Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Phần I. căn bậc hai_ căn bậc n
Đ 1 một số kiến thức cơ bản liên quan

A. Kiến thức cần nhớ:
1.Bất phơng trình tích
a) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng f(x) = ax + b (a 0).
Nghiệm của phơng trình ax + b = 0 cũng gọi là nghiệm của nhị thức ( x
0
= -
a
b
).
b) Định lí: (Định lí về dấu nhị thức bậc nhất).
Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a với mọi giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức ,
trái dấu với a với mọi giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.

Ví dụ:
Xét dấu các nhị thức sau:
a) f(x) = 2x 3 ; b) g(x) = -3x 5
Giải
Ph ơng pháp: +) Xác định dấu của hệ số a
+) Tìm nghiệm của nhị thức
+) Kết luận: Dựa vào định lí để kết luận
a) Ta có: a = 2 > 0.
Nhị thức có nghiệm x
0
=
3
2
Vậy f(x) < 0 nếu x <

3
2
; f(x) > 0 nếu x >
3
2
( Hay 2x 3 < 0 nếu x <
3
2
; 2x -3 > 0 nếu x >
3
2
).
b) Ta có: a = -3 < 0.
Nhị thức có nghiệm x
0
= -
3
5
.
Vậy f(x) < 0 nếu x > -
3
5
; f(x) > 0 nếu x< -
3
5
.
( Hay -3x 5 < 0 nếu x > -
3
5
; -3x 5 > 0 nếu x< -

3
5
).
2. Bất phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
a) |f(x)| < a



<<
>
axfa
a
)(
0
; b) |f(x)| a





axfa
a
)(
0
;
c) |f(x)| > a
















>
<

<
axf
axf
a
a
)(
)(
0
0
; d) |f(x)| a


















>

axf
axf
a
a
)(
)(
0
0
.
B. Các ví dụ:
Ví dụ1:
Giải các bất phơng trình sau:
a) 2x 7 < 0 ; b) -4x + 3 0 ;
x
- x
0
+

f(x) = ax + b a.f(x) < 0 a.f(x) > 0
1
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
c) (2x 7)( -4x + 3) 0 ; d)
0
62
)2)(1(
<


x
xx
Giải
Ph ơng pháp:
1) Đối với câu a) và b) ta có thể sủ dụng tính chất của bất đẳng thức để biến đổi tơng đ-
ơng
2) Đối với câu c) và d) ta áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất
a) 2x 7 < 0 2x < 7 x <
2
7
Vậy x <
2
7
là nghiệm của bất phơng trình đã cho.
b) -4x + 3 0 -4x -3 x
4
3
4
3
=



.
Vậy x
4
3
là nghiệm của bất phơng trình đã cho.

c) (2x 7)( -4x + 3) 0 (*)
Cách 1: Biến đổi tơng đơng
(*)










+




+

034
072

034
072
x
x
x
x
































4
3
2
7
4
3
2
7
x
x
x
x

2
7
4
3
x
Vậy Bpt (*) có nghiệm là x







2
7
;
4
3
Cách 2: Vận dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất

1) Tìm nghiệm của các nhị thức bậ nhất:
2x 7 = 0 x =
2
7
;
- 4x + 3 = 0 x =
4
3

2) Lập bảng xét dấu:

x
-
4
3

2
7
+
2x 7 - - 0 +
-4x + 3 + 0 - -

VT - 0 + 0 -
3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phơng trình là: S =






2
7
;
4
3

2
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
d)
0
62
)2)(1(
<


x
xx
1) Nghiệm của các nhị thức bậc nhất:
x 1 = 0 x = 1; 2 x = 0 x = 2; 2x 6 = 0 x = 3
2) Lập bảng xét dấu:

x

- 1 2 3 +
x 1
- 0 + | + | +
2 x
+ | + 0 - | -
2x 6
- | - | - 0 +
VT
+ | - | + || -
3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập ghiệm S = (1;2)(3; +)

