Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT


PHẦN : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN
§1. NGUYÊN HÀM:
1). Định nghĩa :
Hàm số
( )
F x
gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K
nếu
( ) ( )
′
= ∀ ∈,F x f x x K
.
Ghi nhớ : Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
trên
K
thì mọi hàm số có
dạng
( )
F x C+

(
C
là hằng số) cũng là nguyên hàm của
( )
f x
trên
K
và chỉ những
hàm số có dạng
( )
F x C+
mới là nguyên hàm của
( )
f x
trên
K
. Ta gọi
( )
F x C+
là họ nguyên hàm của hàm số
( )
f x
và ký hiệu là
( )
f x dx
∫
.
Như vậy:
( ) ( )
f x dx F x C

= +
∫
2). Tính chất:
a.TC1:
( ) ( )
′
= +
∫
f x dx f x C
b.TC2 :
( ) ( )
kf x dx k f x dx
=
∫ ∫
(
k
là hằng số khác 0)
b.TC3:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫

3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ :
( )
, ; 0p q p∈ ≠¡
dx x C
= +
∫

( )
1
1
1
,
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
( )
( )
( )
( )
1
1
1
px q
px q dx
p
α
α
α
α
+

+
+ = ≠ −
+
∫
( )
0ln ,
dx
x C x
x
= + ≠
∫
1
= + +
+
∫
ln
dx
px q C
px q p
1
Chuyên đề :
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
x x
e dx e C= +
∫
1
+ +
= +
∫
px q px q

e dx e C
p
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

( )
0 1a< ≠
.ln
px q
px q
a
a dx C
p a
+
+
= +
∫

( )
0 1a< ≠
sin cosxdx x C= − +
∫
( ) ( )
1

+ = − + +
∫
sin cospx q dx px q C
p
cos sinxdx x C
= +
∫
( ) ( )
1
+ = + +
∫
cos sinpx q dx px q C
p
2
= +
∫
tan
cos
dx
x C
x
( )
( )
2
1
= + +
+
∫
tan
cos

dx
px q C
px q p
2
= − +
∫
cot
sin
dx
x C
x
( )
( )
2
1
= − + +
+
∫
cot
sin
dx
px q C
px q p
1
ln tan
sin 2
x
dx C
x
= +

∫
1
ln tan
cos 2 4
x
dx C
x
π
 
= + +
 ÷
 
∫
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu)
của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng
tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành
một tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được
nguyên hàm.
4). Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :
a. Công thức : Nếu
( ) ( )
f u du F u C
= +
∫
và
( )
u g x=

là hàm số có đạo
hàm liên tục thì :
( ) ( ) ( )
f g x g x dx F g x C
′
= +
   
   
∫
b. Các bước thực hiện :
Nguyên hàm cần tìm có dạng :
( ) ( )
I f g x g x dx
′
=
 
 
∫
• Đặt
( ) ( )
u g x du g x dx
′
= ⇒ =
.
• Khi đó
( )
I f u du=
∫
, tiếp theo tìm nguyên hàm
( )

F u
của
( )
f u
.
• Khi đó
( ) ( ) ( )
I f u du F u C F g x C
= = + = +
 
 
∫
c. Các dạng thường gặp :
2
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
Dạng 1 :
( )
sin cosI f a x b xdx= +
∫
,
( )
,a b∈¡
Đặt
sinu a x b= +
,
Hoặc
sin
n
u a x b= +
nếu biểu thức

sina x b+
nằm trong dấu
n
.
Dạng 2 :
( )
cos sinI f a x b xdx
= +
∫
,
( )
,a b∈¡
Đặt
cosu a x b= +
,
Hoặc
cos
n
u a x b= +
nếu biểu thức
cosa x b+
nằm trong dấu
n
Dạng 3 :
( )
1
lnI f a x b dx
x
= +
∫

,
( )
,a b∈¡
Đặt
lnu a x b= +
,
Hoặc
ln
n
u a x b= +
nếu biểu thức
lna x b+
nằm trong dấu
n
.
Dạng 4 :
( )
2
1
tan
cos
I f a x b dx
x
= +
∫
,
( )
,a b∈¡
Đặt
tanu a x b= +

,
Hoặc
tan
n
u a x b= +
nếu biểu thức
tana x b+
nằm trong dấu
n
Dạng 5 :
( )
2
1
cot
sin
I f a x b dx
x
= +
∫
,
( )
,a b∈¡
Đặt
cotu a x b= +
,
Hoặc
cot
n
u a x b= +
nếu biểu thức

cota x b+
nằm trong dấu
n
Dạng 6 :
( )
x x
I f ae b e dx= +
∫
,
( )
,a b∈¡
Đặt
x
u ae b= +
,
Hoặc
x
n
u ae b= +
nếu biểu thức
x
ae b+
nằm trong dấu
n
.
Dạng 7 :
( )
1m m
I f ax b x dx
−

