Ðề thi va ÐA HSG T8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (81.83 KB, 4 trang )
Phòng gd –
đt
Lập Thạch
Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 8 (vòng I)
Môn: Toán
Năm học 2009 – 2010
Thời gian 150 phút(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
Cho biểu thức
2 2 2
2 2 2
1 3 1
( )( ) ( )
4 4 3
1 ( )(1 )
x y y x y y
A
x y x y y
+ + + + +
=
+ + − −
a/ chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A ?
Câu 2:
a/ Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: ab – a – b + 1 chia hế cho
192
b/ Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn đẳng thức y(y+1)
2
+ x(x+1)
2
= 8xy
Câu 3:
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a
3
+b
3
+ c
3
– 3abc
b/ cho x,y,z là các số khác 0 thoả mãn:
1 1 1
0x y z
x y z
+ + = + + =
Chứng minh rằng
6 6 6
3 3 3
x y z
xyz
x y z
+ +
=
+ +
Câu 4:
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. M là điểm bất kì nằm giữa B và C, gọi E và F lần
lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. N là trung điểm của AM
a/ Tứ giác HENF là hình gì ? Chứng minh.
b/ Gọi I là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng MI,NH,EF đồng
quy.
Câu 5:
M là điểm ở bên trong hình bình hành ABCD. Đặt S
MAB
=S
1
, S
MCD
= S
2
, S
ABCD
= S.
Chứng minh rằng:
2
1 2
1
.
16
S S S≤
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Cho biểu thức
2 2 2
2 2 2
1 3 1
( )( ) ( )
4 4 3
1 ( )(1 )
x y y x y y
A
x y x y y
+ + + + +
=
+ + − −
a/ chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
2 2 2
2 2 2
1 3 1
( )( ) ( )
4 4 3
1 ( )(1 )
x y y x y y
A
x y x y y
+ + + + +
=
+ + − −
=
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 1
1 1 3 1
( )( ) ( )
4 4 3
4 4 4 4
1 ( )(1 ) 1
x y y x y y
x y x y y x y y
x y x y y x y x x y y y
+ + + + +
+ + + + + +
=
+ + − − + + − − +
=
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1
( ) ( )
4 4
( ) (1 )
x y x x y y y
x y x x y y y
+ + + + +
+ − + − +
=
2 2 2
2 2 2
1 1
( ) ( )
4 4
( 1 ) (1 )
x y y y y
x y y y y
+ + + + +
+ − + − +
=
2 2
2 2
1
( 1)( )
4
( 1)(1 )
x y y
x y y
+ + +
+ − +
=
2
2
1
( )
4
(1 )
y y
y y
+ +
− +
Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào x.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A ?
A =
2
2
1
( )
4
(1 )
y y
y y
+ +
− +
=
2
2
1
( )
2
1 3
( )
2 4
y
y
+
+ +
Có tử số
≥
0, mãu số dương. A
≥
0. A nhỏ nhất khi A= 0.
Khi đó
1
2
y = −
Câu 2:
a/ Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: ab – a – b + 1 chia hế cho
192
Vì a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên đặt a = m
2
, b = n
2
(m,n lẻ), Giả sử a>b thì
m +1 = n – 1, n +1 = m + 3.
192 = 2
6
.3
Ta xét A = ab – a – b + 1 = (a - 1)(b -1) = (m - 1)(m + 1)
2
(m + 3)
Vì m lẻ, đặt m = 2k + 1 ta có: A = 2k.(2k+2)
2
(2k+4) = 2
4
.k(k+1)
2
(k+2)
Vì k(k+1)(k+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3.
Nếu k chẵn
⇒
k + 2 chẵn
⇒
k (k+2)
M
4
⇒
A
M
192
Nếu k lẻ
⇒
k + 1 chẵn
⇒
(k+1)
2
M
4
⇒
A
M
192
Vậy A = ab – a – b + 1 luôn chia hết cho 192
b/ Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn đẳng thức y(y+1)
2
+ x(x+1)
2
= 8xy
Cách 1: (x + 1)
2
≥
4x; (y + 1)
2
≥
4y.
Do đó y(y+1)
2
+ x(x+1)
2
≥
4x
2
+ 4y
2
⇒
8xy
≥
4x
2
+ 4y
2
⇒
2xy
≥
x
2
+ y
2
⇒
(x - y)
2
≤
0
⇒
x = y
Thay x = y vào biểu thức y(y+1)
2
+ x(x+1)
2
= 8xy ta có 2 x(x+1)
2
= 8x
2
⇒
(x+1)
2
= 4x
⇒
(x-1)
2
= 0
⇒
x = 1
⇒
x= y = 1.
Câu 3:
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a
3
+b
3
+ c
3
– 3abc
a
3
+b
3
+ c
3
– 3abc = (a + b)
3
– 3ab(a + b) + c
3
– 3abc
= (a + b + c)[(a + b)
2
- (a + b)c + c
2
] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ac - bc)
b/ cho x,y,z là các số khác 0 thoả mãn:
1 1 1
0x y z
x y z
+ + = + + =
Chứng minh rằng
6 6 6
3 3 3
x y z
xyz
x y z
+ +
=
+ +
Giải:
Theo câu a ta có x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz = (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ x
2
– xy – yz - xz).
Vì x + y + z = 0 nên x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz
Vì
1 1 1
0
x y z
+ + =
⇒
xy + yz + zx =0
x + y + z = 0
⇔
(x + y + z)
2
= 0
⇔
x
2
+ y
2
+ x
2
+ 2(xy + yz + xz) =0
⇔
x
2
+ y
2
+ x
2
= 0
⇒
x
2
+ y
2
+ x
2
= 3x
2
y
2
z
2
⇒
6 6 6 2 2 2
3 3 3
3x y z
3xyz
x y z
xyz
x y z
+ +
= =
+ +
Câu 4:
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. M là điểm bất kì nằm giữa B và C, gọi E và F lần
lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. N là trung điểm của AM
a/ Tứ giác HENF là hình gì ? Chứng minh.
b/ Gọi I là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng MI,NH,EF đồng
quy.
Giải:
a/
+ ΔAFM là tam giác vuông tại F nên FN = ½.AM
ΔAEM là tam giác vuông tại E nên EN = ½.AM
Do đó EN = FN.(1)
Ta sẽ chứng minh ΔFNH, ΔENH đều
Thật vậy:
Xét góc ngoài ΔANF có
∠
FNM = 2
∠
FAM
M H
F
E
C
B
A
N
Tương tự
∠
MNH = 2
∠
MAH. Do đó
∠
FNH = 2
∠
FAH = 60
0
suy ra ΔFNH đều suy ra
FN = FH (2)
Tương tự ΔENH đều suy ra EN = EH (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra FNEH là hình thoi.
Câu 5:
M là điểm ở bên trong hình bình hành ABCD. Đặt S
MAB
=S
1
, S
MCD
= S
2
, S
ABCD
= S.
Chứng minh rằng:
2
1 2
1
.
16
S S S≤
Giải:
Ta có: S
1
= ½.MP.AB
S
2
= ½.MQ.CD = ½.MQ.AB
S
1
.S
2
= ¼.AB
2
.MP.MQ
Lại có PQ
2
= (MP + MQ)
2
≥
4MP.MQ
⇒
MP.MQ
≤
1/4. PQ
2
⇒
S
1
.S
2
≤
1/16.AB
2
.PQ
2
= 1/16.S
2
D C
B
A
M
Q
P
