Xác Suất Thống Kê (phần 10) doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (80.55 KB, 10 trang )
Chương 2: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng
Biến ngẫu nhiên - Các dạng của biến ngẫu nhiên
Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng
Phương sai
Hiệp phương sai và hệ số tương quan
Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn
Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên
Hiệp phương sai (Covariance) của 2 biến ngẫu
nhiên X và Y, ký hiệu là Cov(X, Y), được định
nghĩa như sau:
Cov(X, Y) = E[(X − µ
x
)(Y − µ
y
)] ,
trong đó µ
x
, µ
y
lần lượt là kỳ vọng của X và Y.
Chứng minh rằng:
Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) .
Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên
Hiệp phương sai (Covariance) của 2 biến ngẫu
nhiên X và Y, ký hiệu là Cov(X, Y), được định
nghĩa như sau:
Cov(X, Y) = E[(X − µ
x
)(Y − µ
y
)] ,
trong đó µ
x
, µ
y
lần lượt là kỳ vọng của X và Y.
Chứng minh rằng:
Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) .
Tính chất của hiệp phương sai
1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X).
2) Cov(X, X) = Var(X).
3) Cov(aX, Y) = aCov(X, Y).
Chứng minh: . . .
hệ quả:
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)
Chứng minh: . . .
Tính chất của hiệp phương sai
1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X).
2) Cov(X, X) = Var(X).
3) Cov(aX, Y) = aCov(X, Y).
Chứng minh: . . .
hệ quả:
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)
Chứng minh: . . .
Tính chất của hiệp phương sai
Định lý
Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau
thì
Cov(X, Y) = 0 .
Chứng minh: . . .
Tổng quát cho n biến ngẫu nhiên, ta có, nếu
X
1
, . . . , X
n
là n biến ngẫu nhiên độc lập, thì
Var
n
i=1
X
i
=
n
i=1
Var(X
i
) .
Tính chất của hiệp phương sai
Định lý
Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau
thì
Cov(X, Y) = 0 .
Chứng minh: . . .
Tổng quát cho n biến ngẫu nhiên, ta có, nếu
X
1
, . . . , X
n
là n biến ngẫu nhiên độc lập, thì
Var
n
i=1
X
i
=
n
i=1
Var(X
i
) .
Tính chất của hiệp phương sai
Example
Gọi X là tổng số nút nhận được sau 10 lần tung
xúc sắc 6 mặt cân bằng, biết rằng các lần tung là
độc lập nhau (hiển nhiên!). Tính phương sai của
X.
Example
Tính phương sai tổng số mặt ngửa nhận được sau
10 lần tung đồng xu, biết rằng các lần tung là
độc lập nhau.
Tính chất của hiệp phương sai
Example
Gọi X là tổng số nút nhận được sau 10 lần tung
xúc sắc 6 mặt cân bằng, biết rằng các lần tung là
độc lập nhau (hiển nhiên!). Tính phương sai của
X.
Example
Tính phương sai tổng số mặt ngửa nhận được sau
10 lần tung đồng xu, biết rằng các lần tung là
độc lập nhau.
Ý nghĩa của của hiệp phương sai
Từ định lý: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên
độc lập nhau thì
Cov(X, Y) = 0 ,
ta thấy có thể xem hiệp phương sai như là dấu
hiệu để biết X và Y có độc lập nhau hay không.
Hơn nữa, hiệp phương sai còn được dùng để xem
xét chiều phụ thuộc lẫn nhau của 2 biến X, Y.
Thật vậy hãy xét ví dụ sau:
Example
Gọi X và Y lần lượt là hai biến chỉ định của biến
cố A và B. Tính Cov(X, Y) rồi suy luận kết qủa
nhận được.
