CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN LỚP 9 THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KÌ THI
Chóng ta ®· biÕt r»ng: Trong ch¬ng I cđa phÇn §¹i Sè 9 víi tiªu ®Ị lµ c¨n bËc hai
- C¨n bËc ba, th× kiÕn thøc còng nh kÜ n¨ng c¬ b¶n cđa nã chÝnh lµ vËn dơng §N, H§T
vµ c¸c phÐp biÕn ®ỉi cđa c¨n thøc vµo viƯc gi¶i c¸c bµi tËp tÝnh to¸n vµ thu gän (C¸c
c«ng thøc biÕn ®ỉi c¨n bËc hai ®ỵc nh¾c l¹i ë ci chuyªn ®Ị). Song cã kh«ng Ýt c¸c bµi
tËp trong ch¬ng tr×nh, ®Ỉc biƯt lµ c¸c bµi tËp dµnh cho c¸c em HS kh¸ giái th× viƯc thùc
hiƯn vËn dơng trùc tiÕp c¸c kiÕn thøc ®ã sÏ dÉn ®Õn mét lêi gi¶i rêm rµ, kh«ng ng¾n gän
vµ thËm chÝ kh«ng gi¶i ®ỵc. Sau ®©y lµ mét sè d¹ng to¸n ®ã vµ kÌm theo lµ c¸ch gi¶i
qut lo¹t bµi tËp nh vËy.
d¹ng 1
VËn dơng "hƯ thøc ViÐt" ®Ĩ ®a biĨu thøc cã d¹ng
±S 2 P
vỊ d¹ng
( )
±
2
a b
(BiĨu thøc
2S P±
®a ®ỵc vỊ d¹ng
( )
2
a b±
nÕu S vµ P lµ tỉng vµ tÝch cđa hai
sè))
Chóng ta b¾t ®Çu víi c¸c c¨n thøc cã d¹ng
±
S 2 P
. ViƯc ®a c¨n thøc nµy vỊ d¹ng
( )
±

2
a b
chØ dƠ d¹ng thùc hiƯn ®ỵc nÕu nh c¸c sè a vµ b lµ kh«ng qu¸ lín vµ dƠ
nhÈm. Tuy nhiªn viƯc t×m hai sè a vµ b trong nhiỊu trêng hỵp lµ mét vÊn ®Ị kh«ng ®¬n
gi¶n.
XÐt bµi to¸n: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a)
5 48 10 7 4 3A = − +
b)
66536 192 14168B = +
BiĨu thøc A tuy cã nhiỊu dÊu c¨n nhng kh¸ ®¬n gi¶n cho HS khi thùc hiƯn rót
gän c¨n thøc tõ trong ra ngoµi, ë biĨu thøc B th× tuy cã Ýt dÊu c¨n nhng viƯc ®a biĨu thøc
66536 192 14168+
vỊ d¹ng b×nh ph¬ng cđa mét tỉng (hay b×nh ph¬ng cđa mét hiƯu) th×
®óng lµ mét viƯc khã lµm!
Trë l¹i bµi to¸n ban ®Çu ®· ®Ỉt ra lµ ®a biĨu thøc cã d¹ng
±
S 2 P
vỊ d¹ng
( )
±
2
a b
Ta cã:
( ) ( )
2 2
2 2 2 ( ) 2S P a b S P a b S P a b ab± = ± ⇔ ± = ± ⇔ ± = + ±
Tõ ®ã thÊy r»ng cã thĨ coi S = (a + b) cßn P = ab
Trªn c¬ng vÞ lµ mét ngêi gi¸o viªn th× chóng ta ®Ịu biÕt r»ng nÕu hai sè a vµ b cã tỉng
b»ng S vµ tÝch b»ng P th× hai sè a vµ b lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai: x

2
- Sx + P = 0
(Theo hƯ thøc ViÐt). Do vËy ®Ĩ ®a biĨu thøc cã d¹ng
2S P±
vỊ d¹ng
( )
2
a b±
ta
lµm theo c¸c bíc sau:
• Bíc 1: ViÕt c¨n thøc ®· cho vỊ d¹ng
2S P±
(chó ý ph¶i cã sè 2 ®øng tríc
P
)
• Bíc 2: LËp ph¬ng tr×nh x
2
- Sx + P = 0 råi gi¶i t×m ®ỵc hai nghiƯm x
1
= a vµ x
2
= b
• Bíc 3: BiÕn ®ỉi vµ rót gän c¨n thøc
2S P±
=
2
( )a b a b± = ±
Chóng ta h·y cïng minh ho¹ b»ng mét viƯc rót gän mét sè biĨu thøc sau ®©y:
VÝ dơ 1) M =
10 2 21−

