ÔN THI CHUYỂN CẤP NĂM HỌC 2010 - 2011
TRƯỜNG THCS THANH LIÊN
GIÁO VIÊN: VÕ VĂN NGUYÊN – TỔ KH TỰ NHÊN
PHẦN I. Các công thức biến đổi căn
Bài 1: Cho biểu thức
a 1 1 2
K :
a 1
a 1 a a a 1
 
 
= − +
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
a) Điều kiện a > 0 và a ≠ 1 (0,25đ)
Giải:
a 1 1 2
K :
a 1 a( a 1) a 1 ( a 1)( a 1)
 
 
= − +
 ÷

 ÷
− − + + −
 
 
a 1 a 1
:
a( a 1) ( a 1)( a 1)
− +
=
− + −
a 1 a 1
.( a 1)
a( a 1) a
− −
= − =
−
b) a = 3 + 2
2
= (1 +
2
)
2

a 1 2⇒ = +

3 2 2 1 2(1 2)
K 2
1 2 1 2
+ − +
= = =

+ +
c)
1.
2
A A
=
6.
A
B
=-
2
A B
(A
≤
0, B
≥
0 )
2.
AB A B
=
(A, B
≥
0 )
7.
1A
AB
B B
=
(A B
≥

0, B
≠
0
3.
A A
B
B
=
(A
≥
0, B > 0 )
8.
A A B
B
B
=
(A
≥
0, B>0 )
4.
2
A B A B
=
( B
≥
0 )
9.
( )
T A B
T

A B
A B
=
−
±
m
(A, B
≥
0 )
5.
A
B
=
2
A B
(A, B
≥
0 )
10
.
( )
2 2
T a A b B
T
a A b B
a A b B
=
−
±
m

a 1 0
a 1
K 0 0
a 0
a
<


< <

>


a 1
0 a 1
a 0
<

< <

>

Rỳt gn biểu thức
x
x
x
x
xx
xx
P


+
+
+




=
3
3
1
)3(2
32
3
Điều kiện:
90
03
032
0









x

x
xx
x
* Rút gọn:
1
8
)3)(1(
2483
)3)(1(
)1)(3()3(23
2
+
+
=
+
+
=
+
++
=
x
x
xx
xxxx
xx
xxxxx
P
Bi 2
Cho biểu thứcA =










+












+
1
:
1
1
1
1
x
x

x
x
x
x
xx
với x > 0 và x 1
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3
Ta có: A =









+













+
1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
=









+














+
++
11
)1(
:
1
1
)1)(1(
)1)(1(
x
x
x
xx
x
x
xx
xxx
=










+












+
1
:
1
1
1
1
x
xxx
x
x

x
xx
=
1
:
1
11

++
x
x
x
xxx
=
1
:
1
2

+
x
x
x
x
=
x
x
x
x 1
1

2


+
=
x
x2
b) A = 3 =>
x
x2
= 3 => 3x +
x
- 2 = 0 => x = 2/3
Bi 3
Cho P =
2
1
x
x x
+

+
1
1
x
x x
+
+ +
-
1

1
x
x
+

a/. Rút gọn P.
b/. Chứng minh: P <
1
3
với x

0 và x

1.
Điều kiện: x

0 và x

1. (0,25 điểm)
P =
2
1
x
x x
+

+
1
1
x

x x
+
+ +
-
1
( 1)( 1)
x
x x
+
+
=
3
2
( ) 1
x
x
+

+
1
1
x
x x
+
+ +
-
1
1x
=
2 ( 1)( 1) ( 1)

