Chuyªn ®Ò: ¸p dông LÝ thuyÕt ®ång d trong mét sè d¹ng to¸n vÒ phÐp chia hÕt v µ phÐp
chia cßn d.
*****************************************************************************************************
*************************
I) LÝ thuyÕt vÒ ®ång d :
1.Định nghĩa.
Cho a, b
∈
Z
, m
∈
N
*. a được gọi là đồng dư với b modul m, ký hiệu a ≡ b(mod m).Nếu a và b
chia m có cùng số dư
a ≡ b(mod m)
1
2
.
.
a m q r
b m q r
= +

⇔

= +

a ≡ 0(mod m) nghĩa là a
M
m
Ví dụ: 17 ≡ 5(mod 6) ; 18 ≡ 0(mod 6)

2.Định lý 3 mệnh đề tương đương:
Cho a, b
∈
Z
, m
∈
N
* thì 3 mệnh đề sau là tương đương:
2.1. a ≡ b(mod m)
2.2. m | (a – b) (đọc là: m chia hết a – b hay m là ước của a – b )
2.3.
t
∃ ∈
Z
: a = b + mt
3.Tính chất :Cho a, b, c, d là các số nguyên
3.1. a ≡ a(mod m)
3.2.Nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m)
3.3.Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m)
3.4.Ta có thể cộng từng vế của nhiều đồng dư thức theo cùng một modul:
Ví dụ: Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a + c ≡ b + d (mod m)
3.5.Ta có thể nhân từng vế của nhiều đồng dư thức theo cùng một modul:
Ví dụ: Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì ac ≡ bd (mod m)
3.6.Ta có thể chuyển vế của đồng dư thức nhưng phải đổi dấu:
a + c ≡ b (mod m)
⇔
a ≡ b – c (mod m)
3.7.Ta có thể nhân 2 vế của đồng dư thức với cùng một số:
a ≡ b (mod m)
⇔

ac ≡ bc (mod m)
3.8.Ta có thể thêm (bớt) vào vế trái của đồng dư thức một bội của mod
a ≡ b (mod m)
⇔
a
±
km ≡ b (mod m) với km ≡ 0 (mod m)
3.9.Ta có thể nâng 2 vế của đồng dư thức lên một bậc nguyên không âm
Nếu a ≡ b (mod m), k nguyên dương thì a
k
≡ b
k
(mod m)
3.10.Ta có thể chia 2 vế của đồng dư thức và mod cho cùng một ước chung của chúng
Nếu a ≡ b (mod m) và d
∈
ƯC(a,b,m) thì
(mod )
a b m
d d d
≡
3.11.Ta có thể chia 2 vế của đồng dư thức cho cùng một ước chung nguyên tố với mod
Nếu a ≡ b (mod m) ; d
∈
ƯC(a,b) và (d,m) = 1 thì
(mod )
a b
m
d d
≡

3.12.Ta có thể nhân 2 vế của đồng dư thức và mod với cùng một số khác 0:
Nếu a ≡ b (mod m) thì ac ≡ bc (mod mc) với mọi c khác 0.
3.13.Nếu 2 số đồng dư với nhau theo mod m thì nó cũng đồng dư với nhau theo mod k là ước
của m
Nếu a ≡ b (mod m) và k | m thì a ≡ b (mod k)
=============================================================
Gi¸o Viªn: TrÇn Ly Na 1
Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép
chia còn d.
*****************************************************************************************************
*************************
3.14.Nu 2 s ng d vi nhau theo mod m
i
(i =
1,n
) thỡ nú cng ng d vi nhau theo mod
k l BCNN ca cỏc m
i
(i =
1,n
)
a b (mod m
i
) ( i =1,2,,n) a b (mod k) ( vi k =[m
1
,m
2
,,m
n
])

3.15.Nu a ng d vi b theo mod m thỡ CLN(a,m) bng CLN(b,m)
4.nh lý Fermat nh:Gi s
p
l mt s nguyờn t v a l mt s t nhiờn tu ý . Khi
ú,
)(mod paa
p

. Nu
1),( =pa
thỡ
).(mod1
1
pa
p


5. Một số kiến thức liên quan:
Trong khi làm bài tập sử dụng đồng d thức, ta nên chú ý tới các tính chất hay dùng sau đây:
* Với mọi a, b Z
+
(a b) và n là số tự nhiên: a
n
- b
n