Bíc 1: C¨n thøc ®· cho ®· cã d¹ng
2S P±
víi S = 10 vµ P = 21
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
1
Bíc 2: Cã thĨ nhÈm nhanh ®ỵc ngay hai sè 3 vµ 7 cã tỉng b»ng 10 vµ tÝch b»ng 21
Bíc 3: Khi ®ã M =
2
10 2 21 ( 7 3) 7 3− = − = −
Chó ý: Trong thùc hµnh ta chØ cÇn tr×nh bÇy bíc 3
VÝ dơ 2) N =
53 4 90+
Bíc 1: §a c¨n thøc N =
53 4 90+
vỊ d¹ng
53 2 360+
víi S = 53 vµ P = 360
Bíc 2: Ph¬ng tr×nh x
2
- 53x + 360 = 0 cã hai nghiƯm x
1
= 45 vµ x
2
= 8
Bíc 3: Khi ®ã N =
2
53 4 90 53 2 360 ( 45 8) 45 8 3 5 2 2+ = + = + = + = +
VÝ dơ 3) Q =
65 2 984+
Thùc hiƯn t¬ng tù trªn ta cã ®ỵc: Q =

2
65 2 984 ( 41 24) 41 24 41 2 6+ = + = + = +
VÝ dơ 4) K =
66536 192 14168 66536 2 130572288+ = +
(lµm xt hiƯn sè "2")

2
( 64512 2024) 64512 2024 96 7 2 506
= + = + = +
Bµi tËp ®Ị nghÞ: Rót gän c¸c c¨n thøc sau:
1) 20 2 96 2) 110 2 1261
3) 65 2 984 4) 4,932 18,204
5) 13 160 53 4 90 6) 15 6 6 35 12 6
7) 2 2 5 13 48 8) 6 2 2 12 18 128
+ +
+ −
− − + − + −
+ + − − + + −
9)
40 2 57 40 2 57− − +
10)
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5+ + + − +
11)
6 2 2 3 2 12 18 128+ − + + −
12)
15 216 33 12 6− + −
13)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − +
14)
14 8 3 24 12 3− − −

15)
4 5 3 5 48 10 7 4 3+ + − +
16)
261142122 −−−
17)
13 30 2 9 4 2 5 3 2
+ + + = +
d¹ng 2
ph¬ng ph¸p tÝnh gi¸n tiÕp gi¸ trÞ cđa mét biĨu thøc
§èi víi mét sè bµi to¸n rót gän biĨu thøc sè cã chøa c¨n bËc hai th× viƯc ®a biĨu
thøc trong dÊu c¨n vỊ d¹ng b×nh ph¬ng cđa mét tỉng hc mét hiƯu lµ kh«ng thĨ (hc
nÕu ®a ®ỵc vỊ d¹ng b×nh ph¬ng cđa mét tỉng hc mét hiƯu th× lêi gi¶i kh¸ phøc t¹p,
®«i khi dµi dßng mÊt nhiỊu thêi gian). Khi ®ã cã thĨ lùa chän ph¬ng ph¸p tÝnh gÝ trÞ cđa
biĨu thøc ®ã mét c¸ch gi¸n tiÕp. Chóng ta sÏ ®i t×m hiĨu qua mét sè vÝ dơ ®iĨn h×nh sau
®©y:
VÝ dơ 1) TÝnh A =
3 5 7 3 5 2− + − +
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
2
NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy biĨu thøc
3 5−
vµ
7 3 5−
®Ịu kh«ng thĨ ®a ®ỵc vỊ d¹ng
2
( )a b
±
vµ nh vËy kh«ng thĨ rót gän ®ỵc biĨu thøc A b»ng c¸ch rót gän mçi biĨu
thøc thµnh phÇn cđa A
§Ĩ ý r»ng nÕu: gÊp ®«i biĨu thøc

3 5−
®ỵc
2
6 2 5 ( 5 1)− = −
gÊp ®«i biĨu thøc
7 3 5−
®ỵc
2
7 3 5 14 6 5 (3 5)− = − = −
Vµ khi ®ã ta cã lêi gi¶i cđa VÝ dơ 1 nh sau:
(
)
2 2
2. 2 3 5 7 3 5 2 6 2 5 14 6 5 2
( 5 1) (3 5) 2 5 1 3 5 2 4
A = − + − + = − + − +
= − + − + = − + − + =
VËy A =
4 : 2 2 2=
VÝ dơ 2) TÝnh B =
2 3 2 3+ + −
(2)
NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy biĨu thøc B cã thĨ rót gän b»ng c¸ch nh©n hai vÕ cđa (2)
víi
2
(t¬ng tù c¸ch gi¶i cđa VÝ dơ 1). Tuy nhiªn ta thÊy r»ng
2 3+
vµ
2 3−
lµ c¸c

biĨu thøc liªn hỵp cđa nhau, tÝch cđa chóng cã gi¸ trÞ b»ng 1. Do ®ã ta nghÜ tíi viƯc cã
thĨ lËp tÝch
2 3. 2 3+ −
b»ng c¸ch xÐt l thõa bËc hai cđa biĨu thøc B. Ta cã lêi gi¶i
cho VÝ dơ 2 nh sau:
Ta cã: B
2
=
(
)
2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 (2 3)(2 3) 4 2 6+ + − = + + − + + − = + =
Do
2 3 2 3+ + −
> 0 nªn B > 0. VËy B =
6
 KL1: Nh vËy khi thùc hiƯn thu gän biĨu thøc A ta cã thĨ tÝnh kA (viƯc x¸c
®Þnh hƯ sè k t thc vµo h¹ng tư trong c¨n) hc l thõa cđa A (viƯc x¸c ®Þnh
bËc cđa l thõa t thc vµo bËc cđa c¨n thøc)
Chóng ta tiÕp tơc thÊy ®ỵc sù "lỵi h¹i" cđa ph¬ng ph¸p l thõa cđa biĨu thøc cÇn
thu gän qua c¸c vÝ dơ sau:
VÝ dơ 3. TÝnh C =
3
3
10 1 10 3
2 2
3 3 9
+ + −
§Ĩ ý thÊy
10 3 10 1

