suy ra

1
2
1
1
21
1
1
1
1
),(





zz
zzU
Phổ tần số của tín hiệu bước nhảy có thể tính từ

2211
2211
1
1
1
1
),(
TiwTiw
TiwTiw
ee

eeU





3.3 Các bộ lọc hai chiều có đáp ứng xung hữu hạn 2-D
Quan hệ giữa đầu vào và đầu ra cho bộ lọc FIR 2-D (FIR - Finite Impulse
Response) được cho bởi

 
 

1
1
2
2
22112121
1 2
),(),(),(
N
Nk
N
Nk
knknxkkhnny (3.11)
Trong biểu thức (3.11), h(n
1
,n
2
) là đáp ứng xung của bộ lọc và được định nghĩa

trên một cửa sổ có kích thước (2N1 + 1)  (2N2 + 1) có gốc toạ độ ở trung tâm;
x(n
1
,n
2
) là tín hiệu vào của bộ lọc.
Nếu x(n
1
,n
2
) = 0 với ( ) ( )n n
1 2
0 0



, thì bằng cách lấy biến đổi z cả hai phía
của biểu thức (3.11) chúng ta được

21
1 2
21
1
1
2
2
212121
),(),(),(
kk
N

Nk
N
Nk
zzzzXkkhzzY

 
 

(3.12)
Hàm truyền đạt của bộ lọc 2-D FIR được cho bởi

21
1 2
21
1
1
2
2
21
21
21
21
),(
),(
),(
),(
kk
N
Nk
N

Nk
zzkkh
zzX
zzY
zzH

 
 

(3.13)
Các bộ lọc trên được định nghĩa là có kích thước (2N1 + 1)  (2N2 + 1). Trong
hầu hết các ứng dụng chúng ta đặt N1 = N2 = N.
Đáp ứng tần số của bộ lọc 2-D có thể tính từ

222111
1 2
2211
1
1
2
2
21
),(),(
TkjTkj
N
Nk
N
Nk
TjTj
eekkheeH



 
 

(3.14)
Đáp ứng xung có thể tính từ đáp ứng tần số sau khi dùng biểu thức (2.17) trong
chương 2.
Các bộ lọc có đáp ứng tần với phần số thực thuần tuý được gọi là các bộ lọc
pha zero. Trong các bộ lọc này, các pha zero được dịch đi một góc , cụ thể là có
các giá trị âm trong phổ tần số. Một bộ lọc pha zero có đáp ứng xung là số thực
thoả mãn
),(),(
2
1
2
1
nnhnnh 
Có nghĩa là mỗi một mẫu đều có một giá trị bằng nó tương ứng. Vì thế, biểu
thức (3.11) có thể viết lại thành:
),h(0,0) +
),(),()[0,( +
)],(),()[,(),(
21
211
1k
2111
2211
1
22112121

1
1 2
nx(n
nknxnknxkh
knknxknknxkkhnny
N
N
Nk
N
k



 

 
(3.15)
Do vậy làm giảm đi số phép nhân cần thiết để thực hiện bộ lọc.
Cho bộ lọc đối xứng vòng tròn chúng ta có
),(),(),(),(
2
1
2
1
2
1
2
1
kkhkkhkkhkkh 
Và N1 = N2 = N. Biểu thức (3.14) có thể viết lại


),00
)],(),(
),(),(
)],(
),(),(
),()[,(),(
21
2121
2121
2211
22112211
1 1
22112121
1 2
n)x(n,h(
nknxknnx
nknxknnx
knknx
knknxknknx
knknxkkhnny
N
k
N
k
+
+
k)[h(0,+
+
+

N
1=k







 
(3.16)
Các bộ lọc đối xứng vòng tròn biểu diễn tích đối xứng bát giác (xem kết quả
của ví dụ 2.5 và 2.6 cho trong chương 2). Vì vậy

h(k
1
,k
2
) = h(k
2
,k
1
)

Và ở đây biểu thức (3.16) có thể viết lại thành


 

N

k
N
k
knknxkkhnny
1 1
22112121
1 2
),()[,(),(

),(),(
22111221
knknxknknx +

)],(
),(),(
),(),(
1221
22111221
22111221
knknx
knknxknknx
knknxknknx







+

+
+


),()0,0()],(),(
),(),(
)],(),(
),(),()[,(
212121
2121
2121
1
2121
nnxhnknxknnx
nknxknnx
knknxknknx
knknxknknxkkh
N
k







