() ()
−
−
−
=+ +++
mm
mm
mm
dyt d yt dyt
ct b b b byt
dt dt dt
(2.69)
1
11
1
() () ()
() ()
−
−
−

=+ ++ +
nn
nn
nn
dyt d yt dyt
rt a a ayt
dt dt dt
(2.70)
Hàm Truyền
Laplace ngược
PTVP
Mục 2.4.3
PTTT
C2. Mô Tả Toán Học 18
• Dùng pp chuyển đổi ptvp → pttt (mục 2.4.2.1), (2.70) được chuyển đổi
thành pttt :
Đặt :
1
21
32
1
1
1
() ()
() () ()
() () ()
()
() ()
−
−

−
=
==
==
==
&&
&&&
M
&
n
nn
n
xt yt
xt xt yt
xt xt yt
dyt
xt x t
dt
(2.71)

→ pttt của (2.70)

() () ()=+
&
xt Axt Brt

12 1
0 1 0 0
0 0 1 0
00 0 1

−−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−− − −
⎣⎦
MM M M
L
L
nn n
A
aa a a
,
0
0
0
1
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢

⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
M
B

• Thay các biến trạng thái của (2.71) vào (2.69) : (lưu ý giả sử m=n-1 để
đơn giản)
011 12 1
() () () () () ()
−−
=+ ++ +=
nn m m
ct bx t bx t b x t bx t Cxt
với :
[
]
110

−
=
mm
Cbb bb
3. Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối (xem thí dụ

trong sách)

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng chính tắc (tham
khảo thêm).
•
A
là một ma trận chéo (các số hạng ngoại trừ đường chéo bằng 0)

C2. Mô Tả Toán Học 19
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ pttt
• Hệ thống được mô tả bởi pttt :
() () ()
() ()
=+
⎧
⎨
=
⎩
&
xt Axt Brt
ct Cxt

• Công thức hàm truyền :
1
()
() ( )
()
−
==−
Cs

Gs CsI A B
Rs
(2.90)
• Ví dụ 2.14 : hệ thống có pttt, tính hàm truyền
[]
11
22
1
2
() ()
01 0
()
() ()
23 1
()
() 1 3
()
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
=+
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
−−
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
&

&
xt xt
rt
xt xt
xt
ct
xt

• Giải :
1
() ( )
−
=−Gs CsI A B
10 0 1 1
()
01 2 3 2 3
−
⎡⎤⎡ ⎤⎡ ⎤
−= − =
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−− +
⎣⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
s
sI A s
s

1
1
−
−

⎡⎤ ⎡ ⎤
=
⎢⎥ ⎢ ⎥
−
−
⎣⎦ ⎣ ⎦
ab d b
cd c a
ad bc

1
1
2
131
1
()
23 2
32
−
−
−+
⎡⎤ ⎡⎤
−= =
⎢⎥ ⎢⎥
+−
++
⎣⎦ ⎣⎦
ss
sI A
ss

ss

1
22
310 1
11
()
21
32 32
−
+
⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤
−= =
⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥
−
++ ++
⎣⎦⎣⎦ ⎣⎦
s
sI A B
ss
ss ss

[]
1
22
1
131
() 13
32 32
−

⎡⎤
+
−= =
⎢⎥
++ ++
⎣⎦
s
CsI A B
s
ss ss

Vậy :
2
31
()
32
+
=
+
+
s
Gs
ss





C2. Mô Tả Toán Học 20
2.4.7 Nghiệm của Hệ PTTT

• Cho hệ thống có pttt
() () ()=+
&
xt Axt Brt
() ()=ct Cxt
• Tìm nghiệm
()xt của pttt để xác đònh đáp ứng ra ()ct của hệ thống khi
biết tín hiệu vào
()rt
• Tính ma trận quá độ
()Φ t theo một trong hai công thức
[
]
[
]
1
11
() () ( )
−
−−
Φ= Φ = −tL s LsIA (2.96)

21
01 2 1
() [] [] []
−
−
Φ= = + + ++
A
tn

n
te CICACA CA (2.101)
Tính các hệ số
i
C , (0,1)=−in bằng cách thay
λ
=
A
,
λ
là nghiệm của
phương trình
det( ) 0
λ
−=
I
A
• Tính nghiệm pttt theo (2.95) (giả sử điều kiện đầu
(0 ) 0
+
=x )
0
() ( ) ( )
τ
ττ
=Φ−
∫
t
xt t BR d


• Đáp ứng của hệ thống (tín hiệu ra)
() ()=ct Cxt

Ví dụ 2.15 : Cho hệ thống có hàm truyền
2
()
32
=
++
s
Gs
ss


1. Thành lập pttt

• Áp dụng mục 2.4.4.1 biến đổi hàm truyền thành ptvp :
2
()
() 3 2
=
++
Cs s
Rs s s

2
(32)() ()++ =ssCssRs

() 3() 2() ()++=
&& & &

ct ct ct rt



C2. Mô Tả Toán Học 21
• Áp dụng mục 2.4.3.2 (vế phải có đạo hàm), đặt các biến trạng thái :
1
211
() ()
() () ()
β
=
=−
&
xt ct
xt xt rt

