Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
ÔN luyện thi vào TH -
PT
Rút gọn biểu thức chứa căn
Phần
I.
Các kiến thức cần nhớ.
Các hằng đẳng thức:
1)
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
+ = + +
2
( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
2)
(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
= +
2
( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
3)

a
2
b
2
= (a + b).(a b)
= + a b ( a b).( a b) (a,b 0)
4)
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5)
(a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
6)
+ = + +

3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
+ = + = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
7)
= + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
= = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8)
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
9)
+ + = + + + + +
2
( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b 0)
10)

=
2

a a
Phần
II.
Phân dạng bài tập:
Dạng
1:
Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện:
Bài 1. Tính:
a)
10. 40
b)
5. 45
c)
2. 162
d)
9
169
e)
12,5
0,5
f)
g)
Bài 2.
Rút gọn
A = 4 + 2 3
1
Phạm Văn Hiệu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
2009 - 2010
2008

Bµi 3.
Rót gän
B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
Bµi lµm:
=
= = =
= = = =
2
2 2
B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1
13 + 30 2 + 8 + 1) 13 + 30 2 + 8 +1 13 + 30 2 + 2 2 +1
13 + 30 2 +1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5
(
( ( 3
Bµi 4.
Rót gän
− −C = 13 160 53 + 4 90
Bµi lµm:
− − = − + − +
= − − = − − = −
2 2
2 5 8
( ) ( ) 3 4
C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8
8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5
Bµi 5.
Rót gän
+ +40 60G = 10 + 24
Bµi lµm:
+ +

= + +
= + + = + +
2
40 60
. 2. 2. 5 2. 3. 5
( 5) 5
G = 10 + 24
2 + 3 + 5 + 2. 2 3
2 3 2 3
Bµi 6.
Rót gän
A = 3 + 5 + 3 - 5
Bµi lµm:
NhËn xÐt:
> 0A = 3 + 5 + 3 - 5
( )
2
2
)
2 2
A = 3 + 5 + 3 - 5
A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5
2
A = 6 + 2 =
A =
4 10
10
Bµi 7.
Rót gän
1 1

3 2 6( 2)
+ +
+
1
A =
3 3
Bµi lµm:
2 3 2
3 6 6 2
−
+ +
3 3
A = =
2
Ph¹m V¨n HiÖu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
Bài 8.
Rút gọn
5 5
5 5
+
+
+
7 7
A =
7 7
Dạng
2:

Rút gọn biểu thức có điều kiện:
Bài 1. Rút gọn biểu thức:
a)

+
5
5
2
x
x
(Với
x 5
)
b)
+ +

2
2
x
x
2 2.x 2
2
(Với
x 2
)
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a)

2
9x 2x

(Với x < 0)
b)
+ +
2
x 4 16 8x x
(Với x > 4)
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
a)

2
4(a 3)
(Với
a 3
)
b)

2 2
b (b 1)
(Với
<b 0
)
Bài 4. Rút gọn biểu thức:
( ) ( )
+

x y y x x y
x y
(Với x > 0 và y > 0)
Bài 5. Rút gọn biểu thức:
+ +

= + +

+
x 1 2 x 2 5 x
P
4 x
x 2 x 2
(Với x

0 và x

4)
Bài 6. Rút gọn biểu thức:
+
= +
+
a b a b
M
a b a b
(Với a

0, b

0 và a

b)
Bài 7. Cho biểu thức:
+ (2 x y)(2 x y)

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.

b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên.
Bài 8. Cho biểu thức:

+ +

=
ữ
ữ
ữ



1 1 a 1 a 2
Q :
a 1 a a 2 a 1

3
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
a) Tìm điều kiện để Q xác định.
b) Rút gọn Q.
Bài 9. Cho biểu thức:


+ +
=
ữ
ữ

ữ
ữ
+ + +



3
3
2x 1 x x 1
B . x
x x 1 1 x
x 1

a) Tìm điều kiện để B xác định.
b) Rút gọn B.
Bài 10. Cho biểu thức:

+ +
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

x x 9 3 x 1 1
C :
9 x
3 x x 3 x x

a) Tìm điều kiện để C xác định.

b) Rút gọn C.
Dạng
3:
Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
Bài 1. Cho biểu thức:
= + +
2
A 2x x 6x 9