Ví dụ2:
Giải các bất phơng trình sau:
a) 2x
2
3x + 1 < 0 ; b) x
2
+ 4x +5 0 ;
c) -2x
2
+4x 6 0 ; d) 2x
2
5x + 2 < 0
H ớng dẫn giải
Ph ơng pháp:
Phân tích vế trái của các bất đẳng thức thành tích các nhị thức rồi thực hiện cách
giải nh ví dụ 1.

a) 2x
2

3x + 1 < 0 (1)
(1) 2x
2
2x x + 1 < 0 2x(x 1) (x 1) < 0
(2x 1)(x 1) < 0

b) x
2
+ 4x +5 0 x
2
+ 4x + 4 + 1 0 (x + 2)
2
+ 1 0
Luôn đúng với mọi x.

c) -2x
2
+4x 6 0 -2(x
2
2x + 1) 4 0 -2(x - 1)
2
4 0 vô lí.

d) 2x
2
5x + 2 < 0 2x
2
4x x + 2 < 0 2x(x - 2) (x 2) < 0
(2x 1)(x - 2) < 0.
Ví dụ3:

Giải các bất phơng trình sau:
a) |1 - 3x| < 2 ; b) |5x + 3| > 4 ;
c) |x
2
5x + 5| 1 ; d)
x
x

+
2
13
< 3.
Giải
a) |1 - 3x| < 2 - 2 < 1 3x < 2 - 3 < -3x < 1 -
3
1
< x < 1
Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-
3
1
; 1).
b) |5x + 3| > 4



<+
>+
435
435
x

x







<
>
5
7
5
1
x
x
3
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;-
5
7
)(
5
1
;+).
c) |x
2
5x + 5| 1





+
+
155
155
2
2
xx
xx





+
+
065
045
2
2
xx
xx

Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;1] [2;3] [4; +) .
d)
x
x

+

2
13
< 3







<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x









<

+
>+

+
03
2
13
03
2
13
x
x
x
x








<


+
>

++
0
2
)2(3)13(
0
2
)2(3)13(
x
xx
x
xx
(*)








<


>

0
2

56
0
2
7
x
x
x




<
>
0)2)(56(
02
xx
x




<
>
056
02
x
x
x <
6
5

Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;
6
5
).
Chú ý: Nhiều bạn thờng hay mắc sai lầm ở phép biến đổi:








<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x





<+
>+
)2(313
)2(313
xx
xx




<
>
56
61
x
Điều đó chỉ đúng khi 2 x > 0 x < 2.
Đ 2 biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số
A. Kiến thức cần nhớ:
1) Hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
.
+) (a b)

3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2
b
3
+) a
2
b
2
= (a - b)(a + b)
+) a
3
b
3
= (a b)(a
2


ab + b
2
)
2) Các quy tắc về luỹ thừa(a, b, c 0, mZ).
+) a
m
.a
n

= a
m+n
; +) a
m
: a
n
= a
m-n
.
+) (a
m
)
n
= a
m.n
= a
n.m
; +) (abc)
m
= a
m
b
m
c
m
.
+)
m
m
m

b
a
b
a
=






; +) a
-m
=
m
a
1
.
3) Các quy tắc về căn bậc hai:
+) Điều kiện có nghĩa của
A
là A 0.
+) Quy ớc
a
0.
+)





==
a
a
aa
2
Với các điều kiện có nghĩa thì:
4
nếu a 0
nếu a < 0
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
+)
abba =.
;
( )
n
n
aa =
; +)
( )
nnn
n
cbacba =
+)
b
a
ba =:
(b 0); +)
baba =
2
+) a






=
ba
ba
b
2
2
+)
b
ba
b
a
=

+)
cb
cba
cb
a

=

)(
;
2
)(

cb
cba
cb
a

=


(đk : mẫu thức khác 0)


