CHUYÊN Đề

Phân Tích đa thức thành nhân tử

Đ1: PP đặt nhân tử chung
Đ2: PP dùng hằng đẳng thức. (đã học trong SGK)
Đ3: PP nhóm nhiều hạng tử
Đ4: PP tách hạng tử hoặc thêm bớt.
Dạng1: f(x) = ax
2
+ bx +c
VD1: f(x) = x
2
+ x - 6

C
1
, = x
2
+ 3x - 2x - 6
= x(x + 3) - 2(x + 3)
= (x+ 3)(x - 2)

C
2
, = x
2
- 9 + x + 3
=(x - 3)(x + 3) +(x + 3)
=(x +3)(x - 2)

C
3
, = (x
2
+ 6x + 9)- 5x - 15
=(x + 3)
2
- 5(x + 3)
=(x +3)(x + 3 - 5)
=(x + 3)(x - 2)

1 1 1
C
4
, =x
2
+ 2.x + - - 6
2 4 4
1 25
=(x + )
2
-
2 4
1 5 1 5
=(x + - )(x + + )
2 2 2 2
=(x - 2)(x - 3)

C
5

, =x
2
- 4x + 4 + 5x - 10
=(x - 2)
2
+ 5(x - 2)
=(x - 2)(x - 2 + 5)
=(x - 2)(x + 3)
Nhận xét: * Mục đích làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
* Có nhiều cách tách hoặc thêm bớt hạng tử.
* Cách 1 và cách 4 dể phát hiện.
Tổng quát: f(x) = ax
2
+ bx + c

C
1
, Tách b = b
1
+ b
2
Thoả mản b
1
.b
2
= a.c

C
2
, B

1
, Đa f(x) về dạng: x
2
+ bx + c
b b b
2
B
2
, f(x) = x
2
+ 2.x +( )
2
- + c
2 2 4
b b
2
- 4c b
2
- 4c
1
= (x + )
2
- (Nếu = m
2
)
2 4 4
b b
= (x + - m)(x + + m)
2 2
Chú ý: Nếu mọi (b

1
,b
2
) không thoả mãn b
1.
b
2
= ac
b
2
- 4c
Hoặc không viết đợc dới dạng m
2
thì f(x) không pt đợc
4
VD
2
: Ptđt x
2
+ 4x - 5
C
1
, = x
2
+ 5x - x - 5 C
2
, = x
2
+ 2.2x + 4 - 9
= x(x + 5) - (x + 5) = (x + 2)

2
- 3
2
= (x + 5)(x - 1) = (x + 5)(x - 1)
PVD: f(x) = x
2
+ 4x - 3
C
1
, Có ac = 1.(- 3) = -1.3 C
2
, = x
2
+ 4x + 4 - 7
Nhng 1 + (-3) = -2 4 = b = (x + 2)
2
- 7
- 1 + 3 = 2 4 = b Số 7 không phải số chính phơng
Nên f(x) không pt đợc trên Q
Dạng2: f(x) là đa thức bậc cao (kết hợp với pp khác)
Bài tập:
Ptđt thành nhân tử:
a, x
2
- 2x - 3 = (x 3)( x + 1)
b, 4x
2
- 4x 3 = (2x 3)(2x + 1)
c, 6x
2

- 11x + 3 = (3x 1)(2x 3)
d, 2x
2
+ 3x - 27 = (x 3)(2x + 9)
e, 3x
2
- 8x + 4 = (x 2)(3x 2)
g, 2x
2
-5xy + 3y
2
= (x 3y)(2x y)

h, 2x
2
- 5xy - 3y
2
= (x 3y)(2x + y)
i, 2x
2
+ 5xy - 7y
2
= (2x + 7)(x y)



Đ5: PP đổi biến.

VD
1

: f(x) = x
4
- 8x
2
+ 12 Đặt : x
2
= t
f(t) = t
2
- 8t + 12
= (t - 2)(t - 6) Thay t = x
2
f(x) = (x
2
- 2)(x
2
- 6)
VD
2
: f(x) = (x
2
+x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12
= (x
2
+ x)
2

+ 4(x
2
+x) - 12 Đặt x
2
+ x = t
f(t) = t
2
+ 4t - 12
= ( t - 2)( t + 6) Thay t = x
2
+ x
f(x) = (x
2
+ x - 2)(x
2
+ x + 6)
= (x + 2)(x - 1)(x
2
+ x + 6)
VD
3
: f(x) = (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) - 12
C
1
, Đặt x
2

