Những đề thi vẫn tồn tại mãi trong chúng ta ( sưu tầm )

Đề tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NINH BÌNH
Năm học 2003 – 2004
Môn toán
Bài 1
Cho phương trình: 2x
2
+ (a – 1)x + 2a – 1 = 0
1. Giải phương trình với a = 0.
2. Khi a = 2 ta có nhận định phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa
mãn x
1
+ x
2
= -1/2 và x
1
.x
2
= 3/2. Nhận định đó đúng hay sai? Vì sao?
Bài 2
Cho đường thẳng d có phương trình: y = ax + b (a khác 0).
1. Tìm a, b để đường thẳng đi qua hai điểm: M(1; 5) và N(-1; -1).
2. Trong trường hợp a, b vừa tìm được thì điểm P(3; 11) có thuộc
đường thẳng đó không? Vì sao?
Câu 3
Cho biểu thức:

a 3 3 a
M
2 a 6 2 a 6
+ −
= −
− +
với
a 0;a 9.≥ ≠
1. Rút gọn M.
2. Tìm a để M có giá trị bằng 4.
3. Tìm giá trị a nguyên để M có giá trị nguyên lớn hơn 10. Tìm giá trị
nguyên đó.
Câu 4.
Cho đường tròn đường kính AB = 2R. Từ B kẻ tiếp tuyến d với
đường tròn. Gọi C là điểm trên cung AB; nối AC kéo dài cắt d tại E.
1. Giả sử C là điểm chính giữa cung AB. Chứng minh tam giác ABE
vuông cân.
2. Giả sử C là điểm bất kì trên cung AB (C không trùng với A và B).
Gọi D là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (D không trùng với C và B). Nối AD
kéo dài cắt D tại F.
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AC.AE = AD.AF = const.
Bài 5
Giải phương trình: x
4
– 8x
2
+ x + 12 = 0.
Hướng dẫn câu khó
Bài 5: x

4
– 8x
2
+ x + 12 = 0
⇔ (x
2
– x – 3)(x
2
– x – 4) = 0
Đề tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NINH BÌNH
Năm học 2004 – 2005
Môn toán
Bài 1 (3 điểm)
1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức
2
1
a)
x 25−
b) x 2+
2. Giải hệ phương trình
2 3
5
x y
3 2
1
x y

+ =





− =


Bài 2 (2,5 điểm)
Cho phương trình: x
2
+ 2mx – 2m – 3 = 0
1. Giải phương trình với m = 1.
2. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
3. Tìm nghiệm của phương trình khi tổng bình phương các nghiệm
nhận giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A; D là một điểm trên AC; đường tròn
đường kính DC cắt BC tại E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính
DC tại F.
Chứng minh rằng:
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.
2. Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn.
3. AC là phân giác của góc EAF.
Câu 4. (1,5 điểm)
1. Chứng minh rằng
4 4 3 3
a b a b ab+ ≥ +
với mọi a, b.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (y
2
+ 4)(x
2

+ y
2
) = 8xy
2
.
Hướng dẫn câu khó
Câu 4:
1.
( )
( )
4 4 3 3
2
2 2
a b a b ab
a b a ab b 0
+ ≥ +
⇔ − + + ≥
2. (y
2
+ 4)(x
2
+ y
2
) = 8xy
2
⇔ (xy – 2y)
2
+ (y
2
– 2x)

2
= 0
2
2
y 0
xy 2y 0
x 2
y 2x 0
y 2x

=

− =



=
⇔ ⇔
 

− =


=

Do đó có các nghiệm: (0; 0); (2; 2); (2; -2)
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH NINH BÌNH
Năm học 2005 – 2006
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất: y = 2x + b (1)
a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R? Giải thích?
b) Biết rằng đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 3). Tìm b và vẽ đồ thị của
hàm số (1).
Câu 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức
1 1
A 1
a 1 a 1
= − −
− +
a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số nguyên tố a để giá trị biểu thức A là một số nguyên.
Câu 3: (2,0 điểm)
Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích bằnd 100 m
2
. Tính độ dài các
cạnh của thửa ruộng. Biết nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và
giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm
5m
2
.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm P ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp
tuyến phân biệt PA, PC (A, C là các tiếp điểm; PA > R) với đường tròn (O).
a) Chứng minh tứ giác PAOC nội tiếp được một đường tròn.
b) Tia AO cắt đường tròn (O) tại B; đường thẳng qua P và song song với
AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là hình gì? Chứng minh.
c) Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là
trung điểm của AD. Chứng minh I; J; K thẳng hàng.
Câu 5: (1,0 điểm)

Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
P 1 1
x y
 
 
= − −
 ÷ ÷
 
 
Hướng dẫn câu khó
Câu 4:
Hình vẽ:
K
J
I
D
O
P
C
B
A
a) Dễ rồi.
b) Chứng minh tứ giác BOPD là hình bình hành suy ra tứ giác OAPD là
hình chữ nhật.
c) J là giao điểm hai đường cao trong tam giác OIP nên J là trực tâm.
K là trung điểm AD nên K là trung điểm OP.
Chứng minh tam giác OPI cân suy ra IK là đường cao nên đi qua trực tâm
J hay I, J, K thẳng hàng.

Câu 5:
2 2 2 2 2 2
2
2 2
1 1 1 1 1
P 1 1 1
x y x y x y
1 1 2 1
P 1
x y xy x y
2
P 1
xy
 
 
= − − = − − +
 ÷ ÷
 
 
 
= − + + +
 ÷
 
= +
Ta có: x+y=1 suy ra:
( )
2 2
x y 2xy 1 *+ + =
Mặt khác
2 2

2xy x y (**)≤ +
Từ (*) và (**) suy ra
1
xy
4
≤
Do đó:
2
P 1 1 8 9
xy
= + ≥ + =
Dấu bằng xảy ra khi
x=y=0,5.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9 khi x = y = 0,5
Đề thi vào 10 ca tnh NINH BèNH
Năm học 2006 - 2007
Bài 1: (2 đ)
Cho phơng trình bậc hai: x
2
x 3a 1 = 0 (có ẩn là x)
Tìm a để phơng trình nhận x = 1 là nghiệm?
Bài 2: (4 đ)
Cho biểu thức
3 3 x x x
A
x 3 x x 3 x x 1
+
= + +
+ +
a. Rút gọn A với x 3

b. Tính giá trị của A khi x =
61
9 2 5+
Bài 3: (4 đ)
Cho hàm số y = mx
2

a. Xác định m, biết đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 3x + 2 tại điểm M có
hoành độ bằng 2
b. Với m tìm đợc ở câu a, chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số và đờng thẳng
d có phơng trình y = kx 1 luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi
giá thị của k
c. Gọi x
1
; x
2
tơng ứng là hoành độ của A và B. Chứng minh rằng
1 2
x x 2
Bài 4: (7 đ)
Cho đờng tròn (O; R). Điểm M nằm ngoài đờng tròn. Vẽ các tiếp tuyến MC,
MD (C, D là các tiếp điểm) và cát tuyến MAB đi qua tâm O của đòng tròn (A ở
giữa M và B)
a. Chứng minh: MC
2
=MA.MB
b. Gọi K là giao điểm của BD và CA. Chứng minh 4 điểm B, C, M, K cùng
thuộc một đờng tròn
c. Tính độ dài MK theo R khi
ã

0
CMD 60=
Bài 5: (1,5 đ)
Tìm a, b hữu tỉ để phơng trình x
2
+ ax + b = 0 nhận x =
2 1
là nghiệm.
Bài 6: (1,5 đ)
Tìm x, y nguyên thoả mãn phơng trình x + x
2
+ x
3
= 4y + 4y
2
Hết
H íng dÉn
Bµi 5:
Ph¬ng tr×nh x
2
+ ax + b = 0 nhËn x =
2 1−
lµ nghiÖm
( ) ( )
( )
2
2 1 a 2 1 b 0 3 2 2 a 2 a b 0
a 2 0 a 2
2 a 2 a b 3
a b 3 0 b 1

⇔ − + − + = ⇔ − + − + =
− = =
 
⇔ − = − − ⇔ ⇔
 
− − = = −
 
Bµi 6.
x + x
2
+ x
3
= 4y + 4y
2

⇔
(x + 1)(
2
x
+1) = (1 + 2y)
2
(1)
§Æt (x + 1;
2
x
+ 1) = d (d
∈
N
*
)

Ta cã x + 1
M
d
⇒

2
x
+ x
M
d
⇒
(
2
x
+ x) – (
2
x
+ 1)
M
d
⇒
x – 1
M
d
⇒
(x + 1) – (x – 1)
M
d
⇒
2