M
a - b;
* Với mọi a, b Z
+

và n là số tự nhiên l: a
n
+ b
n

M
a + b;
* Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) có một và chỉ một số chia hết cho n;
* Lấy n + 1 số nguyên bất kì (n 1) đem chia cho n thì phải có hai số khi chia cho n có
cùng số d; (Theo nguyên lí Đirichlet);
* Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia A cho 10
m
;
II) Một số ví dụ minh hoạ sử dụng đồng d :
Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia
Phơng pháp: Muốn tìm số d trong phép chia số A cho m, ta phải tìm đợc
số x (0

x < m) sao cho A x (mod m).
Ví dụ 1: Tìm số d trong phép chia số 1993
2000
cho số 3 ?
Giải
Ta có: 1993 1 (mod 3) 1993
2000
1
2000
(mod 3) 1 (mod 3)
Vậy: số 1993
2000

khi chia cho 3 thì d 1.
Ví dụ 2: Tìm số d trong phép chia số 2004
376
cho số 1975 ?
Giải
Nhận xét: 376 = 2.3.62 + 4
Ta có: 2004 29 (mod 1975)
2004
2
29
2
(mod 1975) 841 (mod 1975)
2004
4
841
2
(mod 1975) 231(mod 1975)
2004
12
231
3
(mod 1975) 416 (mod 1975)
2004
48
416
4
(mod 1975) 536 (mod 1975)
2004
48
.2004

12
536.416 (mod 1975) 1776 (mod 1975)
2004
60
1776 (mod 1975)
2004
60
.2004
2
1776.841 (mod 1975) 516 (mod 1975)
2004
62
516 (mod 1975)
(2004
62
)
3
516
3
(mod 1975) 1171 (mod 1975)
2004
186
1171 (mod 1975)
(2004
186
)
2
1171
2
(mod 1975) 591 (mod 1975)

2004
372
591 (mod 1975)
2004
372
.2004
4
591.231 (mod 1975) 246 (mod 1975)
Vậy: số 2004
376
khi chia cho 1975 thì d 246.
Dạng 2: chứng minh sự chia hết
=============================================================
Giáo Viên: Trần Ly Na 2
Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép
chia còn d.
*****************************************************************************************************
*************************
Phơng pháp: Để chứng minh số A chia hết cho m, ta đi chứng minh A 0 (mod m).
Ví dụ 1: Chứng minh rằng số A = 2222
5555
+ 5555
2222
chia hết cho 7 ?
Giải
Ta cú: 2222 3 (mod 7)
2222
5
3
5

(mod 7) 2222
5
5 (mod 7) 2222
5555
5
1111
(mod 7) (1)
Tơng tự ta có: 5555 4 (mod 7)
5555
2
4
2
(mod7) 5555
2
2(mod7) 5555
2222
2
1111
(mod 7) (2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta có: A 2
1111
+ 5
1111
(mod 7) (3)
Mặt khác: 2
1111
+ 5
1111
= (2 + 5).M = 7.M 0 (mod 7) (4)
Từ (3) và (4) ta đợc: A 0 (mod 7)

Vậy: A = 2222
5555
+ 5555
2222
chia hết cho 7.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số B = 4
2n+1
+ 3
n+2

luôn chia hết cho 13 ?
Giải
Nhận xét 1: 4
2
3 (mod 13) (4
2
)
n
3
n
(mod 13) 4
2n
3
n
(mod 13)
4
2n
.4 4.3
n
(mod 13) 4

2n+1
4.3
n
(mod 13) (1)
Nhận xét 2: 3
2
- 4 (mod 13) mà 3
n
3
n
(mod 13)
Từ đó 3
2
.3
n
- 4.3
n
(mod 13), hay là: 3
n+2
- 4.3
n
(mod 13) (2)
Từ (1) và (2), cộng vế với vế, ta đợc B 0 (mod 13).
Nghĩa là B = 4
2n+1
+ 3
n+2
luôn chia hết cho 13 với mọi n N.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1:
Đa thức A = n

n
- n
2
+ n - 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n - 1)
2
?
Giải
Nhận xét 1: Với n = 2 thì A = 1, B = 1, rõ ràng A chia hết cho B.
Với n > 2, ta biến đổi A nh sau:
A = n
n
- n
2
+ n - 1 = n
2
(n
n-2
- 1) + (n - 1) = n
2
(n - 1)(n
n-3
+ n
n-4
+ + 1) + (n - 1)
= (n - 1)(n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2

