Xác Suất Thống Kê (phần 21) ppsx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (108.4 KB, 10 trang )
Phân phối của các đặc trưng mẫu
Example
Gọi X là tuổi thọ (tính theo tháng) của một loại
pin. Giả sử là X ∼ N (60, 36). Lấy ngẫu nhiên 25
pin. Gọi
¯
X là tuổi thọ trung bình của mẫu thử
này.
1) Tính P(
¯
X 32).
2) Tìm c sao cho P(
¯
X > c) = 95%.
Kỳ vọng và phương sai của các đặc trưng
mẫu
Nếu X
1
, X
2
, . . . , X
n
là n giá trị quan sát từ mẫu.
Các X
i
có cùng phân phối (không nhất thiết là
phân phối chuẩn) với kỳ vọng E(X) = µ và
Var(X) = σ
2
. Ta có các kết quả sau:
E(
¯
X) = µ; Var(
¯
X) =
σ
2
n
.
E(S
2
) = σ
2
; Var(S
2
) =
1
n
µ
4
−
n−3
n−1
σ
4
.
Ước lượng phân phối xác suất của trung
bình mẫu
Từ định lý giới hạn trung tâm, ta có kết quả sau:
với n đủ lớn, thì
¯
X =
1
n
n
i=1
X
i
∼ N (µ, σ
2
/n)
tức là
¯
X − µ
σ/
√
n
∼ N (0, 1) .
Thông thường, với n 30 có thể xem như là đủ
lớn để xấp xỉ phân phối của trung bình mẫu bằng
phân phối chuẩn.
Ước lượng phân phối xác suất của trung
bình mẫu
Example
Xét lại ví dụ công ty bảo hiểm có 25000 khách
hàng. Chọn ngẫu nhiên 100 khách hàng. Gọi
¯
X là
trung bình lợi nhuận hằng năm của nhóm khách
hàng này. Tính P(
¯
X > 400).
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân
phối chuẩn
Giả sử X ∼ B(n, p), với X là số lần biến cố A
(thành công) xảy ra trong n phép thử Bernoulli
độc lập, và xác suất để biến cố A xảy ra trong
mỗi lần thử là p.
Ta có thể biểu diễn X bởi:
X = X
1
+ X
2
+ . . . + X
n
trong đó
X
i
=
1 nếu lần thử thứ i là thành công
0 nếu lần thử thứ i là thất bại
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân
phối chuẩn
Ta có E(X
i
) bằng p và Var(X
i
) = p(1 − p) với mọi
i = 1, . . . , n, vì các X
i
có cùng phân phối
Bernoulli B(1, p).
Theo định lý giới hạn trung tâm, với n đủ lớn, thì
X = X
1
+. . .+X
n
∼ N (np, npq) với q = 1−p .
Điều này giải thích vì sao với n đủ lớn thì ta có
thể xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối
chuẩn. Thông thường, với n thỏa mãn
np(1 − p) 10 thì ta có thể dùng phân phối
chuẩn để xấp xỉ phân phối nhị thức.
Xấp xỉ phân phối của tỷ lệ mẫu
Theo định nghĩa, tỷ lệ mẫu của biến cố A được
định nghĩa là:
p
n
=
X
n
.
trong đó X là số lần biến cố A xảy ra trong n lần
quan sát.
Với n đủ lớn, vì X ∼ N (np, npq), nên
p
n
∼ N (p,
pq
n
) .
Xấp xỉ phân phối của tỷ lệ mẫu
Example
Tỷ lệ mắc bệnh Alzheimer ở phụ nữ Pháp trên 75
tuổi là 20,5%.
1) Chọn ngẫu nhiên 200 phụ nữ Pháp trên 75
tuổi, tính xác suất trong số đó có từ 50 đến 60
người bị mắc bệnh Alzhermer.
2) Cần chọn tối thiểu bao nhiêu người để xác
suất có ít nhất một người trong số họ bị bệnh
Alzhermer không nhỏ hơn 99%?
3) Chọn ngẫu nhiên 300 người, gọi p
n
là tỷ lệ mắc
bệnh Alzhermer trong số này. Tính P(p
n
0.1).
Bài tập 1
Điểm môn XSTK của sinh viên khoa KTTM năm
học 2009 được cho trong bảng sau
7 6 5 9 8 4 6 5 7
4 3 5 6 3 2 8 5 4
6 3 8 9 10 4 2 1 6
1) Lập bảng phân phối tần số và tần suất.
2) Tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn,
mode và median (trung vị) của mẫu.
Bài tập 2
Câu hỏi tương tự như bài tập 1 nhưng với bảng
số liệu sau
Điểm 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10
Tần số 1 2 3 5 5 10 15 2 1 1