( 1)( 1)
x x x x x
x x x
+ + + + +
+ +
=
( 1)( 1)
x x
x x x

+ +
=
1
x
x x+ +
b/. Với x

0 và x

1 .Ta có: P <
1
3


1
x
x x+ +
<
1
3


3
x
< x +
x
+ 1 ; ( vì x +
x
+ 1 > 0 )

x - 2
x
+ 1 > 0

(
x
- 1)
2
> 0. ( Đúng vì x

0 và x

1)
Bi 4
Cho biểu thức A =









+








+
+
xxx
1
1
1
1
1
1
a. Tìm tập xác định và rút gọn A.
b. Tính giá trị của A khi x=
4
1
c. Tìm giá trị của x để
A
>A.
Bi 5
Cho biểu thức.
P =










+
1
1
1
x
.
xx
1
a. Tìm tập xác định và rút gọn P .
b. Tính giá trị của P khi x = 25
c. Tìm x để P.
625+
(
1x
)
2
= x 2005 +
2
+
3
Bi 6

Cho biểu thức
M =








+

3
1
3
1
xx
:
3
3
x
a. Tìm tập xác định của rồi rút gọn M
b. Tìm x để M >
3
1

c. Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
Bi 7
Cho biểu thức
A =












++
+
1
2
12
2
x
x
xx
x
:
1+x
x
a. Rút gọn A
b. Tìm x để A< 0
c. Tìm x

Z để A có giá trị nguyên
Bi 8

Cho biểu thức :
P =
aa
aa
a
a




2
1
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P
b) Tính giá trị của P với a = 3 -
8
c) Tìm a để P < 0
PH N TH HAI : PHNG TRèNH V H PHNG TRèNH
I. PHNG TRèNH BC HAI
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (1)
*Trong trng hp gii v bin lun, cn chỳ ý khi a = 0 phng trỡnh tr thnh bc nht mt
n .
A.KIN THC C BN
1. Cỏc dng v cỏch gii
Dng 1: c = 0 khi ú:
( ) ( )
2
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0

b
x
a
=


+ = =

=

Dng 2: b = 0 khi ú
( )
2 2
c
1 ax c 0 x
a

+ = =
- Nếu
c
0
a
−
≥
thì
c
x
a
−
= ±

.
- Nếu
c
0
a
−
<
thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 3: Tổng quát
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
b 4ac∆ = −
2
' b' ac∆ = −
0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =

0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b
x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =
0∆ <
: phương trình vô nghiệm
' 0∆ <
: phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở
mẫu và dạng tích.
3. Hệ thức Viet và ứng dụng
- Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2

thì:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =


- Nếu có hai số u và v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )
2
S 4P≥

thì u, v là hai nghiệm của phương trình x
2
– Sx + P = 0.
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= -1; x
2
=
c
a
−
.
4. Điều kiện có nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0)
- (1) có 2 nghiệm
0∆ ≥
; có 2 nghiệm phân biệt
0∆ >
.
- (1) có 2 nghiệm cùng dấu
0

P 0
∆ ≥


>

.
- (1) có 2 nghiệm dương
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


>

- (1) có 2 nghiệm âm
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


<


- (1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5. Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;
α +β = γ + = + =
+ ≥ + =
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Giải các phương trình sau
2 2 2
1
a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0
2
+ = − + = + − =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
d) 2x 2 1 x 1 2 2 0; e) x 4 x 3 0; f) x 1 x 2 x 3 x 4 3+ − + − = − + = + + + + =
Giải
( )
2
x 0

a) 3x 2x 0 x 3x 2 0
2
x
3
=


+ = ⇔ + = ⇔

= −

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
2 2
1
b) x 8 0 x 16 x 4
2
− + = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
( )
2 2
1 2
c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −
∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −
= = = = = = −

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = −
Có
a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − =
Theo hệ thức Viet, có:
1 2
c 1 2 2 2 4
x 1; x
a 2
2
− −
= = = =
e) Đặt
t x 0= ≥
, ta có pt mới: t
2
– 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t
1
= 1; t
2
= 3.
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 9.
f)
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )
2 2
x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5x 4 x 5x 6 3+ + + + = ⇔ + + + + =
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t, ta có:
t .(t + 2) = 3
( ) ( )
2
t 1
t 2t 3 0 t 1 t 3 0
t 3
=