+ 1)
Nhận xét 2: n 1 (mod n - 1) n
k
1 (mod n - 1), kN
Từ đó: n
n-1
+ n
n-2
+ + n
2
n - 2 (mod n - 1)
Nên: n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2
+ 1 n - 1 (mod n - 1)
Hay: n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2
+ 1 0 (mod n - 1) (1)
Nên: (n - 1)(n
n-1
+ n
n 2
+ + n

2
+ 1) 0 (mod (n - 1)
2
)
Hay: A = (n - 1)(n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2
+ 1) chia hết cho (n - 1)
2
.
Vậy: A = n
n
- n
2
+ n - 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n - 1)
2
.
Vớ d 4: Cho (a,7) = 1 . Chng minh: a
12
1(mod 7).
Giải
Ta có : (a,7) = 1 theo Fecmar thì : a
7-1
1(mod 7)
a
6
1 (mod 7) (a

6
)
2
1
2
(mod 7) a
12
1 (mod 7)
Vớ d 5: Cho (a,240) = 1 . Chng minh: a
4
-1

0(mod 240).
Giải
Ta có: 240 = 2
4
. 3. 5
=============================================================
Giáo Viên: Trần Ly Na 3
Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép
chia còn d.
*****************************************************************************************************
*************************
Mà (2,3) = (3,5) = (2,5) =1
Để chứng minh a
4
-1

0(mod 240).Ta cần chứng minh a
4

-1

M
2
4
; 3 ; 5
Theo đề ta có : (a,240) = 1 (a,2) = (a,3) = (a,5) =1
*Từ (a,3) = 1 theo Fecmar ta có : a
3-1
1(mod 3)
a
2
1 (mod 3) (a
2
)
2
1
2
(mod 3) a
4
1 (mod 3) a
4
-1 0 (mod 3) (1)
*Từ (a,5) = 1 theo Fecmar ta có : a
5-1
1(mod 5) a
4
1 (mod 5)
a
4

-1 0 (mod 5) (2)
*Ta lại có : a
4
-1 = (a
2
- 1)(a
2
+ 1) = ( a -1 )(a + 1) (a
2
+ 1)
Vì (a,2) = 1 a là số lẻ a -1 và a +1 là hai số chẵn liên tiếp ( a -1 )(a + 1)
M
8
Vì a lẻ a
2
+ 1 là số chẵn nên (a
2
+ 1)
M
2
a
4
-1 = ( a -1 )(a + 1) (a
2
+ 1)
M
16 hay a
4
-1 0 (mod 2
4

) (3)
Từ (1) , (2) ,(3) a
4
-1

0(mod 240).
Vớ d 6: Cho (a,5) = 1 . Chng minh: a
8n
+ 3a
4n
- 4

0(mod 25).
Giải
Để chứng minh : a
8n
+ 3a
4n
- 4

0(mod 25).Ta cần chứng minh: a
8n
+ 3a
4n


4(mod 25).
*Từ (a,5) = 1 theo Fecmar ta có : a
5-1
1(mod 5)

a
4
1 (mod 5) a
4n
1 (mod 5) (1)
a
4n
+ 3 4 (mod 5) (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta đợc:a
4n
( a
4n
+ 3 ) 4 (mod 25) a
8n
+ 3a
4n


