Bài tập lớp 11a1 làm - Giải tam giác
Lơng Tài, ngày 01 tháng 05 năm 2010
Họ tên học sinh: .
Từ sự vất vả của bố mẹ , anh chị em và sự kì vọng của gia đình , mỗi các em luôn cố
gắng học tập để đỗ đại học mai này giúp đỡ gia đình và mang lại niềm vinh quang
hãnh diện cho bố mẹ, thầy cô giáo. Hãy cố gắng và kiên trì đừng để bố mẹ , gia đình và
thày cô thất vọng. Các em chỉ còn hơn một năm nữa thôi .
Tất cả vì tơng lai tơi sáng cũa các em.
I- Cho tam giác ABC có
1. a)A=60
0
, b=6, c=5. Tính a, R và các góc B, C. b)
a 6,b 2,c 3 1
= = = +
. Tính các góc A,B,C,R
2. a)
a 2 3,b 2 2,c 6 2= = =
. Tính A,B,C và R b)Cho tam giác ABC :
a b c
2h h h
= +
CMR:
2 1 1
a b c
= +
,
2 1 1
sin A sin B sin C
= +
3. a)Cho

ABC có:
2 2
1 cos B 2a c
sin C
4a c
+ +
=

.CMR

giác cân b)

ABC:
a.cos B b.cos A a.sin A b.sin B
=
. CMR

cân hoặc vuông.
4. a)

ABC thỏa mãn:
1
S (a b c)(a b c)
4
= + +
. CMR

vuông.b)Cho tam giác ABC. CMR:
2 2 2

4S
tan A
a c b
=
+
,
C p(p c)
cot
2 S

=
c)CMR nếu:
C C
a(cot tan A) b(tan B cot )
2 2
=
thì tam giác cân.d) CMR tam giác ABC thỏa mãn:
a b c
r r r r= + +
thì tam giác vuông.
e)CMR

ABC thỏa mãn:
2
2
sin B tgB
sin C tgC
=
thì


cân hoặc vuông.g) CMR

ABC thỏa mãn:
3 3 3
2
a 2.b.cosC
b c a
a
b c a
=



+
=

+

thì

đều.
5. a) CMR

ABC thỏa mãn:
b c a
cos B cosC sin B.sinC
+ =
thì

vuông.b)CMR


ABC:
1 a
cot A
sin A c b
+ =

với
b c

thì

vuông.
6. a)CMR

ABC thỏa mãn:
1 b c
cot A
sin A a
+
+ =
thì

vuông.b)CMR

ABC thỏa mãn:
sin B sinC
sin A.cos B.cos C
1 1
cos B cosC

+
=
+
thì

vuông.
7. CMR:a)
2 2
1 cosC
c (a b) 4.S.
sin C

= +
b).
2 2 2 2 2 2
a b c
3
m m m (a b c )
4
+ + = + +
c)
2 2 2
cot cot cot
4.
a b c
gA gB gC
S
+ +
+ + =
8 Cho tam giác ABC có

a
l
là phân giác trong góc A. CMR:
2 2
a
2 2
l (b c)
bc
(b c) a
+
=
+
Hệ thức l ợng trong tam giác
Bài 1: Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
1.
+ + =sin sin sin 4 cos .cos .cos
2 2 2
A B C
A B C
+ + =sin 2 sin2 sin2 4sin .sin .sinA B C A B C
+ + = +cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
2.
+ + = cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cosA B C A B C
+ + = cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cosA B C A B C

3.
+ + = . .tgA tgB tgC tgA tgB tgC

4.
+ + =cot .cot cot .cot cot .cot 1gA gB gB gC gC gA
5.
+ + =. . . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
6.
+ + =cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
g g g g g g
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC chøng minh r»ng:
1.
2 2 2
cos A cos B cos C 1 2cos.Acos B.cos C+ + = −
2.
2 2 2
cos 2A cos 2B cos 2C 1 2cos 2A.cos 2B.cos 2C+ + = +
3.
3 3 3
sin cos( ) sin cos( ) sin cos( ) 3sin. .sin .sinA B C B C A C A B A B C
− + − + − =
4.
3 3 3
sin sin( ) sin sin( ) sin sin( ) 0A B C B C A C A B− + − + − =
5.
A
p sin
2

a
B C
cos .cos
2 2
=
6.
2
2
a
2 2
(b c)
bc .l
(b c) a
+
=
+ −

2 2
2
a b sin(A B)
c sin C
− −
=

7.
2 2 2 2 2 2 2
a a
(b c) 2(a 2l )(b c) a (a 4h ) 0+ − + + + + =
8.
a

2bc A
l cos
b c 2
=
+
10.
2 2 2 2 2 2
a b c
3
m m m (a b c )
4
+ + = + +
9.
c a b
1 1 1 1 1 1 A B C
l l l 2 cos cos cos
a b b c c a 2 2 2
       
+ + + + + = + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
10.
B C
a.sin sin
2 2
r
A
cos
2
=

12.
A B C
r p.tg .tg .tg
2 2 2
=
13.
p
R
A B C
4.cos .cos .cos
2 2 2
=
14.
r A B C
sin .sin .sin
4R 2 2 2
=
15.
r
1 cos A cos B cosC
R
+ = + +
16.
2pr
a.cos A b.cos B c.cosC
R
= + +
8.
r 4R A B C
tg tg tg

p 2 2 2
+
= + +
9.
2.(r R) a.cot gA b.cot gB c.cot gC+ = + +
10.
a b c a b c
1 1 1 1 1 1 1
r h h h r r r
= + + = + +
20.
2 2
a b c
p r 2R(h h h )+ = + +
21.
a b
C A B
r r 4R cos sin
2 2
−
− =
22.
a b c
r r r 4R r+ + = +
23.
2
a
A
r r 4R sin
2

− =
24.
4 cosr r r R C r
a c
b
+ − = −

25.
1 1 1 4
2 2 2
2 2 2
A B C R
tg tg tg
abc
r r r
a c
b
+ + =
26.
a a
a a a
h 2r h
B C
tg .tg
2 2 h 2r h
−
= =
+
27.
B C B C

a.tg .tg r(tg tg )
2 2 2 2
= +
28.
2
cos.
2
cos.
2
cos)2(4sin)(sin)(sin)(
222
CBA
rRrCcpBbpAap −=−+−+−
29.
2 ( )cos ( )cos ( )cosp a b C b c A c a B= + + + + +
30.
2 2 2
3 ( )cos ( )cos ( )cos
2 2 2
C A B
p a b b c c a= + + + + +
31.
2 2 2 2
. .cos . .cos . .cos
2 2 2
A B C
p b c c a a b= + +
32.
( )
2 2

1
.sin 2 .sin 2
4
ABC
S a B b A= +
V
33.
2 2 2 2 2 2
( ) cot ( )cot ( )cot 0b c gA c a gB a b gC− + − + − =
34.
( )cot ( )cot ( )cot 0
2 2 2
A B C
b c g c a g a b g− + − + − =
35.
2
1 1 1 3
. .cot . .cot . .cot 4 .
2 2 2
A B C
b c g c a g a b g R p
a b c p
 
+ + = + + −
 ÷
 
36.
.sin( ) .sin( ) .sin)( ) 0a B C b C A c A B− + − + − =
37.
( )( )cos ( )( )cos ( )( )cos 0b c p a A c a p b B a b p c C− − + − − + − − =

38.
2 2 2
cos cos cos
.cos .cos .cos .cos .cos .cos 2 . .
A B C a b c
b C c B a C c A b A a B a b c
+ +
+ + =
+ + +
39.
2 2
( ) 4. .
2
C
c a b S tg= − +
40.
( )( )
2 ( )
A p b p c
tg
p p a
− −
=
−
41.
2 2 2
cot cot cot
4.
a b c
gA gB gC

S
+ +
+ + =
42.
1 1 1 1
cot .cot .cot
sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
tg tg tg g g g
A B C
 
+ + = + + +
 ÷
 
43.
sin sin sin
2 2 2
2
cos .cos cos .cos cos .cos
2 2 2 2 2 2
A B C
B C C A A B
+ + =
44.
sin sin sin
cot .cot
sin sin sin 2 2
A B C A B
g g
A B C

+ +
=
+ −
45.
sin si n sin
t .cot .cot
cos cos cos 1 2 2 2
A B C A B C
g g g
A B C
+ −
=
+ − +
46
sin . cos . cos sin . cos . cos sin . cos . cos sin . sin . sin . . .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C B C A C A B A B C A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
+ + = + + +

Chứng minh rằng tam giác ABC thoả mãn các điều kiện sau đây là các tam giác cân.
40.
( )
sin sin 1
cos cos 2
A B
tgA tgB
A B
+
= +

+

41.
2 2
sin A sin B C
(sin A sin B)cot g
cos A cos B 2
+ = +
42.
3 3
A B B A
sin cos = sin cos
2 2 2 2