2 2
9 3 3
− = −
do ®ã
10 1
2
3 3
+
vµ
10 3
2
9
−
lµ hai biĨu thøc liªn hỵp cđa
nhau.
C
3
=
3
3 3
10 1 10 1
2 2
3 3 3 3
 
 ÷
+ + −
 ÷
 
=
3 3

3 3 3 3 3 3
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
2 2 3 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
       
 ÷  ÷  ÷ ÷ ÷
+ + − + + − + + −
 ÷  ÷  ÷ ÷ ÷
       
(VËn dơng H§T: (a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b))
C
3
=
3
10 1 10 1 10 1 10 1
2 2 3 2 2 .
3 3 3 3 3 3 3 3
  
+ + − + + −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
C
(Thay

3
3
10 1 10 3
2 2
3 3 9
+ + −
=
C)
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
3
C
3
=
3
100
4 3 4 . 4 6.
27
+ − +C = C
Suy ra: C
3
- 6C - 4 = 0 ⇔ (C + 2).(C
2
- 2C - 2) = 0. Do C > 0 nªn C + 2 ≠ 0.
Do ®ã ta cã C
2
- 2C - 2 = 0.
T×m ®ỵc C
1
= 1+
3

(Tho¶ m·n C > 0); C
2
= 1 -
3
(Lo¹i, kh«ng tho¶ m·n C > 0)
VËy C = 1+
3
VÝ dơ 4. TÝnh D =
4 10 2 5 4 10 2 5− − − + −
(3)
Ta cã: D
2
=
2
4 10 2 5 4 10 2 5
 
− − − + −
 ÷
 
=
4 10 2 5 4 10 2 5 2 (4 10 2 5)(4 10 2 5)− − + + − − − − + −

2 2
8 2 16 (10 2 5) 8 2 6 2 5 8 2 ( 5 1) 8 2( 5 1) 6 2 5 ( 5 1)= − − − = − + = − + = − + = − = −
Do
4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5− − < + − ⇒ − − < + − ⇒
D < 0. VËy C =
1 5−
VÝ dơ 5. TÝnh E =
3 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2 3+ + − + − + − + + − −

§Ỉt E
1
=
3 5 2 3 3 5 2 3+ + + − +
. TÝnh (E
1
)
2
råi t×m ®ỵc E
1
=
3 1+
§Ỉt E
2
=
3 5 2 3 3 5 2 3− − − + −
. TÝnh (E
2
)
2
råi t×m ®ỵc E
2
=
1 3−
Do vËy E = E
1
+ E
2
= 2
VÝ dơ 6. TÝnh G =

5 17 2 7 5 17 2 7 7+ + + − + −
§Ỉt G
1
=
5 17 2 7 5 17 2 7+ + + − +
B»ng ph¬ng ph¸p l thõa bËc hai biĨu thøc G
1
ta t×m ®ỵc G
1
=
7 1+
. Do vËy G = 1
 KL2: Nh vËy khi thùc hiƯn thu gän biĨu thøc A = B + C ta cã thĨ tÝnh gi¸n tiÕp
B hc C hc c¶ B vµ C
Bµi tËp ®Ị nghÞ:
Bµi 1: Rót gän c¸c c¨n thøc sau:
1)
( )
2 3 5 2
− +
2)
3 5 3 5
− + +
3)
17
3 5 2 5 6
2
− + − −
4
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10

+ + + − + + −
5)
6 18 2 17 6 18 2 17 6 18 2 17 6 18 2 17+ + + − + + + − − − −
6)
2 3 2 3
2 3 2 3
− +
+
+ −
7)
154
1
154
1
+
−
−
Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
1. A =
3 3
20 14 2 20 14 2
+ + −
2. B =
3 3
2 5 2 5
+ + −
3. C =
3 3
26 675 26 675
26 675 26 675

+ −
−
+ −
4. D =
3 3
6 3 10 6 3 10
+ − −
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
4
5. E =
3 3
5 2 13 5 2 13
+ + −
6. F =
3 3
45 29 2 45 29 2+ + −
7. G =
3 3
1 1
2 10 2 10
27 27
+ + −
8. H =
3 3
5 31 5 31
4 4
3 3 3 3
+ + −
Bµi 3. Cho
( ) ( )

a 3 5. 3 5 10 2= − + −
. CMR a lµ sè tù nhiªn.
Bµi 4. CMR:
4 4
49 20 6 49 20 6
3
2
+ + −
=
HD: Ta cã:
2 4
49 20 6 (5 24) ( 3 2)
+ = + = +
. Suy ra:
4
49 20 6 3 2+ = +
.
T¬ng tù nh vËy, ta cã: . Tõ ®ã ta cã §PCM
d¹ng 3
tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc KHI BIÕT GI¸ TRÞ MéT biĨu
thøc LI£N HỵP CđA Nã
VÝ dơ 1. Cho A =
129216
22
=+−−+−
xxxx
. TÝnh B =
2 2
16 2 9 2x x x x
− + + − +