= +
∫
,
( )
,a b∈¡
Đặt
m
u ax b= +
,
Hoặc
m
n
u ax b= +
nếu biểu thức
m
ax b+
nằm trong dấu
n
.
Dang 8 :
( )
2
sin sin 2I f a x b xdx= +
∫
Đặt
2
sinu a x b= +
,
Hoặc
2

sin
n
u a x b= +
nếu biểu thức
2
sina x b+
nằm trong dấu
n
Dang 9 :
( )
2
cos sin2I f a x b xdx
= +
∫
Đặt
2
cosu a x b= +
,
Hoặc
2
cos
n
u a x b= +
nếu biểu thức
2
cosa x b+
nằm trong dấu
n
5). Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần :
a. Công thức :

3
Ti liu tham khao ụn tp tt nghip THPT
udv uv vdu=

b. Cỏc bc thc hin :
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc :
udv uv vdu
=

.
Bc 3: Suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu

.

(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn
tng phn tựy tng bi toỏn c th m ta phi xem xột).
c. Cỏc dng thng gp :
Tớch phõn tng phn thng c ỏp dng tớnh cỏc tớch phõn cú dng nh
sau:
Dng 1 :
( ) ( )
I p x q x dx
=

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm
sin ( )x

hoc
cos ( )x

hoc
( )
x
e

.
Trong trng hp ny ta t:
( )

( )
u p x
dv q x dx
=

=

Ghi nh : Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ khi th vo
cụng thc ta c

vdu
phc tp hn

udv
ban u.
Dng 2 :
( ) ( )
I p x q x dx=

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm logarit.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u q x

dv p x dx
=

=

Ghi nh: Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ ta gp khú khn
khi suy ra
v
t
dv
.
6). Bi tp :
Bi 1 : Cho hm s
( )
2
1
x
f x
x
=
+
v hm s
( )
2
ln 1F x x
= +
. Chng minh
rng
( )
F x

l nguyờn hm ca
( )
f x
.
Bi 2: Cho hai hm s
( )
2 2= + sinF x x x
;
( )
2
4= cosf x x
.
4
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x
biết rằng
0
2
π
 
=

 ÷
 
G
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
4
1 3
= −f x
x
x
và hàm số
( )
3
1
2F x x
x
= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x
của hàm số

( )
f x
biết rằng
( )
1 5=G
.
Bài 4 : Cho hàm số
( )
x x
f x xe e= −
.
a. Tính
( )
f x
′
.
b. Dựa vào kết quả câu a, hãy tính
( )
3
x
x e dx+
∫
.
Bài 5 : Biết rằng hàm số
( )
=
x
x
F x
e

là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
. Hãy
giải phương trình sau :
( )
0f x
′
=
.
Bài 6 : Cho hàm số
( )
( )
2
1f x x= +
. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
1 0F =
.
Bài 7 : Tính :
a.
x xdx
∫
; b.

23
1
dx
x
∫
; c.
3
2
2 1x x
dx
x
+ +
∫
Bài 8 : Tính :
a.
sin (3 cot )x x dx+
∫
; b.
2
sin cos
2 2
x x
dx
 
+
 ÷
 
∫
;
c.

2
1 sin 2 cos
cos
x x
dx
x
+
∫
; d.
cos5 cosx xdx
∫
.
Bài 9 : Tính :
a.
( )
3 5.2
x x
e dx
+
∫
; b.
1
2 3
2
x x
x
dx
+
+
∫

; c.
2
1
3
3
x
x
dx
 
+
 ÷
 
∫
.
Bài 10 : Tính :
a.
2 3
1
x
dx
x
+
−
∫
; b.
2
4 5
1
x x
dx

x
− +
+
∫
; c.
( ) ( )
2 4
dx
x x− +
∫
;
Bài 11 : Tính :
a.
4
sin cosx xdx
∫
; b.
( )
cos
3sin 5
xdx
x +
∫
; c.
2
2tan 1
cos
x
dx
x

+
∫
5
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
d.
3
sin
cos
x
dx
x
∫
; e.
3sin
cos
x
e xdx
∫
; f.
tan xdx
∫
;
Bài 12 : Tính :
a.
( )
3
ln 2x
dx
x
−

∫
; b.
ln
dx
x x
∫
; c.
5
ln x
dx
x
∫
d.
3
log lnx x
dx
x
∫
Bài 13 : Tính :
a.
2
3
2 5
x dx
x +
∫
; b.
( )
10
1x xdx+