4(mod 25).
Vậy a
8n
+ 3a
4n
- 4

0 (mod 25).
Vớ d 7: Cho (a,5) = 1 . Chng minh: a
8n
+ 3a
4n

- 4

0(mod 100).
Giải
Để chứng minh : a
8n
+ 3a
4n
- 4

0(mod 100).Ta cần chứng minh: a
8n
+ 3a
4n
- 4

M
4 và 25
*Theo ví dụ 6 ta có : a
8n
+ 3a
4n
- 4

0 (mod 25) (I)
*Chứng minh a
8n
+ 3a
4n
- 4


M
4
Đặt a = 4q + r ta có : r = 0 ;1 ; 2 ; 3
+Nếu r = 0 a
M
4 a
8n
+ 3a
4n
- 4

M
4 hay a
8n
+ 3a
4n
- 4

0(mod 4)
+Nếu r = 1 a

1 (mod 4) a
4n


1 (mod 4) 3.a
4n



3 (mod 4) (1)
Ta lại có: a

1 (mod 4) a
8n


1 (mod 4) (2)
Từ (1) và (2) ta có a
8n
+ 3a
4n


0(mod 4). a
8n
+ 3a
4n
- 4

0(mod 4).
+Nếu r = 2 a

2 (mod 4) a
2


0 (mod 4) a
8n



0 (mod 4) (3)
Từ a
2


0 (mod 4) a
4n


0 (mod 4) 3.a
4n


0 (mod 4) (4)
Từ (3) và (4) ta có a
8n
+ 3a
4n


0(mod 4). a
8n
+ 3a
4n
- 4

0(mod 4).
+Nếu r = 3 a


3 (mod 4) a
2


1(mod 4) a
8n


1 (mod 4) (5)
Từ a
2


1 (mod 4) a
4n


1 (mod 4) 3.a
4n


3 (mod 4) (6)
Từ (5) và (6) ta có a
8n
+ 3a
4n


0(mod 4). a
8n

+ 3a
4n
- 4

0(mod 4).
Vậy trong cả 4 trờng hợp ta đều có a
8n
+ 3a
4n
- 4

0(mod 4) (II)
Từ (I) và (II) ta có a
8n
+ 3a
4n
- 4

0(mod100).
Dạng 3: tìm các chữ số tận cùng của một số lớn
Phơng pháp: Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia
A cho 10
m
.
=============================================================
Giáo Viên: Trần Ly Na 4
Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép
chia còn d.
*****************************************************************************************************
*************************

Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số A =
4
3
2
?
Giải
Nhận xét: A =
4
3
2
= 2
81
= 2
4.20 + 1

Ta có: 2
4
6 (mod 10) (2
4
)
5
6
5
(mod 10)
Hay 2
20
6 (mod 10)
(2
20
)

4
6
4
(mod 10) 6 (mod 10)
Hay: 2
80
6 (mod 10) 2
80
.2 6. 2 (mod 10)
Nên: 2
81
2 (mod 10) .Vậy A chia cho 10 d 2 hay là A có chữ số tận cùng là 2.
Vớ d 2: Tìm chữ số tận cùng của số: B =
9
9
9
?
Nhận xét:
9
9
9
= 9
387420489
= 9
2k + 1

Ta có: 9
2
1 (mod 10) 9
2k

1 (mod 10)
Hay 9
2k
.9 9 (mod 10) 9
2k+1
9 (mod 10)
Vậy B chia cho 10 d 9 hay là B có chữ số tận cùng là 9.
Ví dụ 3: Tìm sáu chữ số tận cùng của số C = 5
21
?
Giải
Nhận xét: 5
21
= 5
15
. 5
6
; 5
15
= 5
3.5
; 10
6
= 2
6
.5
6
Ta cú 5
3
61 (mod 2

6
) 5
3
-3 (mod 2
6
)
(5
3
)
5
(-3)
5
(mod 2
6
) (-1).3
5
(mod 2
6
) (-1).51 (mod 2
6
) (-1).(-13) (mod 2
6
)
Hay 5
15
13 (mod 2
6
) 5
15
.5

6
13.5
6
(mod 2
6
.5
6
)
Hay là: C = 5
21
13.15625 (mod 10
6
) C 203125 (mod 10
6
)
Vậy C chia cho 10
6
d 203125, nên C có 6 chữ số tận cùng là 203125.
Ví dụ 4: Tìm bn chữ số tận cùng của số D = 5
2005
?
Giải
Nhận xét: 5
2005
= 5
2001
. 5
4
; 5
2001

= 5
4.500+1
; 10
4
= 2
4
.5
4
Ta cú 5
4
1 (mod 2
4
) (5
4
)
500
1 (mod 2
4
) 5
2000
.5 5 (mod 2
4
)
Hay 5
2001
5 (mod 2
4
) 5
2001
.5

4
5.5
4
(mod 2
4
.5
4
)
Hay là: 5
2005
3125 (mod 10
4
)
Vậy D chia cho 10
4
d 3125, nên D có 4 chữ số tận cùng là 3125.
Ví dụ 5: Tìm chữ số hàng chục của số M = 23
2005
?
Giải
Nhận xét: 23
2005
= 23
2001
. 23
4
= 23
4.5.100+1
.23
4

Ta cú : 23
2
29 (mod 100) 23
4
29
2
(mod 100) 23
4
41 (mod 100)
(23
4
)
5
41
5
(mod 100) 23
20
01 (mod 100) (23
20
)
100
01
100
(mod 100)
23
2000
01 (mod 100) 23
2000
. 23 01.23 (mod 100) 23
2001