+
k)[h(0,+
+ +
N

1=k

3.4 Phần mềm thực hiện của các bộ lọc 2-D có đáp ứng xung hữu
hạn
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp thực hiện bằng phần mềm
bộ lọc 2-D FIR cho xử lý ảnh số. Chúng ta sẽ coi rằng ảnh được lưu trên bộ nhớ
ngoài như đĩa cứng hay vùng đệmảnh. Số dòng tối thiểu cần cho việc xử lý, được
lưu trong bộ nhớ, cho phép lọc các ảnh lớn mà không cần dự trữ một lượng lớn bộ
nhớ của máy tính. Phương pháp này được mô tả bằng sơ đồ trong hình 3.1










Hình 3.1 Lọc 2-D.
Thuật toán gồm các bước sau:

1. Xoá bộ đệm ảnh, w.
2. Cho n
1
= (0, 1, 2, , (chiều dài ảnh -1), hãy làm các công việc sau:
a. Chuyển hàng thứ n
1
từ bộ đệm ảnh hoặc từ file ảnh lên hàng cuối cùng trong
w. (Chúng ta coi rằng ảnh được biểu diễn bằng 8 bit hay 256 mức xám).

b. Cho n
2
= 0, 1, 2, , (chiều rộng ảnh-1) làm các công việc sau:
(1) Tính z(n
2
) từ
Lưu tr
ữ tại bộ nhớ ngo
ài hay
bộ đệm ảnh.
Hàng thứ n
1
dịch

n
2
B
ộ đệm chuyển đổi ảnh
w
.

(trong bộ nhớ trong)
kích thước = (2N + 1)  độ rộng của ảnh.
),(),(
22121
21
2
knkNwkkhz
N
Nk

N
Nk
n




Buffer.
Kích thước = 1  độ rộng ảnh.
2
n
z
(0,2N)
(0,0)
Đ
ộ rộng
của ảnh
Chi
ều
dài c
ủa
ảnh
((độ_rộng_của_ảnh-1),0)
n
1
Bộ
đệm
ảnh

 

 

N
Nk
N
Nk
knkNwkkhnz
1 2
),(),()(
221212

(2) Lưu z(n
2
) trong bộ đệm tại vùng n
2
.
c. Copy bộ đệm ra file trung gian trên đĩa cứng.
d. Dịch chuyển hàng của w theo hướng như trong hình 3.1, cụ thể,
cho i = 0, 1, , (2N - 1) làm các công việc sau:

1

ii
rowrow
3. Đọc ảnh đã lọc từ file trung gian, chia độ và dịch chuyển để các giá trị nằm
trong khoảng từ 0 đến 255 (8 bit).
4. Lưu ảnh đã được chia độ lên file hoặc bộ đệm ảnh.
5. Xoá file trung gian.
6. Hiện thị ảnh đã được lọc.


Chú ý rằng biểu thức được dùng trong thuật toán này,


 
 

N
Nk
N
Nk
knkNwkkhnz
1 2
),(),()(
221212
(3.18)
Để lọc ảnh có hơi khác với biểu thức truy hồi (3.11). Điểm khác thứ nhất: N là
một hằng số thay thế cho n
1
,

với n
1
là một biến trong biểu thức (3.11). Biến trong
thuật toán này được tính ra bằng cách dịch chuyển hàng trong w. Giải thuật trên
dẫn đến cùng một kết quả với biểu thức

 
 

N

Nk
N
Nk
knkNnxkkhnny
1 2
),(),(),(
22112121
(3.19)
Tương tự như biểu thức (3.11) ngoại trừ một dịch chuyển của N hàng trên ảnh
ra,

 
 


N
Nk
N
Nk
kkN
zzzzXkkhzzY
1 2
21
21
212121
),(),(),(
hay

 
 




N
Nk
N
Nk
kk
N
zzkkhz
zzX
zzY
1 2
21
21211
21
21
),(
),(
),(
(3.20)
Chính là biến đổi z trong biểu thức (3.11) được nhân với một trễ dọc
N
z

1
.
Để tính bộ lọc đối xứng vòng tròn, biểu thức (3.18) có thể viết lại dưới dạng
biểu thức (3.17) bằng cách thay n
1

bằng N.

),(
)],(),(
),(),(
)],(),(
),(),(
)],(),(
),(),(
),(),(
),(),([),()(
2
22
22
22
22
122221
122221
122221
1 1
122221212
21
1 2
nNw
nkNwknNw
nkNwknNw
knkNwknkNw
knkNwknkNw
knkNwknkNw
knkNwknkNw

knkNwknkNw
knkNwknkNwkkhnz
kk
N
k
N
k
h(0,0)+
+
k)[h(0,+
+
k)[h(k,+
+
+
+
N
1=k
N
1=k













 
(3.21)

Chương trình 3.1 “FIR.C”. Lọc ảnh dùng kiểu lọc FIR.

