130
Chương trình 6.7 " DISP_FFT.C" Chương trình dùng để đưa ra một file
chứa phổ tần số trong dạng ảnh có thể hiển thị được.

/************************
* Program developed by: *
* M.A.Sid-Ahmed. *
* ver.1.0 1992. *
*************************/
/****************************************************
Program for calculating the magnitude of the 2-D FFT
given a file containing the complex values of the FFT
of an image. The result is placed in a form suitable
for display in image form and stored in an external
file. The mapping function D(u,v)=log10(1+ |(F(u,v)|)
is used.
******************************************************
/

#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <alloc.h>
#include <io.h>
#include <stdlib.h>

void main()
{
int i,j,k,N,NB1,NB2;
FILE *fptri, *fptro,*fptrt;

double nsq;
float max,min,xr,xi,scale;
float *buffi,*bufft;
char *buffo;
char file_name[14];


1
31

Hình 6.13 Phổ của "IKRAM.IMG"
clrscr();
printf(""Enter name of file containing FFT data >
");
scanf("%s",file_name);

fptri=fopen(file_name,"rb");
printf("Enter name of file for storing magnitude data
-> ");
scanf("%s",file_name);
fptro=fopen(file_name,wb");
fptrt=fopen("temp.img","wb+");
nsq=(double)(filelength(fileno(fptri))/(2*sizeof(float
)));
N=(int)(sprt(nsq));
max=0.0; min=1.0e9;

NB1=(N<<1)*sizeof(float);
NB2=NB1>>1;


buffi=(float *)malloc(NB1);

132
bufft=(float *)malloc(NB2);
buffo(char *)malloc(N*sizeof(char));
for(i=0;i<N;i++)
{
fread(buffi,NB1,1,fptri);
for(j=0;j<N;j++)
{
k=j<<1;
xr=buffi[k];
xi=buffi[k+1];
bufft[j]=(float)sqrt((double)(xr*xr+xi*xi));
bufft[j]=(float)log10((double)(1+bufft[j]));
if(bufft[j]>max) max=bufft[j];
if(bufft[j]<min min=bufft[j];
}
fwrite(bufft,NB2,1,fptrt);
}
fclose(fptri);
fseek(fptrt,0,SEEK_SET);
scale=(float)255.0/(max-min);
for(i=0;i<N;i++)
{
fread(bufft,NB2,1,fptrt);
for(j=0;j<N;j++)
buffo[j]=(char)((bufft[j]-min)*scale);
fwrite(buffo,N,1,fptro);
}

fclose(fptro);
fclose(fptrt);
remove("temp.img");
}

Bài tập 6.6 Tính 2D_FFT của " IKRAM.IMG" và hiển thị |H(u,v)| thay thế
cho hiện thị D(u,v). Chú ý dến sự suy giảm phổ ảnh và so sánh với trường hợp
hiển thị ảnh rút ra bởi chương trình 6.7.

Bài tập 6.7 Lập một chương trình 2-D FFT theo các bước sau:
1. Thuật toán phân chia tần số.
2. Thuật toán giảm lược đầu vào.
3. Thật toán giảm lược đầu ra.

133
4. Dùng thuật toán giảm lược đầu ra thiết kế một bộ lọc 2-D FIR thông
thấp vói D
0
= 0.3, kích thước 11  11. So sánh ví dụ 2.5 trong chương 2.
6.7 Bộ lọc hai chiều dùng FFT
Nếu dùng tích chập để chuyển hàng loạt các phần tử từ miền không gian sang
miền tần số ta nên áp dụng FFT. Phép biến đổi này yêu cầu 2. (N
2
/2). log
2
N phép
nhân phức và 2. N
2
. log
2

N phép cộng phức để thu được 2-D FFT, N
2
phép nhân
phức trong miền tần số giữa FFT của điểm ảnh và các đáp ứng tần số cuả bộ lọc,
2 . (N
2
/2) . log
2
N phép nhân phức cho IFFT. Mặt khác, một bộ lọc 2-D FIR có
kích thước (2m + 1)  (2m + 1) đòi hỏi (2m + 1)
2
N
2
phép nhân để thu được ảnh
trực tiếp trong miền không gian. Xem xét một ảnh có kích thước 512  512
điểm. FFT yêu cầu:
4 4 2 4 4 512 2 9 1
2
2
2 2
( ( / )log ) ( )N N N     
 20 triệu phép nhân.
Để đưa ra tính toán này chúng ta coi rằng một phép nhân phức thì bằng 4 phép
nhân thông thường, và bộ lọc có pha zero. Phương pháp không gian áp dụng cho
một bộ lọc có kích thước 7  7 yêu cầu 7  7  512
2
 13 triệu phép nhân. Nếu
kích thước bộ lọc tăng lên thì phương pháp phân chia miền tần số có thể áp dụng.
Một bộ lọc có kích thước 11  11 yêu cầu khoảng 30 triệu phép nhân sẽ chỉ cần
khoảng 19 triệu phép nhân khi áp dụng phương pháp phân chia miền tần số. Hai

phương pháp này sẽ có cùng một số phép nhân nếu


22
2
2
N 1) (2m 1) N (2log 4N 
Cho một ảnh có kích thước 512  512 (2m + 1)  9, dễ chứng minh là nếu kích
thước bộ lọc nhỏ hơn 9 thì ta có thể phương pháp phân chia không gian. Tuy
nhiên, cần chú ý phương pháp phân chia tần số cũng yêu cầu ít thời gian xử lý
hơn do số lần truy nhập đĩa giảm xuống. Ưu điểm này được tăng lên khi kích
thước của bộ lọc lớn hơn 9  9. Ưu điểm này sẽ không còn nữa khi xét đến lỗi
wraparound. Để tránh lỗi này ta phải tăng gấp bốn lần kích thước của ảnh. Cho
một ảnh có kích thước 512  512 ta cần phải tăng lên 1024  1024. Để tránh các
phép tính toán quá lớn khi chú ý rằng h(n
1
, n
2
) của một bộ lọc khi rút ra IFFT sẽ
tăng lên rất nhanh khi n
1
, n
2
tăng lên. Tính chất này càng nổi bật khi mở rộng
Fourier chỉ chèn các giá trị zero vào các giá trị cuối của bộ lọc từ c n n/
1
2
2
2
 .