+ x = t
f(t) = (t + 1)(t + 2) -12
= t
2
+ 3t + 2 - 12
= t
2
+ 5t - 2t - 10
= t(t + 5) - 2(t + 5)
2
= (t + 5)(t - 2)
f(x) = (x
2
+ x + 5)(x
2
+ x - 2)
= (x + 2)(x - 1)(x
2
+ x + 5)
C
2
, Đặt x
2
+ x + 1 = y
f(t) = t(t +1) - 12
= t
2
+ t -12
= (t - 3)(t + 4)
f(x) = (x

2
+ x + 1 - 3)(x
2
+ x + 1 + 4)
= (x + 2)(x - 1)(x
2
+ x + 5)
Tổng quát:
B
1
, Viết f(x) = f(g(x)) = f(t) Với t = g(x)
B
2
Ptđt f(t) Thành nhân tử
B
3
, Thay t = g(x) vào f(t), rồi pt f(x)
Bài tập:
Phân tích đa thức thành nhân tử
a, (x
2
+ 3x + 1)
2
+ 2x
2
+ 6x 13
= (x
2
+ 3x + 1)
2

+2(x
2
+ 3x + 1) 15
= t
2
+ 2t 15
= (t + 5)(t 3)
= (x
2
+ 3x + 6) (x
2
+ 3x - 2)
b, x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
= (x
2
+ 10x)(x
2
+ 10x + 24) +128
= t (t + 24) + 128
= t
2
+ 24t + 128
= t
2
+ 16t + 8t + 128
= (t + 16)(t + 8)
= (x
2
+ 10x + 16) (x
2

+ 10x + 8)
= (x + 8)(x + 2)( x
2
+ 10x + 8)
c, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3
= (x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) 3
= t (t + 2) 3
= t
2
+ 2t 3
= (t + 1)
2
4
= (t + 3)(t 1)
= (x
2
+ 5x + 7)(x
2
+ 5x + 3)
d, x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
- 6x + 1

C1,






+++=
2
22
11
676
x
x
xxx












+







+



+=
7
1
6
1
2
22
x
x
x
xx
Đặt
x
x
1

= t
t
2
=
2
2

1
x
x +
- 2
= x
2
(t
2
+ 6t + 9) = x
2
(t + 3)
2
=
( )
( )
2
2
2
2
2
2
13
13
+=
+
xx
x
xx
x
C2, ( thêm bớt dùng hằng đẳng thức (a + b + c)

2
)
= x
4
+ 9x
2
+ 1 + 6x
3
2x
2
6x
Đ6: Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng cách nhẩm nghiệm
3
Kiến thức liên quan: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
(có thể áp dụng đ/v bậc cao hơn)
*
1
, f(x) có nghiệm x = f() = 0 f(x) = (x - ).g(x)
*
2
, Sơ đồ Hoóc ne: ( Thực hiện đợc với x R )
x a b c d

a
1

= a
b
1
= a +b
c
1
= b
1
+c
d
1
= c
1
+d


Ư(d)
*
3
, Nghiệm hữu tỉ của đa thức (nếu có) có dạng


Ư
+
(a)
*
4
, Đặc biệt:
f(x) có tổng các hệ số bằng không f(1) = 0
f(x) có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ

f(- 1) = 0
VD
1
: f(x) = x
3
+ 3x
2
- 4
F(x) có tổng các hệ số bằng 0 f(x) có nghiệm x = 1

x 1 3 0 - 4
1 1 4 4 0

Vậy f(x) = (x - 1)(x
2
+ 4x + 4)
= (x - 1)(x + 2)
2
Trình bày:
C
1
, x
3
+ 3x
2
- 4 C
2
, x
3
+ 3x

2
- 4
= x
3
- x
2
+ 4x
2
- 4 = x
3
- 1 + 3x
2
-3
= x
2
(x - 1) + 4(x
2
- 1) = (x - 1)(x
2
+ x + 1) + 3(x
2
-1)
= (x - 1)(x
2
+ 4x + 4) = (x - 1)(x
2
+ x + 1 + 3x + 3)
= (x - 1)(x + 2)
2
= (x - 1)(x + 2)