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = - 5
Bài 2. Cho biểu thức:
=
+
1 1
B
1 x 1 x

Tính giá trị của biểu thức B tại x = 4
Bài 3. Cho biểu thức:


= + +
ữ
ữ
+



2

1 1
C 1 a : 1
1 a
1 a

Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a =
+
3
2 3
Bài 4. Cho biểu thức:

= +
ữ ữ
+ +

1 1 1 1
D : x
1 x 1 x 1 x 1 x

Tính giá trị của biểu thức tại x =
3 2 2
Dạng
3:
Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
4
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
Bài 1. Cho biểu thức:

= +
2
A 4x 4x 12x 9

Tính giá trị của x biết A = - 15
Bài 2. Cho biểu thức:

= +
ữ ữ
ữ ữ

+ + + +

a a a a a
B :
b a
a b a b a b 2 ab

Biết rằng khi
=
a 1
b 4
thì B = 1. Tìm a; b
Hàm số bậc nhất.
Dạng 1:
Điểm thuộc đờng thẳng.
D.1.1:
Chứng minh ba điểm thuộc đờng thẳng.
D.1.2:
Tìm toạ độ của điểm khi biết điểm thuộc đờng thẳng.

D.1.3:
Tìm giá trị tham số khi biết điểm thuộc đờng thẳng.
Dạng 2:
Giao điểm của hai đờng thẳng.
D.2.1:
Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.
D.2.2:
Tìm giá trị một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.
D.2.3:
Tìm 2 giá trị tham số khi biết giao điểm của 2 đờng thẳng.
Dạng 3:
Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm.
D.3.1:
Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(x
1
; y
1
); B(x
2
; y
2
) với x
1

x
2
; y
1

y

2
.
D.3.2:
Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có hoành độ bằng nhau và
tung độ khác nhau.
D.3.3:
Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có tung độ bằng nhau và
hoành độ khác nhau.
D.3.4:
Tìm giá trị tham số để đờng thẳng đi qua 2 điểm.
Dạng 4:
Ba điểm thẳng hàng.
D.4.1:
Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
D.4.2:
Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng.
Dạng 5:
Ba đờng thẳng đồng qui.
D.5.1:
Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.
D.5.2:
Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui.
Dạng 6:
Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
D.6.1:
Hai đờng thẳng song song.
D.6.2:
Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục
tung.
D.6.3:

Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục
hoành.
D.6.4:
Hai đờng thẳng trùng nhau.
Dạng 7:
Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho
trớc.
5
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
D.7.1:
Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng
thẳng cho trớc.
D.7.2:
Tìm giá trị của tham số để phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm
và song song với đờng thẳng cho trớc.
Dạng 8:
Tìm giá trị tham số khi biết góc tạo bởi đờng thẳng với trục hoành.
Rút gọn biểu thức chứa căn
Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện:
Bài 1.
Tính:
h)
10. 40
i)
5. 45
j)
2. 162

k)
9
169
l)
12,5
0,5
m)
12,5
0,5
n)


49
81
Bài 2.
Rút gọn
A = 4 + 2 3
Bài 3.
Rút gọn
B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
Bài làm:
=
= = =
= = = =
2
2 2
B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1
13 + 30 2 + 8 + 1) 13 + 30 2 + 8 +1 13 + 30 2 + 2 2 +1
13 + 30 2 +1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5
(

( ( 3
Bài 4.
Rút gọn

C = 13 160 53 + 4 90
Bài làm:
= + +
= = =
2 2
2 5 8
( ) ( ) 3 4
C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8
8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5
Bài 5.
Rút gọn
+ +40 60G = 10 + 24
Bài làm:
+ +
= + +
= + + = + +
2
40 60
. 2. 2. 5 2. 3. 5
( 5) 5
G = 10 + 24
2 + 3 + 5 + 2. 2 3
2 3 2 3
Bài 6.
Rút gọn
A = 3 + 5 + 3 - 5

6
Phạm Văn Hiệu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
2009 - 2010
2008
Bµi lµm:
NhËn xÐt:
> 0A = 3 + 5 + 3 - 5
( )
2
2
)
2 2
A = 3 + 5 + 3 - 5
A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5
⇒4 10 10
2
A = 6 + 2 = A =
Bµi 7.
Rót gän
1 1
3 2 6( 2)
+ +
+
1
A =
3 3
Bµi lµm:
2 3 2
3 6 6 2

