I
II phần I: Mở đầu
I. lý do chọn đề tài.
Tri thức khoa học của nhân loại càng ngày càng đòi hỏi cao. Chính vì
vậy, việc giảng dạy trong nhà trờng phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất
lợng toàn diện, đào tạo thế hệ trẻ cho đất nớc có tri thức cơ bản, một phẩm chất
nhân cách có khả năng t duy, sáng tạo, t duy độc lập, tính tích cực nắm bắt
nhanh tri thức khoa học. Chỉ có thể t duy sáng tạo khi học sinh đã có t duy tích
cực và độc lập. Rèn luyện kỹ năng t duy độc lập cho học sinh tự chiếm lĩnh
kiến thức là cách hiệu quả nhất.
Môn Toán là môn học góp phần tạo ra những yêu cầu đó. Đặc trng của
Toán học là trừu tợng hoá cao độ, có tính lôgíc phải chú trọng nguyên tắc trực
quan quy nạp, trực quan Toán học. Dạy học phải cân đối các quan hệ giữa trực
quan, trừu tợng giữa suy luận có lí, có căn cứ. Vì vậy việc hình thành năng lực
giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc làm chính của ngời thầy không
thể thiếu đợc, rèn luyện cho các em có khả năng t duy sáng tạo, nắm chắc kiến
thức cơ bản, gây đợc hứng thú cho các em yêu thích môn Toán.
Thế mà trong quá trình giảng dạy đôi khi chúng ta cũng quên mất điều
đó. Thực tế khi giảng dạy một cách áp đặt, dập khuôn những vấn đề có sẵn,
thiếu tính sáng tạo, học sinh tiếp thu một cách bị động. Vì thế khi giải Toán gặp
bài toán khó hoặc kiến thức lớp trên trong chơng trình Toán THCS thờng là các
em không làm đợc.
Để góp phần nâng cao chất lợng, giúp học sinh hình thành năng lực giải
bài toán trong trờng THCS. Bản thân tôi đã nghiên cứu phần Tỷ lệ thức chơng
trình lớp 7 nhằm hình thành năng lực giải Toán cho học sinh THCS.
Giới thiệu một số bài soạn và bài tập có liên quan về tỷ lệ thức trong ch-
ơng trình THCS.
1
Thông qua đó đa ra các phơng pháp và biện pháp.
III Phần ii: nội dung
Chơng i

Cơ sở lí luận
Dạy học môn Toán là dạy hoạt động Toán học gồm một hệ thống tác
động liên tục của giáo viên nhằm tổ chức các hoạt động nhận thức, thực hành
của học sinh để học sinh nắm vững kiến thức có niềm tin vào khả năng Toán
học của mình nhằm đạt đợc mục tiêu đã định.
Trong dạy học Toán thì ngời thầy giữ vai trò chủ đạo hớng dẫn học sinh,
còn học sinh giữ vai trò chủ động tích cực lĩnh hội tri thức chính là phát huy
tính tích cực của học sinh trong học tập nhằm hình thành cho học sinh t duy
tích cực, độc lập sáng tạo.
Việc hình thành năng lực giải Toán ở trờng phổ thông càng thể hiện rõ
mục đích dạy Toán là:
- Truyền thụ kiến thức cơ bản.
- Rèn luyện năng lực giải Toán.
- Rèn luyện t duy.
- Bồi dỡng phẩm chất nhân cách.
Muốn đạt đợc mục đích đó cần phải chú trọng tới phơng pháp dạy khái
niệm, định lí (tính chất), kiến thức mới, phơng pháp dạy tiết luyện tập. Trong
phạm vi nghiên cứu về Tỷ lệ thức ta phải chú trọng việc dạy học cho học sinh
khả năng giải Toán. Do đó cần phải nắm đợc phơng pháp dạy tiết luyện tập đó
là:
2
a) Mục tiêu chung của tiết luyện tập:
1. Hoàn thiện, khắc sâu hoặc nâng cao (ở mức độ của chơng trình cho phép)
phần lí thuyết qua hệ thống bài tập.
2. Rèn luyện kỹ năng, thuật toán, nguyên tắc giải Toán (tuỳ theo yêu cầu của
từng bài cụ thể).
3. Rèn luyện nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao tác t duy, ph-
ơng pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo.
b) Phơng pháp dạy học tiết luyện tập:
* Phơng án 1:

Bớc 1: Nhắc lại một cách có hệ thống các nội dung lý thuyết đã học, sau đó mới
mở rộng ở mức độ cho phép khắc sâu lí thuyết thông qua kiểm tra miệng hoặc
bài tập trắc nghiệm đúng sai với một hệ thống từ đơn giản đến yêu cầu cao hơn.
Bớc 2: Cho học sinh trình bày bài tập ở nhà để kiểm tra học sinh về kỹ năng vận
dụng lí thuyết giải bài tập, kỹ năng tính toán, cách diễn đạt bằng lời, cách trình
bày lời giải bài toán. Phải chốt lại các vấn đề có tính giáo dục (phân tích cách
giải đúng sai ở từng bài rồi đa ra cách giải thông minh, hợp lí, ngắn gọn hơn )
Bớc 3: Cho học sinh trình bày làm một vài bài tập mới theo chủ định của giáo
viên nhằm kiểm tra ngay sự hiểu biết của học sinh, khắc phục những sai xót học
sinh thờng mắc phải. Rèn luyện một kỹ năng hoặc một thuật toán nào đó rất cơ
bản cho học sinh mà giáo viên cho là cần thiết trong thời điểm này.
* Phơng án 2:
Bớc 1: Cho học sinh trình bày một vài bài tập cũ đã cho học sinh làm ở nhà
nhằm kiểm tra học sinh hiểu lí thuyết đến đâu, kỹ năng vận dụng lí thuyết trong
giải toán thế nào? Học sinh thờng mắc sai xót gì?
3
Bớc 2: Sau khi nắm đợc thông tin qua bớc 1 giáo viên phải chốt lại những vấn
đề có tính chất trọng tâm:
- Nhắc lại một số vấn đề lí thuyết mà học sinh cha hiểu sâu nên không
giải đợc bài tập. Có thể đa bài tập trắc nghiệm hoặc ví dụ phản lại lí thuyết.
- Chỉ ra sai xót của học sinh mắc phải, chỉ ra phơng án khắc phục sai xót
đó.
- Hớng dẫn cho học sinh cách trình bày bằng lời, bằng kí hiệu, cách diễn
đạt bằng lời
Bớc 3: (Giống nh phơng án 1)
Nh vậy việc chọn phơng án 1 hay phơng án n phải tuỳ thuộc vào tính chất
mục tiêu, yêu cầu cụ thể của từng tiết luyện tập mà ngời thầy đề ra.
Chơng ii
Kết quả nghiên cứu thực tiễn
Học về tỷ lệ thức có nhiều lợi ích:

Từ tỷ lệ thức
d
c
b
a
=

cbda =
Nếu biết 3 trong 4 số hạng của tỷ lệ thức ta tìm đợc số hạng kia trong tỷ
lệ thức.
b
da
c
c
da
b
a
cb
d
d
cb
a
.
;
.
;
.
;
.
====

- Khi học về đại lợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch thì tỷ lệ thức là một phơng tiện
quan trọng giúp việc giải bài toán một cách nhanh chóng. Môn Toán có hai
phân môn Hình học và Đại số. Đại số đã đợc áp dụng tỷ lệ thức còn phân môn
4
Hình học cũng đợc áp dụng nhất là Hình học lớp 8 Định lí Ta-let tam giác đồng
dạng, không thể thiếu đợc tỷ lệ thức và tính chất tỷ lệ thức. Đặc biệt không nhớ
đợc tính chất tỷ lệ thức thì không làm đợc bài toán.
Ví dụ: Có nhiều phơng án chứng minh tỷ lệ thức bắt đầu từ ví dụ đơn giản.
Ví dụ 1: Cho tỷ lệ thức:
1
=
d
c
b
a
với
0,,,

dcba
Chứng minh
c
dc
a
ba

=

Bài giải
Cách 1: Từ


cbda
d
c
b
a

==
Xét tích
cbcacba ) (
=
Thay
adcdacacbadacb ).( ).(
===
Vậy
c
dc
a
ba
adccba

=

=
).().(
Nh vậy để chứng minh:
c
dc
a
ba
=


ta phải có đẳng thức
adccba ).().(
=
.
Cách 1: Đặt
kdckbak
d
c
b
a
.;.
====
Xét
k
k
kb
kb
kb
bkb
a
ba 1
.
)1(
.
.
=