M
d (2)
Tõ (1) ta cã x + 1 vµ x
2
+1 ®Òu lµ sè lÎ (3)
Tõ (2) vµ (3) ta cã d = 1 (4)
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
x 1 m
Tõ (1) vµ (4) (m;n Z)
x 1 n
n x 1 n x 1
Tõ x 1 n n x n x 1 hoÆc
n x 1 n x 1
x 0 4y 4y 0 y 0 hoÆc y = -1
+ =

⇒ ∈

+ =

− = − = −
 
+ = ⇔ − + = ⇔
 
+ = + = −
 

⇒ = ⇒ + = ⇒ =
Đề thi TS 10 ca tnh NINH BèNH
Năm học 2007 2008
(Thời gian 120 phút)
Bài 1: (3 đ)
1. Giải các phơng trình và hệ phơng trình
a. 2x 2 = 0
b.
2
x
7x + 6 = 0
c.
2x y 4 x
x 2y 1
+ =


+ =

2. Rút gọn các biểu thức sau:
a.
2 xy
x y
A
x y
xy x xy y
= +

+
với x > 0; y > 0; x


y
b.
B 4 2 3 4 2 3= + +
c.
546 84 42 253 4 63 +
Bài 2: (2 đ)
Cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = mx 2 (d
1
) và 3x + my = 5 (d
2
)
a. Khi m =2, xác định hệ số góc và tìm tọa độ giao điểm của hai đờng thẳng.
b. Khi (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại M(x
0
; y
0
), tìm m để x
0
+ y
0
= 1 -
2
2
m
m 3+

c. Tìm m để giao điểm của (d
1
) và (d
2
) có hoành độ dơng còn tung độ thì âm.
Bài 3: (3 đ)
Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB. Trên nửa đờng tròn lấy hai điểm C, D
(C thuộc cung AD) sao cho CD = R. Qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt
AB ở M. Tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt CD lần lợt tại E và F, AC cắt BD ở K.
a. Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác
vuông.
b. Xác định tâm và bán kính đờng trón ngoại tiếp tam giác KCD.
c. Tìm vị trí của dây CD sao cho diện tích tam giác KAB lớn nhất.
Bài 4: (1 đ)
Hai máy bơm cùng bơm nớc vào một cái bể cạn (không có nớc), sau 4 giờ thì bể
đầy. Biết rằng nếu để máy thứ nhất bơm đợc một nửa bể, sau đó máy thứ hai bơm
tiếp (không dùng máy thứ nhất nữa) thì sau 9 giờ bể sẽ đầy. Hỏi nếu mỗi máy bơm
riêng thì mất thời gian bao lâu sẽ đầy bể nớc.
Bài 5: (1 đ)
Tìm các số hữu tỉ x và y sao cho
12 3 y 3 x 3 + =
Hớng dẫn
Bài 2:
c.
( )
( ) ( )
546 84 42 253 4 63
42 13 2 42 253 2.6 7
42 7 6 6 7 1
7 6 6 7 6 7 1 7 6 1

+
= +
= +
= + =
Bài 3:
H
I
M
O
K
F
E
D
C
B
A
b.
ã
ã
0 0
AKB 60 AIB 120= =
(Góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Tứ giác OCID nội tiếp

ã
ã
0
OCI ODI 90= =


ID = OD.tg30
0
=
R 3
3
c.

KCD

KBA
2
KCD
KBA KCD
KBA
S CD 1
S 4S
S AB 4
∆
∆ ∆
∆
 
= = ⇒ =
 ÷
 
⇒
KBA
S
∆
lín nhÊt
⇔

KCD
S
∆
lín nhÊt
⇔
KH lín nhÊt
⇔
H lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung
lín CD cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c KCD
⇔

∆
KCD c©n
⇔
∆
KBA c©n
⇔
CD//AB
Bµi 5
12 3 y 3 x 3− + =

⇔
x y 2 3− = −
( )
( )
x y *
x y 2 xy 2 3 * *

>


⇔

+ − = −


( )
( )
( )
2
1
** x y 2 2 xy 3 x y 2 4xy 3 4 3xy⇔ + − = − ⇒ + − = + −
⇒
3xy
h÷u tØ
§Æt
3xy
= m víi m
∈
Q thay vµo (1) ta cã:
m
x y 2 2 3
3
⇔ + − = −
( )
3
3
x
2m 3 0
xy
3