2sinA.sinB C
= cotg
sinC 2
43.
2
2tgA +tgC = tg A.tgC

2 2 2
A + B
tg A +tg B = 2tg
2
44.
C
a.tgA b.tgB (a b).cot g
2
+ = +


a.sin(B C) b.sin(C A) 0 + =
45.
2 2
1 cos B 2a c
sin B
4a c
+ +
=


2 2 2
C
a sin 2B b sin 2A c cot g
2
+ =
46.
4 4 4 2 2 2
sin C 2 sin A 2 sin B 2 sin C.(sin A sin B)+ + = +
47.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân khi và chỉ khi:
2 2
1
S (a b )
4
= +
48.
a
A
h bc.cos
2

=

2
C
cos A.cos B sin
2
=
49.
C
tgA tgB 2cot g
2
+ =

a
r : r : R 2 : 6 : 5=

sin C
2cos B
sin A
=
50.Tam giác ABC có tính chất gì nếu ba góc thỏa mãn:
1
sin 2x sin x cos x
2
+ =
Chứng minh tam giác vuông
51.
sin A sin B sin C 1 cos A cos B cosC+ + = + +

sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B+ =


52. cos2A+cos2B+cos2C+1=0
53.
+ + + =3(cos B 2sin C) 4(sin B 2cosC) 15
54.
sin B sin C
sin A.cos B.cosC
1 1
cos B cosC
+
=
+
55.
sin A cos B
tgA
sin B cos A
+
=
+
56.
cos(B C)
tgB
sin A sin(B C)

=


1
cot g2C (cot gC cot gB)
2

=
57.
B a c
sin
2 2a

=

B a c
cos
2 2c
+
=
58.
B c a
tg
2 c a

=
+

( ) ( ) ( )
a b b c a a c b
cos B
2abc
+ + +
=

59.
2 2 2

a ( p a) b (p b) c (p c)
sin B cos B
abc
− + − + −
+ =
60.
( )
2
2bc
cos B C
a
− =

+
=
B a c
cot g
2 b
61.
b c a
cos B cosC sin B.sinC
+ =

1 a
cot gA
sin A c b
+ =
−
62.
1 b c

cot gA
sin A a
+
+ =

2
1
S a sin 2B
4
=
a
A C
h 2p 2.sin .sin
2 2
=
63.
a b c
r r r r= + +

a b c
r r r r a b c+ + + = + +
64.
a
r r
5r 2R
=


=


65.
B A B
r(sin A sin B) 2.c.sin .cos
2 2
−
+ =

b c
cos B cos C
a
+
+ =
Chøng minh tam gi¸c ®Òu
66.
2
sin 3A sin 3B sin 3C 0
C
cos A.cos B sin
2
+ + =



=



3 3 3
2
1

cos B.cosC
4
a b c
a
a b c

=



+ +

=

+ +

67.
3 3 3
2
3
sin B.sinC
4
b c a
a
b c a

=




+ −

=

+ −

sin B sinC 2sin A
tgB tgC 2tgA
+ =


+ =


[ ]
bc 3 R 2(b c) a= + −
68.
a.cos A b.cos B c.cosC 1
a b c 2
+ +
=
+ +
2sinC(cos(A B) 1) 2sin A(cos(B C) 1) 2sin B(cos(C A) 1) 0⇔ − − + − − + − − =
69.
3 3
sin A sin B sin C
2
+ + ≤
70.
( )

P 3 cos B 3 cos A cosC= + +
®¹t Max
71.
3
1 cos A cos B cosC
2
< + + ≤
72.
tgA tgB tgC 3 3 tam gi¸c ABC nhän+ + ³
73.
gA gB gCcot cot cot 3+ + ³

A B C
2 2 2
9
sin sin sin
4
+ + £
74.
A B C
2 2 2
3
cos cos cos
4
+ + ³
75.
tg A tg B tg C
2 2 2
9 víi tam gi¸c ABC nhän+ + ³


76.
A B C
tg tg tg 3
2 2 2
+ + ³
77.
A B C
2 2 2
3
sin sin sin 1
4 2 2 2
+ + <£
78.
A B C
c c c
2 2 2
9
2 os os os
2 2 2 4
< + + £

A B C
tg tg tg
2 2 2
1
2 2 2
+ + ³
79.
A B C
3 3

sin .sin .sin
8
£
80.
A B C
1
cos .cos .cos
8
£

A B C 1
sin .sin .sin
2 2 2 8
£
81.
A B C 3 3
cos .cos .cos
2 2 2 2
£

A B C
tg tg tg
1
. .
2 2 2
3 3
£
82.
A B C
g g gcot .cot .cot 3 3

2 2 2
³
83.
a b c
A B C
m m m a b c. . . . .cos .cos .cos
2 2 2
=
sö dông
a
b c a A
m bc
2 2 2
2( )
.cos
4 2
+ -
= ³
84.
( )
a b c
m m m p p a p b p c+ + - + - + -³
85.
a b c
m m m p S. . .³
86.
a b c
A B C
l l l a b c. . . . .cos .cos .cos
2 2 2