.
NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy A vµ B lµ hai biĨu thøc liªn hỵp cđa nhau. TÝch cđa chóng b»ng
7, lµ mét sè kh«ng ®ỉi. Do ®ã ta cã thĨ lËp tÝch A.B tõ ®ã cã c¸ch gi¶i cho bµi to¸n nµy
Gi¶i: Ta cã A.B =
2 2 2 2
( 16 2 9 2 )( 16 2 9 2 )x x x x x x x x
− + + − + − + − − +
⇒ 1. B =
2 2
(16 2 ) (9 2 ) 7x x x x
− + − − + =
. VËy B = 7
Mét sè Bµi tËp cïng d¹ng VÝ dơ 1
1.Cho
2 2
25 x 15 x 2
− − − =
. TÝnh
2 2
25 x 15 x
− + −
2.Cho
− + − − + =
2 2
x 6x 13 x 6x 10 1
. TÝnh
− + + − +
2 2
x 6x 13 x 6x 10
3. TÝnh

2 2
M x 4x 9 x 4x 8= − + + − +
. BiÕt
2 2
1
x 4x 9 x 4x 8
2
− + − − + =
.
4. Tỉng qu¸t 1: Cho
M A(x) a A(x) b= + + +
= c. TÝnh
N A(x) a A(x) b= + − +
5. Tỉng qu¸t 2: Cho
M A(x) a A(x) b= + − +
= c. TÝnh
N A(x) a A(x) b= + + +
Chó ý:
A(x) a 0; A(x) b 0+ ≥ + ≥
nªn
A(x) a A(x) b
+ + +
≥
A(x) a A(x) b
+ − +
.
Hay M ≥ N
⇒
khi lËp ®Ị to¸n t¬ng tù cÇn chó ý ®Õn §K : c ≥
a b

c
−

⇔
c
2
≥ a - b ®Ĩ
bµi to¸n cã tån t¹i. §©y lµ mét ®iĨm mµ mét sè GV kh«ng ®Ĩ ý ®Õn v× vËy thêng chØ
lËp ra ®ỵc ®Ị to¸n vµ gi¶i ®ỵc nã tuy nhiªn kh«ng ®Ĩ ý ®Õn tÝnh logÝc cđa bµi To¸n.
VÝ dơ sau ®©y lµ mét c©u trong ®Ị thi HSG cđa mét sè n¨m.
TÝnh
2 2
M x 4x 9 x 4x 8= − + + − +
. BiÕt N =
2 2
1
x 4x 9 x 4x 8
2
− + − − + =
. (?!!!)
VÝ dơ 2: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc
22
11 xyyxS
+++=
víi
ayxxy
=+++
)1)(1(
22
HD: TÝnh a

2
- 1 =
2 2 2 2 2 2
(1 )(1 ) 2 (1 )(1 )x y x y xy x y
+ + + + + +
- 1
VÝ dơ 3. Cho
2 2
(x x 1).(y y 1) 1
+ + + + =
. T×m gi¸ trÞ cđa biĨu thøc
2007 2007
A x y= +
§©y lµ mét d¹ng bµi tËp gỈp kh¸ nhiỊu trong c¸c lÇn thi chän HSG huyªn hay
tØnh, ®«i khi lµ trong c¸c k× thi vµo THPT
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
5
Gi¶i: Tõ
2 2
(x x 1).(y y 1) 1
+ + + + =
⇒
+ −
+ + = = = + −
+ −
+ +
2
2 2
2 2
2

y 1 y
1
x x 1 y 1 y
y 1 y
y 1 y
(1)
Vµ
+ −
+ + = = = + −
+ −
+ +
2
2 2
2 2
2
1 x 1 x
y y 1 x 1 x
x 1 x
x 1 x
(2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒
( ) ( ) ( ) ( )
+ + − + − = + − − + +
2 2 2 2
x x 1 x 1 x y 1 y y 1 y
⇒2x = -2y ⇒ x = -y ⇒x
2007
= (-y)
2007
= -y

2007
VËy
2007 2007
A x y= +
=
− +
2007 2007
y y
= 0
Tỉng qu¸t VD3: Cho
+ + + + =
2 2
(A A a).(B B a) a
. T×m GT cđa b't':
+ +
= +
2k 1 2 k 1
M A B
d¹ng 4
mét sè ph¬ng ph¸p so s¸nh hai biĨu thøc chøa Cbh
1. ¸p dơng tÝnh chÊt
a b a b
> ⇔ >
víi a ; b ≥ 0
VÝ dơ 1.1: So s¸nh 3 vµ
11
V× 9 < 11 nªn
9 11
<
. VËy 3 <

