. THI TH I HC, CAO NG NM 2010
Mụn: Toỏn A. Thi gian: 180 phỳt ( Khụng k giao ).
PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im)
Cõu I (2 im) Cho hàm số
1
12
+

=
x
x
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
)2;1(I
tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất .
Cõu II (2 im) :
1. Gii h phng trỡnh:





=++
=++
0222
0964
22
224
yxyx

yyxx

2.Gii phng trỡnh :
01cossin2sinsin2
2
=++ xxxx
.
Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn
( ) ( )
3
2
2 2
0
1 1 2 1
x
I dx
x x
=
+ + + +


Cõu IV (1 im) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, bit khong cỏch gia AB v mt phng
(SCD) bng 2. Gúc gia mt bờn v mt ỏy bng 60
0
.Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABCD
Cõu V (1 im) Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10
1).12(48
22

++=++ xxmx
.
PHN RIấNG (3 im): Thớ sinh ch lm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)
1. Theo chng trỡnh chun.
Cõu VI.a (2 im)
1. Cho

ABC cú nh A(1;2), ng trung tuyn BM:
2 1 0x y+ + =
v phõn giỏc trong CD:
1 0x y+ =
. Vit phng trỡnh ng thng BC.
2. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh:
2
2
2 2
x t
y t
z t
= +


=


= +

.Gi

l ng thng qua im A(4;0;-1)

song song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua

, hóy
vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht.
Cõu VII.a (1 im) Với x,y là các số thực thuộc đoạn
[ ]
0;1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
1 1 2 9
3
2 1 1
1
xy
P
xy x y xy
x y
+
= + + +
+ + + +
+ +
2. Theo chng trỡnh nõng cao.
Cõu VI.b (2 im) 1) Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn
2 2
( ): 2 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( ') : 4 5 0C x y x+ + =
cựng i qua M(1; 0). Vit phng trỡnh
ng thng qua M ct hai ng trũn
( ), ( ')C C

ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB.
2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d :
z
y
x =


=
1
2
và d :
1
5
3
2
2

+
==
z
y
x
.
Viết phơng trình mặt phẳng
)(

đi qua d và tạo với d một góc
0
30
Cõu VII.b (1 im) Cho

0 x y z<
: Chng minh rng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y

+ + + + + + + +


+ + +

+ +
+
Ht
Kỳ thi thử đại học- cao đẳng
năm 2010
Hớng dẫn chấm môn toán
Cõu Phn Ni dung
I

(2,0) 1(1,0)
Lm ỳng, cỏc bc theo S kho sỏt hm s cho im ti a.
2(1,0)
. Tập xác định :
1

x
.

1
3
2
1
12
+
=
+

=
xx
x
y
,
2
)1(
3
'
+
=
x

y
,
Bảng biến thiên:
Tiệm cận đứng :
1=x
, tiệm cận ngang
2=y
2. Nếu
)(
1
3
2;
0
0
C
x
xM








+

thì tiếp tuyến tại M có phơng trình
)(
)1(

3
1
3
2
0
2
00
xx
xx
y
+
=
+
+
hay
0)1(3)2()1()(3
0
2
00
=++ xyxxx
. Khoảng cách từ
)2;1(I
tới tiếp tuyến là
( )
2
0
2
0
4
0

0
4
0
00
)1(
)1(
9
6
)1(9
16
19
)1(3)1(3
++
+
=
++
+
=
++
+
=
x
x
x
x
x
xx
d
. Theo bất đẳng thức
Côsi

692)1(
)1(
9
2
0
2
0
=++
+
x
x
, vây
6d
. Khoảng cách d lớn nhất bằng
6
khi
( )
3131)1(
)1(
9
0
2
0
2
0
2
0
==++=
+
xxx

x
.
Vậy có hai điểm M :
( )
32;31
+
M
hoặc
( )
32;31
+
M
Cõu í
1
1) CõuII:2. Gii phng trỡnh:
01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2
22
=+=++ xxxxxxxx
.

