THI TH I HC- CAO NG
THI TH I HC CAO NG LB13
Môn Toán
(Thi gian 180 phỳt)
.******
I.PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH:( 7im)
Câu I Cho hàm số
1
12

+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B .
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II 1. Giải phơng trình:
2
cos.2sin
2sin x -2x 3sin

=
xx
2. Giải hệ phơng trình :
3 2
3 9 4
x y 2xy
x y 2xy

ỡ
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
.
Câu III 1.Tính tích phân sau:
dx. .cos.sin.
3
2
0
sin
2
xxe
x



2. Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z
3
.Chứng minh rằng:
46253
4
+zxy

+
415
4
+xyz
+
4815
4
+yzx

45
5
xyz.
Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc

.
Tìm

để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
II, PHN RIấNG (3im). (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần a
Câu Va 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(
2
1
; 0) .
Đờng thẳng chứa cạnh AB có phơng trình x-2y+2= 0 , AB =2AD.
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm .
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng
)(
1
d

và
)(
2
d
có phơng trình .
d
1
:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
2
31
21
; d
2
:
3
3
9
1
6

4

=

=

zyx
; Lập phơng trình mặt phẳng chứa (d
1
) và
)(
2
d
.
.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
x10
1).12(48
22
++=++ xxmx
.
Phần b .
Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0);
Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (

) và (
)'
có phơng trình .
( )
( )






+=
=
+=






=
+=
+=

4t'2
t'2y
t'2-2x
: ;
4
2t-1y
t3x
:
'
zz
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (


) và (
)'
Câu VIb Giải và biện luận phơng trình :
1+mx
(
.243)22
2322
+=++ xxxmxxm
******** Hết ********
HNG DN GIAI LB 13
I.PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH:( 7im)
GV:Mai Thnh LB THI TH I HC- CAO NG
1
THI TH I HC- CAO NG
Câu I 1. H/S t gii
2.Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt
giá trị nhỏ nhất.Gọi M









+
1
3
2;

0
0
x
x
(C)
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3
2)(
)1(
3
0
0
2
0

++


=
x
xx
x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B
nên tọa độ A; B có dạng là: A










+
1
6
2;1
0
x
B(2x
0
-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S

IAB
=
2
1
. IA. IB=
63.212
1
6
2
1
0
0
==



x
x
(đvdt)
* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB (HS tự chứng minh).




=
+=
=

31
31
12
1
6
0
0
0
0
x
x
x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M
1
(
32;31 ++

) ; M
2
(
32;31
)
Khi đó chu vi AIB =
6234 +
Câu II 1. Giải phơng trình:
2
cos.2sin
sin22sin3
=

xx
xx
* Phơng trình


2
cos.2sin
sin22sin3
=

xx
xx
Điều kiện: sin2x

0 =>






0cos
0sin
x
x
* Từ phơng trình => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx

(2sin2x 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0


2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0
*

2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0


cos 1 sin 0( )
sin 2 sin 0 sin (2cos 1) 0
x x loai
x x x x
= =




= =

*


2cosx -1 =0 (do sinx

0)



2
33
cos
2
1
cos kxx
+===
(kZ)
2.
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2
2
3 3 3 4
2 2 4 3 4
3 9 4
x y 2xy
x y 2xy
x y 2xy
x y x y 3xy 2xy
2xy 4x y 3xy 2xy
x y 2xy

ỡ
ù
+ =
ỡ
ỡ
ù
ù
ù
+ =
+ =
ù
ù
ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
ộ ự
ù ù ù
+ + - =
- =
+ =
ờ ỳ
ù ù ù
ù
ù
ợ
ợ
ù
ờ ỳ
ù

ợ ở ỷ
( )
3 2
3 2
3 2 3 2
4 2 2
x y 2xy
x y 2xy
x y 2xy x y 2xy
1
xy 0 xy 1
xy 4x y 3xy 1 0
xy
4
ỡ
ù
+ =
ỡ
ỡ ỡ
ù
ù
ù ù
+ =
+ = + =
ù
ù
ù ù
ù ù

ớ ớ ớ ớ

ù ù ù ù
= =
- - =
= -
ù ù ù ù
ợ ợ
ù
ợ
ù
ù
ợ
4 2 4 2
y 2y 1 4y 2y 1 0
x 0
1 1
y 0
x x
y 4y
ỡ ỡ
ù ù
- + + - =
ù ù
ỡ
=
ù
ù ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
ù ù ù

=
= = -
ù ù ù
ợ
ù ù
ù ù
ợ ợ

GV:Mai Thnh LB THI TH I HC- CAO NG
2
THI TH I HC- CAO NG
H cú nghim:
5 1 5 1
x x
x 0 x 1 x 1
4 4
y 0 y 1 y 1
5 1 5 1
y y
2 2
ỡ ỡ
ù ù
+ +
ù ù
ù ù
= = -
ỡ ỡ ỡ
= = = -
ù ù ù
ù ù

ù ù ù ù ù

ớ ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù ù
= = = -
- -
ù ù ù ù ù
ợ ợ ợ
ù ù
= - =
ù ù
ù ù
ợ ợ
.
Câu III .Tính tích phân