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= −

Suy ra:
2 2
1 2
2 2
x 5x 4 1 x 5x 3 0
5 13 5 13
x ; x
2 2
x 5x 4 3 x 5x 7 0
 

+ + = + + =

− + − −
⇔ ⇔ = =
 

+ + = − + + =

 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2. Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.
b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
1. 2x
1
+ 3x
2
= 13.
2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x
1
2
+ x
2

2
= 11.
e) Chứng tỏ rằng
1 2
1 1
;
x x
là nghiệm của phương trình mx
2
– 3x – 1 = 0. Trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm
của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai nghiệm đó.
Giải
a) Với m = 4 ta có: x
2
+ 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thức Viet, có: x
1
= 1; x
2
=
c
4
a
= −

b) có:
2
b 4ac 9 4m∆ = − = +
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3 9 4m b 3 9 4m
x ; x
2a 2 2a 2
∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3
x x
2a 2
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
−
= = = −
9
0 9 4m 0 m
4
∆ < ⇔ + < ⇔ < −
phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:
(-2)

2
+ 3(-2) – m = 0
⇔
m = -2
- Tìm nghiệm thứ hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x
2
+ 3x + 2 = 0
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x
1
= -1; x
2
=
c
2
a
−
= −
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
Cách 2: Ta có x
1
+ x
2
=
b
a
−

( )
2 1

b
x x 3 2 1
a
⇒ = − − = − − − = −
Cách 3: Ta có x
1
x
2
=
c
a

2 1
c m
x :x 1
a 2
−
⇒ = = = −
−
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= 13
1 2
1 2
1 2
0
b
x x

a
c
x x
a
2x 3x 13
∆ ≥



+ = −

⇔


=


+ =

1 2
1 2
1 2
9
m
4
x x 3
x x m
2x 3x 13

≥ −




+ = −
⇔


= −

+ =


giải hệ tìm được x
1
= -22; x
2
= 19; m = 418.
- Tương tự ta tìm được (x
1
= -2; x
2
= -3; m = -6); (m=1)
e) Ta có
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 x x 3
x x x x m
1 1 1 1
.

x x x .x m
+

+ = =




= = −


mà
2
2 2
3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
   
− − = + = ≥
 ÷  ÷
   
Vậy
1 2
1 1
;
x x
là hai nghiệm của phương trình
2 2
3 1

x x 0 mx 3m 1 0
m m
− − = ⇔ − − =
f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9
0
m
9
m 0
4
P 0
4
m 0

∆ ≥
≥ −


⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
 
>


− >

Hai nghiệm này luôn âm. Vì S = - 3.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình sau
( )
2 2 2 2

a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + =
( )
2
4 2
e) x 7x 12 0 f ) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2
1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
 
− − − − = + − + + =
 ÷
 
Bài 2: Cho phương trình
2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2

. Không giải phương trình. Hãy tính
giá trị các biểu thức sau:
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2
3 3
1 2 1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C
4x x 4x x
+ +
= + = + =
+
Bài 3: Cho phương trình x
2
+ mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x
1
2
+ x
2
2
; x
1
3
+ x
2

3
theo m.
d) Xác định giá trị của m để x
1
2
+ x
2
2
= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
Bài 4: Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
Bài 5: Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1

, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) cùng giá trị
tương ứng của m.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
– 6x
1
x
2
.
+) Chứng minh A = m
2
– 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
Bài 6*: Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với abc ≠ 0.
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
.
b) Lập phương trình nhận hai số
( ) ( )