11
VÝ dơ 1.2: So s¸nh
2
35
vµ
3
36
V× 2.36= 72 < 35.3 = 105 nªn
2 3
35 36
<
. VËy
2
35
<
3
36
2. §a thõa sè vµo trong dÊu c¨n råi so s¸nh
VÝ dơ 2: So s¸nh
2 3
vµ
3 2
Ta cã
2 3 12; 3 2 18
= =
.V× 12 < 18 nªn
2 3
<
3 2
3. B×nh ph¬ng mâi sè råi so s¸nh

VÝ dơ 3.1: So s¸nh
2 3
vµ
3 2
Ta cã
2 2
(2 3) 12; (3 2) 18
= =
.V× 12 < 18 nªn
2 2
(2 3) (3 2)
<
.VËy
2 3
<
3 2
VÝ dơ 3.2: So s¸nh
5 3
+
vµ
6 2
+
Ta cã (
5 3
+
)
2
= 8 + 2
15
; (

6 2
+
)
2
= 8 + 2
12
V×
15
>
12
nªn 8 + 2
15
> 8 + 2
12
.VËy
5 3
+
>
6 2
+
(Chó ý: ë VÝ dơ 3.2 cã 5 + 3 = 6 + 2 nªn dïng pp b×nh ph¬ng hai sè)
4. ¸p dơng tÝnh chÊt
a b
>
vµ
c d a c b d
> ⇒ + > +
víi a;b;c;d ≥ 0
(ph¬ng ph¸p céng vÕ víi vÕ cđa c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiỊu)
VÝ dơ 4: So s¸nh

4 5 3 2
+
vµ
2 7 2 3
+
Ta cã
4 5 3 2 80 18
+ = +
;
2 7 2 3 28 12
+ = +
V×
80 28; 18 12
> >
, nªn
80 18 28 12
+ > +
VËy
4 5 3 2
+
>
2 7 2 3
+
Chó ý: Ph¬ng ph¸p nµy kh«ng ®ỵc dïng ®Ĩ trõ c¸c B§T cïng chiỊu
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
6
5. ¸p dơng tÝnh chÊt
a b
>
vµ

c d a c b d
< ⇒ − > −
víi a;b;c;d ≥ 0
(ph¬ng ph¸p trõ vÕ víi vÕ cđa c¸c bÊt ®¼ng thøc ng ỵc chiỊu )
VÝ dơ 5: So s¸nh
2 5 2 2
−
vµ
3 2 3
−
Ta cã
2 5 2 2 20 8
− = −
;
3 2 3 18 9
− = −
V×
20 18; 8 9
> <
, nªn
20 8 18 9
− > −
VËy
2 5 2 2
−
>
3 2 3
−
6. ¸p dơng tÝnh chÊt b¾c cÇu:
a b>

vµ
b c a c
> ⇒ >
víi a;b;c ≥ 0
VÝ dơ 6: So s¸nh
65 1
−
vµ
15 8
+
Ta cã:
65 1
−
>
64 1 8 1 7
− = − =
;
15 8 16 9 4 3 7
+ < + = + =
Dã ®ã
65 1
−
> 7 >
15 8
+
. VËy
65 1
−
>
15 8

+
7. §a vỊ hai ph©n sè cïng tư cã mÉu d¬ng (hc cïng mÉu ) råi so s¸nh:…
VÝ dơ 7: So s¸nh
2010 2008
−
vµ
2009 2007
−
Ta cã:
( 2010 2008)( 2010 2008) 2
2010 2008
2010 2008 2010 2008
− +
− = =
+ +
( 2009 2007)( 2009 2007) 2
2009 2007
2009 2007 2009 2007
− +
− = =
+ +
Do
2010 2008 2009 2007
+ > +
> 0 nªn
2 2
2010 2008 2009 2007
<
+ +
.

VËy
2010 2008
−
<
2009 2007
−
(Chó ý: 2010 - 2009 = 2009 - 2007 = 2)
8. Gi¶ sư vµ biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng:
§Ị bµi: So s¸nh
a
vµ
b
C¸ch 1: Gi¶ sư
a
>
b
⇔…….⇔
c d
>
NÕu
c d
>
lµ § th×
a
>
b
lµ §; NÕu
c d
>
lµ S th×

a
>
b
lµ S, khi ®ã
a
≤
b
C¸ch 2: Gi¶ sư
a
<
b
⇔…….⇔
c d
<
NÕu
c d
<
lµ § th×
a
<
b
lµ §; NÕu
c d
<
lµ sai th×
a
<
b
sai, khi ®ã
a

≥
b
Chó ý: Ph¬ng ph¸p nµy dïng thÝch hỵp cho trêng hỵp a
≠
b
VÝ dơ 8.1: So s¸nh
8 3
−
vµ
7 2
−
Ta gi¶ sư
8 3
−
≥
7 2
−
(*)
2 2
8 2 3 7 ( 8 2) ( 3 7)
⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ +
10 2 16 10 2 21 2 16 2 21 (**)
⇔ + ≥ + ⇔ ≥
B§T (**) sai nªn B§T (*) sai, vËy ta cã
8 3
−
<
7 2
−
Bµi tËp ®Ị nghÞ.