• Dạng của hệ pttt :
() () ()
() ()
=+
⎧
⎨
=
⎩
&
xt Axt Brt
ct Cxt

Trong đó :

21
01
01
23
⎡⎤
⎡⎤
==
⎢⎥
⎢⎥
−−
−−
⎣⎦
⎣⎦
A
aa

10
1
β
==b
2111
031 3
β
β
=− =− =−ba x
→
1
2
1
3

β
β
⎡⎤
⎡⎤
==
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
⎣⎦
B

[
]
10=C
2. Tính ma trận quá độ

• Cách 1 : Áp dụng công thức (2.96)
[
]
111
() () ( )
−−−
⎡⎤
Φ= Φ = −
⎣⎦
tL s LsIA
10 0 1 1
()
01 2 3 2 3

−
⎡⎤⎡ ⎤⎡ ⎤
−= − =
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−− +
⎣⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
s
sI A s
s

Công thức nghòch đảo ma trận bậc 2
1
1
−
−
⎡⎤ ⎡ ⎤
=
⎢⎥ ⎢ ⎥
−
−
⎣⎦ ⎣ ⎦
ab d b
cd c a
ad bc

1
1
131
1
() ( )

23 2
(1)(2)
−
−
−+
⎡⎤ ⎡⎤
Φ= − = =
⎢⎥ ⎢⎥
+−
++
⎣⎦ ⎣⎦
ss
ssIA
ss
ss

{}
11
31
(1)(2)(1)(2)
() ()
2
(1)(2)(1)(2)
−−
+
⎧⎫
⎪⎪
++ ++
⎪⎪
Φ= Φ =

⎨⎬
−
⎪⎪
⎪⎪
++ ++
⎩⎭
s
ss ss
tL s L
s
ss ss

C2. Mô Tả Toán Học 22
11
11
21 11
(1)(2) (1)(2)
22 12
(1)(2) (1)(2)
−−
−−
⎡⎤
⎧⎫⎧⎫
−−
⎨⎬⎨⎬
⎢⎥
++ ++
⎩⎭⎩⎭
⎢⎥
=

⎢⎥
⎧⎫⎧⎫
−−
⎢⎥
++
⎨⎬⎨⎬
++ ++
⎢⎥
⎩⎭⎩⎭
⎣⎦
LL
ss ss
LL
ss ss

→
22
22
(2 ) ( )
()
(2 2 ) ( 2 )
−− −−
−− −−
⎡⎤
−−
Φ=
⎢⎥
−+ −+
⎣⎦
tt tt

tt tt
ee ee
t
ee ee


• Cách 2 : Áp dụng công thức (2.101)
[
]
01
()Φ= = +
At
te CICA (2.102)
Các trò riêng của A là nghiệm của pt :
det( ) 0
λ
−
=
I
A
det
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
ab
ad bc
cd

10 0 1

det( ) det 0
01 2 3
λλ
⎛⎞
⎡⎤⎡ ⎤
−= − =
⎜⎟
⎢⎥⎢ ⎥
−−
⎣⎦⎣ ⎦
⎝⎠
IA

2
320
λ
λ
++=
→
1
2
1
2
λ
λ
=−
⎧
⎨
=−
⎩


Thay
λ
=
i
A vào (2.102) :
1
2
2
01
011
0
2
2
01
012
1
2
2
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−−
⎧
⎧

⎧
=−
=+ = −
=→
⎨⎨⎨
=−
=+
=−
⎩
⎩
⎩
t
t
tt
t
t
tt
eCC
eCC Cee
eCC
eCC
Ce e

Thay
01
,CC
vào (2.102) :
22
10 0 1
() (2 ) ( )

01 2 3
−− −−
⎡⎤ ⎡ ⎤
Φ= − + −
⎢⎥ ⎢ ⎥
−
−
⎣⎦ ⎣ ⎦
tt tt
tee ee

22
22
(2 ) ( )
()
(2 2 ) ( 2 )
−− −−
−− −−
⎡⎤
−−
Φ=
⎢⎥
−+ −+
⎣⎦
tt tt
tt tt
ee ee
t
ee ee





C2. Mô Tả Toán Học 23
3. Tìm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò (đk đầu 0)
• Theo (2.95) nghiệm pttt :
0
() ( ) ( )
τ
ττ
=Φ−
∫
t
xt t BR d

() 2() () 2()
() 2() () 2()
0
1
(2 ) ( )
.1.
3
(2 2 ) ( 2 )
ττ ττ
ττ ττ
τ
−− − − −− − −
−− − − −− − −
⎡⎤
−−

⎡⎤
=
⎢⎥
⎢⎥
−
−+ −+
⎣⎦
⎣⎦
∫
t
tt tt
tt tt
ee ee
d
ee ee

() 2() 2
() 2() 2
0
(2)
.
(4) 12
ττ
ττ
τ
−− − − − −
−− − − − −
⎡⎤⎡⎤
−+ −
==

⎢⎥⎢⎥
−−−+
⎣⎦⎣⎦
∫
t
tt tt
tt tt
ee ee
d
ee ee

Đáp ứng của hệ thống :
[]
1
2
1
2
()
() () 1 0 ()
()
−
−
⎡⎤
== ==−
⎢⎥
⎣⎦
tt
xt
ct Cxt x t e e
xt