∫
; c.
( )
2
1
2 2
x dx
x x
−
− +
∫
d.
2 1x dx
+
∫
; e.
2
3x xdx+
∫
; f.
2 3
2x x dx+
∫
Bài 14 : Tính :
a.
cos2x xdx
∫
; b.
1
x

x
dx
e
+
∫
; c.
sin
2
x
x dx
∫
d.
ln
3
x
dx
∫
; e.
( )
2 lnx xdx+
∫
; f.
( )
ln 2x dx+
∫
g.
2
ln x
dx
x

∫
.
§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Tính chất:
a. TC1:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
b. TC2:
( ) ( )
0( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
c. TC3:
( ) ( ) ( ) ( )

b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
d. TC4:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
3). Bài tập:
 Ghi nhớ:
6
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu
tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn
hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta
phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích
phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu
GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
4
0
2 3

π
−
∫
(cos sin )x x dx
; b.
1
1
2 1
−
−
∫
x dx
; c.
( )
1
2
1
2 3
−
+ +
∫
x x dx
;
d.
2
4 1
2
1
+
∫

x
x
e
dx
e
; e.
( ) ( )
1
0
1 2
dx
x x+ −
∫
; f.
1
2
3
0
x x dx
∫
Bài 2: Cho hàm số
( )
2
1
x
f x
x
=
+
và hàm số

( )
2
1lnF x x= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Áp dụng câu a, tính
1
2
0
1
xdx
x +
∫
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2ln lnf x x x x x= −
.
a. Tính
( )
f x
′
.

b. Áp dụng câu a, tính
2
1
ln
e
xdx
∫
.
Bài 4: Cho hàm số
( )
( )
2 1
x
f x e x= −
a. Tính
( )
f x
′
.
b. Áp dụng câu a, tính tích phân
1
0
x
e dx
∫
.
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
2). Công thức tổng quát:
( ) ( ) ( )
.

b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
= 
 
∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu
tích phân có dạng tích của
( )
f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của
7
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt
cụ thể như sau:

a). TH1:
( )
β
α
+
∫
sin .cosf p x q xdx
.
→ hoặc
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
β
α
+
∫
cos .sinf p x q xdx

.
→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n
.
c). TH3:
( )
1
β
α
+
∫
ln .f p x q dx
x
.
→ hoặc
lnt p x q= +

( )

,p q∈¡

→ hoặc
ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
lnp x q+
nằm trong dấu
n
.
d). TH4:
( )
2
1
β
α
+
∫
tan .
cos
f p x q dx
x
.
→ hoặc
= +tant p x q

( )
,p q∈¡


→ hoặc
= +tan
n
t p x q
nếu như biểu thức
+tanp x q
nằm trong dấu
n
.
e). TH5:
( )
2
1
β
α
+
∫
.
sin
f pcotx q dx
x
.
→ hoặc
= +t pcotx q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +

n
t pcotx q
nếu như biểu thức
+pcotx q
nằm trong
n
.
f). TH6:
( )
β
α
+
∫
.
x x
f pe q e dx
.
→ hoặc
= +
x
t pe q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
x
n
t pe q

nếu như biểu thức
+
x
pe q
nằm trong
n
.
g). TH7:
( )
1
β
α
−
+
∫
.
m m
f px q x dx
.
8
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
→ hoặc
= +
m
t px q

( )
,p q∈¡

→ hoặc

= +
m
n
t px q
nếu như biểu thức
+
m
px q
nằm trong
n
.
3). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
; b.
2
3
6 1cos sinx xdx

π
π
+
∫
; c.
( )
1
3 2ln
e
dx
x x +
∫
d.
19
2
3
0
8
xdx
x +
∫
; e.
2
4
2
1
2
2ln
e
xdx

x
∫
; f.
1
0
3 1x dx+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x
−
− +
∫
; b.
2
4
2
0
cos
tgx
e dx
x
π

∫
; c.
( )
2
2
6
3 1
π
π
+
∫
cot sin
dx
x x
d.
4
2 1
1
x
dx
e x
+
∫
; e.
2
2
1
2
2
x

e dx
x
∫
; f.
( )
2
4
0
2sin 1 cosx xdx
π
+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
4
0
π
∫
sin
cos
xdx
x
; b.
2
3
0
2 1
π
−

∫
sin ( cos )x x dx
; c.
4
0
2
1 2
π
+
∫
cos
sin
xdx
x
d.
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx
x x
π
−
∫
e.
3
2 3
0
1x x dx+