2
x y 2 2m 3
4
3 x y 2 0 1
x y 2
y
2

=


− =
=

 
⇔ + − = − ⇒ ⇔ ⇔
  
+ − =

 
+ =
=



(v× theo (*) th×
x > y)
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 - 2009
Môn toán
Thời gian: 120 phút

Câu 1: (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình: 2x + 4 = 0
2. Giải hệ phơng trình sau:
x y 4
2x y 6
+ =


+ =

3. Cho phơng trình ẩn x sau: x
2
6x + m +1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 7.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
x x 26+ =
.
Câu 2: (1,5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau:
1.
1 1
A
5 2 5 2
= +

+
2.
( )
2
B 2008 2009=
3. C =
1 1 1

1 2 2 3 2008 2009
+ + +
+ + +
Câu 3: (2,0 điểm)
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 300m. Tính diện tích của thửa
ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng gấp 2 lần thì chu vi
của thửa ruộng không thay đổi.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng d cố định không giao nhau.
Từ điểm M thuộc d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (O; R) (A, B là các
tiếp điểm).
1. Gọi I là giao điểm của MO và cung nhỏ AB của đờng tròn. Chứng minh I là
tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MAB.
2. Cho biết MA = R
3
, tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi hai tiếp
tuyến MA, MB và cung nhỏ AB của đờng tròn (O; R).
3. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên d thì đờng thẳng AB luôn đi qua một
điểm cố định.
Câu 5: (1,5 điểm)
1. Cho
3 3

A 26 15 3 26 15 3
= + +
. Chứng minh rằng A = 4.
2. Cho x, y, z là ba số dơng. Chứng minh rằng
3 3 3
x y z
xy yz xz
y z x
+ + + +
.
3. Tìm a N để phơng trình x
2
a
2
x + a + 1 = 0 có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn
Bài 1:
1) x = -2
2) (x; y) = (2; 2)
3) a) x
1
= 2; x
2
= 4
b) m = 4
Bài 2:
a)
2 5
b)
2009 2008−

c)
2009 1−
Bài 3: Diện tích khu vườn: 5400 m
2
Bài 4:
P
N
d
I
O
M
H
B
A
b) S
AOBM
=
3
R
2
2
Q
AOB
R
S
3
π
=
⇒ S =
2

3 3
R
3
− π
c) Kẻ OH ⊥ d, gọi giao điểm của AB và OH là N, giao điểm của AB và OM
là P.
Tứ giác HMPN nội tiếp nên ON.OH = OP.OM = R
2
Do đó N là điểm cố định mà AB luôn đi qua.
Bài 5:
( )
( )
( )
( )
3 3 2 2
3
2
x y x y x xy y xy x y
x
y x x y
y
+ = + − + ≥ +
⇒ + ≥ +

Tương tự suy ra điều phải chứng minh.
Câu 5: 3) Ta có:
Để phương trình có nghiệm nguyên thì delta phải là số chính phương.
Đặt: với k là số nguyên. Kết hợp với điều kiện a là số tự nhiên ta
có:
Kiểm tra với a= 2 ta có delta bằng 4 (thỏa mãn)

* Với a > 2
Xét hiệu:
Suy ra:
Mặt khác
Do đó:
Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào nên
không là số chính phương khi a>2.
KL: a = 2.
TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH
N¨m häc 2009- 2010
Câu 1 (2,5 điểm):
1. Giải phương trình: 4x = 3x + 4
2. Thực hiện phép tính:
A 5 12 4 3 48= − +
3. Giải hệ phương trình sau:
1 1
1
x y
3 4
5
x y