2/
0
3sin
cos.sin.
2

xdxxe
x
Đặt sin
2
x= t => dt= 2sinx. cosxdx
Đổi cận: x=0 => t=0; x=
1
2

= t

Khi đó I=


1
0
)1(
2
1
dtte
t
Đặt





=
=






=
=
tt
ev

dtdu
dvdte
ut
2
1
2
1
1
Dùng tích phân từng phần ta có I=
e
2
1
.
2.Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z

3 .
Chứng minh rằng:
xy3
4625
4
+z
+
zx5
415481
44
+++ xyzy
xyz545
Bất đẳng thức

2

2
4
x
x +
+
2
2
9
4
9
y
y +
+
2
2
25
4
25
z
z +


45
VT
+++++
22
)
5
2
3

22
()53(
zyx
zyx
3
2
2
3
)5.3.(
36
)5.3.(.9
zyx
zyx +
.
Đặt t =
3
2
)5.3.( zyx
ta có
1
3
53
)5.3.(
3
3
=







++

zyx
zyx
do đó t

1
Điều kiện . 0 < t

1. Xét hàm số f(t)=
t9
+
t
36
27
36
.36227
36
36 +=
t
tt
t
t
=45
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=
3
1
; z=

5
1
.
Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a,mặt bên hợp với đáy góc

. Tính

để
thể tích V của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
* Tính V=
32
3
)tan2(
tan
.
3
4


+
a
.
* Ta có
=
+
32
2
)tan2(
tan





2
2
tan2
tan
+
.

2
tan2
1
+
.

2
tan2
1
+
27
1



V
max
27
34
3

a
=
khi đó tan

2
=1


= 45
o
II, PHầN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần a
Câu Va Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I






0;
2
1
; AB có phơng trình: x- 2y+2= 0; AB= 2AD.
Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm
GV:Mai Thnh LB THI TH I HC- CAO NG
3
THI TH I HC- CAO NG
*BGGọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH=
2
5

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) có tâm I và bán kính R= IA. đờng tròn (C) có phơng trình là:
4
25
2
1
2
2
=+






yx


A(-2; 0);

B(2; 2). Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0)
Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2)
2.+ BG:Ta có: (d
1
) // (d
2
) ( HS phải chứng minh đợc)
Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phơng có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)
là:
)1;3;2(
1

u

và
21
MM
(3;2;1).Vậy (P) có véc tơ pháp tuyến là:
[ ]
)5;1;1(,
211
==
MMun

Mặt phẳng (P) qua M
1
(1; -1; 2) Vậy phơng trình (P) là:

x+ y- 5z +10 =0
.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10
1).12(48
22
++=++ xxmx
.
Nhận xét : 10x
48
2
++ x
= 2(2x+1)
2

+2(x
2
+1)
Phơng trình tơng đơng với :
2
(
02)
1
12
()
1
12
2
2
2
=+
+
+

+
+
x
x
m
x
x
.
Đặt
t
x

x
=
+
+
1
12
2
Điều kiện : -2< t
5
. Rút m ta có: m=
t
t 22
2
+
Lập bảng biến thiên của hàm số trên
(
]
5,2
, ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt là:
5
12
4 < m
hoặc -5 <
4
<
m
Phần b .
Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2) ; P(2; 0);
Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông trên.

+BG: Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là
);( ban

(a
2
+ b
2


0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:
);(
1
abn


.Phơng trình AB có dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0

ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0

- bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC) Hay



=
=

+
+

=
+

ab
ab
ba
ab
ba
b
2
43
2222
*khi: b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0 ;BC: 2x +y- 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
*khi: b= -a . Khi đó: AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x -y + 2= 0 AD: -x -y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
2. Cho ():





=
+=
+=
4
21
3
z
ty
tx

; ()





+=
=
+=
uz
uy
ux
42
2
22

*Viết phơng trình đờng vuông góc chung của () và ()
GV:Mai Thnh LB THI TH I HC- CAO NG
4
THI TH I HC- CAO NG
+ Gọi đờng vuông góc chung của () và () là d Khi đó
[ ]
)1;2;4(',
2
1
==
uuu
d

+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp tuyến:

[ ]
)10;1;2(,
1
==
d
uun

;Vậy phơng trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp tuyến:
[ ]
)12;18;6(,'
2
==
d
uun

;Vậy phơng trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đờng vuông góc chung của và là giao tuyến của hai mặt phẳng:
2x - y + 10z - 47 = 0 và x + 3y - 2z + 6 =0 +Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)
Câu VIb * Phơng trình tơng đơng với:
)1()1(1)1(
33
+=+++ xxmxmx
Xét hàm số: f(t)=
tt +
3
, hàm số này đồng biến trên R.

)1()1( =+ xfmxf



11 =+ xmx

* Giải và biện luận phơng trình trên ta có kết quả cần tìm.
+
11
<<
m
phơng trình có nghiệm x=
1
2


m
+ m=-1 phơng trình nghiệm
1

x
Các trờng hợp còn lại phơng trình vô nghiệm
HT
GV:Mai Thnh LB THI TH I HC- CAO NG
5