∫
; f.
6
2
0
2
2 1
π
+
∫
sin
sin
xdx
x
§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
1). Công thức tổng quát:
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx
′ ′
= −
∫ ∫
hay
( )
b b
b
a

a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
(1)
9
Ti liu tham khao ụn tp tt nghip THPT
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv
v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b

a
vdu


(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn
tng phn tựy tng bi toỏn c th m ta phi xem xột).
3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
Tớch phõn tng phn thng c ỏp dng tớnh cỏc tớch phõn cú dng nh
sau:
a). Dng 1:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm
sin ( )x

hoc
cos ( )x

.
Trong trng hp ny ta t:

( )
( )
u p x
dv q x dx
=

=

Ghi nh : Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ khi th vo
cụng thc ta c
b
a
vdu

phc tp hn
b
a
udv

ban u.
b). Dng 2:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )
p x

l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm logarit.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u q x
dv p x dx
=

=

Ghi nh: Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ ta gp khú khn
khi suy ra
v
t
dv
.
4). Bi tp:
10
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
0
2 1 sinx xdx
π
+
∫

; b.
( )
0
1
π
−
∫
cosx xdx
; c.
4
2
0
π
∫
cosx xdx
;
d.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫
; e.
( )
1
2

0
1+
∫
x
x e dx
; f.
1
0
3 2( )
x
x dx−
∫
;
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
1
∫
lnx xdx
; b.
( )
1
0
1lnx x dx+
∫
; c.
3
3
ln

3
e
x
dx
∫
d.
2
1
∫
ln
e
x dx
; e.
1
1
2
1
ln 1 dx
x
 
+
 ÷
 
∫
; f.
4
1
ln
e
x

dx
x
∫
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =

(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
(2)
b). Các bước thực hiện:
• Bước1: Giải PTHĐGĐ của
( )
1
C
và
( )
2
C
để tìm các nghiệm thuộc

( )
;a b
. Giả sử được các nghiệm
1 2
, , ,
n
x x xK
và
1 2 n
a x x x b< < < < <L
.
• Bước 2: Áp dụng công thức (2) được :
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
( ) ( ) ( ) ( )
1
n
x
b
a x
f x g x dx f x g x dx= − + + −
∫ ∫
L
(chèn thêm các cận
1 2
, , ,
n

x x xK
vào )
( ) ( ) ( ) ( )
1
n
x
b
a x
f x g x dx f x g x dx= − + + −   
   
∫ ∫
L
11
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
c). Chú ý:
• Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất
của phương trình
( ) ( )
f x g x=
tương ứng là a và b.
• Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta có
thể dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn
tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C

thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
, và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≤
. Ta có thể ứng dụng điều này để khử
dấu giá trị tuyệt đối mà không cần đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài như nói ở trên.
2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính
được diện tích bằng công thức (2).
• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng
diện tích tất cả các hình nhỏ.
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau đây quanh trục Ox:
( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:

( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:
• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai
thì giải phương trình
( )
0f x =
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (3).
c). Các chú ý:
• Nếu đề bài đã cho đầy đủ a và b thì không cần phải giải phương trình
( )
0f x =
.
• Nếu đề bài không cho a và b thì giải phương trình
( )
0f x =

để tìm.
Phương trình này có thể có nhiều hơn hai nghiệm, trong trường hợp
này nghiệm nhỏ nhất là a và nghiệm lớn nhất là b. Các nghiệm còn
lại ta không cần phải chèn vào trong quá trình tính tích phân.
4). Bài tập:
12
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
2
1
−
=
+
:
x
C y
x
; Ox và trục Oy.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
( )
: ; ; ; 2
x
C y e Ox Oy x= =
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( ) ( )
2
3:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

( )
4 2
:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3
3 1:C y x x= − +
và đường thẳng
3:d y =
.
Bài 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
2
2 2
1
:
x x
C y
x
+ +
=
+
; đường tiệm cận xiên của
( )
C
; Ox;
1x e= −
.
Bài 7: Cho đường cong

( )
3 2
3 4:C y x x x= − +
. Viết phương trình tiếp
tuyến
d
của
( )
C
tại gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 8: Cho parabol
( )
2
6 5:P y x x= − +
.
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )
P
tại các giao điểm của
( )
P
với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
P

và các tiếp tuyến
nói ở câu a.
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:C y x=
;
2:d y x= −
và trục Ox.
Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x=
và
đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 11: Cho parabol
( )
2
4:P y x=
.
13
Tài liệu tham khao ôn tập tốt nghiệp THPT
a. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
P

, trục
Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 12: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn
bởi các đường:
( )
; ;C Ox Oy
. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi
quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 13: Cho đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn
bởi
( )
C
và trục Ox. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung
quanh trục Ox.
14