− =





+ =


Câu 2 (2,0 điểm):
Cho phương trình: 2x
2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1), trong đó m là tham số.
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 4
2
1
x
+ 4
2
2
x
+ 2x
1
x
2
=
1
Câu 3 (1,5 điểm):
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng

vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của
người đi xe đạp khi đi từ A đến B.
Câu 4 (2,5 điểm):
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A.
Trên đường thẳng d lấy điểm H sao cho AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với
đường thẳng d, cắt (O;R) tại hai điểm E và B (E nằm giữa H và B).
1. Chứng minh rằng góc ABE bằng góc EAH.
2. Trên dường thẳng d lấy điểm C sao cho H là trung điểm của đoạn AC. Đường thẳng
CE cắt AB tại K. Chứng minh rằng tứ giác AHEK nội tiếp được đường tròn.
3. Xác định vị trí của điểm H trên đường thẳng d sao cho AB = R
3
.
Câu 5 (1,5 điểm):
1. Cho ba số a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
2. Tìm x, y nguyên thoả mãn: x + y + xy + 2 = x
2
+ y
2
GỢI Ý ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH NĂM
HỌC 2009 - 2010
Câu 1:
1. 4x = 3x + 4 <=> x = 4
2. A = 5
12
- 4

3
+
48
= 10
3
- 4
3
+ 4
3
= 10
3
3. đk : x
≠
0; y
≠
0.








=
=
⇔








−=
=
⇔







=+
=−
⇔







=+
=−
9
7
2
7

1
7
91
9
7
5
43
4
44
5
43
1
11
x
y
y
x
yx
yx
yx
yx

N
K
C
B
E
O
A
H

( Thoả mãn điều kiện x
≠
0; y
≠
0.
Kl: ….
Cau 2: Phương trình: 2x
2
+ (2m-1)x + m - 1= 0 (1)
1. Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có.
2x
2
+ 3x + 1 = 0
Có ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)
=> Phương trình (1) có nghiệm x
1
= -1 ; x
2
= - 1/2
2. Phương trình (1) có
∆
= (2m -1)
2
- 8(m -1)
= 4m
2
- 12m + 9 = (2m - 3)
2

≥

0 với mọi m.
=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi giá trị của m.
+ Theo hệ thức vi ét ta có:







−
=
−
=+
2
1
2
21
21
21
m
xx
m
xx
+ Theo điều kiện đề bài: 4x
1

2
+ 4x
2
2
+ 2
21
xx
= 1
<=> 4(x
1
+ x
2
)
2
- 6
21
xx
= 1
<=> ( 1 - 2m)
2
- 3m + 3 = 1
<=> 4m
2
- 7m + 3 = 0
+ Có a + b + c = 0 => m
1
= 1; m
2
= 3/4
Vậy với m = 1 hoặc m = 3/4 thì phương trình (1) có hai nghiệm x

1
; x
2
thoả
mãn: 4x
1
2
+ 4x
2
2
+ 2
21
xx
= 1.
Câu 3: Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h; x > 0)
Thì vận tốc khi người đó đi từ B về A là : x + 3 (km/h)
Thời gian người đó đi từ A đến B là:
x
36
(h)
Thời gian người đó đi từ B về A là:
3
36
+x
(h)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi nên ta có phương trình :

x
36
-

3
36
+x
=
5
3

<=> x
2
+ 3x - 180 = 0
Có
∆
= 729 > 0
Giải được: x
1
= 12 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= -15 (không thoả mãn điều kiện của ẩn)
Vậy vận tốc của người đó đi từ A đến B là 12 km/h.
Câu 4:
1. Chứng minh:
∠
ABE =
∠
EAH

∠
ABE là góc nội tiếp chắn cung AE


∠
EAH là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AH và dây cung AE.
=>
∠
ABE =
∠
EAH
( Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
2. Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp
+ BH vuông góc với AC tại H
=>
∠
BHC = 90
0

+ H là trung điểm của AC (gt)
+ EH
⊥
AC tại H (BH
⊥
AC tại H; E
∈
BH)
=>
∆
AEC cân tại E.
=>
∠
EAH =
∠

ECH( t/c tam giác cân)
+
∠
ABE =
∠
EAH ( cm câu a)
=>
∠
ABE =
∠
ECH ( =
∠
EAH)
=>
∠
KBE =
∠
KCH
=> Tứ giác KBCH nội tiếp
=>
∠
BKC =
∠
BHC = 90
0
=>
∠
AKE = 90
0
(1)( Kề bù với

∠
BKC = 90
0
)
Mà
∠
EHA = 90
0
(2) ( EH
⊥
AC tại H)
Từ (1) và (2) =>
∠
AKE +
∠
EHA = 180
0
=> Tứ giác AHEK nội tiếp.
3. Xác định vị trí điểm H trên đường thẳng (d) sao cho AB = R
3
+ Kẻ ON vuông góc với AB tại N
=> N là trung điểm của AB( Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
=> AN =
2
3R
Ta có tam giác ONA vuông tại N theo cách dựng điểm N.
=> tag
∠
NOA = AN : AO =
2

3

=>
∠
NOA = 60
0
=>
∠
OAN =
∠
ONA -
∠
NOA = 30
0
+
∠
OAH = 90
0
( AH là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm A)
=>
∠
BAH = 60
0
+ chứng minh :
∆
BAC cân tại B có
∠
BAH = 60
0
=> tam giác ABC đều.