23 (mod 100)
23
2001
.23
4
23.41 (mod 100)
Hay là: 23
2005
43 (mod 100)
Vậy M chia cho 100 d 43, nên M có chữ số hàng chục là 4.
III) Bài tập rèn kĩ năng vận dụng:
=============================================================
Giáo Viên: Trần Ly Na 5
Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép
chia còn d.
*****************************************************************************************************
*************************
Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia
Bài 1: Tìm số d trong phép chia số A = 1532
45
- 1 khi chia cho 9 ? (ĐS: 7)
Hớng dẫn: 1532 2 (mod 9) 1532
3
2
3
(mod 9) -1(mod 9)
(1532
3
)
15

(-1)
15
(mod 9) -1 (mod 9)
1532
45
8 (mod 9) 1532
45
- 1 7 (mod 9)
Bài 2: Tìm số d trong phép chia số B = 1999
2004
khi chia cho 31 ? (ĐS: 2)
Hớng dẫn: 1999 15 (mod 31) 1999
4
15
4
(mod 31) 2(mod 31)
(1999
4
)
5
= 1999
20
2
5
(mod 31) 1 (mod 31)
(1999
20
)
100
= 1999

2000
1 (mod 31) 1999
2000
. 1999
4
2 (mod 31)
Vậy 1999
2004
2 (mod 31)
Dạng 2: chứng minh sự chia hết
Bi 1. Chng minh rng
20102010
53 +
chia ht cho 13.
Hớng dẫn: Ta cú
)13mod(1273
6702010
=
v
2010 1005
5 25 1(mod13).=
T õy s dng tớnh
cht 4 ta cú iu phi chng minh.
Bi 2. Chng minh rng
52008 21
200220022002
+++
chia ht cho 2003.
Hớng dẫn: S dng nh lý Fermat nh vi chỳ ý 2003 l s nguyờn t, ta cú
)2003(mod1

2002
i
. Do ú,
2002 2002 2002
1 2 2008 5 2003 (mod 2003)+ + +
. T õy ta suy ra pcm.
Bài 3: Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng:
3
n
+ 1 chia hết cho 10 3
n+4
+ 1 chia hết cho 10 ?
Hớng dẫn:Ta có: 3
4
1 (mod 10)
*Từ 3
n
+ 1 chia hết cho 10 3
n
-1 (mod 10) 3
n
.3
4
-1.1 (mod 10) -1(mod 10)
3
n +

4
-1 (mod 10) ) 3
n+ 4

+ 1

0 (mod 10) (1)
*Từ 3
n+4
+ 1 chia hết cho 10 3
n+4
-1 (mod 10) 3
n
.3
4
-1.1 (mod 10)
3
n
-1 (mod 10) ) 3
n
+ 1

0 (mod 10) (2)
Từ (1) và (2) suy ra pcm.
Bài 4: Cho n là một số nguyên dơng. Chứng minh rằng:
a) A = 2
4n
- 1 chia hết cho 15;
b) B = 2
5n
- 1 chia hết cho 31;
c) C =
5
2

2
+ 1 chia hết cho 641;
Hớng dẫn:
5
2
2
= 2
32
= 2
16.2
d) D = 6
2n
+ 19
n
- 2
n+1
chia hết cho 17;
Hớng dẫn: 6
2
2 (mod 17) 6
2n
2
n
(mod 17)
19 2 (mod 17) 19
n
2
n
(mod 17)
6

2n
+ 19
n
2
n+1
(mod 17) 6
2n
+ 19
n
- 2
n+1
0 (mod 17)
e) E = 7.5
2n
+ 12.6
n
chia hết cho 19;
f) F = 5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1
chia hết cho 59.
Hớng dẫn: 5
n+2
+ 26.5
n
= 51. 5
n


8
2n+1
= (8
2
)
n
.8 5
n
.8 (mod 59)
=============================================================
Giáo Viên: Trần Ly Na 6
Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép
chia còn d.
*****************************************************************************************************
*************************
5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1
51. 5
n
+ 5
n
.8 (mod 59) 59. 5
n
(mod 59) 0 (mod 59)
g) G = 1961