Phần II: hàm số
hàm số bậc nhất-phơng trình & hệ phơng trình bậc nhất
Đ 1 Khái niệm về hàm số
A. kiếm thức cần nhớ
1.Định nghĩa: Hàm số là một quy tắc đặt tơng ứng mỗi giá trị x D duy nhất một giá trị
y R . Kí hiệu y = f(x).
2. Các khái niệm liên quan:
+) Giá trị x gọi là biến số (đối số) của hàm số. Giá trị y gọi là giá trị của hàm số.
+) Tập D gọi là tập xác định của hàm số.
+) Tập M gồm tất cả các giá trị của y gọi là tập giá trị của hàm số.
Chú ý: Nếu hàm số đợc cho bởi một công thức thì tập xác định của hàm số là tập hợp tất
cả các giá trị của x làm cho biểu thức đó có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm có
tọa độ (x;f(x)).
4.Hàm số đồng biếm,nghịch biến
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
Nếu x
1

< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên D.
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên D.
Đ 2 hàm số bậc nhất- phơng trình và
hệ phơng trình bậc nhất
A. kiếm thức cần nhớ
1. Hàm số bậc nhất:
Đ/n: Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b (a 0).
a. Tập xác định: D = R
b. Chiều biến thiên: +) Nếu a > 0 thì hàn số đồng biến.
+) Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến.
5
nếu a 0
nếu a < 0
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
c.Đồ thị: Đồ thị hàm số bậc nhất là một đờng thẳngcắt cả trục tung và trục hoành lần lợt tại
A(0;b),B(-

b
a
;0).

Nhận xét: Đồ thị hàm số đồng biến là một đờng hớng lên từ trái qua phải.
Đồ thị hàm số nghịch biến là đờng hớng xuống từ trái qua phải.
- Đồ thị của hàm số bậc nhất còn gọi tắt là đờng thẳng , còn biểu thức y = ax + b còn gọi là
phơng trình của đờng thẳng, a gọi là hệ số góc của đờng thẳng và
tana

=
(với

là góc
tạo bởi đờng thẳng và trục hoành).
- Nếu a = 0 thì hàm số có dạng y = b , đồ thị là một
đờng thẳng đi qua điểm A(0;b) và song song với
trục hoành.
2. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:
Cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = a
1
x + b
1
(d
1
) ; y = a
1
x + b
1
(d

2
).
d
1
cắt d
2


a
1
a
2
; d
1
// d
2



1 2
1 2
a a
b b
=





d

1
d
2


1 2
1 2
a a
b b
=




; d
1
d
2


a
1
. a
2
= -1 .
3. Phơng trình dạng ax + b = 0 (1) (a;b R)
Nếu a 0 : Pt (1) gọi là phơng trình bậc nhất và luôn có nghiệm duy nhất
b
x
a

=
.
Nếu a = 0; B 0: Pt (1) vô nghiệm.
Nếu a = 0 và b = 0 : Pt (1) nghiệm đúng x R.
4. Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (1) (a
2
+ b
2
0)
Phơng trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là:

x
c ax
y
b




=


hoặc
y
c ax
x
b





=


.
Tập hợp các điểm M(x;y) trong đó x, y thỏa mãn (2) là một đờng thẳng.

5. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Có dạng:



(I)
6
y
x
y
x
O
O
A(0;b)
B(-;0)
a > 0
a < 0
A(0;b)
B(-;0)
y
x
O
A(0;b)

a = 0
y = b
tùy ý
tùy ý
tùy ý
ax + by = c (1)
ax + by = c (2)
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia


' '
a b
a b

: Hệ (I) có nghiệm duy nhất, ĐT(1) cắt ĐT(2).

' ' '
a b c
a b c
=
: Hệ (I) vô nghiệm, ĐT(1) song song với ĐT(2).

' ' '
a b c
a b c
= =
: Hệ (I) có vô số nghiệm (x;y) thỏa mãn (1) hoặc (2), ĐT(1) trùng ĐTT(2).
Ph ơng pháp giải:
Phơng pháp thế
Phơng pháp cộng đại số.