=> AH = AC/2 = AC/2 =
2
3R
=> H là giao điểm của (A;
2
3R
) và đường thẳng (d)
Chú ý : Bài toán có hai nghiệm hình:
Câu 5:
1. Với a > 0; b > 0; c > 0 .
Chứng minh rằng:
abc
abcacabccbabcba
1111
333333
≤
++
+
++
+
++
HD: ta có a
3
+ b
3
+ abc = (a+b)(a
2
+ b
2
- ab) + abc

≥
(a+b)(2ab - ab)+ abc
( vì (a-b)
2

≥
0 với mọi a, b => a
2
+ b
2
≥
2ab)
=> a
3
+ b
3
+ abc
≥
ab(a+b) + abc = ab( a+b+c)
Vì a, b, c > 0 =>
abcba
abcba
)(
11
33
++
≤
++
(1)
Tương tự ta có:

bccba
abccb
)(
11
33
++
≤
++
(2)

cacba
abcac
)(
11
33
++
≤
++
(3)
Từ (1) ; (2); (3)
=>
abccbaabc
cba
abcacabccbabcba
1
)(
111
333333
=
++

++
≤
++
+
++
+
++

Du "=" xy ra khi a = b = c
Vy bt ng thc c chng minh.
2. Tỡm x, y nguyờn tho món:
x + y + xy + 2 = x
2
+ y
2 (*)
<=> x
2
- x(y + 1) + y
2
- y - 2 = 0 (**)
Vỡ x, y l nghim ca phng trỡnh (*)
=> Phng trỡnh (**) luụn cú nghim theo x
=>

= (y+1)
2
- 4 (y
2
- y - 2)


0
=> -3y
2
+ 6y + 9

0
<=> - y
2
+ 2y + 3

0
<=> (- y
2
- y) + 3(y + 1)

0
<=> (y + 1)(3 - y)

0
Gii c -1

y

3 vỡ y nguyờn => y

{-1; 0; 1; 2; 3}
+ Vi y = -1 =>
(*)
<=> x
2

= 0 => x = 0
+ vi y = 0 =>
(*)
<=> x
2
- x - 2 = 0
cú nghim x
1
= -1; x
2
= 2 tho món x

Z.
+ vi y = 1 =>
(*)
<=> x
2
- 2x - 2 = 0 cú
'
= 3 khụng chớnh phng.
+vi y = 2 => x
2
- 3x = 0 => x

= 0 hoc x = 3 tho món x

Z.
+ vi y = 3 => (x-2)
2
= 0 => x = 2 tho món x


Z.
Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l: (x,y)


{ }
)3;2();2;3();2;0();0;2();1;0();0;1(

Ph lc : t 1996 n 2003

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
Năm học: 1996- 1997
Bài 1.
Cho hệ phơng trình



=+
=+
bbyxa
abyax
5)2(
42
1. Giải hệ phơng trình khi a = b = 1.
2. Tìm giá trị của a và b để x = 2, y = 5 là nghiệm của hệ phơng trình
Bài 2.
Cho hàm số y = 2x
2
(P) và y = 2x + k (d)
1. Xác định giá trị của k để đồ thị hàm số (P) và (d) tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ của

tiếp điểm?
2. Xác định giá trị của k để đồ thị hàm số (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
3. Trong trờng hợp đồ thị hàm số (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Gọi
(x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
) là tọa độ hai điểm đó.
Tính tỉ số:
21
21
xx
yy


Bài 3.
Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao
cho BM = AN.
1. Chứng minh BN = CM.
2. BN cắt CM tại I. Chứng minh AMIN là tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn.
3. Khi M và N thay đổi trên cạnh AB và AC (nhng ta luôn có BM = AN) thì I thay
đổi trên đờng nào?
4. Giả sử
ABCNAM
3
2