1 2
x ; x+ α + α
làm nghiệm.
c) Lập phương trình nhận hai số
1 2
x ; xα α
làm nghiệm.
d) Lập phương trình nhận hai số
1 2
1 1
;
x x
làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai số
1 2
2 1
x x
;
x x
làm nghiệm.
Bài 7: Cho phương trình x
2
+ (m + 2)x + 2m = 0.
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
b) Phương trình có một nghiệm x = 3. Tìm m và nghiệm còn lại.
c) Tìm m để
1 2
2 1
x x
2

x x
+ =
.
d) Tìm m để
( ) ( )
1 2 1 2
2x x x 2x 0+ + ≥
.
e) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Có nhận xét gì về hai nghiệm đó.
Bài 8: Cho phương trình x
2
– 2 (m + 1 )x + m
2
- 2m + 3 = 0 (1).
a) Giải phương trình với m = 1 .
b) Xác định giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 . Tìm nghiệm kia .
Bài 9: Cho phương trình x
2
– ( m+1)x + m
2
– 2m + 2 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 2 .
b) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó .

Với giá trị nào của m thì
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị bé nhất , lớn nhất
Bài 10 : Cho phương trình : x
2
- 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0 (1)
1/ Giải phương trình với m = 3
2/ CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
3/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình (1): Tìm m để:
B = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x
1
) < 4.
Bài 11 : Cho phương trình:
01m1)x(2m2x
2
=−+−+

a, Giải phương trình với m = 2
b, Cmr: phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị cuả m
c, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x
2
= 1
Bài 12: Cho phương trình bặc hai:
0m1)x2(mx
22
=+++
a, Giải phương trình với m = 4
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng -2, khi đó tìm
nghiệm còn lại
Bài 13: Cho phương trình: x
2
+ ( 2m - 1 ).x - m = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) CMR: Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn :
2

11
1
2
2
1
=
+
+
+ x
x
x
x

Bài 14 : Cho phương trình : x
2
- 2m .x + m
2
- 9 = 0
a) Định m để phương tình có một nghiệm bằng 4 .Tính nghiệm còn lại
b) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim x
1
; x
2
tha món :
x
1
.x
2
- 2 ( x
1

+ x
2
) < 23
Bi 15 : Cho phng trỡnh : 3x
2
( 3k 2) x ( 3k + 1) = 0 vi x l n s
a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca k
b) Gii phng trỡnh vi k = 1
c) Tỡm k phng trỡnh cú nghim kộp.
d) Tỡm k phng trỡnh cú 2 nghim dng.
e) Tỡm k nghim x
1
; x
2
ca phng trỡnh tho món : 3x
1
5x
2
= 6.
Bi 16
Cho phơng trình bậc hai: 2x
2
+(2m-1)x+m-1 = 0(1)
a) Giải phơng trình (1) khi cho biết m =1; m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) không thể có hai nghiệm dơng với mọi giá trị của m
Bi 17
Cho phng trỡnh x
2
2mx + m
2

m + 3 cú hai nghim x
1
; x
2
(vi m l tham s ) .Tỡm biu thc
x
1
2

+ x
2
2
t giỏ tr nh nht.
Bi 18
Cho pt: x
2
2(m 1)x + m
2
3m + 4 = 0
a/ Tỡm m pt cú nghim kộp? Tớnh nghim ú.
b/ Tỡm m pt cú 2 nghim phõn bit.
c/ Tỡm m : x
1
2
+ x
2
2
= 20
Bi 19
Cho phng trỡnh:

( ) ( )
2
m 2 x 2m 1 x m 3 0+ + =
a) gii pt khi m = -2
b) Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi

m
c) Tỡm m phng trỡnh cú 2 nghim x
1
, x
2
tha món: x
1
= 2x
2
Bi 20
Cho phng trỡnh
2
x 2x m 2 0 + + =
a) Tỡm m phng trỡnh cú nghim.
b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x
1
, x
2
tha món h thc:
2 2
1 2
1 1
5
x x