−
+ +
3 3
A = =
Bµi 8.
Rót gän
5 5
5 5
+ −
+
− +
7 7
A =
7 7
Bµi 9.
Rót gän
− −F = 4 + 7 4 7
Bµi lµm:
− −
⇒ − −
+ − +
+ − −
+ − + =
⇒
2 2
2 2. 2.
1 1
( 1) ( 1)
1 1 2
F = 4 + 7 4 7

.F = 4 + 7 4 7
= 7 + 2. 7 7 - 2. 7
= 7 7
= 7 7
F = 2
Bµi 10.
Rót gän
−
3 3
A = 5 + 2 13 5 - 2 13
Bµi lµm:
7
Ph¹m V¨n HiÖu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
( )
( ) ( )
( )
+
+
+ +
+ +
+ +
+



3
2 2

5 2
5 2
3 . 5 2 3 . 5 2
3 . 5 2 5 2
3 )(5 2 .A 3 27.A
9.A 9.A 10
(
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3
3
3 3
2
A = 5 + 2 13 13
= 5 + 2 13 13
= 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13
= 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13
= 10 (5 + 2 13 13) = 10
A = 10 A = 0
A - 1)(A + A + 10) = 0
A - 1 = 0
A = 1
Bài tập về nhà:
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
6 - 11 - 6 + 11
b)
+


3 3
2
7 7
7
c)
+ 6 10 6 10
3 3
3 3
d)
+ +
1 1 5 1
12
3 2 6
1
3 3
Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện:
Bài 1.
Rút gọn biểu thức:
a)

+
5
5
2
x
x
(Với
x 5
)

b)
+ +

2
2
x
x
2 2.x 2
2
(Với
x 2
)
Bài 2.
Rút gọn biểu thức:
8
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
a)

2
9x 2x
(Với x < 0)
b)
+ +
2
x 4 16 8x x
(Với x > 4)
Bài 3.

Rút gọn biểu thức:
a)

2
4(a 3)
(Với
a 3
)
b)

2 2
b (b 1)
(Với
<b 0
)
Bài 4.
Rút gọn biểu thức:
( ) ( )
+

x y y x x y
x y
(Với x > 0 và y > 0)
Bài 5.
Rút gọn biểu thức:
+ +
= + +

+
x 1 2 x 2 5 x

P
4 x
x 2 x 2
(Với x

0 và x

4)
Bài 6.
Rút gọn biểu thức:
+
= +
+
a b a b
M
a b a b
(Với a

0, b

0 và a

b)
Bài 7.
Cho biểu thức:
+ (2 x y)(2 x y)

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên.
Bài 8.

Cho biểu thức:

+ +

=
ữ
ữ
ữ



1 1 a 1 a 2
Q :
a 1 a a 2 a 1

a) Tìm điều kiện để Q xác định.
b) Rút gọn Q.
Bài 9.
Cho biểu thức:


+ +
=
ữ
ữ
ữ
ữ
+ + +




3
3
2x 1 x x 1
B . x
x x 1 1 x
x 1

a) Tìm điều kiện để B xác định.
b) Rút gọn B.
Bài 10.
Cho biểu thức:

+ +
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

x x 9 3 x 1 1
C :
9 x
3 x x 3 x x

a) Tìm điều kiện để C xác định.
b) Rút gọn C.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
9
Phạm Văn Hiệu

V× sù nghiÖp gi¸o dôc
2009 - 2010
2008
Bµi 1.
Cho biÓu thøc:
= + − +
2
A 2x x 6x 9

TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = - 5
Bµi 2.
Cho biÓu thøc:
= −
− +
1 1
B
1 x 1 x

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B t¹i x = 4
Bµi 3.
Cho biÓu thøc:
 
 
= + − +
 ÷
 ÷
+
 
−
 

2
1 1
C 1 a : 1
1 a
1 a

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C t¹i a = 1 vµ a =
+
3
2 3
Bµi 4.
Cho biÓu thøc:
   
= + − −
 ÷  ÷
− + − +
   
1 1 1 1
D : x
1 x 1 x 1 x 1 x

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc t¹i x =
−3 2 2
Bµi 5.
Cho biÓu thøc:
x 1 1 8 x 3 x 2
E : 1
9x 1
3 x 1 1 3 x 3 x 1
   

