ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II NĂM HỌC 2009-2010
A. PHẦN GIẢI TÍCH
Lí thuyết
I. Giới hạn
1 . Giới hạn của hàm số
a. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
b. giới hạn một bên
c. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
d. Giới hạn vô cực của hàm số
2. Hàm số liên tục
a. Hàm số liên tục tại một điểm
b. Hàm số liên tục trên một khoảng
II) Đạo hàm
1.Đạo hàm của hàm số tại một điểm
2.Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0
))
4. Quy tắc tính đạo hàm
a. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
b. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
c. Đạo hàm của hàm hợp
5. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
6.Đạo hàm cấp 2
BẢNG ĐẠO HÀM
( )
( )

( )
xux
uyy
v
v
v
v
uvvu
v
u
uvvuvu
kuku
wvuwvu
'''
2
'
'
2
''
'
''
'
'
'
'''
'
.
1
.
=

−
=






−
=






+=
=
−+=−+
( )
( )
x
x
x
x
xnx
nn
2
1
11

.
'
2
'
1
'
=
−=






=
−
( )
( )
u
u
u
u
u
u
uunu
nn
2
1

'

'
2
'
'
'1
'
=
−=






=
−
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
2
'
2
'

'
'
sin
1
cot
cos
1
tan
sincos
cossin
−=
=
−=
=
( )
( )
( )
( )
u
u
u
u
u
u
uuu
uuu
2
'
'
2

'
'
'
'
'
'
sin
cot
cos
tan
sincos
cossin
−=
=
−=
=

Các dạng bài tập
I. Giới hạn
Bài 1 :Tính các giới hạn sau:
1)
4
45
lim
2
4
+
++
−→
x

xx
x
2)
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
3)
1
lim
>−
x
23
1
2
2
+−
−
xx
x
4)
4

3 2
2
16
lim
2
x
x
x x
→−
−
+
5)
2
2
lim
7 3
x
x
x
→
−
+ −
6)
2
x 2
4x 1 3
lim
x 4
→
+ −

−
7)
x 4
x 5 2x 1
lim
x 4
→
+ − +
−
8)
x
x
x
−
−
→
1
1
lim
1
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1)
3
2 1
lim
3
x
x
x
−

→
−
−
2)
2
33
lim
2
2
−
+−
+
→
x
xx
x
3)
2
2
1
)1(
35
lim
−
+−
→
x
xx
x


4)
x
x
−
+
→
1
1
lim
1
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
1)
12
3
lim
−
+−
−∞→
x
x
x
2)
3
3 2
2 3 4
lim
1
x
x x
x x

→+∞
+ −
− − +
3)
12
5
lim
2
−
+−
−∞→
x
xx
x
4)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
→−∞
− +
−
5)
)32(lim
2
xxx
x

−++
∞+→
6)
)342(lim
2
+−−
∞+→
xxx
x
7)
(
)
xxxx
x
+−++
−→
22
3323lim
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
1)
3 2
lim ( 1)
x
x x x
→−∞
− + − +
2)
)32(lim
24
−−

∞−→
xx
x
3)
)322(lim
23
−+−−
+∞→
xxx
x
4)
2
lim 3 5
x
x x
→−∞
−
Bài 5: Xét tính liên tục trên R của hàm số sau:
a)
2
4
2
( )
2
4 2
x
khi x
f x
x
khi x


−
≠−

=
+


− =−

b)





−
−
=
2
2
1
1
)(
x
x
x
xf

1,

1,
≥
<
x
x

Bài 6: Cho hàm số f(x) =
2
2
2
.
2
2 2
x x
khi x
x
x m khi x

+ −
≠ −

+


+ = −

Với giá trị nào của m thì hàm số liên
tục tại x = - 2

II. Đạo hàm.

Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1)
12
3
+−= xxy
2)
xxxy 322
24
+−=
3)
)35)((
22
xxxy −+=
4)
76
24
++= xxy
5) y =
2
3 2
2
x
x x
-
- +
6)
32
)5( += xy
7)
32

)1(
3
++
=
xx
y
8)
2
32
−
−
=
x
x
y
9) y = (x
3
+3x-2)
20

10) y= x
2
1 x
+

11)
x
x
y 6
3

−=
12)
432
6543
xxx
x
y
−+−=
13)
21
++−=
xxy
14)
42
562
2
+
+−
=
x
xx
y
15)
1
2
2
−
=
x
x

y
16)
1 x
y
1 x
+
=
−
2
3 2 1
17.
2 3
− +
=
−
x x
y
x
18
1
y
x x
=
19)
1)1(
2
+++= xxxy
20)
22
2

ax
x
y
+
=
( a là
hằng số)
Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y = sin2x – cos2x 2) y = sin5x – 2cos(4x + 1)
3)
xxy 3cos.2sin2
=
4)
12sin
+=
xy
5)
xy 2sin
=
6)
xxy
32
cossin +=
7)
2
)cot1( xy +=
8)
xxy
2
sin.cos=