Bµi 1: So s¸nh
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
7
1) 4 vµ
20
11)
3 5 2 7
+
vµ
2 10 3 3
+
21)
4 7 4 7 2
+ − − −
và số 0
2)
7 2
−
vµ 1
12)
8 5
+
vµ
7 6
+
22)
7474 −−+
và
2
3) vµ

5 3
+
13)
2005 2007
+
vµ
2 2006
23)
;a b a b
− −
(a > b > 0)
4)
3
2 3
vµ
3
23
14)
2000 1999
−
vµ
2001 2000
−
24)
;a b a b
+ +
(a > b > 0)
5)
7 15 và 7+
15)

2009 2008
−
vµ
2011 2010
−
25)
1 ; 1x x x x
+ − − −
(x
≥
1)
6)
3 ; 5 8
−
16)
3 2 và 2 3
26)
n n 2 và 2 n+1
+ +
7) 33 vµ
3
3 133
17)
2005 2002
−
vµ
2007 2004
−
8)
17 5 1 và 45+ +

18)
a 3 3 3 và b=2 2 1= − −
9)
5
222
vµ
3
111
19)
2000 1999; 2001 2000
− −
10)
23 2 19
và 27
3
−
20)
1
8
2
vµ
1
27
3
30)
5 1
2 5 và
2
+
+

Bµi 2
a*) So s¸nh
1 1 1 1
S
1.1998 2.1997 k.(1998 k 1) 1.(1998 1)
= + + + + +
− + −
vµ
1998
2.
1999
HD c©u a: Tõ B§T:
2a b ab+ ≥
víi a,b kh«ng ©m 
1 2
2
a b
ab
a b
ab
+
≤ ⇒ ≥
+
b) Cho A = 9 + 3
7
và B = 9 - 3
7
. Hãy so sánh A + B và A. B
Bµi 3. Chøng minh c¸c B§T sau:
1)

2002 2003
2002 2003
2003 2002
+ > +
2) Chøng minh r»ng
2000 2 2001 2002 0
− + <
3)
2
)1(
1

34
1
23
1
12
1
<
+
++++
nn
HD






+

+






+
−=






+
−=
+
=
+ 1
11
1
11
1
11
)1(
)1(
1
kkkk
k

kk
k
kk
k
kk







+
−=






+
−<
1
11
2
2
1
11
kkkkk
k

4)
20
29
322
32
322
32
5
7
<
−−
−
+
++
+
<
5)
( )
1
11
11
1
+
−=
+++
nnnnnn
(víi mäi gi¸ trÞ d¬ng cđa n)
Tõ ®ã tÝnh tỉng:
1009999100
1


4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
=S
6) a)
100
2 2 2 2 2
+ + + + <
1 4 4 44 2 4 4 4 43
dÊu c¨n
b)
9303030306666
<+++++++
7)
( )
a 2 a 1; a 0
− ≤ ∀ ≥
8)
21443 ≥++− xx

Víi mäi x t/m·n:
4
3
4
1
≤≤
−
x
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
8
9(*).
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
a b a b
a b a a b b
2
+ − +
+ − + − =
( Víi a, b lµ hai sè d¬ng)
10)
2
4
=
−
−
−

+
+
+
−
yx
y
yx
yx
yx
yx
víi
yxyx ≠≥≥ ;0;0
11)
1
21
.
1
2
12
2
−
=
+









−
−
−
++
+
a
a
a
a
a
aa
a
(a > 0& a
≠
1) 12)
1 1 1
1 n
2 3 n
+ + + + >
13)
1
2 n 1 2 n 2 n 2 n 1
n
+ − < < − −
.Tõ ®ã suy ra
1 1 1
2004 1 2005
2 3 1006009
< + + + + <

Bµi 4: Cho a; b; c
0
≥
Chøng minh r»ng:
1.
2
a b
ab
+
≥
(BÊt ®¼ng thøc C«si) 2.
a b c ab bc ca
+ + ≥ + +

3.
1
2
a b a b
+ + ≥ +
4.
2
a b
b a
+ ≥
(a > 0; b > 0)
d¹ng 5
mét sè bµi to¸n mang tÝnh chÊt cđa d·y sè cã quy lt
Bµi 1: Cho biĨu thøc :
( ) ( )
= + + − ∈¥

k k
*
k
S 2 1 2 1 ; k
a) Chøng minh r»ng S
2009
.S
2010
- S
4019
= 2
2
(n
∈
N ; n
≥
2 )
b) S
m + n
+ S
m -n
= S
m
.S
n
(
∀ ∈ >¥
*
m,n ;m n
)

HD: a) §Ỉt a =
+2 1
vµ b =
−2 1
th× a.b = 1 vµ a

+ b

=2
2

S
2009
.S
2010
- S
4019
= (a
2009
+ b
2009
)( a
2010
+ b
2010
) -(a
4019
+ b
4019
)