− −
= − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc t¹i x =
−3 2 2
D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøc.
Bµi 1.
Cho biÓu thøc:
= − − +
2
A 4x 4x 12x 9

TÝnh gi¸ trÞ cña x biÕt A = - 15
Bµi 2.
Cho biÓu thøc:
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ + + +
   
a a a a a
B :
b a

a b a b a b 2 ab

BiÕt r»ng khi
=
a 1
b 4
th× B = 1. T×m a; b
Bµi 3.
Cho biÓu thøc:
10
Ph¹m V¨n HiÖu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
(16 x) x 3 2 x 2 3 x 1
C :
x 4
x 2 x 2 x 4 x 4

+
=
ữ
ữ

+ + +


Tìm x biết C = 4.
Bài 4.
Cho biểu thức:

a 1 2a a a 1 2a a
D 1 : 1
2a 1 2a 1 2a 1 2a 1

+ + + +
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ +


a) Tìm a biết D = - 1.
b) Tìm a biết Đ= - 4.
Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên.
* Chú ý:
Â
a
b
b
Ư(a)







Â
Â
a

a
a I
Bài 1.
Cho biểu thức:
a 2 2 a a 1
A .
a 1
1 a 2 a a

+ +
=
ữ
ữ

+ +

Tìm giá trị nguyên của m để biểu thức A đạt giá trị nguyên.
Bài 2.
Cho biểu thức:
3 a 3a 1 (a 1)( a b)
B :
a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b


= +
ữ
ữ
+ + + +

a) Rút gọn B với a


0, b

0 và a

b.
b) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức B đạt giá trị nguyên.
Bài 3.
Cho biểu thức:
a 2 1 a 3a 3 9a
C
1 a 2 a a a 2
+ +
= +
+ +
Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên.
Dạng 6: Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức.
Bài tập.
Cho biểu thức:
x 1 1 2
A :
x 1
x 1 x x x 1


= +
ữ
ữ
ữ


+


Tìm x để A < 0
Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức.
Bài tập.
Cho biểu thức:
a 2 a 1 a 1
A :
2
a a 1 a a 1 1 a

+
= + +
ữ
ữ
+ +

(với a

0, a

1)
a) Rút gọn A.
11
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
b) Chứng minh rằng 0 < A


2
Dạng 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.
Bài tập.
Cho biểu thức:
2
x 2 x 2 1 x
A .
x 1
x 2 x 1 2

+

=
ữ
ữ
ữ

+ +



a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c) Tính giá trị lớn nhất của A.
Bài tập tổng hợp:
Cho biểu thức:

+
= +

ữ
ữ
+ + +

2
x x 2x x 2(x 1) 1
A .
x x 1 x x 1 x x 1
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A biết x =
4
c) Tính giá trị của x biết A =
1
3
d) Chứng minh rằng A > 0
e) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.
f) Tìm giá trị của x để A <
1
4
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Phần I. Tìm hiểu chung:
1. Khái niệm
2. ứng dụng.
Phần II. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
PP1. Phơng pháp đặt nhân tử chung.
AB + AC + AD = A(B + C + D)
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
a 5 b 5
b) x(y + z) + 3(y + z)

c) m(n p) n + p
d) a(b a)(a + b) (a + b)(a
2
ab + b
2
)
e) x
m + 2
- x
m
Bài 2. Phân tích A và B thành nhân tử:
12
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
= + A 10a b 5a 5 a (a 0)
= B x y y x (x 0;y 0)
PP2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
Các hằng đẳng thức:
1)
a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
+ + = +
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)

2)
a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
+ =
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)
3)
a
2
b
2
= (a + b).(a b)
4)
= + a b ( a b).( a b) (a,b 0)
5)
a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= (a + b)
3
+ + + = +

3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)
6)
a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
= (a - b)
3
+ =
3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)
7)
+ = + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
+ = + = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8)
= + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
= = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

9)
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)
2
10)
+ + + + + = + +
2
a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0)
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 25a
2
+ 10a + 1
b) 9x
2
xy +
1
36
y
2
c) x
4
y
4
Bài 2. Phân tích M, N, P thành nhân tử:
M =