22
)3cos2()1(cos8)1cos2( == xxx
. Vậy
5,0sin =x
hoặc
1cossin
=
xx
.
Với

5,0sin =x
ta có


kx 2
6
+=
hoặc


kx 2
6
5
+=
Với
1cossin
=
xx
ta có






==







=
4
sin
2
2
4
sin1cossin

xxx
, suy ra


kx 2
=
hoặc


kx 2
2
3
+=
2
Giải hệ phơng trình:







=++
=++
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx

* Hệ phơng trình tơng đơng với





=++
=+
022)2(
4)3()2(
22
222
xyx
yx
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x


+ =


+ + + =


Dat
2
2
3
x u
y v

=

=

* Thay vào hệ phơng trình ta có:
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v

+ =

+ + =



2
0
u
v
=


=

hoặc
0
2
u
v
=


=

thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là :
2
3
x
y
=


=

;

2
3
x
y
=


=

;
2
5
x
y

=


=


;
2
5
x
y

=



=


;
Cõu Phn
III
(1,0)
t
2 1 x t+ + =
x =(t-2)
2
-1, dx = 2(t-2)dt ; x =0 t =3, x = 3 t = 4
a v
4
2
3
42 36
2 16I t dt
t t

= +
ữ


Tớnh ra c I = -12+ 42ln
4
3
IV
+ Goij I, J ln lt l trung im ca AB v CD, H l hỡnh chiu ca I trờn SJ.
Chng t c IH = 2 v gúc

0
60SJI =
+ Gi O l tõm ỏy, chng minh c SO = 2,
4
IJ=
3

+ Tớnh c V
S.ABCD
=
32
9
( vtt)
V
Nhận xét : 10x
48
2
++ x
= 2(2x+1)
2
+2(x
2
+1)
Phơng trình tơng đơng với :
2
(
02)
1
12
()

1
12
2
2
2
=+
+
+

+
+
x
x
m
x
x
.
Đặt
t
x
x
=
+
+
1
12
2
Điều kiện : -2< t
5
. Rút m ta có: m=

t
t 22
2
+
Lập bảng biến thiên của hàm số trên
(
]
5,2
, ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là:
hoặc -5 <
4<m
VIa
1
im
( )
: 1 0 ;1C CD x y C t t + =
.
Suy ra trung im M ca AC l
1 3
;
2 2
t t
M
+

ữ

.
S
A

B
C
D
I
J
60
0
O
H
Điểm
( )
1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t t
M BM x y t C
+ −
 
∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ −
 ÷
 
Từ A(1;2), kẻ
: 1 0AK CD x y⊥ + − =
tại I (điểm
K BC
∈
).
Suy ra
( ) ( )
: 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + =

.
Tọa độ điểm I thỏa hệ:
( )
1 0
0;1
1 0
x y
I
x y
+ − =

⇒

− + =

.
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK
⇒
tọa độ của
( )
1;0K −
.
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
1
4 3 4 0
7 1 8
x y
x y
+
= ⇔ + + =

− +

2
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng
∆
, thì
( ) //( )P D
hoặc
( ) ( )P D⊃
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có
IH AH⊥
.
Mặt khác
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
, ,d D P d I P IH
H P

= =


∈


Trong mặt phẳng
( )
P

,
IH IA≤
; do đó
axIH = IA H Am
⇔ ≡
. Lúc này (P) ở vị trí (P
0
) vuông góc với IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P
0
) là
( )
6;0; 3n IA= = −
r uur
, cùng phương với
( )
2;0; 1v = −
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P
0
) là:
( ) ( )
2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + =
.
VIIa
+ Ta cã :
1
(*)
2 1

xy x y
xy x y
+ +
≥
+ + +
.
ThËt vËy:
( ) ( ) ( ) ( )
(*) 1 1 2xy x y x y xy⇔ + + + ≥ + +
( ) ( )
1 1 0x y⇔ − − ≥