+ =
PHN TH BA: GII BI TON BNG CCH LP PHNG TRèNH H
PHNG TRèNH.
A. KIN THC C BN
Phng phỏp gii
Bc 1. Gi n v t iu kin: Gi mt (hai) trong s nhng iu cha bit lm n v t iu
kin cho n.
Bc 2. Biu din cỏc i lng cha bit cũn li qua n.
Bc 3. Lp phng trỡnh (h phng trỡnh): Da vo mi quan h gia i lng ó bit v
cha bit.
Bc 4. Gii phng trỡnh (h phng trỡnh) va lp trờn.
Bc 5. Kt lun: Kim tra giỏ tr tỡm c vi iu kin ri kt lun.
*Chỳ ý vic túm tt bi toỏn trc khi lm.
B. MT S V D
1: Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi hết 2h30phút. Tính
chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h.
Quãng đường (km) Thời gian (h) Vận tốc (km/h)
Xe máy x 3h20ph =
10
3
h
10 3x
x :
3 10
=

Ôtô x 2h30ph =
5
2
h

5 2x
x :
2 5
=
Từ đó có phương trình
2x 3x
20
5 10
− =
, giải được x = 200 km.
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Xe máy x - 20 3h20ph =
10
3
h
( )
10
x 20
3
−

Ôtô x 2h30ph =
5
2
h
5
x
2
Từ đó có phương trình
( )

5 10
x x 20
2 3
= −
, giải được x = 80 km/h.
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Xe máy x 3h20ph =
10
3
h
10
x
3

Ôtô x + 20 2h30ph =
5
2
h
( )
5
x 20
2
+
Từ đó có phương trình
( )
10 5
x x 20
3 2
= +
, giải được x = 60 km/h.

*Nhận xét: Trong các cách làm đó thì cách thứ nhất là ngắn gọn nhất.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ. Người ta đã cho vòi 1
chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2 chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi
vòi đã chảy trong bao lâu?
2: Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số bằng 18. Nếu đổi
chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 54. Tìm số ban đầu.

3: Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích
tăng thêm 225m
2
. Tính kích thước của hình chữ nhật đó.

4: Một cửa hàng trong ngày bán được một số xe đạp và xe máy. Biết rằng số xe đạp bán được nhiều hơn
số xe máy là 5 chiếc và tổng bình phương của hai số này là 97. Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu xe mỗi
loại.

5: Dân số hiện nay của một địa phương là 41618 người. Cách đây 2 năm dân số của địa phương đó là
40000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số địa phương đó tăng bao nhiêu phần trăm.
6: Hai ơ tơ khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ơ tơ thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh
hơn ơ tơ thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ơ tơ thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ơ tơ .
7: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km . Một ơ tơ đi từ A đến B , nghỉ 90 phút ở B , rồi lại
từ B về A . Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ . Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h .
Tính vận tốc lúc đi của ơ tơ .
8: Giải tốn bằng cách lập phương trình
Hai người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km với cùng một vận tốc. Đi được 2/3 qng đường
người thứ nhất bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút đón ơtơ quay về A. Người thứ hai vẫn tiếp tục đi với vẫn
tốc cũ và tới B chậm hơn người thứ nhất lúc về tới A là 40 phút. Hỏi vận tốc người đi xe đạp biết ơtơ đi
nhanh hơn xe đạp là 30km/h.
9: Giải tốn bằng cách lập phương trình

Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nước vào một bể chứa 50 m
3
trong một thời gian nhất định.
Do người cơng nhân đã cho máy bơm hoạt động với cơng suất tăng thêm 5 m
3
/h, cho nên đã bơm đầy bể
sớm hơn dự kiến là 1h 40’. Hãy tính cơng suất của máy bơm theo kế hoạch ban đầu.
Bài 10 Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75 phút, trên cùng tuyến
đường đó một ôtô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20
km/giờ. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài
Ân 100 km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km.
Bài 11 Mét ca n« chun ®éng xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B sau ®ã chun ®éng ngỵc dßng tõ B
vỊ A hÕt tỉng thêi gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 Km vµ vËn tèc dßng níc lµ 5
Km/h . TÝnh vËn tèc thùc cđa ca n« (( VËn tèc cđa ca n« khi níc ®øng yªn )
: Một đồn xe vận tải nhận chun chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm cơng
việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu
xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau)
Bài 12 Hai m¸y đi lµm viƯc trong vßng 12 giê th× san lÊp ®ỵc
1
10
khu ®Êt. Nõu m¸y đi thø nhÊt lµm mét
m×nh trong 42 giê råi nghØ vµ sau ®ã m¸y đi thø hai lµm mét m×nh trong 22 giê th× c¶ hai m¸y đi san lÊp
®ỵc 25% khu ®Êt ®ã. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi m¸y đi san lÊp xong khu ®Êt ®· cho trong bao l©u.
Bài 13 Mét thưa rng h×nh ch÷ nhËt cã chiỊu réng ng¾n h¬n chiỊu dµi 45m. TÝnh diƯn tÝch thưa rng,
biÕt r»ng nÕu chiỊu dµi gi¶m 2 lÇn vµ chiỊu réng t¨ng 3 lÇn th× chu vi thưa rng kh«ng thay ®ỉi.
Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hc hƯ ph¬ng tr×nh:
Bài 14 Hai tỉ s¶n st cïng may mét lo¹i ¸o. NÕu tỉ thø nhÊt may trong 3 ngµy, tỉ thø hai may trong
5 ngµy th× c¶ hai tỉ may ®ỵc 1310 chiÕc ¸o. BiÕt r»ng trong mçi ngµy tỉ thø nhÊt may ®ỵc nhiỊu h¬n tỉ
thø hai 10 chiÕc ¸o. Hái mçi tỉ may trong mét ngµy ®ỵc bao nhiªu chiÕc ¸o?
Bài 15 Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể khơng có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứ

nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2/5 bể. Hỏi
nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 16Hai « t« cïng xt ph¸t tõ A ®Õn B, « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai mçi giê 10km nªn
®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê. TÝnh vËn tèc hai xe « t«, biÕt qu·ng ®êng AB dµi lµ 300km
Bài 17 Mét «t« kh¸ch vµ mét «t« t¶i cïng xt ph¸t tõ ®Þa ®iĨm A ®i ®Õn ®Þa ®iĨm B ®êng dµi 180 km
do vËn tèc cđa «t« kh¸ch lín h¬n «t« t¶i 10 km/h nªn «t« kh¸ch ®Õn B tríc «t« t¶i 36 phót.TÝnh vËn tèc
cđa mçi «t«. BiÕt r»ng trong qu¸ tr×nh ®i tõ A ®Õn B vËn tèc cđa mçi «t« kh«ng ®ỉi.
Mét « t« t¶i ®i tõ A tíi B v©n tèc 45km/h. Sau luc ®ã 1 giê 30 mét xe con ®i tõ A tíi B
VËn tèc 60km/h vµ ®Õn B cïng lóc .TÝnh AB= ?
Bài 18 Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một đội xe cần phải chun chở 150 tấn hàng . Hơm làm việc có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác
nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn . Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc ? ( biết rằng mỗi xe chở
số hàng như nhau )
Bài 19 Ở một nông trường có hai máy cày cùng cày một thửa ruộng sau 2 giờ thì xong . Nếu để mỗi
máy cày riêng thửa ruộng đó thì máy thứ nhất cày xong trước máy thứ hai là 3 giờ .Tính thời gian
mỗi máy cày riêng để xong thửa ruông đó ?
Bài 20 Trong một phòng họp có 80 người , được sắp đều trên các dãy ghế .Nếu ta bớt đi hai dãy ghế
thì mỗi dãy ghế phải xếp thêm hai người mới đủ chổ .Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy
phải xếp bao nhiêu người ?
Bài 21Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 36km . Sau khi đi được 2 giờ người đó
nghỉ 15’ . Sau đó người đi xe đạp phải tăng vận tốc thêm 4km/h và đến B đúng giờ qui đònh .
Tính vận tốc lúc đầu của người đi xe đạp ?