2
a 2
N =
9a 1 (a 0)
P =
+ + x 1 2 x (x 0)
PP3. Phơng pháp nhóm các hạng tử.
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5a
2
5ax 9a + 9x
13
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
b) ma mb + na nb pa + pb
c) ax
2
+ 5y bx
2
+ ay + 5x
2
by
Bài 2. Phân tích D, E thành nhân tử:
D =
+ a 2 a 1 b (a 0;b 0)
E =
+ a b a 2 ab b b a (a 0,b 0)

PP4. Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 9x
2
+ 6x 8
b) 4x
2
3x 1
Bài 2. Phân tích Q, K thành nhân tử:
Q =
+ a 3 a 2 (a 0)
K =
+ x 7 x 12 (x 0)
Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Phần I. Lý thuyết:
1.
Định nghĩa.
2.
Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
ax by c
a' x b' y c'
+ =


+ =

(a, b, c, a, b, c khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
a b c

a' b' c'
= =
+ Hệ vô nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
=
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a b
a' b'

3.
Các phơng pháp giải hệ.
ax by c
a' x b' y c'
+ =


+ =


a) Phơng pháp cộng đại số.
+ Nếu có
ax by c
ax b' y c'
+ =


+ =




(b b')y c c'
ax b' y c'
+ = +


+ =

+ Nếu có
ax by c
ax b' y c'
+ =


+ =




(b b')y c c '
ax b' y c'
=


+ =

14
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010

2008
+ Nếu có
ax by c
k.ax b'y c '
+ =


+ =


k.ax kby c
k.ax b'y c '
+ =


+ =


(kb b')y k.c c '
ax by c
=


+ =

+ Nếu hệ
ax by c
a' x b' y c'
+ =



+ =

có (a, a) = 1 thì hệ

aa' x ba' y ca'
aa' x ab'y ac '
+ =


+ =



b) Phơng pháp thế.
ax by c
a' x b' y c'
+ =


+ =


a c
y x
b b
a' x b' y c'

= +




+ =



= +





+ + =
ữ



a c
y x
b b
a c
a' x b ' x c '
b b

Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ:
(áp dụng cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.)
Phần II. Phân dạng bài tập:
Dạng 1:
GiảI hệ phơng trình không chứa tham số.
Ví dụ:

Giải các hệ phơng trình:
a)
+ =


=

2x y 7
4x 3y 4
b)
+ =



+ =


3a 3b 8
a
b 4
2
c)
2 3
2
x y
1 1
5
x y

+ =





+ =


Dạng 2:
GiảI hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số.
Ví dụ:
Cho hệ pt:

+ =


+ + =


2
2
3mx (n 3) y 6
(m 1)x 2ny 13
a) Giải hệ pt với m = 2; n = 1
b) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3
Dạng3:
GiảI biện luận hệ phơng trình có chứa tham số tham số.
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
+ =



=

mx y 2
2x y 1
Giải và biện luận hệ theo m.
Bài làm:
15
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
2x y 1
mx y 2
=


+ =


(2 m)x 3 (1)
2x y 1 (2)
+ =


=

+ Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3
- Nếu 2 + m = 0


m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3)
Do phơng trình (3) vô nghiệm

hệ vô nghiệm.
- Nếu 2 + m

0

m

- 2.
Thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x =
3
2 m+
+ Thay x =
3
2 m+
vào phơng trình (2) ta có:y = 2x 1 =
6
2 m+
- 1 =
4 m
2 m

+
Vậy với m

- 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
3
x

2 m
4 m
y
2 m

=


+



=


+
.
Ví dụ 2:
Cho hệ pt:
+ =


+ =

nx y 2n
nx ny n
Giải và biện luận hệ theo n.
Chú ý:
Phơng trình ax = b (1)
+ Nếu a = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = b.

- Khi b = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0


phơng trình có vô số nghiệm.
- Khi b

0 phơng trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu a

0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất
b
a
Dạng 4:
Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng trình.
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
+ =


+ =

x 2y 5
mx y 3
Tìm m để x < 0, y < 0
Ví dụ 2:
Cho hệ pt:

+ = + +



+ = +


2
2
x ay a a 1
ax 3y a 4a
Tìm m để x > 0, y < 0
Dạng5:
Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
16
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
D.5.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Phơng pháp:
Cho hệ pt:
+ =



+ =

ax by c (1)
a x b y c (2)
có nghiệm
0
0
x x

y y
=


=

Thay x = x
0
; y = y
0
lần lợt vào (1) và giải.
Thay x = x
0
; y = y
0
lần lợt vào (2) và giải.
Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình
=


+ =

2
3x 2y 7 (1)
(5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2)
Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 2.(- 2) = 7

3 + 4 = 7
Vậy (2; 1) là nghiệm của (1).

Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n
2
4n 3

7n 3 = n
2
4n 3

n(n 11) = 0

=


=

n 0
n 11
Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Ví dụ 2: Cho hệ phơng trình
2
2
1
5m(m 1)x my (1 2m) (1)
3
4mx 2y m 3m 6 (2)

+ =




+ = + +

Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x = 1; y = 3.
Giải: ĐK để hệ có một nghiệm: 2.5m.(m 1)

1
3
m.4m
Thay x = 1; y = 3 vào (1) ta có:
5m
2
5m + m = 1 4m + 4m
2


m
2
= 1

m 1
m 1
=


=

(I)
Thay x = 1; y = 3 vào (2) ta có:
4m + 6 = m
2

+ 3m + 6

m(m 1) = 0

m 0
m 1
=


=

(II)
Từ (I) và (II)

Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm x = 1 ; y = 3
D.5.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Phơng pháp:
Cho hệ pt:
ax by c
a x b y c
+ =



+ =

có nghiệm
0
0
x x

y y
=


=

17
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
Thay x = x
0
; y = y
0
vào cả hệ pt ta đợc
0 0
0 0
ax by c
a x b y c
+ =



+ =


Giải hệ pt chứa ẩn là tham số.
Ví dụ:
Cho hệ pt:

+ =


+ + =

2mx (n 2)y 9
(m 3)x 2ny 5
Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1
Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có:
(m 3).3 2n.( 1) 5
6m (n 2).( 1) 9
+ + =


+ =



3m 2n 4
12m 2n 14
=


=


m 2
n 5
=



=

Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm x = 3; y = - 1.
Dạng 6:
Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.
Phơng pháp:
Cho hệ pt:
ax by c (1)
a x b y c (2)
+ =



+ =

(I) có nghiệm (x; y) thoả mãn: px + qy = d (3)
+ Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả mãn (3)


(x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
+ Kết hợp 2 pt đơn giản nhất.
+ Tìm nghiệm thay vào pt còn lại

Giải pt chứa ẩn là tham số
Ví dụ 1:
Cho hệ phơng trình
3x 2y 8 (1)
3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2)
+ =



+ + = +

(I)
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x 2y = - 6 (3)
Giải:
Điều kiện: 3.(m + 5) 6m

0

m

5
Do (x; y) là nghiệm của hệ pt (I) và thoả mãn (3)

(x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
Kết hợp (1) và (3) ta có:
3x 2y 8
4x 2y 6
+ =


=


x 2
y 1
=



=

Thay x = 2, y = -1 vào pt (2) ta đợc:
6m (m +5) = m
2
- 1

m
2
5m + 4 = 0


m 1
m 4
=


=

( t/m)
Vậy với m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x 2y = - 6
Ví dụ 2:
Cho hệ phơng trình
mx y 5 (1)
2mx 3y 6 (2)
+ =


+ =


(I)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m 1)x + (m + 1)y = m (3)
18
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
Giải:
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3

2.m

m

0.
Từ (1)

y = 5 mx. Thay vào (2) ta có:
2mx + 3(5 - mx) = 6

x =
9
m
(m

0)
Thay x =
9
m

vào y = 5 mx ta có: y = 5 -
9m
m
= - 4
Vậy với m

0 hệ (I) có nghiệm x =
9
m
; y = - 4
Thay x =
9
m
; y = - 4 vào pt (3) ta đợc:
(2m 1).
9
m
+ (m + 1)(- 4) = m

18 -
9
m
- 4m 4 = m

5m
2
14m + 9 = 0

(m 1).(5m 9) = 0


m 1
9
m
5
=



=

(thoả mãn)
Vậy với m = 1 hoặc m =
9
5
thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn pt (3).
Dạng 7:
Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nguyên.
Chú ý:
+)
a
Z
m



m

Ư(a) (a, m

Z)