1962
+1963
1964
+ 1965
1966
+ 2 chia hết cho 7
Hớng dẫn: 1961
1962
+1963
1964
+ 1965
1966
+ 2
* 1961 1 (mod 7) 1961
1962
1 (mod 7) (1)
* 1963 3 (mod 7) 1963
2
2 (mod 7) (1963
2
)
3
1 (mod 7) (1963
6
)
327
1 (mod 7)
1963
1962
.1963

2
2 (mod 7) 1963
1964
2 (mod 7) (2)
* 1965 5 (mod 7) 1965
2
4 (mod 7) (1965
2
)
3
1 (mod 7) (1965
6
)
327
1 (mod 7)
1965
1962
.1965
4
2(mod 7) 1965
1966
2 (mod 7) (3)
Từ (1); (2); (3) 1965
1962
+1963
1964
+ 1965
1966
1 + 2 + 2 (mod 7) 5 (mod 7)
1965

1962
+1963
1964
+ 1965
1966
+ 2 7 (mod 7) 0 (mod 7 )
h) H =
1930 1975
1890 + 1945 + 1
chia hết cho 7
Hớng dẫn: 1890 0 (mod 7 ) 1890
1930
0 (mod 7 ) (1)
1945 6 (mod 7 ) 1945
2
1 (mod 7) (1945
2
)
987
1 (mod 7)
1945
1974
1 (mod 7) 1945
1974
.1945 6 (mod 7) 1945
1975
6 (mod 7)
1945
1975
+ 1 0 (mod 7) (2)

Từ (1); (2)
1930 1975
1890 + 1945 + 1
0 (mod 7)
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 ta luôn có:
A = n
n
+ 5n
2
- 11n + 5 chia hết cho B= (n - 1)
2
?
Hớng dẫn:
A = n
n
+ 5n
2
- 11n + 5 = n(n
n-1
1) + 5(n
2
- 2n + 1)
= n(n-1)(n
n-2
+ n
n-3
+ + 1) + 5(n - 1)
2
= (n - 1)(n
n-1

+ n
n - 2
+ + n) + 5(n - 1)
2

Ta có : n 1 (mod n - 1) n
k
1 (mod n - 1), kN
Từ đó: n
n-1
+ n
n-2
+ + n n - 1 (mod n - 1)
Hay: n
n-1
+ n
n -2
+ + n 0 (mod n - 1)
Nên: (n - 1)(n
n-1
+ n
n - 2
+ + n) 0 (mod (n - 1)
2
)
Hay: A = (n - 1)(n
n-1
+ n
n - 2
+ + n) + 5(n - 1)

2
chia hết cho (n - 1)
2
.
Vậy: A = n
n
-5 n
2
-11 n +5 luôn chia hết cho đa thức B = (n - 1)
2
.
Bi 6. Chng minh rng
1
1728
n
chia ht cho 1729 vi mi nguyờn dng n.
Hớng dẫn:
Ta chỳ ý
19.13.71729 =
v 7, 13, 19 u l cỏc s nguyờn t nờn theo nh lý Fermat nh,
ta cú
)19(mod1;)13(mod1;)7(mod1
18126
nnn
. Do ú
).19(mod1)(;)13(mod1)(;)7(mod1)(
9618172814412172828861728
== nnnnnn
Vỡ 7, 13, 19
ụi mt nguyờn t cựng nhau nờn s dng tớnh cht 3.14 ca ng d ta cú

)1729(mod1
1728
n
tc l
1
1728
n
chia ht cho 1729.
Dạng 3: tìm chữ số tận cùng của một số lớn
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số: B = 7
2005
? (ĐS:7)
Hớng dẫn: 2005 = 4.501 +1
7
4
1 (mod 10) 7
4.501
.7 7 (mod 7) 7
2005
0 (mod 7)
Bài 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của số: A = 2
1000
? (ĐS: 76)
Hớng dẫn:
=============================================================
Giáo Viên: Trần Ly Na 7
Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép
chia còn d.
*****************************************************************************************************
*************************

2
10
24 (mod 100) (2
10
)
2
. 76 (mod 100) (2
20
)
5
76 (mod 100)
(2
100
)
2
76 (mod 100) (2
200
)
5
76 (mod 100) 2
1000
76 (mod 100)
Bài 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của số: B = 3
1000
? (ĐS: 01)
3
10
49 (mod 100) (3
10
)