/*PROGRAM 3.1 "FIR.C". Program for filtering Images
using FIR type filters.*/

/* This program is for filtering images using the
algorithm described in sec.3.4. The filter type
is FIR. No assumptions are made regarding the filter
coefficients (e.g. circular symmetry). Thus, the
program is general enough to be used with any type
of FIR filter.
The FIR filter coefficients can be obtained using the
the Simpson's double integration program described in
chapter II. */

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <alloc.h>
#include <conio.h>
#include <io.h>
#include <ctype.h>
#include <string.h>

void main()
{

int i,j,n1,n2,N,NT,N2,image_width, image_length,k1,k2;
int true_width,true_length,ind;
char file_name[14],ch;
unsigned char **w;
unsigned char *temp;
float **h,max,min;
float nsq, zn2, tmp;
FILE *fptr, *fptr1, *fptr_tmp;
clrscr();
printf
("Enter file name containing FIR filter
coefficients ->");
scanf("%s",file_name);
if((fptr=fopen(file_name,"r"))==NULL)
{
printf("%s does not exist.",file_name);
exit(1);
}
/* calculating order of filter. */
nsq=0;
while(fscanf(fptr,"%f ", &tmp)!=EOF) nsq++;
rewind(fptr);

NT=sqrt(nsq);
printf("Order of filter %d x %d",NT,NT);
N=(NT-1)>>1;
N2=N<<1;
/* Allocating memory for filter coefficients h[i][j] */
h=(float **)malloc(NT*sizeof(float *));
for(i=0;i<NT;i++)

*(h+i)=(float *)calloc(NT,sizeof(float));
printf("\n FILTER COEFFICIENTS.\n");
for(i=0;i<NT;i++)
{
for(j=0;j<NT;j++)
{
fscanf(fptr,"%f ", &h[i][j]);
printf("%f ",*((*(h+i))+j));
}
printf("\n");
}

fclose(fptr);
printf
("Press any key to continue, Screen will be
cleared. ");
getch();
clrscr();
printf("Enter file name for input image ->");
scanf("%s",file_name);
if((fptr=fopen(file_name,"rb"))==NULL)
{
printf("%s does not exist.", file_name);
printf("\nPress any key to exit.");
getch();
exit(1);
}
nsq=filelength(fileno(fptr));
printf("is this a square image ?");
printf("\n i.e. Is image_length=image_width (y or

n)? -> ");
while(((ch=tolower(getch()))!='y')&&(ch!='n'));
putch(ch);
switch(ch)
{
case 'y':
image_length=image_width=sqrt(nsq);
printf("\n Image size = %d x %d",
image_length, image_width);
break;
case 'n':
printf("\nEnter image_width >");
scanf("%d",&image_width);
image_length=nsq/image_width;
printf("Image length is %d", image_length);
break;
}

/* opening a temporary file. */
fptr_tmp=fopen("temp_img.dat","w+");
gotoxy(70,25);
textattr(WHITE+(GREEN<<4)+BLINK);
cputs("WAIT");

/* Allocating memory for Image Transfer Buffer, w. */
w=(unsigned char **)malloc(NT*sizeof(char *));
for(i=0;i<NT;i++)
*(w+i)=(char *)calloc(image_width,sizeof(char));

/* Clear Image Transfer Buffer. */

for(i=0;i<NT;i++)
for(j=0;j<image_width;j++)
*((*(w+i))+j)=(unsigned char)0;
max=(float)0.0;
min=(float)255.0;
true_length=(int)image_length*0.90;
true_width=image_width-NT;

/*************
* Algorithm *
*************/

for(n1=0; n1<image_length;n1++)
{
gotoxy(1,9);
printf(" Transferred line %-4d to image transfer
buffer. ",n1);

/* Transfer row n2 of the image to the last row of w.
*/
for(j=0;j<image_width;j++)
{
ch= (char)fgetc(fptr);
*((*(w+N2))+j) = (unsigned char)ch;
}
for(n2=0; n2<image_width; n2++)
{
zn2=(float)0.0;
for(k1=-N; k1<=N; k1++)
for(k2=-N; k2<=N; k2++)

{
if( ((n2-k2)<0) || ((n2-k2)>=image_width) )
continue;
tmp=(float) (*((*(w+N-k1))+(n2-k2)));
zn2+=(*((*(h+N+k1))+(N+k2)))*tmp;
}

/* Excluding boundary values from determining the max.
and
min.values */

if((n1>N2)&&(n1<true_length)&&(n2>N2)&&(n2<true_width))