==
. Tính góc AIC
Bài 4.
Cho biểu thức: B = x
8
x
5
+ x
2
x + m
Tìm những giá trị của m để biểu thức
B
A
1
=
có nghĩa với mọi giá trị của x
Năm học: 1997- 1998
Bài 1.
Cho phơng trình
x
2
+ (1 4a)x + 3a
2
+ a = 0 (x là ẩn, a là tham số)
1. Giải phơng trình với a = 2.
2. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
Bài 2.
Trong phong trào đền ơn đáp nghĩa, đợt một lớp 9A và 9B huy động đợc 70 ngày
công để giúp đỡ các gia đình thơng binh, liệt sỹ. Đợt hai lớp 9A huy động đợc vợt
20% số ngày công lớp 9B huy động vựot 15% số ngày công, do đó cả hai lớp đã

huy động đợc 82 ngày công. Tính xem đợt một mỗi lớp đã huy động đợc bao nhiêu
ngày công.
Bài 3.
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC trong đoạn AC lấy điểm B và vẽ đờng tròn tâm
I đờng kính AC. Gọi M là trung điểm của AB, từ M kẻ dây cung DE vuông góc với
AC. Nối D với C, DC cắt đờng tròn tâm I tại F (F

C).
1. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi
2. Chứng minh ba điểm E, B, F thẳng hàng
3. So sánh hai góc EMF và DAE.
4. Xác định và giải thích vị trí tơng đối giữa đờng thẳng MF với đờng tròn tâm I
Bài 4.
Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 4 2n


ữ ữ ữ ữ

( Với n

N, n

2)
Năm học: 1998- 1999
Bài 1.

1. Thực hiện phép tính:
20354
2. Rút gọn biểu thức:
1
1
:
1
21


+
++
b
a
a
bb
với a, b

0; a, b

1
3. Chứng minh biểu thức:
)13(322 +
có giá trị là số nguyên
Bài 2. Giải hệ phơng trình
1.



=

=+
423
52
yx
yx
2.







=


+
=

+
+
4
3
2
1
3
5
3
1
1

2
yx
yx
Bài 3.
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính EF, BC là một dây cung cố định vuông góc với
EF, A là một điểm bất kì trên cung BFC ( A

B, A

C)
1. Chứng minh AE là phân giác góc BAC.
2. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh BD song
song với AE
3. Gọi I là trung điểm BD. Chứng minh I, A, F thẳng hàng.
4. M là một điểm trên cung AB sao cho
k
MB
MA
=
( k không đổi), qua M vẽ đờng
thẳng (d) vuông góc với AC. Chứng minh khi A thay đổi trên cung BFC thì đờng
thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4.
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1.
Chứng minh rằng : ab + ac + bc

abc.
Năm học 1999-2000
Bài 1.
Cho hệ phơng trình




=
=+
432
3
nymx
nymx
a. Giải hệ phơng trình với m = n = 1
b. Tìm giá trị của m và n để x = 2, y = 1 là nghiệm của hệ
Bài 2.
Tính giá trị của biểu thức
347324
++=
A
Bài 3.
Hai ngời đi xe đạp trên đoạn đờng AB. Ngời thứ nhất đi từ A đến B, cùng lúc đó
ngời thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng
4
3
vận tốc của ngời thứ nhất. Sau 2 giờ
30 phút thì hai ngời gặp nhau. Hỏi mỗi ngời đi hết đoạn đờng AB mất bao lâu ?
Bài 4.
Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy điểm D sao cho hai đờng tròn nội tiếp các
tam giác ACD và BCD bàng nhau. Gọi O, O
1
, O
2
theo thứ tự là tâm các đờng tròn

nội tiếp các tam giác ABC, ACD và BCD.
a. Chứng minh ba điểm A, O
1
, O thẳng hàng và 3 điểm B, O
2
, O thẳng hàng
b. Chứng minh OO
1
.OB = OO
2
.OA
c. Đặt AB= c, AC= b, BC= a. Tính độ dài CD theo a, b, c.
Bài 5.
Cho bốn số a, b, x, y thoả mãn:
byxa
<<
0
. Chứng minh
a. x
2
+ ab

(a + b)x
b.
( )
( )
ba
ba
yx
yx

.
11
2
+









++
Năm học: 2000- 2001
Bài 1.
Cho phơng trình : 2x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0 (1) ( với m là tham số)
a. Giải phơng trình (1) với m = 2
b. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c. Tìm m sao cho phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x
2
= 11