9) y= sin(sinx) 10)y = cos( x
3
+ x -2

)
11)
2
y sin (cos3x)=
12)y = x.cotx
13)y= tan
2
x + cotx
2

14)
3
y cot (2x )
4
π
= +

15)
x 1
y tan
2
+
=

16)
sinx x

y
x sinx
= +

17)
y 1 2tanx
= +
18)
2
y 2 tan x= +

19)
xx
xx
y
cossin
cossin
−
+
=
20)
2
sin
4
x
y
=
Bài 3: Tìm đạo hàm cấp 2 của của hàm số sau:
1)
12

3
+−= xxy

2)
x
y
−
=
1
1
3)
2
32
−
−
=
x
x
y
4) y = tanx
5) y = sin2x – cos2x 6) y = cos
2
x
7)
x
y
−
=
1
1

8) y = sinx
Bài 4:
1) cho y = sinx tính y
’’
(
3
π
−
)
2) cho y = cos2x tính y
(4)
(
6
π
)
Bài 5: a) Cho
13)(
+=
xxf
, tính f ’(1)
b) Cho
( ) ( )
6
f x x 10
= +
.
( )
Tính f '' 2

c)

( )
f x sin 3x
=
. Tính
( )
; 0
2 18
f '' f '' f ''
π π
   
− ;
 ÷  ÷
   

Bài 6: Cho hàm số: y = x
3
+ 4x +1. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong của
trường hợp sau:
a) Tại điểm có hoành độ x
0
= 1;
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;
c) Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;
d) Vuông góc với đường thẳng ∆: y = -
1
5
16
x
−
.

Bài 7: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:
1)
593
23
+−−= xxxy
2)
1
2
2
−
++
=
x
xx
y
3)
34
34
+−= xxy
9) y= 3cos2x -2sinx
5)
2
155
2
−
+−
=
x
xx
y

6)
x
xy
4
+=
7)
4
2
+
=
x
x
y
8) y = 3cosx +4sinx +5x
Bài 9: Giải của bất phương trình sau:
1) y’ > 0 với
3 2
y x 3x 2= − +
2) y’ < 4 với
32
2
1
3
1
23
+−+=
xxxy
3) y’ ≥ 0 với
xxxy
++=

23
2
1
3
1

B. HÌNH HỌC: các dạng toán
I.Lý thuyết:
1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
* Cách 1: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt
nhau cùng nằm trong mặt phẳng
* Cách 2: chứng minh 2 đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông
góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
* Cách 3: chứng minh đường vuông góc với đường
( )
( )
a
a b
b
α
α
⊥

⇒ ⊥

⊂

2) Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc: chứng minh trong mặt phẳng này
chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia
3) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

* TH1: đường thẳng và mặt phẳng vuông góc thì góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng = 90
0
* TH2: đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó lên
mặt phẳng đã cho
4) Tính góc giữa 2 mặt phẳng:
+ B1: tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng đã cho
+ B2: từ 1 điểm trên giao tuyến kẻ lần lượt 2 đường thẳng nẳm trong 2 mặt
phẳng đã cho và cùng vuông góc với giao tuyến
+ B3: góc giữa 2 mặt phẳng đã cho là góc giữa 2 đường thẳng vừa tìm
được
5) Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:
Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:
Tính khoảng cách giữa hai mp song song
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
PP:
- Dùng định nghĩa khoảng cách
- Dùng pp dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau.
II.Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a;
SA=SB=SC=SD=a
2
; O là tâm của hình vuông ABCD.
a) cm (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD).
b) cm (SAC)
⊥
(SBD)
c) Tính khoảg cách từ S đến (ABCD)

d) Tính góc giữa đường SB và (ABCD).
Bài 2: Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a ,
SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
ĐỀ MẪU:
Bài 1(2đ): Tính các giới hạn sau:
a.
1
32
lim
2
2
1
−
++−
→
x
xx
x
b.
52
12
lim
2
−
+−
−∞→
x

xx
x
Bài 2: ( 3đ)Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. y =
x
x
−
+
1
1
b. y = (-3x
2
+4x -6)(7x – 1)
c. y = tan
3
x + sin3x
Bài 3(2đ):cho hàm số : y =f(x)= x
2
-3x +2 với đồ thị (C )
a. giải bất phương trình y
’
+ y
’’
> 0
b. viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) biết hệ số góc của tiếp tuỵến bằng 1
Bài 4(3đ): Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O,
SA = a và SA
⊥
(ABCD)
a) Chứng minh BC

⊥
(SAB), BD
⊥
(SAC).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
c) Chứng minh (SBC)
⊥
(SAB).