2
VD
2
: f(x) = 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3
Ư(-3) = { -1 ; 1 ; - 3 ; 3 }
Ư(2) = { 1 ; 2 } 1 3
Nghiệm hữu tỉ nếu có là: 1 ; ; 3 ;
2 2
Thử nghiệm: f(
1
/
2
) = 0 f(x) có nhân tử (x - 1/2) hay (2x - 1)
Trình bày:
f(x) = 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3
= 2x
3
- x
2
- 4x
2
+ 2x + 6x - 3

= x
2
(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1)
= (2x - 1)(x
2
- 2x + 3)
Bài tập
Bài 1: Phân tích đt thành nhân tử
a, x
3
- x
2
- 4 = ( x 2 )( x
2
+ x + 2 )
b, 2x
3
5x
2
x + 6 = ( x + 1 )( x 2 )( 2x 3 )
c, 3x
3
+ 5x
2
- 5x + 1 = ( 3x 1 )( x
2
+ 2x 1 )
d, 2x
4
- 3x

3
+ 2x
2
1 = ( x 1 )( 2x + 1 )( x
2
x + 1 )
e, 2x
4
+ x
3
- 4x
2
+ x 6 = ( x + 2 )( 2x 3 )( x
2
+ 1 )
f, x
5
- 6x
3
+ x
2
+ 8x 4 = ( x 1 )( x 2 )( x + 2 )( x
2
+ x + 1)
g, x
4
+ 2x
3
+ x
2

+ x + 1 = ( x + 1 )( x
2
+ x - 1 )
4
h, 2x
3
3x
2
+ 3x - 1 = ( 2x 1 )( x
2
- x + 1 )
i, 3x
3
14x
2
+ 4x + 3 = ( 3x + 1 )( x
2
- 5x + 3 )
Đ7 : PP hệ số bất định
Tổng quát : dạng bậc ba
f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1)
= (x + m)(ax
2
+ b' x + c' ) (*)
= ax
3

+ (am + b' )x
2
+ (b' + c' )x + c'm (2)
Đồng nhất hai đa thức (1) và (2) ta có :
am + b' = b
b' + c' = c b'= ? , c'= ? , m = ?.
c'm = d
Thay b' , c' , m vào (*) ta có dạng phân tích.
Chú ý : Ta chỉ cần chọn một nghiệm nguyên nên ta có thể chọn trớc
giá trị của c và m sao cho cm = d
VD
1
: f(x) = x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 (1)
= (x + m)(x
2
+ b'x + c' )
= x
3
+ (m + b')x
2
+ (b'm + c' )x + c'm (2)
m + b' = 4 m = 1 m = 2
Từ (1) và (2) b'm + c' = 5 b' = 3 Hoặc c = 1
c'm = 2 c' = 2 b = 2
f(x) = (x + 1)(x
2

+ 3x + 2) Hoặc f(x) = (x + 2)(x
2
+ 2x + 1)
= (x + 1)
2
(x + 2) = (x + 1)
2
(x + 2)
Trình bày : f(x) = x
3
+ x
2
+ 3x
2
+ 3x + 2x + 2
= x
2
(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x
2
+ 3x + 2)
= (x + 1)
2
(x + 2)
( Bài này có thể dùng pp nhẩm nghiệm.)
VD
2
: f(x) = x
4
+ 6x

3
+7x
2
+ 6x + 1
Đa thức không có nghiệm hữu tỉ, nên f(x) có thể pt thành dạng :
(x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d) ( Nên chọn b = 1 , d = 1 )
= x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức ta có :

a+c = 6
ac + b + d = 7 a = b = d = 1 ; c = 5
ad + bc = 6
bd = 1
Trình bày : f(x) = x
4
+ x
3
+ x
2
+ 5x

3
+ 5x
2
+ 5x + x
2
+ x + 1
= x
2
(x
2
+ x + 1) + 5x(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
2
+ 5x +1)
Chú ý : Chỉ nên sử dụng cách này trong trờng hợp bất đắc dĩ
5
Dựa vào kết quả pt trên để trình bày theo pp thêm, bớt .
Bài tập
Bài 1: Pt đt thành nhân tử
a, x
4
+ 324 = ( x
2
+ 6x + 18 )( x

2
- 6x + 18 )
b, 4x
4
+ 4x
3
+5x
2
+ 2x + 1 = ( 2x
2
+ x + 1)
2
c, x
4
- 8x + 63 = ( 1x
2
+ 4x + 9 )( 1x
2
- 4x + 7 )
d, 3x
2
+ 22xy +11x +37x +7y
2
+ 10
= ( x+ 7y + 2 )( 3x+ y + 5 )
H ớng dẫn : d, dạng pt là : (ax + by + c)(a'x + b'y + c' )
Bài2: Pt đt thành nhân tử
a, 4x
4
+ 6x