Bài 2.
Đờng sông từ thành phố A tới thành phố B ngắn hơn đờng bộ 25 km. Để đi từ A
tới B, ôtô đi hết 2 giờ 30 phút, canô đi hết 4 giờ 10 phút. Vận tốc ôtô lớn hơn vận
tốc canô là 22km/h. Tính vận tốc của canô và vận tốc của ôtô.
Bài 3.
Cho tam giác đều ABC, Gọi O là trung điểm cạnh BC, vẽ góc xOy bằng 60
0
sao
cho Ox cắt cạnh AB tại M, Oy cắt cạnh AC tại N. Chứng minh rằng
a. Tam giác OBM đồng dạng với tam giác NCO, suy ra BC
2
= 4.BM.CN
b. MO là tia phân giác của góc BMN
c. Đờng thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi góc xOy
bàng 60
0
, quay quanh O sao cho tia Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB, AC của tam
giác ABC theo thứ tự tại M và N.
Bài 4.
Cho a, b, c, p thứ tự là độ dài các cạnh và nửa chu vi của một tam giác
Chứng minh







++


+

+
cbacpbpap
111
2
111
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Năm học: 2001- 2002
Bài 1.
Giải các phơng trình
1) x
2
+ 5x 14 = 0
2) 2x + 5
12 x
- 15 = 0
3) x
4
+ 5x
3
10x
2
+ 10x + 4 = 0
Bài 2.
Cho hệ phơng trình



=++

=+
5)1(
5)1(
2
ymmx
ymxm

1) Giải hệ phơng trình với m = 2
2) Tìm giá trị của m để hệ phơng trình trên có nghiệm x = y = -5
Bài 3.
Với
9,4,0 aaa
. Rút gọn biểu thức
P =
)
65
2
2
3
3
2
(:)
2
3
1(
+
+
+

+



+



aa
a
a
a
a
a
a
a
Bài 4.
Cho đờng tròn đờng kính AB, trên tia AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa AC, từ
C kẻ đờng thẳng x vuông góc với AB, trên x lấy điểm D( D

C). Nối DA cắt đ-
ờng tròn tại M, nối BD cắt đờng tròn tại N, nối CN cắt đờng tròn tại K.
1) Chứng minh ADCN là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
2) Chứng minh AC là phân giác của góc KAD.
3) Kéo dài MB cắt đờng thẳng x tại S. Chứng minh ba điểm S, A, N thẳng hàng.
Bài 5.
Cho tam giác ABC vuông tại H, kẻ đờng cao AH. Đặt HB = x, HC = y, AH = z,
chứng minh rằng: nếu x + y + z = xyz thì
3z
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Năm học: 2002- 2003
Bài 1:

Giải các phơng trình
1) x
2
10x + 21 = 0
2) x
2
-
3
x 6 = 0
Bài 2:
Giải các hệ phơng trình
1)



=+
=+
53
115
yx
yx
2)







=

+
+

=
+
+

5
1
3
1
1
11
1
1
1
5
yx
yx
Bài 3:
Với a, b là 2 số bất kỳ; a

0. Cho 2 hàm số y = ax + b (1) và y = ax
2
(2)
1. Tìm a và b để đồ thị hàm số (1) đi qua 2 điểm A(1; 2), B(3; 0).
2.Tìm điều kiện của a và b để đồ thị hàm số (1) cắt đồ thị hàm số (2) tạị 2 điểm
phân biệt.
Bài 4:
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R. Gọi d là đờng thẳng cắt đờng tròn tại 2 điểm

phân biệt (d không qua 0); M là điểm nằm trên d và nằm ngoài đờng tròn. Từ M
kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đờng tròn; BC là đờng kính của đờng tròn.
1) Chứng minh AC // M0.
2) Từ O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC, đờng thẳng này cắt đờng
thẳng AC tại D. Chứng minh 5 điểm M, B, O, A, D nằm trên một đờng tròn.
3) Tìm M trên đờng thẳng d để tam giác AOC đều. Hãy chỉ ra cách xác định M.
Bài 5:
Giải phơng trình
2(x
2
-3x +2) = 3
8
3
+x
27-5-2010
Cm t tp th S Phm tnh Ninh Bỡnh