=


=


(1)
5
Và
k
k
kd
kd
kd
dkd
c
dc 1
.
)1(
.
.
=

=

=


(2)
Từ
(1)
và
(2)


c
dc
a
ba
=


Trong cách này ta chứng minh tỉ số:
c
dc
a
ba
=

nhờ tỉ số thứ ba. Để có
tỉ số thứ ba ta đặt giá trị tỉ số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số
hạng theo k.
Cách 3: Từ tỉ số
d
b
c
a
d
c
b
a
==
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a

ba
c
dc
dc
ba
c
a
dc
ba
d
b
c
a
=




=


==
hay
c
dc
a
ba
=

Trong cách này sử dụng hoán vị trong tỉ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau rồi lại hoán vị ngoại tỉ một lần nữa.
Cách 4:
Từ
c
d
a
b
d
c
b
a
==
Xét
d
dc
c
d
a
b
a
b
a
ba
===

111
Vậy
c
dc
a

ba
=

6
Cách 5:
Từ
c
d
a
b
d
c
b
a
==
Lấy 1 trừ từng vế của tỷ lệ thức:
c
dc
a
ba
c
d
a
b
=

= 11
Trong cách này đổi đồng thời ngoại tỉ cho trong tỉ. Rồi chọn số 1 biến đổi
đẳng thức cần chứng minh.
Cách 6:

Từ tỷ lệ thức
cbda
d
c
b
a
==
Xét:
ca
dacb
ca
dacacbca
ca
adccba
c
dc
a
ba
.

.

.
).().( +
=
+
=

=


=

Mà
0 =
+
=
ac
adbc
cbda
vì
0,

ca

c
dc
a
ba
c
dc
a
ba
=

=



0
Trong cách này xét hiệu của tỷ lệ thức cần chứng minh.

* Tóm lại từ một tỷ lệ thức ta có thể suy ra tỷ lệ thức khác bằng cách chứng
minh theo nhiều cách khác nhau có thể sử dụng trong bài tập.
Ví dụ 2: cho tỷ lệ thức
cd
ab
dc
ba
=
+
+
22
22
7
Với
0,,,

dcba
và
dc
Chứng minh :
d
c
b
a
=
hoặc
c
d
b
a

=
Giải:
Cách 1: Ta sử dụng cách 6:
Xét
0
22
22
==
+
+
cd
ab
dc
ba
0))((
0)()(
0)()(
0
)(
0
)(
)()(
2222
22
2222
22
2222
=
=
=

=
+
+

=
+
++

dbacbcad
bcdadbbcadac
cdbabdabccda
cddc
abdabccdbcda
cddc
dcabcdba

c
d
b
a
bdacbdac
d
c
b
a
bcadbcad
===
===
0
0

Vậy
d
c
b
a
cd
ab
dc
ba
==
+
+
22
22
hoặc
c
d
b
a
=
Cách 2:
Từ
cd
ab
dc
ba
cd
ab
dc
ba

2
2
22
22
22
22
=
+
+
=
+
+
áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
8

2
2
2
22
22
22
22
)(
)(
2
2







+
+
=
+
+
=
++
++
=
+
+
dc
ba
dc
ba
cddc
abba
dc
ba
(1)
vµ
2
2
2
22
22
22
22

)(
)(
2
2






−
−
=
−
−
=
−+
−+
=
+
+
dc
ba
dc
ba
cddc
abba
dc
ba
(2)

Tõ (1) vµ (2)
22






−
−
=






+
+
⇒
dc
ba
dc
ba
* XÐt trêng hîp
dc
ba
dc
ba
−

−
=
+
+
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau
d
b
d
b
dcdc
baba
dc
ba
c
a
c
a
dcdc
baba
dc
ba
==
+−+
+−+
=
+
+
==
−++
−++

=
+
+
2
2
2
2
d
c
b
a
d
b
c
a
=⇒=⇒
* XÐt trêng hîp
dc
ab
dc
ba
dc
ba
−
−
=
−
−
−=
+