2
. 01 (mod 100) (2
20
)
50
01 (mod 100)
Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ
Phơng pháp: Để tìm dấu hiệu của số A chia hết cho m thì ta tách số
A hợp lý để đợc một biểu thức đơn giản nhất của các chữ số của A là
f(A) sao cho A f(A) (mod m).
Ví dụ: Tìm dấu hiệu chia hết cho 3 ?
Giải
Xét số tự nhiên có n + 1 chữ số: A =
n n-1 1 0
a a a a
Ta có: A =
n n-1 1 0
a a a a
r (mod 3) (1)
a
n
.10
n
+ a
n-1
.10
n-1
+ + a
1
.10

1
+ a
0
r (mod 3)
(a
n
.
99 9
+ a
n
) + (a
n-1
.
99 9
+ a
n-1
) + + (a
1
.9 + a
1
)+ a
0
r (mod 3)
(a
n
.
99 9
+ a
n-1
.

99 9
+ + a
1
.9) + (a
n
+ a
n-1
+ + a
1
+ a
0
) r (mod 3)
Nhận xét: a
n
.
99 9
+ a
n-1
.
99 9
+ + a
1
.9 0 (mod 3)
Nên: (a
n
+ a
n-1
+ + a
1
+ a

0
) r (mod 3) (2)
Vậy: A =
n n-1 1 0
a a a a
a
n
+ a
n-1
+ + a
1
+ a
0
(mod 3)
Hay: A =
n n-1 1 0
a a a a
khi chia cho 3 có cùng số d khi chia tổng
các chữ số của A cho 3.
Từ đó: A chia hết cho 3 tổng các chữ số của A chia hết cho 3.
=============================================================
Giáo Viên: Trần Ly Na 8
Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép
chia còn d.
*****************************************************************************************************
*************************
III) Bài tập rèn kĩ năng vận dụng:
Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia
Bài 1: Tìm số d trong phép chia số A = 1532
45

- 1 khi chia cho 9 ? (ĐS: 7)
Bài 2: Cho số nguyên n > 1. Tìm d trong phép chia:
A = 19n
n
+ 5n
2
+ 1890n + 2006 cho B = n
2
- 2n + 1 ?
Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ
Bài 3: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số tự nhiên 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 ?
Bài 4: Tìm dấu hiệu chia hết cho 21 của một số tự nhiên có 3 chữ số ?
ĐS: a - 2b + 4c chia hết cho 21
Dạng 3: chứng minh sự chia hết
Bài 5: Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng:
3
n
+ 1 chia hết cho 10 3
n+4
+ 1 chia hết cho 10 ?
Bài 6: Cho n là một số nguyên dơng. Chứng minh rằng:
g) A = 2
4n
- 1 chia hết cho 15;
h) B = 2
5n
- 1 chia hết cho 31;
i) C =
5
2

2
+ 1 chia hết cho 641;
j) D = 6
2n
+ 19
n
- 2
n+1
chia hết cho 17;
k) E = 7.5
2n
+ 12.6
n
chia hết cho 19;
l) F = 5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1
chia hết cho 59.
Bài 7: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n > 0, ta luôn có:
5
2n-1
.2
n+1
+ 3
n+1
.2
2n-1

chia hết cho 38 ?
Bài 8: Chứng minh rằng: a) A =
69
119
220
+
220
69
119
+
119
220
69
chia hết cho 102 ?
b) B =
1930 1975
1890 + 1945 + 1
chia hết cho 7 ?
Bài 9: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
Số M = 21
2n+1
+ 17
2n+1
+ 15 không chia hết cho 19 ?
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 ta luôn có:
A = n
n
+ 5n
2
- 11n + 5 chia hết cho (n - 1)

2
?
Bài 11: Cho a; b là các số nguyên. Chứng minh rằng:
2a + 11b chia hết cho 19 5a + 18b chia hết cho 19 ?
Dạng 4: tìm chữ số tận cùng của một số lớn
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của số: A =
9
9
9
? (ĐS: 1)
Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của số: B =
14
14
14
? (ĐS: 6)
Bài 14: Tìm 4 chữ số cuối cùng của số C =
( ) ( )
1976 1974 1975 1973
1976 - 1974 1976 + 1974
?
=============================================================
Giáo Viên: Trần Ly Na 9
Chuyªn ®Ò: ¸p dông LÝ thuyÕt ®ång d trong mét sè d¹ng to¸n vÒ phÐp chia hÕt vµ phÐp
chia cßn d.
*****************************************************************************************************
*************************
(§S: 0000)
=============================================================
Gi¸o Viªn: TrÇn Ly Na 10