Phơng pháp thế: Rút một ẩn từ một phơng trình rồi thế vào phơng ttrình còn lại.
Phơng pháp cộng đại số: cân bằng hệ số của một ẩn ở cả hai phơng trình rồi trừ theo vế hai
phơng trình để khử bớt một ẩn.Tìm ẩn còn lại.
B. các ví dụ về giải toán
Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d)
a) Xác định m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Xác định m để đờng thẳng (d) :
1) Song song với trụ hoành.
2) Song song với đờng thẳng có phơng trình: x 2y = 1. (d)
3) Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x = 2 -
3
2
.
c) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi , tìm điểm cố
định đó.
Giải
a) -Hàm số đồnh biến nếu: m 1 > 0 m > 1.
-Hàm số đồnh biến nếu: m 1 < 0 m < 1.
b)Tìm m:
1) Đờng thẳng (d) song song với Ox khi và chỉ khi m 1 = 0 m = 1.
2) Viết lại đờng thẳng (d) dới dạng: y =
1
2
x -
1
2
Hai đờng thẳng (d) và (d) song song với nhau khi và chỉ khi :
1
1
3

2
1
2
2
m
m
m

=


=





3) Điểm A có tọa độ : A (2 -
3
2
;0) . Do đờng thẳng (d) đi qua A nên ta có:
0 = (m - 1) (2 -
3
2
) + m m =
21 2 3
33

.
c) Điểm cố định:

Cách 1: (Phơng pháp hệ số bất định)
Gọi M(x
0
;y
0
) là điểm cố định (nếu có) của đờng thẳng (d), khi đó:
y
0
= (m - 1)x
0
+ m m R
(m - 1)x
0
+ m y
0
= 0 (*) m R
Vì (*) đúng với mọi m R nên:
Với m = 0: - x
0
y
0
= 0 x
0
= -y
0
(a)
7
Ví dụ 1:
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Với m = 1: 1 y

0
= 0 y
0
= 1 thay vào (a) ta có: x
0
= -1.
Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1).
Cách 2: (Phơng pháp đồng nhất thức)
Gọi M(x
0
;y
0
) là điểm cố định (nếu có) của đờng thẳng (d), khi đó:
y
0
= (m - 1)x
0
+ m m R
(x
0
+ 1)m ( y
0
+ x
0
) = 0 (*) m R

0 0
0 0 0
1 0 1
( ) 0 1

x x
y x y
+ = =



+ = =


Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1).
Cho hàm số y = (m - 2)x + n () trong đó hai số m , n là hai số thực cho trớc.
a) Tìm m và n để đờng thẳng () đi qua hai điểm A(1;-2) và B(3; -4).
b) Tìm m và n để đờng thẳng () cắt trục tung tại điểm M có tung độ y = 1 -
2
và cắt trụ
hoành tại điểm N có hoành độ x = 2 +
2
.
c) Tìm m, n để đờng thẳng () :
1) Vuông góc với đờng thẳng có phơng trình x 2y = 3. (
1
)
2) Song song với dờng thẳng có phơng trình 3x + 2y =1. (
2
)
3) Trùng với đờng thẳng có phơng trình y 2x + 3 = 0. (
3
)
Giải
a) Vì đờng thẳng () đi qua A và B nên ta có hệ sau:

2 2 0 1
( 2).3 4 3 2 1
m n m n m
m n m n n
+ = + = =



+ = + = =

b) M(0; 1 -
2
);N(2 +
2
;0). Tơng tự nh câu a) ta có hệ sau:

3 2
1 2
2
( 2)(2 2) 0
1 2
n
m
m n
n


=
=




+ + =



=

c) Xác định m, n:
1) Đờng thẳng (
1
) viết lại dới dạng: y =
1 3
2 2
x
Điều kiện để đờng thẳng () vuông góc với đờng thẳng (
1
) là:
(m - 2).
1
2
= -1 m 2 =-2 m = 0.
2) Viết 3x + 2y = 1 dới dạng y = -
3
2
x +
1
2
, điều kiện là :
3 1