+)
a
Z
m
b
Z
m










m

Ư(a,b)
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
+ + =


=

(m 2)x 2y 5
mx y 1


Tìm m

Z để hệ có nghiệm nguyên
Giải:
Từ (2) ta có: y = mx 1. Thay vào (1) ta đợc:
19
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
(m + 2)x + 2(mx - 1) = 5

3mx + 2x = 7

x.(3m + 2) = 7 (m

2
3

)

x =
+
7
3m 2
.
Thay vào y = mx 1

y =
+

7
3m 2
.m 1

y =

+
4m 2
3m 2
Để x

Z

+
7
3m 2

Z

3m + 2

Ư(7) =
}
{

7; 7;1; 1
+) 3m + 2 = - 7

m = - 3
+) 3m + 2 = 7


m =
5
3
(Loại)
+) 3m + 2 = 1

m =
1
3

(Loại)
+) 3m + 2 = -1

m = - 1
Thay m = - 3 vào y =

+
4m 2
3m 2


y = 2 (t/m)
Thay m = - 1 vào y =

+
4m 2
3m 2



y = 6 (t/m)
Kết luận: m

Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1
Ví dụ 2:
Cho hệ pt:
(m 3)x y 2
mx 2y 8
+ =


+ =


Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.
Giải:
Từ (1) ta có y = 2 (m 3).x

y = 2 mx + 3x
Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 mx + 3x) = 8

- mx + 6x = 4

x.(6- m) = 4 (m

6)

x =
4
6 m


. Thay vào y = 2 (m 3).x ta có: y =
24 6m
6 m


Để x

Z

4
6 m

Z

6 - m

Ư(4) =
}
{
1; 1;2; 2;4; 4

+) 6 m = 1

m = 5
+) 6 m = -1

m = 7
+) 6 m = 2


m = 4
+) 6 m = - 2

m = 8
20
Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
+) 6 m = 4

m = 2
+) 6 m = - 4

m = 10
Thay m = 5 vào y =
24 6m
6 m




y = - 6 (t/m)
Thay m = 7 vào y =
24 6m
6 m



y = 18 (t/m)

Thay m = 4 vào y =
24 6m
6 m



y = 0 (t/m)
Thay m = 8 vào y =
24 6m
6 m



y = 17 (t/m)
Thay m = 2 vào y =
24 6m
6 m



y = 3 (t/m)
Thay m = 10 vào y =
24 6m
6 m



y = 9 (t/m)
Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m



{ }
5;7;4;8;2;10
Dạng 8:
Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
2
2
mx y m
2x my m 2m 2

=


+ = + +



a) CMR hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Tìm m để biểu thức: x
2
+ 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó.
Giải:
a) Do m
2

0

với mọi m



m
2
+ 2 > 0 với mọi m.
Hay m
2
+ 2

0 với mọi m
Vậy hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Rút y từ (1) ta có: y = mx m
2
(3)
Thế vào (2) ta đợc
2x + m(mx m
2
) = m
2
+ 2m +2

2x + m
2
x m
3
= m
2
+ 2m +2

2x + m

2
x = m
3
+ m
2
+ 2m +2

x(2 + m
2
) = (m
3
+ 2m) + (m
2
+ 2)

x(2 + m
2
) =(m + 1)(m
2
+ 2) do m
2
+ 2

0

x = m + 1
Thay vào (3)

y = m.(m + 1) m
2

= m
Thay x = m + 1; y = m vào x
2
+ 3y + 4 ta đợc:
(m + 1)
2
+ 3m + 4 = m
2
+ 5m + 5
= (m
2
+ 2.
5 25 5
m )
2 4 4
+
21
Phạm Văn Hiệu
(2)
(1)
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
=
2
5 5 5
(m )
2 4 4

+

Do
2
5
(m ) 0
2
+
Vậy min (x
2
+ 3y + 4) =
5
4

khi m =
5
2

Ví dụ 2:
Cho hệ pt:
2
2
3mx y 6m m 2 (1)
5x my m 12m (2)

=


+ = +




Tìm m để biểu thức: A = 2y
2
x
2
nhận GTLN. Tìm giá trị đó
Giải:
Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m
2
+ m + 2. Thay vào (2) ta có:
5x + m.( 3mx - 6m
2
+ m + 2) = m
2
+12m

x.(5 + 3m
2
) = 6m
3
+ 10m (5 + 3m
2


0 với mọi m)