Cần nhắc lại là cả đáp ứng tấn số và đáp ứng xung được xem xét khi làm việc với
DFT.

134
Thuộc tính là h(n
1
, n
2
) tăng lên một cách nhanh chóng được xem xét khi lựa
chọn phương án lọc. Không phụ thuộc vào kích thước của ảnh, đưa ra phép nhân
giứa đáp ứng tần số của ảnh và đáp ứng tần số của bộ lọc, và chúng ta chú ý rằng
lỗi wrapapound chỉ xuất hiện ở miền nhỏ nằm ở đường bao của ảnh và trong phần
lớn trường hợp lỗi này có thể bỏ qua.
Phương pháp tần số có thể thực hiện qua các bước sau:

1. Rút ra 2-D FFT của một ảnh



21
)1)(,(),(
2
1
2
1
nn
nniFFTkkI


2. Nhân I(k

1
, k
2
) với đặc tuyến của bộ lọc, chú ý là đáp ứng tần số có gốc toạ độ
nằm tại (N/2, N/2). Cho ví dụ một bộ lọc thông cao Butterworth có đặc tuyến
như sau:

2
0
2
2
2
1
2
2
2
1
21
)12(
),(
D
H







Dùng )

2
(
2
11
N
k
N



)
2
(
2
22
N
k
N





Đáp ứng tần số của ảnh lọc có thể rút ra từ
))
2
(
2
),
2

(
2
()()(
212121
N
k
N
N
k
N
HkkIkkG 
3. Ảnh đã lọc có thể rút ra từ :

21
)1()},({{),(
2121
nn
f
kkGIFFTnni


ở đây  có nghĩa là phần thực của phần nằm trong hai dấu ngoặc.

Bài tập 6.8 Viết một chương trình lọc 2-D trong mặt phẳng tần số. Kiểm tra
chương trình dùng cùng một đặc tuyến tần số dùng thiết kế bộ lọc FIR lọc ảnh
trong hình 2.3 (chương 3) và so sánh kết quả.
6.8 Vector biến đổi Fourier
Qua chiến lược chia để trị ta đạt được hiệu suất tính toán trên máy tính của giải
thuật 1-D FFT. Thuật toán FFT vector 2-D sau đâylà cùng một chiến lược. Giải
thuật DFT 2-D được xen kẽ với những giải thuật DFT 2-D nhỏ hơn, cuối cùng chỉ

DFT 2-D của phần tử đơn được tính. Chúng ta sẽ kiểm tra vector FFT. Chúng ta
có

135

2211
21
),(),(
2
1
0
1
1
0
21
knkn
N
N
k
N
k
WkkhnnH







ở đây

N
j
N
eW

2

Vì vậy có thể viết lại như sau:

2211
21
2
2
211
1
2
2
1
2
0
1
1
2
0
1
2
0
2
21
1

2
0
21
)12,2(
)2,2(),(
knkn
N
N
k
N
k
n
N
N
k
knkn
N
N
k
WkkhW
WkkhnnH


















Tương tự với trường hợp1-D chúng ta có thể viết

),(),(
),(),(),(
21112110
2101210021
212
1
kkFWkkFW
kkFWkkFnnH
nn
N
n
N
n
N



(6.68a)

),(),(

),(),(),
2
(
21112110
2101210021
212
1
kkFWkkFW
kkFWkkFn
N
nH
nn
N
n
N
n
N



(6.68b)

),(),(
),(),()
2
,(
21112110
2101210021
212
1

kkFWkkFW
kkFWkkF
N
nnH
nn
N
n
N
n
N



(6.68c)
2211
21
21
2211
21
1
2
2
1
2
0
1
1
2
0
2

2
1
2
0
1
1
2
0
)12,12(
)2,12(
knkn
N
N
k
N
k
nn
N
knkn
N
N
k
N
k
n
N
WkkhW
WkkhW

















136

),(),(
),(),()
2
,
2
(
21112110
2101210021
212
1
kkFWkkFW
kkFWkkF
N
n

N
nH
nn
N
n
N
n
N



(6.68d)
Dạng công thức cuối cùng được biết đến như một bướm cơ số (2

2). Mỗi
bướm cần đến ba phép nhân và tám phép cộng, để tính toán một bước của giải
thuật FFT đòi hỏi N
2
/4 bướm (việc kiểm chứng được giành cho độc giả coi như là
một bài tập). Số bước cần thiết để thực hiện giải thuật FFT 2-D là log
2
N, vì vậy số
phép nhân cần thực hiện là
Nlog
4
3N
2
2

Với phương pháp này số hàng-cột cần thiết sẽ nhỏ hơn 25 phần trăm so với số

hàng-cột được mô tả trước đây. Tuy nhiên phương pháp này sẽ chỉ có hiệu quả
nếu có đủ bộ nhớ hoạt động lưu giữ N

N số phức.

Bài tập 6.9
1. Phát triển thuật toán và chương trình C cho giải thuật phân chia thời gian 2-
D FFT cơ số vector
2. Biến đổi công thức để chia tần số vector FFT 2-D.
3. Phát triển thuật toán giảm lược đầu vào và đầu ra, viết chương trình C cho 2-
D FFT cơ số vector.