2
2 2
1 1
2 2
m m
n n

= =








3) Viết y - 2x + 3 = 0 dới dạng y = 2x 3, điều kiện là:
2 2 4
3 3
m m
n n
= =



= =

8
Ví dụ 2:
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia

Đ 3. hàm số y = ax
2
_ phơng trình bậc hai
A. kiếm thức cần nhớ
1. Hàm số y = ax
2
Tập xác định : D = R
Chiều biếm thiêm:
a > 0: Hàm số nghịch biến trong khoảng ( - ; 0] và đồng biến trên khoảng (0 ; + ).Giá
trị nhỏ nhất bằng không.
a < 0: Hàm số đồng biến trong khoảng ( - ; 0] và nghịch biến trên khoảng (0 ; + ).Giá
trị lớn nhất bằng không.
Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax
2
là một parabol, đi qua gốc tọa độ, nhận trục tung làm trục đối
xứng,quay bề lõm lên phía trên nếu a > 0 (quay bề lõm xuống phía dới nếu a < 0).
2. Phơng trình bậc hai
Có dạng: ax
2
+ bx + c =0 (a

0)
Cách giải:


= b
2
4ac (


= b
2
ac; b = 2b)
Nếu

< 0 (

< 0) thì phơng trình đã cho vô nghiệm
Nếu

= 0 (

= 0) thì phơng trình đã cho có nghiệm kép x
1
= x
2
=
2
b
a

(
'b
a

).
Nếu

> 0 (


> 0) thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

1
' '
2
b b
x
a a


= =
ữ
ữ

;
2
' '
2
b b
x
a a

+ +
= =
ữ
ữ

Đặc biệt:+)Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình bậc hai có hai nghiệm:x = 1 và x =
c
a

.
+) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình bậc hai có hai nghiệm:x = -1 và x =-
c
a
.
3. Định lí Viét và các ứng dụng
a) Định lí: Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =




=



b)ứ ng dụng:
1) Tìm hai số nếu biết tổng và tích:
Nếu hai số x ; y thỏa mãn
2
4
x y S
xy P
S P

+ =

=





thì x ; y là hai nghiệm của phơng trình X
2
SX + P = 0.
2) Xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai:
Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu ac < 0.
Phơng trình có hai nghiệm dơng (x
1
> 0; x
2
> 0 )
0
0

0
S
P



>


>

9
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Phơng trình có hai nghiệm âm (x
1
< 0; x
2
< 0 )
0
0
0
S
P



<


>


4.Phơng trình trùng phơng:
Có dạng: ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a 0)
Cách giải: Đặt x
2
= t , điều kiện t 0 ; phơng trình đã cho có dạng
at
2
+ bt + c = 0.
5. Cách giải ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu.
Cách 1: + Tìm ĐKXĐ.
+ Qui đồng mẫu rồi khử mẫu.
+ Giải phơng trình tìm đợc.
+ Trong các gía trị tìm đợc của ẩn, gía trị nào thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phơng
trình, gía trị nào không thoả mãn ĐKXĐ thì loại rồi kết luận.
Cách 2: Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai (nếu có thể)
6. Cách giải ph ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
Cách 1: Xét khoảng để bỏ dấu gía trị tuyệt đối (lu ý đối chiếu gía trị tìm đợc của ẩn với khoảng
đang xét).
Cách 2: Đa về phơng trình tích.
Cách 3: Bình phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng
dấu)
Cách 4: Đặt ẩn phụ.
Cách 5: Biến đổi tơng đơng








a = b a = b
b 0
a = b
a = b
Cách 6: Sử dụng tính chất BĐT:

0 a a
. Dấu "=" xảy ra

a = 0.
a
a với mọi a. Dấu "=" xảy ra

a

0.
a
- a với mọi a. Dấu "=" xảy ra

a

0.
+a + b a b
. Dấu "=" xảy ra


ab

0.
7. Cách giải ph ơng trình bậc cao.
Cách 1: Đa về phơng trình tích.
Cách 2: Đặt ẩn phụ.
Cách 3: Sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế.
8. Giải ph ơng trình vô tỉ.
Cách 1: Bình phơng hai vế
(Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng dấu)
Cách 2: Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
Cách 3: Biến đổi tơng đơng


=






2
a
b 0
b
a = b
a = b a = b 0
Cách 4: Đặt ẩn phụ.
Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT.
9. Ph ơng trình nghiệm nguyên.