= a
4019
+ b
4019
+ a
2009
.b
2010
+ a
2010
.b
2009
- a
4019
- b
4019
= a
2009
.b
2010
+ a
2010
.b
2009
= (a.b)
2009
.( a
2
+b
2

) =1
2009
.(a

+b) = 2
2

b) S
m + n
+S
m -n
= a
m+n
+ b
m+n
+ a
m-n
+ b
m-n
= a
m+n
+ b
m+n
+ a
n
b
n
.( a
m-n
+ b

m-n
) (Do a
n
b
n
=1)
= a
m+n
+ b
m+n
+ a
m
b
n
+ a
n
b
n
= (a
m
+ b
m
)( a
n
+ b
n
) = S
m
.S
n

Chó ý: Còng tõ c©u b ta suy ra S
2009
.S
2010
=S
4019
+S
1
⇒ S
2009
.S
2010
- S
4019
= S
1
= 2
2

Bµi 2: Cho biĨu thøc :
( ) ( )
n n
n
S 5 4 5 4= + + −
a) TÝnh S
2
b) Chøng minh r»ng S
2n
=
2

n
S
- 2 (n
∈
N ; n
≥
2)
HD: a) =
( ) ( )
+ + − = + + − =
2 2
5 4 5 4 9 2 20 9 2 20 18
b) §Ỉt a =
+
5 4
vµ b =
−5 4
th× a.b = 1
Ta cã
2
n
S
- 2 = (a
n
+ b
n
)
2
- 2 = a
2n

+ b
2n
+2a
n
b
n
-2 = a
2n
+ b
2n
+2(ab)
n
-2 = a
2n
+ b
2n
= S
2n
Bµi 3: Gäi x
1
; x
2
; x
3
lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh x
3
- 5x
2
+ 3x + 1 = 0 (1)
§Ỉt A

n
= x
1
n
+ x
2
n
+ x
3
n
. Chøng minh r»ng A
n
lµ sè nguyªn víi (víi mäi n
*
∈¥
)
(TrÝch ®Ị thi HSG TØnh HY n¨m häc 2009 - 2010)
HD: Gi¶i PT (1) t×m ®ỵc x
1
= 1; x
2;3
=
±2 5
Ta cã A
n
=
( ) ( )
+ + + −
n n
n

1 2 5 2 5
. §Ỉt B
n
=
( ) ( )
+ + −
n n
2 5 2 5
.
Ta cã B
n+2
=
( ) ( )
+ +
+ + −
n 2 n 2
2 5 2 5
=
+ +
     
+ + − + + − − + − + + −
     
n 1 n 1 n n
(2 5) (2 5) . (2 5) (2 5) (2 5).(2 5) (2 5) (2 5)
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
9
⇒ B
n+2
= 4B
n+1

+ B
n
(*) Ta l¹i cã B
0
= 2∈
¢
; B
1
= 4∈
¢
(**).
Tõ (*) vµ (**) ⇒ B
n
∈
¢
víi mäi n
*
∈¥
.VËy A
n
lµ sè nguyªn víi (víi mäi n
*
∈¥
)
Bµi 4: Gi¶ sư ph¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c = 0 (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt x
1
;x
2.

.
§Ỉt S
n
= x
1
n
+x
2
n
(n nguyªn d¬ng)
a) CMR aS
n + 2
+ bS
n+ 1
+ cS
n
= 0 b) ¸p dơng: TÝnh gtr cđa: A=
55
2
51
2
51









−
+








+
HD: a. §k ®Ĩ (1) cã hai nghiƯm lµ b
2
- 4ac ≥ 0
Ta cã: aS
n + 2
+ bS
n+ 1
+ cS
n
= a(x
1
n+2
+x
2
n+2
) + b(x
1
n+1
+x

2
n+1
) + c(x
1
n
+x
2
n
)
= (ax
1
n+2
+ bx
1
n+1
+ cx
1
n
) + (ax
2
n+2
+ bx
2
n+1
+ c+x
2
n
)
= x
1

n
(ax
1
2
+ bx
1
+ cx
1
) + x
2
n
(ax
2
2
+ bx
2
+ cx
2
) = x
1
n
.0 + x
2
n
.0 = 0
(Do x
1
vµ x
2
lµ nghiƯm cđa (1) nªn ax

1
2
+ bx
1
+ cx
1
= 0 vµ ax
2
2
+ bx
2
+ cx
2
= 0)
b. §Ỉt S
5
=
( ) ( )
5 5
1 5 1 5
+ + −
th× S
1
=
( ) ( )
1 1
1 5 1 5 2
+ + − =
; S
2

=
( ) ( )
2 2
1 5 1 5 12
+ + − =
- Ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x nhËn
1 2
1 5; 1 5x x
= + = −
lµm nghiƯm lµ: x
2
- 2x - 4 = 0
(a =1; b = -2; c = -4)
- Theo c©u a ta cã 1.S
3
+ (-2)S
2
+ (-4)S
1
= 0. Do S
1
= 2 vµ S
2
= 12 nªn ta t×m ®ỵc S
3
= 32
- T¬ng tù cã: 1.S
4
+ (-2)S
3

