HSG TOAN 8 (09-10)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (71.72 KB, 4 trang )
đề kiểm tra học sinh giỏi
Năm học: 2009-2010
Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2 2
2x 3 2x 8 3 21 2x 8x
: 1
4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3
+
+ +
ữ
+ +
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
1
x
2
=
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.
Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình:
a)
2
15x 1 1
1 12
x 3x 4 x 4 3x 3
= +
ữ
+ +
b)
148 x 169 x 186 x 199 x
10
25 23 21 19
+ + + =
c) Cho các số x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3 3 3
x y z 1
x y z 1
x y z 1
+ + =
+ + =
+ + =
Tính tổng:
2009 2010 2011
S x y z ?= + + =
Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc
thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi
của ngời đó.
Bài 4 (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng
của điểm C qua P.
a. Tứ giác AMDB là hình gì?
b. Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC
và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c. Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào
vị trí của điểm P.
d. Giả sử CP
BD và CP = 2,4 cm,
PD 9
PB 16
=
. Tính các cạnh của hình chữ nhật
ABCD.
Bài 5(2 điểm):
a) Chứng minh rằng: 2009
2008
+ 2011
2010
chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z
1. Chứng minh rằng:
2 2
1 1 2
1 x 1 y 1 xy
+
+ + +
đáp án và biểu điểm
Bài 1: (6 điểm)
ĐKXĐ:
1 5 3 7
x ;x ;x ;x ;x 4
2 2 2 4
1đ
a. Rút gọn P =
2x 3
2x 5
2đ
b.
1
x
2
=
1
x
2
=
hoặc
1
x
2
=
+)
1
x
2
=
P =
1
2
+)
1
x
2
=
P =
2
3
1đ
c. P =
2x 3
2x 5
=
2
1
x 5
+
P
Z
khi
2
Z
x 5
x 5
Ư
(2)
= { -2; -1; 1; 2}
x 5 = -2
x = 3 (TMĐK)
x 5 = -1
x = 4 (KTMĐK)
x 5 = 1
x = 6 (TMĐK)
x 5 = 2
x = 7 (TMĐK)
KL: x
{3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ
d. P =
2x 3
2x 5
=
2
1
x 5
+
0,25đ
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì
2
x 5
> 0
x 5 > 0
x > 5 0,5đ
Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2: (3 điểm)
a)
2
15x 1 1
1 12
x 3x 4 x 4 3x 3
= +
ữ
+ +
( ) ( ) ( )
15x 1 1
1 12
x 4 x 1 x 4 3 x 1
= +
ữ
ữ
+ +
ĐK:
x 4;x 1
3.15x 3(x + 4)(x 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
3x.(x + 4) = 0
3x = 0 hoặc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)
S = { 0} 1đ
b)
148 x 169 x 186 x 199 x
10
25 23 21 19
+ + + =
148 x 169 x 186 x 199 x
1 2 3 4 0
25 23 21 19
+ + + =
ữ ữ ữ ữ
(123 x)
1 1 1 1
25 23 21 19
+ + +
ữ
= 0
Do
1 1 1 1
25 23 21 19
+ + +
ữ
> 0
Nên 123 x = 0 => x = 123
S = {123} 1đ
c. Có
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3
x y z x y z 3 x y y z z x+ + = + + + + + +
Mà theo đb
( ) ( ) ( )
x y y z z x 0 + + + =
Giả sử
x y 0+ =
z 1=
x y 0 = =
Vậy trong ba số luôn có hai số bằng o và một số bằng 1
S 1 =
1đ
Bài 3 (2 đ)
Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ
Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:
x 3x
(km / h)
1
10
3
3
=
(3
h
20
=
( )
1
3 h
3
) 0,25đ
Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:
( )
3x
5 km / h
10
+
0,25đ
Theo đề bài ta có phơng trình:
3x
5 .3 x
10
+ =
ữ
0,5đ
x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ
Vận tốc dự định là:
( )
3.150
45 km / h
10
=
Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ
a. Gọi O là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật ABCD.
PO là đờng trung bình của
CAM
AM//PO
tứ giác AMDB là hình thang. 1đ
b. Do AM //BD nên
ã
ã
OBA MAE=
AOB cân ở O nên
ã
ã
OBA OAB=
Gọi I là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật AEMF
AIE cân ở I nên
ã ã
IAE IEA=
.
ã
ã
FEA OAB =
, do đó EF//AC (1) 1đ
Mặt khác IP là đờng trung bình của
MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ
c.
( )
MAF DBA g g :
nên
MF AD
FA AB
=
không đổi
đpcm 1đ
d. Nếu
PD 9
PB 16
=
thì
PD PB
k PD 9k,PB 16k
9 16
= = = =
Nếu
CP BD
thì
( )
CP PB
CBD DCP g g
PD CP
=:
1đ
do đó CP
2
= PB.PD
A
B
C
D
O
M
P
I
E
F
hay (2,4)
2
= 9.16 k
2
=> k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC
2
= BP.BD = 16 0,5®
do ®ã BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm) 0,5®
Bµi 5: (2 ®iÓm)
a) Ta cã: 2009
2008
+ 2011
2010
= (2009
2008
+ 1) + ( 2011
2010
– 1)
V× 2009
2008
+ 1 = (2009 + 1)(2009
2007
- …)
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1)
2011
2010
- 1 = ( 2011 – 1)(2011
2009
+ …)
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1®
Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.
b) Cã:
2 2
1 1 2
1 x 1 y 1 xy
+ ≥
+ + +
(1)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
0
1 x 1 xy 1 y 1 xy
x y x y x y
0
1 x 1 xy 1 y 1 xy
y x xy 1
0 2
1 x 1 y 1 xy
⇔ − + − ≥
÷ ÷
+ + + +
− −
⇔ + ≥
+ + + +
− −
⇔ ≥
+ + +
V×
x 1;y 1≥ ≥
=>
xy 1≥
=>
xy 1 0− ≥
=> B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1®