Cách 1: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tích các nhân tử chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1
hằng số.
Cách 2: Rút ẩn.
10
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Cách 3: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tổng các bình phơng, các lập phơng của các hạng tử
chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1 hằng số.
Cách 4: Xem phơng trình là phơng trình bậc hai một ẩn.
Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT:
Cách 6: Sử dụng tính chất chia hết.
Cách 7: Phơng pháp xuống thang.
Cách 8: Sử dụng liên phân số.
10. Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình
+ Lập phơng trình.
- Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn.
(Có thể chọn bất kì 1 số liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp để phơng trình
lập đợc đơn giản, thờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn).
- Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn.
(Chú ý về quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán).
- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để lập phơng trình.
+ Giải phơng trình.
+ Chọn kết quả thích hợp và trả lời.
11. Dạng toán về số nghiệm của ph ơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
- Xét trờng hợp a = 0.
- Trờng hợp a

0
. Nếu ac < 0 thì phơng trình có hai nghiệm.

. Phơng trình vô nghiệm khi và chỉ khi

' < 0 hoặc

< 0.
. Phơng trình có nhiệm kép khi và chỉ khi

' = 0 hoặc

= 0.
. Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

' = 0 hoặc

= 0.
12. Dạng toán về dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

' < 0 hoặc

< 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
P < 0.
- Phơng trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

' > 0 hoặc

> 0 và P > 0. Khi đó 2 nghiệm cùng dơng khi và chỉ khi S > 0;
2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi S < 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 1 nghiệm kép dơng khi và chỉ khi

' = 0 hoặc

= 0 và - > 0, có 1 nghiệm kép âm khi và chỉ khi

' = 0
hoặc

= 0 và - < 0.
13.Tính gía trị của biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai.
Cách 1: + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Biểu diễn biểu thức chứa x
1
; x
2
qua x

1
+ x
2
; x
1
x
2
rồi sử dụng hệ thức Vi ét.
Cách 2: Giải phơng trình, tìm x
1
; x
2
rồi tính.
14.Chứng minh biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn một
điều kiện cho tr ớc.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Biểu diễn biểu thức chứa x
1
; x
2
qua x
1
+ x
2
; x
1

x
2
rồi sử dụng hệ thức Vi ét, tính gía trị
của biểu thức theo tham số.
+ Chứng minh biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai thoả mãn điều
kiện cho trớc.
15.Tìm gía trị của tham số để biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả
mãn một điều kiện cho tr ớc.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Sử dụng hệ thức Vi ét và điều kiện cho trớc để tìm gía trị của tham số.
16. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào tham số.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Sử dụng hệ thức Vi ét biểu diễn x
1
+ x
2
; x
1

x
2
qua tham số.
+ Khử tham số bằng phơng pháp cộng hoặc phơng pháp thế.
17. Lập ph ơng trình bậc hai.
- Phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1
; x
2
là (x - x
1
)(x - x
2
). Sau đó, đa về dạng chính tắc.
11
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
- Nếu x
1
+ x
2
= S; x
1
x
2
= P thì x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai
x

2
- Sx + P = 0
Cho phơng trình : (m 2)x
2
2mx + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phơng trình bậc hai .
b) Giải phơng trình khi m =
3
2
.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
d) Giả sử (1) có hai nghiệm x
1
và x
2
,tính x
1
2
+ x
2
2
.
Giải
a) Để (1) là phơng trình bậc hai thì m 2 0 m 2.
b)Thay m =
3
2
vào phơng trình và rút gọn ta đợc:
x
2

+ 6x + 5 = 0
1
5
x
x
=



=

c) Điều kiện để(1) có hai nghiệm phân biệt là:
2
0 2 0
4
' 0 6 8 0
3
m
a m
m
m







> >
>




Vậy: với
4
2
3
m<
phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Chú ý: Học sinh rất dễ mắc sai lầm không nêu điều kiện a 0, chẳng hạn ở ví dụ trên khi m = 2
thì (1) là phơng trình bậc nhất có một nghiệm duy nhất x = -
1
2
.
d) Với
4
2
3
m<
theo Viét ta có
1 2
1 2
2
2
4
2
m
x x
m
m

x x
m

+ =






=



.
S =
2
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2 4 2 12 16
( ) 2 2
2 2 ( 2)
m m m m
x x x x x x
m m m
+