+
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau
d
a
d
a
dcdc
abba
dc
ba
c
b
c
b
dcdc
abba
dc
ab
dc
ba
==
+−+
+−+
=
+
+
==
−++
−++
=

−
−
=
+
+
2
2
2
2
c
d
b
a
c
b
d
a
=⇒=⇒
9
Vµ
Vµ
Ví dụ 3: Tìm 3 phân số tối giản biết tổng của chúng bằng
70
13
2
, các tử số của chúng
tỉ lệ với 5, 3, 2 và mẫu của chúng tỉ lệ với 2, 5, 1.
Giải:
Gọi các phân số cần tìm là x, y, z .
Ta có:

70
153
70
13
2 ==++ zyx
Và
1
2
:
5
3
:
2
5
::
=
zyx
hay
1
2
5
3
2
5
z
y
x
==
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
7

3
10
51
70
153
1
2
5
3
2
5
1
2
5
3
2
5
==
++
++
===
zyx
z
y
x
Vậy
14
15
2
5

.
7
3
==x
35
9
5
3
.
7
3
==y
7
6
1
2
.
7
3
==z
Trả lời: Ba phân số cần tìm là
7
6
;
35
9
;
14
15
Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ

số của nó nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1, 2, 3.
10
Bài giải:
Giọi a, b, c là các chữ số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có:
6321
cbacba ++
===
(1)
Do số phải tìm là bội của 72
Nên
9cba
++
Mà
}27,18,9{273 ++++ cbacba
(2)
Từ (1) suy ra
6cba ++
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
18
=++
cba
93.3
62.3
31.3
==
==
==
c
b

a
Vì số cần tìm chia hết cho 2 nên ta có 396, 936. Ta thấy số 936 thoả mãn
điều kiện của đầu bài.
Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4. Ba chiều cao tơng
ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào.
Bài giải:
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c.
Ba chiều cao tơng ứng là x, y, z.
Diện tích tam giác là S ta có:
z
S
c
y
S
b
x
S
a
2
;
2
;
2
===
(1)
11
Vì ba cạnh tỉ lệ với 2, 3, 4 ta có:
432
cba
==

(2)
Từ (1) và (2) ta có:
zyx
z
S
y
S
x
S
432
4
2
3
2
2
2
====
346
34
;
23
zyx
zyyx
==
==
Vậy chiều cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với các số 6, 4, 3.
Ví dụ 6: Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với 5, 1,
12.
Bài giải:
Giọi hai số phải tìm là a, b (

0,0

ba
), a > b ta có:
12
.
15
bababa
=

=
+
Xét
)(5
15
baba
baba
=+

=
+
2
3
6455
b
abababa ===+
Do đó
2
.
2

3 b
b
b
ba ==
Từ
)(12
12
.
1
baab
baba
==

Thay
2
.b
ba =
vào ta có:
12
66
==
abab
Thay a=6 vào
ba
2
3
=
ta có:
41236
2

3
=== bbb
Vậy a = 6; b = 4.
Phần iii: Kết luận
Trong Toán học bất kỳ nội dung gì cũng không có một khuân mẫu cứng nhắc
và đơn điệu. Vì phơng pháp dạy học là một nghệ thuật sáng tạo.Không có ph-
ơng pháp duy nhất. Nhng để đáp ứng một cách dễ dàng có hiệu quả thì cần phải
phác hoạ một quy trình chung khá linh hoạt sáng tạo phù hợp với đối tợng học
sinh. Ngời thầy định hớng suy nghĩ hoặc các cách giải khác nhau để chọn ra
phơng án tối u và hiệu quả.
Với dạng Toán tỷ lệ thức thì phơng pháp dạy học phát huy tính tích cực
của trò, yêu cầu trò phải thực sự hoạt động tích cực đặc biệt giờ luyện tập. Trò
lĩnh hội kiến thức của thầy, thì thầy phải rèn luyện cho trò thờng xuyên có hệ
thống để giúp trò có khả năng vận dụng kiến thức giải bài tập trong phạm vi ch-
ơng trình. Hệ thống đó phải có các bài tập đa dạng, có nhiều cách giải.
Trong thực tế giảng dạy, tôi cũng thấy hiệu quả rõ rệt. Nếu các em có một
hệ thống kiến thức vững thì các em vận dụng giải Toán nhất định.
13