3
+11x
2
+ 6x + 1 = (x
2
+ 3x + 1)
2

b, 3x
2
22xy 4 x + 8y + 7y
2
+ 1
= (3x y 1)(x 7y 1)
c, 12x
2
+ 5x 12y
2
+ 12y 10xy 3
= (4x 6y + 3)(3x + 2y 1)
Đ8 : PP giá trị riêng.
Tổng quát: B
1
, Đoán nghiệm của đt f(x) chẳng hạn x = a, b,
B
2
, f(x) = k(x - a)(x - b) (1)
B
3
, Chọn x = m (bất kì ) Thay vào (1) tìm đợc k dạng pt.

VD
1
: f(x) = x
3
- 19x + 30
Nhẩm nghiẹm đợc x = 2 ; 3 ; - 5
F(x) = k(x - 2)(x - 3)(x + 5)
Thay x = 0 vào (1) ta có 30 = k.(-2)(-3)( 5)
30 = 30 k k = 1
f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 5)
VD
2
: P = ab(a - b) + bc(b - c) +ca(c - a)
Nếu thay a = b P = 0 P có nhân tử (a - b)
b = c P = 0 P (b - c)
c = a P = 0 P (c = a)
P = k(a - b)(b - c)(c - a) (1)
Thay (a; b; c) = (0; 1; 2) vào (1)
0 + (-2) + 0 = k(-1)(-1).2 k = -1
P = - (a - b)(b - c)(c - a)
VD
3
: P = (a + b + c)
3
- a
3
- b
3
- c
3

Thay a = - b P = 0 P chứa nhân tử (a + b)
Tơng tự P chứa nhân tử (b + c)(c + a)
P = k(a + b)(b + c)(c + a)
Đa thức đúng với mọi (a; b; c ) nên cũng đúng với (1; 0; 1)
6 = k.2 k = 3
P = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Chú ý: PP này thờng dùng đối với đa thức nhiều biến và các biến có
vai trò tơng đơng.
Bài tập :
Bài1: Pt đt thành nhân tử
a, a(b + c - a)
2
+ b(c + a - b)
2
+ c(a + b - c)
2
+ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)
= 4abc
b, a(m - a)
2
+ b(m - b)
2
+ c(m - c)
2
- abc với 2m = a + b + c
= - 2(m a)(m b)(m c)
6
=
4
1

(a b c)(b a c)(c a b)
c, x
2
(y z) + y
2
(z x) + z
2
(x y)
= (y z)( x y)( x z)
d,
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
cacbbacaaccbbcbaab
++=++++
Bài 2
Cho a
2
+ b
2
= 1, c
2
+ d
2
= 1, ac + bd = 0 . C/m : ab + cd = 0
Giải
Ta có : ab + cd = ab.1 + cd.1 = ab(c
2
+ d
2
) + cd(a
2

+ b
2
)
= abc
2
+ abd
2
+a
2
cd + b
2
cd = (ac + bd)(ad + bc) = 0. (ad + bc) = 0

Bài tập tổng hợp
Pt đt thành nhân tử
( Sử dụng hằng đẳng thức, hoặc pp hệ số bất định )
a, x
4
+ 4 = ( x
2
+ 2 )
2
4x
2

= ( x
2
+ 2x + 2 )( x
2
- 2x + 2)

b, x
4
+ 64 = ( x
2
+ 8 )
2
16x
2

= (x
2
+ 4x + 8 )( x
2
- 4x + 8)
c, ( x
2
8 )
2
+ 36 = x
4
16x
2
+ 100
= ( x
2
+ 10 )
2
36x
2
= ( x

2
+ 6x + 10 )( x
2
- x + 10 )
d, 64x
4
+ 1 = ( 8x
2
+ 1)
2
16x
2
= ( 8x
2
+ 4x + 1 )( 8x
2
- 4x + 1)
e, (1 + x
2
)
2
4x(1 x
2
) = (1 - x
2
)
2
+ 4x
2
4x(1 x

2
)
= [(1 x
2
) 2x]
2
= (x
2
+ 2x 1)
2
( e, Có thể khai triển thành đa thức đối xứng )
Tài liệu tham khảo : Phát triẻn ĐS 8 _ BDHS giỏi ĐS 8
7