+ = + = =

ữ


.
Cho phơng trình
x
2
2(m + 1)x + m 4 = 0 (2)
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt .
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Chứng minh biểu thức : M = x
1
(1 x
2
)+ x
2
(1 x
1
) không phụ thuộc vào m.
d) Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là :
1 2
1 1
;
x x
(x
1
, x
2
là nghiệm của (2)).
Giải

a) Ta có :

= m
2
+ m + 5 =
2
1 19
0
2 4
m m

+ + >
ữ

vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân
biệt.
b) Phơng trình (2) có hai nghiệm tría dấu ac < 0 m 4 < 0 m < 4.
c) Theo Viét ta có x
1
+ x
2
= 2(m + 1), x
1
x
2
= m 4.
Vậy M = x
1
+ x
2

2 x
1
x
2
= 2(m + 1) 2(m - 4) = 10 không phụ thuộc vào m.
d) S =
1 2
1 2 1 2
1 1 2( 1)
4
x x m
x x x x m
+ +
+ = =

12
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
P =
1 2
1 1
( 4)
. 4
m
x x m
=

Vậy phơng trình cần thành lập là: x
2

-
2( 1)
4
m
m
+

x +
1
4m
= 0
hay (m 4)x
2
2(m + 1)x + 1 = 0 (m 4)
Cho hàm số: y = 2x
2
(P).
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục tọa độ.
c) Tùy theo m hãy xét số giao điểm của đờng thăng y = mx 1 với (P).
d) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0; -2) và tiếp xúc với (P).
e) Tìm tập hợp các điểm M sao cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng cuông góc với nhau
cùng tiếp xúc với (P).
f) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ bằng
5
Giải
a) Đồ thị (bạn đọc tự vẽ).
b) Cách 1: Dùng đồ thị vẽ thêm hai đờng thẳng y = -x và y = x rồi tìm tọa độ giao điểm.
Cách 2: Dùng tích chất:
Để điểm A(x

A
; y
A
) cách đều hai trục tọa độ thì
A A
x y=
. (1)
Mặt khác A lại nằm trên đồ thị (P) nên:
2
2
A A
y x=
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
2
2 0
A A
x x =

0
1
2
A
A
x
x
=




=

Vậy có ba điểm cần tìm : A
1
(0;0), A
2
(
1
2

;
1
2
), A
3
(
1
2
;
1
2
).
c) Số giao điểm của đờng thẳng y = mx 1 với (P) chính là số nghiệm của phơng trình:
2x
2
= mx 1 2x
2
- mx + 1 = 0 (3)
= m
2

8
< 0 m
2
8 < 0
2 2m <
phơng trình (3) vô nghiệm , hay đờng thẳng không cắt
(P).
= 0 m
2
8 = 0
2 2m =
phơng trình (3) có một nghiệm , hay đờng thẳng
cắt (P) tại một điểm (đờng thằng tiếp xúc vứi (P)).
> 0 m
2
8 > 0
2 2m >
phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt , hay đờng
thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
d) Đờng thẳng cần tìm không thể song song với Oy nên có dạng y = ax + b.
Vì đi qua A(0 ; -2) nên b = - 2, khi đó y = ax 2 (4) . Sử dụng kết quả câu c), để đờng thẳng (4)
tiếp xúc với (P), cần và đủ là phơng trình 2x
2
= ax 2 phải có nghiệm kép.
Giải tiếp = 0 a = 4.
Hai đờng thẳng cần tìm là: y = 4x 2 .
e) Giả sử M(x
0
;y
0

). Phơng trình đờng thẳng qua M có hệ số góc bằng k là:
y = k(x x
0
) + y
0
(5)
Cần và đủ để đờng thẳng (5) tiếp xúc với (P) là phơng trình 2x
2
= k(x x
0
) + y
0
có nghiệm kép
hay 2x
2
- kx + kx
0
- y
0
= 0 có nghiệm kép
k
2
8x
0
k + 8y
0
= 0 (6)
Phơng trình (6) có hai nghiệm k
1
;k