=
sö dông
a
bc A
l
b c
2
.cos
2
=
+
87.
( )
a b c
l l l p p a p b p c+ + - + - + -£
88.
a b c
l l l p S. . .£
89.
( ) ( ) ( )
b a a c c b
l l l l l l
c b a
1 1 1
3 3+ + + + + £
90.
A B C A B C
g g g tg tg tgcot cot cot 3
2 2 2 2 2 2
æ ö

÷
ç
+ + + +³
÷
ç
÷
ç
è ø
91.
A B C
A B Csin .sin .sin cos .cos .cos
2 2 2
£
92.
A B C
A B C
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
sin sin sin
cos cos cos
2 2 2
+ + + +³
93.
A B C
A B C
1 1 1 1 1 1
víi tam gi¸c ABC nhän
cos cos cos
sin sin sin

2 2 2
+ + + +³
94.
A B C A B Csin sin sin sin2 sin2 sin 2+ + = + +
95.
A B C
gA gB gC tg tg tgcot cot cot
2 2 2
+ + = + +

96.
A B C
tgA+tgB+tgC cotg cotg cotg
2 2 2
+ +
97.
A B C
tgA tgB tgC g g g
A B C
1 1 1 1
cot .cot .cot
sin sin sin 2 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
+ + = + + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
98.
A B C
g g g
A B C
1 1 1 1 3 3
t t t
sin sin sin 2 2 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
+ + - + + Ê
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
99.
A B C
1 1 1
2 3
sin sin sin
+ +
100.
A B C
1 1 1
2 3
sin 2 sin2 sin 2
+ +
101.

( )
tgA tgB tgC gA gB gC
A B C
1 1 1 1
. . cot cot cot
sin 2 sin2 sin 2 2
+ + = + + +
102. Tam giác ABC không vuông có:
tgA tgB tgC
A B C
1 1 1 1 3
. .
sin 2 sin2 sin 2 2 2
+ + -
103.
( )
gA gB gC
A B C
1 1 1 1 3 3
cot cot cot
sin 2 sin2 sin 2 2 2
+ + - + +
104.
( )
gA gB gC
A B C
1 1 1 1
cot cot cot 3
sin sin sin 2
+ + - + +

105.
A B C
g g g
A B C
1 1 1
t t t 3
sin sin sin 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
+ + - + + =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
106. CMR mọi tam giác ABC có:
1 1 1 A B C A B C
tg tg tg cotg .cotg .cotg
A B C
4 4 4 4 4 4
sin sin sin
2 2 2
+ + = + + +
107.
1 1 1 A B C
tg tg tg 3 3
A B C
4 4 4
sin sin sin

2 2 2

+ + + +
ữ

108. Tam giác ABC không vuông có:
( )
1 1 1
cot gA cot gB cot gC tgA.tgB.tgC
sin 2A sin 2B sin 2C
+ + + + =
109.
( )
1 1 1
cot gA cot gB cot gC 3 3
sin 2A sin 2B sin 2C
+ + + +
110.
1 1 1 1
cot gA cot gB cot gC
A B C
2
cos cos cos
2 2 2

ữ
+ + = + +
ữ
ữ


thì

ABC đều.
Bài toán về cấp số

114.Cho
∆
ABC cã c¸c c¹nh a,b,c lËp thµnh cÊp sè céng. CMR:
2
B
sin A.sinC 3.sin
2
=
115.Cho
∆
ABC cã A, B, C lËp thµnh CSC vµ
3
sin A.sin B.sinC
4
=
. TÝnh c¸c gãc A, B, C
116.Cho
∆
ABC cã
A B C
cot g ,cot g ,cot g
2 2 2
lËp thµnh CSC th×:
A C
cot g cot g 3

2 2
=
117.Cho
∆
ABC cã
A B C
cot g ,cot g ,cot g
2 2 2
lËp thµnh CSC th×: a
2
; b
2
; c
2
còng lËp thµnh CSC
118.Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh a, b, c lËp thµnh cÊp sè céng. CMR
A C
cot g cot g 3
2 2
=
119.Cho
∆
ABC cã
A B C
t g ,t g ,t g
2 2 2
lËp thµnh CSC. CMR cosA, cosB, cosC còng lËp thµnh
CSC.