§óng víi x,y thuéc
[ ]
0;1
Khi ®ã
1 1 1
1(1)
2 1 1 1
xy x y
xy x y x y x y
+ +
+ ≥ + =
+ + + + + + +
+ V×
[ ]
; 0;1 0 1x y xy∈ ⇒ ≤ ≤
2
1 2 1(2)
1

xy
xy
⇒ + ≤ ⇒ ≥
+
+Tong tù:
( )
( )
3
3
9
0 2 1 9 1(3)
1
x y x y
x y
≤ + ≤ ⇒ + + ≤ ⇒ ≥
+ +
Từ (1);(2);(3) Ta có :
3P
Vậy , MinP=3 khi x=y=1
VIb
1)
+ Gi tõm v bỏn kớnh ca (C), (C) ln lt l I(1; 1) , I(-2; 0) v
1, ' 3R R= =
, ng thng (
2 2
( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b + = + = +
.
+ Gi H, H ln lt l trung im ca AM, BM.
Khi ú ta cú:
2 2 2 2

2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= =
( ) ( )
2 2
1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d =
,
.IA IH
>
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
9
4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35
a b
d I d d I d
a b a b
= =
+ +
2 2
2 2
2 2
36
35 36
a b
a b
a b

= =
+
D thy

0b

nờn chn
6
1
6
=

=

=

a
b
a
.
Kim tra iu kin
IA IH>
ri thay vo (*) ta cú hai ng thng tho món.
2
.Đờng thẳng d đi qua điểm
)0;2;0(M
và có vectơ chỉ phơng
)1;1;1( u
Đờng thẳng d đi qua điểm
)5;3;2(' M
và có vectơ chỉ phơng
)1;1;2(' u
.
Mp

)(

phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến
n
vuông góc với
u
và
2
1
60cos)';cos(
0
==un
. Bởi vậy nếu đặt





=
++
+
=+
2
1
6
2
0
222
CBA
CBA

CBA






=
+=






+++=
+=
02
)(632
22
222
CACA
CAB
CCAAA
CAB
Ta có
0)2)((02
22
=+= CACACACA
. Vậy

CA =
hoặc
CA =2
.
Nếu
CA =
,ta có thể chọn A=C=1, khi đó
2=B
, tức là
)1;2;1(=n
và
)(

mp
có phơng trình
0)2(2 =++ zyx
hay
042
=++
zyx
Nếu
CA =2
ta có thể chọn
2,1 == CA
, khi đó
1=B
, tức là
)2;1;1( =n
và
)(


mp
có phơng trình
02)2( = zyx
VIIb 1,00
Cho
0 x y z< ≤ ≤
: Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 
+ + +
 
≤ + +
+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
z y z x x y z x z y x y
z y z x
z y z x x y x y
x y
⇔ + + − + + + + − + +
+ +
+ + + ≤ + +
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
Từ (1)
3
2
2
ab
a b c b a c abc c
c
⇔ − + − + ≤ +

( ) ( )
2

2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ +
(2)
Ta có:

2 2
(3)
2
b c c b
c b c
ab
a c b c
− +
− ≤ =
⇔ − ≤
Tương tự:
( )
4
2
ab
b c a c− ≤

( )
2
2 5c ab c ab≤ +
Cộng (3); (4); (5) ta được:
( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ +
đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c

a. 2z+y=2z+x=4x+2y
b. x=y=
2
5
z
0,25
0,25
0,25
0,25
Cho
0 x y z< ≤ ≤
: Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 

+ + +
 
≤ + +
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
z y z x x y z x z y x y
z y z x
z y z x x y x y
x y
⇔ + + − + + + + − + +
+ +
+ + + ≤ + +
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
Từ (1)
3
2
2
ab
a b c b a c abc c
c

⇔ − + − + ≤ +

( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ +
(2)
Ta có:

2 2
(3)
2
b c c b
c b c
ab
a c b c
− +
− ≤ =
⇔ − ≤
Tương tự:
( )
4
2
ab
b c a c− ≤

( )
2
2 5c ab c ab≤ +
Cộng (3); (4); (5) ta được:
( ) ( )

2
2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ +
đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
c. 2z+y=2z+x=4x+2y
d. x=y=
2
5
z
0,25
0,25
0,25
0,25