2
thỏa mãn đề bài là: k
1
.k
2
= - 1

0
8 1
c
y
a
= =
y
0
=
1
8

13
Ví dụ 3:
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Vậy tập hợp điểm M là đờng thẳng y =
1
8

.
f) Gọi điểm phải tìm là N(x
1
;y

1
). Vì ON =
5
nên x
1
2
+ y
1
2
= 5 (7).
Mặt khác N (P) nên y
1
= 2x
1
2
(8), y
1
0.
Từ (7) và (8) suy ra 2y
1
2
+ y
1
10 = 0
1
1
2
5
2
y

y
=



=

Với y
1
= 2 , suy ra x
1
2
= 1 hay x
1
= 1.
Hai điểm cần tìm là: N
1
(-1;2)và N
2
(1;2).
Tìm cặp số (x ; y) thỏa mãn phơng trình : 7x
2
4x y + 1 = 0 (1) sao cho y đạt giá trị nhỏ
nhất.
Giải
Xét phơng trình bậc hai ẩn x; tham số y. Nếu tồn tại cặp số (x ; y) thỏa mãn phơng trình (1) thì
(1) phải có nghiệm với ẩn x, do đó:
0 7y 3 0 y
3
7

Vậy Miny =
3
7
khi (1) có nghiệm kép x =
2
7
Suy ra cặp số cần tìm là:
2 3
;
7 7

ữ

.
Đ 4. bất đẳng thức và bất phơng trình
A. Kiến thức cần nhớ:
1. Bất đẳng thức:
Có dạng: A > B, A < B, A B, A B
Cách chứng minh:
+) Biến đổi tơng đơng,
+) Xét hiệu A B,
+) Sử dụng các bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Ví dụ:
(a - b)
2
0; - (a - b)
2
0 ;
( 0; 0)
2
a b

ab a b
+

; a
2
+ b
2
+ c
2
+ + f
2
0;
2. Bất phơng trình:
Dạng 1: ax + b > 0 (1) ,( ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0)
Ph ơng pháp:
-Nếu a > 0 : nghiệm của (1) là: x > -
b
a
-Nếu a < 0 : nghiệm của (1) là: x < -
b
a
-Nếu a = 0 : thì: +) b 0 bất phơng trình (1) vô nghiệm
+) b > 0 bất phơng trình (1) nghiệm đúng với mọi x R.
Dạng 2:
( )f x

<
(2) ;
( )f x


>
(3)
Ph ơng pháp: (2)
( )f x

< <

( )
( )
f x
f x


>


<

14
(loại)
Ví dụ 4:
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
(3)
( )f x

>

0
0
( )

( )
x D
f x
f x





<







>



<






>




Dạng 3:
( )
0
( )
P x
Q x
>
(4)
Ph ơng pháp: (4)
( ) 0
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
( ) 0
P x
Q x
P x Q x
P x
Q x

<



<


>


>



>



Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu P(x) và Q(x).
B. Các ví dụ:
Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 2
2
a b
ab
+

; b)
2
a b
ab
+

(a 0 ; b 0); c)
2
2 2
2 2
a b a b

ab
+ +


ữ

.
Giải
a) Ta có (a b)
2
0 a
2
2ab + b
2
0 a
2
+ b
2

2ab
2 2
2
a b
ab
+

(đpcm)
b) Ta có:
( )
2

0 2 0 2
2
a b
a b a ab b a b ab ab
+
+ +
(đpcm)
c) Xét hiệu:

2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 4
a b a b a b ab a b+ + + +

=
ữ


2 2 2
( 2 ) ( )
0
4 4
a b ab a b +
= =
(đpcm).
Dấu := ở (1);(2) và (3) đều xảy ra khi và chỉ khi a = b.
15
Ví dụ 1:
Tài liệu ôn thi lớp 10( §¹i sè ) – GV: Lê Văn Hòa .THCS Xuân Lâm – Tĩnh Gia

16