3
2
6m 10m
x 2m
3m 5

+
= =
+
Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m
2
+ m + 2 ta đợc y = m + 2
Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc: A = 2(m + 2)
2
(2m)
2
= -2(m
2
4m
4)
A = -2(m
2
4m + 4 8)
= -2(m
2
4m + 4) +16 =
2
2(m 2) 16 16 +
Do
2
2(m 2) 0

( )
m
Vậy max A = 16 khi m = 2
Dạng 9:

Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào tham số.
Ví dụ 1: Cho hệ pt:
+ =


+ =

2mx 3y 5
x 3my 4
a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m
Giải:
a) Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu:
2m.3m 3.(-1) = 6m
2
+ 3 > 0 với mọi m
Vậy 6m
2
+ 3

0 với mọi m. Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất
b) Rút m từ (1) ta đợc m =
5 3y
2x

thay vào (2) ta có: -x + 3.
5 3y
2x

=

22
Phạm Văn Hiệu
V× sù nghiÖp gi¸o dôc
2009 - 2010
2008
4
⇔
2x
2
+ 8x -15y + 9y
2
= 0.
§©y chÝnh lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x, y kh«ng phô thuéc vµo m.
VÝ dô 2: Cho hÖ pt:
(m 1)x y m
x (m 1)y 2
− + =


+ − =

T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x, y kh«ng phô thuéc vµo m.
VÝ dô 3:
Cho hÖ pt:

+ = +


− = − −



2
2
5x ay a 12a
3ax y 6a a 2

T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x, y kh«ng phô thuéc vµo a.
23
Ph¹m V¨n HiÖu
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
Bài tập về nhà:
Bài 1:
Giải hệ phơng trình:
( 2 1) 1
2
m 1 n
1 ( 2 1)
1
m 1 n


=




+


+ =



Bài 2:
Cho hệ phơng trình
2
2x 3y 7
3mx (m 3)y m 6m 3
=


+ + =

Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1)
Bài 3:
Cho hệ pt:
(m 1)x 2ny 2
3mx (n 2)y 9
+ + =


+ =

a) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3
b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1
Bài 4:
Cho hệ phơng trình
2
3x 2y 8

mx (3m 1)y m 1
+ =


+ + =

(I)
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x 2y = -6 (3)
Bài 5:
Cho hệ phơng trình
x my 3
2x 3my 5
+ =


+ =


Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (m
2
1)x 10my = 4m + 5
Bài 6:
Cho hệ pt:
(m 2)x y 3
mx 3y 7
+ + =


+ =



a) Giải hệ pt với m = -1
b) Tìm m để x > 0, y > 0
Bài 7:
Cho hệ pt:
mx my m
mx y 2m
+ =


+ =

Tìm m để nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0.
24
Phạm Văn Hiệu
(2)
Vì sự nghiệp giáo dục
2009 - 2010
2008
Bài 8:
Cho hệ pt:
(m 1)x 2y 5
mx y 1
+ + =


=


a) Giải hệ pt với m = 2

b) Tìm m

Z để hệ có nghiệm nguyên.
Bài 9:
Cho hệ pt:
(m 3)x y 2
mx 2y 5
+ =


+ =


Tìm m để hệ có nghiệm nguyên
Bài 10:
Cho hệ pt:
2
2
3mx y 6m m 2 (1)
5x my m 12m (2)

=


+ = +



Tìm m để biểu thức: A = 2y
2

x
2
nhận GTLN. Tìm giá trị đó
Bài 11:
Cho hệ pt:
2
2
3mx y 3m 2m 1
x my 2m

= +


+ =


Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
HD:
2
2
3mx y 3m 2m 1
x my 2m

= +


+ =




2
2
6mx 2y 6m 4m 2
3x 3my 6m

= +


+ =



2
6mx 3x 2y 3my 4m 2
x my 2m
= +


+ =

Rút m từ (1) ta đợc:
3x 2y 2
m
6x 3y 4
+ +
=
+
. Thay vào (2) ta có:
2
3x 2y 2 3x 2y 2

x .y 2.( )
6x 3y 4 6x 3y 4
+ + + +
+ =
+ +
. Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y
không phụ thuộc vào m.

Phơng trình bậc hai một ẩn.
Phần I. Lý thuyết:
I.
Định nghĩa.
II.
Phân loại.
25
Phạm Văn Hiệu