Bài tập đồng điều 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (41.68 KB, 2 trang )
f
TÍNH KHỚP PHẢI CỦA TÍCH TENXƠ
Bài 2: Nếu J là một iđêan hai phía của R, hãy chứng minh rằng ánh xạ
( )
⊗ a
R
a r + J ar
với
∈a J
là một toàn cấu
( )
⊗ →
2
R
J
R
J
J
J
các R – môđun. Nếu J
2
≠ J, hãy chứng minh
rằng nhúng
→J R
cảm sinh ánh xạ
( ) ( )
⊗ → ⊗
R R
R R
J R
J J
, không là đơn cấu.
Giải:
Ta có thể chứng minh tồn tại đẳng cấu
( )
⊗ →
2
R
J
R
J
J
J
Xét ánh xạ ϕ
× →
2
J
R
: J
J
J
( )
a
2
j, r + J jr + J
Chứng minh tính hợp lý của f :
Nếu r + J = s + J ⇔ r – s ∈ J
⇒ ∀j∈J : j(r – s)∈ J
2
⇒ jr – js∈ J
2
⇒ jr + J
2
= jr ∈ J
2
⇒ ϕ (j, r + J) = ϕ (j, s + J)
Dễ dàng kiểm tra được ϕ là song tuyến tính theo j và r + J, do đó theo tính chất của tích
tenxơ thì có đồng cấu f
⊗ →
2
R
J
R
: J
J
J
để tam giác sau giao hoán, nghóa là ϕ = f
τ
τ
× → ⊗
R
R R
J J
J J
↓
2
J
J
Xét ánh xạ g :
→ ⊗
2
R
J
R
J
J
J
j + J
2
( )
⊗a j 1+J
Chứng minh tính hợp lý của g :
Nếu j + J
2
=
j’+ J
2
⇒ j – j’∈ J
2
⇒ j – j’
=
∑
n
i i
1
u v
với u
i
, v
i
∈ J⊂ R
⇒ (j – j’)
⊗
(1 + J)
=
( )
⊗ +
÷
∑
n
i i
1
u v 1 J
( ) ( ) ( )
= ⊗ + = ⊗ + = ⊗ + =
∑ ∑ ∑
n n n
i i i i i
1 1 1
u v 1 J v u J v 0 J 0
⇒
( ) ( )
( ) ( )
2 2
j 1 + J j' 1 + J g j + J g j' + J⊗ = ⊗ ⇒ =
Hiển nhiên g là đồng cấu.
ϕ
Ta có : gf
( )
( )
j r + J⊗
( )
gf j, r + J
τ
=
=
gϕ
( )
( )
( ) ( )
2
j, r + J g jr + J jr 1 + J j r + J= = ⊗ = ⊗
⇒
R
R
J
J
gf 1
⊗
=
fg
( )
( )
( )
( )
2
j + J f j 1 + J f j, 1 + J
τ
= ⊗ = =
ϕ
( )
2 2
j, 1 + J j.1 + J j + J= =
⇒ fg
2
J
J
1=
Vậy f là đẳng cấu hay
( )
f
2
R
J
R
J
J
J
⊗ ≅
Nhận xét: Bằng cách làm tương tự như trên, ta có thể chứng minh kết quả mạnh hơn
R M
M
I IM
⊗ ;
với M là R – môđun.
Nếu J
2
≠ J thì J
2
là con thật sự của J ( vì J
2
⊂ J ) suy ra
( )
2
J
0
J
≠
, do f đẳng cấu nên
( )
R
R
J
J
⊗
( )
0≠
hay có
j (r+J) 0⊗ ≠
trong
( )
⊗
R
R
J
J
nhưng trong
( )
R
R
R
J
⊗
thì
( ) ( ) ( )
j r + J j.1 r + J 1 jr + J 1 0 0⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗ =
Vậy ánh xạ cảm sinh không là đơn cấu.