+ (-4)S
2
= 0. Víi S
2
= 12; S
3
= 32, t×m ®ỵc S
4
= 114
- cã : 1.S
5
+ (-2)S
4
+ (-4)S
3
= 0. Víi S
3
= 32, S
4
= 114, T×m ®ỵc S
5
= 356
VËy A = S
5
/ 32= …
d¹ng 6: mét sè bµi tËp kh¸c
Bµi 1. Cho a lµ mét nghiƯm d¬ng cđa ph¬ng tr×nh 4x
2
+
2

x -
2
= 0. TÝnh gi¸ trÞ cđa
biĨu thøc
4 2
a +1
A =
a + a +1 -a
(TrÝch ®Ị thi HSG TØnh HY 2009 - 2010)
HD: a lµ mét nghiƯm d¬ng cđa ph¬ng tr×nh 4x
2
+
2
x -
2
= 0
⇒ 4a
2
+
2
a -
2
= 0 ⇒
2
2 4
1 a 1 2a a
a ;a
8
2 2
− − +

= =
Ta cã:
4 2
a +1
A =
a +a +1 -a
=
8 8 3
2
8
2 2 2 2 2 2
+ + +
= = + =
2
4 2
1-2a + a a 1-a a 1-a
A = a +a +1 + a +
Bµi 2. Cho ph¬ng tr×nh x
2
+ x - 1 = 0. Cmr phtr×nh cã hai nghiƯm tr¸i dÊu. Gäi x
1
lµ
nghiƯm ©m cđa ph¬ng tr×nh. H·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:
11
8
1
1310 xxxP
+++=
Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc
( )

2009
23
283
++=
xxA
víi
( )
25
56145
38517
3
+⋅
−+
−
=
x
HD: *BiÕn ®ỉi mÉu sè: M =
( )
2
5 14 6 5 5 3 5 5 3 5 3
− − = + − = + − =
⇒ M = 3
*BiÕn ®ỉi ts: T
3
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2
17 5 38 5 2 17 5 38 17 5 38 17 5 38 1
− + = − + = − =

⇒ T = 1
VËy x =
3
1
thay vµo biĨu thøc A ta cã:
2009
3 2 2009
2009
2 2
1 1 1 8
3. 8. 2 2 3
3 3 3 3
A
 
     
= + + = + + =
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
VËy A=3
2009
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
10
Bµi 4: Cmr gtr cđa biĨu thøc sau ko pth vµo x (x > 0):
3 6
4
2 3. 7 4 3 x
A x

9 4 5. 2 5 x
− + −
= +
− + +
HD:
( ) ( )
− = − = − + = + = +
2 2
3 6 4
6 4
*TÝnh: 2 3 2 3 7 4 3; 2 5 2 5 9 4 5
(A = 1)
phơ lơc
1. C¸c c«ng thøc biÕn ®ỉi c¨n bËc hai
1)
2
A = A
2)
AB = A B
(Víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0)
3)
=
A A
B
B
(Víi A ≥ 0 vµ B > 0)
4)
2
A B = A B
(Víi B ≥ 0)

5)
2
A B = A B
(Víi A
≥
0 vµ B ≥ 0)

2
A B = - A B
(Víi A < 0 vµ B ≥ 0)
6)
1
=
A
AB
B B
(Víi AB
≥
0 vµ B ≠ 0)
7)
=
A A B
B
B
(Víi B > 0)
8)
2
=
−
±

mC C( A B)
A B
A B
(Víi A ≥ 0 vµ A
≠
B
2
)
9)
=
−
±
mC C( A B)
A B
A B
(Víi A ≥ 0, B ≥ 0 vµ A ≠ B)
Chó ý: C«ng thøc c¨n thøc phøc t¹p:
± ±
2 2
A + A -B A - A - B
A B =
2 2
2. Mét sè kiÕn thøc bỉ sung thêng dïng
• BÈy H§T ®¸ng nhí (líp 8):
1. (A+B)
2
= A
2
+2AB+B
2

(1)
2. (A-B)
2
= A
2
-2AB+B
2
(2)
3. A
2
-B
2
= (A-B)(A+B) (3)
4. (A+B)
3
= A
3
+3A
2
B +3AB
2
+B
3
= A
3
+ B
3
+3AB (A + B) (4)
5. (A-B)
3

= A
3
-3A
2
B +3AB
2
-B
3
= A
3
+ B
3
- 3AB (A - B) (5)
6. A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
+AB +B
2
) (6)
7. A
3
+B
3
= (A+B)(A
2
+AB +B
2

) (7)
• C¸c H§T thêng dïng ë líp 9
1.
( )
2
2 bababa
±=+±
(1)
2.
( )( )
bababa
−+=−
(2)
3.
( ) ( )
3 3
a a b b a b a b a ab b
+ = + = + − +
(3) (víi a ≥ 0, b ≥ 0)
4.
( ) ( )
3 3
a a b b a b a b a ab b
− = − = − + +
(4) (víi a ≥ 0, b ≥ 0)
giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí
11