Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879 Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Bài 1: Tứ diện SABC có SA vuông góc với mp (ABC) .Gọi H và K lần lượt là trực tâm
của các tam giác ABC và SBC.CMR:
a) AH,SK và BC đồng quy
b) SC vuông góc với (BHK)
c) HK vuông góc với (SBC)
Bài 2: Cho hình vuông ABCD ,H là trung điểm của AB ,K là trung điểm của AD.Trên
đường thẳng vuông góc với mp (ABCD) tại H lấy một điểm S khác với H. CMR:
a) AC vuông góc với (SHK)
b) CK vuông góc với DH và CK vuông góc với SD
Bài 3: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau.Gọi H
là điểm thuộc mp (ABC) sao cho OH vuông góc với mp (ABC). CMR :
a) BC vuông góc với (OAH)
b) H là trực tâm của tam giác ABC
c)
2222
OC
1
OB
1
OA
1
OH
1
++=
Bài 4: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SB = SD
a) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn BD
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SD.Chứng minh
SH= SK, OH=OK, và HK song song với BD
c) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn HK

Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , SA vuông góc với (ABCD) và
SA =
2a
.Gọi AH là đường cao của tam giác SAB.
a) Tính tỉ số
SB
SH
và độ dài đoạn AH
b) Gọi M là trung điểm của AB ,α là mp qua M và vuông góc với SB,Mp α cắt
hình chóp theo thiết diện là hình gì ?
c) Tính diện tích của thiết diện.
Đs : a) 1/3 b) thang vuông c)
2
5 3 / 9a
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a,tâm O . Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABCD) tại O ,lấy điểm S sao cho SO =
2
6a
.Mp α qua A và vuông góc với SC
lần lượt cắt SB , SC , SD tại B’ , C’ , D’ .
a) Tính AC’. Chứng minh C’ là trung điểm của SC
b) Chứng minh B’D’ song song với BD. Từ đó suy ra cách dựng B’ và D’
c) Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có 2 đường chéo vuông góc . Tính diện tích của tứ
giác này
Đs : c)
3/3a
2
Bài 7: Tam giác ABC có BC =2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với
(ABC) tại A , lấy điểm S sao cho SA =
2a

.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của
SB và SC.
a) Chứng minh BC vuông góc với (SAD)
b) Gọi H là hình chiếu của A trên EF. Chứng minh AH nằm trong (SAD) . Hãy cho
biết vị trí của điểm H đối với hai điểm S và D.
c) Tính diện tích của tam giác AEF. Đs : c)
4/3a
2
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại C .Trên nửa đường thẳng At vuông góc với mp(ABC)
ta lấy một điểm S.Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
a) Tìm tập hợp các điểm H và K khi S di động trên At
b) Chứng minh AK vuông góc với (SBC) và KH vuông góc với SB
c) Khi S di động trên At , CMR đường thẳng HK đi qua một điểm cố định
Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,cạnh bên CC’
vuông góc với đáy và CC’ = a
a) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh AI vuông góc với BC’.
b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh BC’ vuông góc với AM.
c) Gọi K là điểm trên đoạn A’B’ sao cho B’K =
4
a
và J là trung điểm của B’C’.
Chứng minh AM vuông gócvới MK và AM vuông góc với KJ.
Bài 10: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB = a , SA ⊥ (ABC)
,SA= a ,Gọi α là mp đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB.
a) Xác định mp α
b) Mp α cắt tứ diện SABC theo thiết diện là hình gì ?
c) Tính diện tích của thiết diện. Đs :b) Thang vuông c)
32/2a5
2
Bài 11: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD)

và SA =
2a
Gọi α là mp qua A và vuông góc với SC , α cắt SB , SC ,SD lần lượt
tại H ,M , K.
a) Chứng minh AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD.
b) Chứng minh BD song song với α .Từ đó CMR BD song song với HK
c) Chứng minh HK đi qua trọng tâm của tam giác SAC.
Bài 12: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a .Gọi O là trung điểm của AH.Trên
đường thẳng vuông góc với mp (ABC) tại O , lấy điểm S sao cho OS = 2a. Gọi I là
một điểm trên OH , đặt AI = x , (a< x < 2a) ; α là mp qua I và vuông góc với OH.
a) Xác định mp α
b) Dựng thiết diện của α với tứ diện SABC.Thiết diện là hình gì ?
c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện
Đs : b) Thang cân c)
Bài 13: Tứ diện SABC có 2 mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a và SA =
3
2
a
.M là điểm trên đoạn AB ,đặt AM = x (0 < x < a). Gọi α là mp qua M và vuông góc
với BC
a) D là trung điểm của BC , Chứng minh α song song với (SAD)
b) Xác định thiết diện của α với tứ diện SABC
c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện
Đs : b) Tam giác cân c)
16/33.)xa(
2
−
Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879 Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879
Bài 14: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB= a ,SA vuông góc với
(ABC) và SA=

2a
.Gọi α là mặt trung trực của SB , O là trung điểm của BC , ∆ là
đường thẳng qua O và vuông góc với mp (ABC). Dựng giao điểm K của ∆ và mp
α .Tính OK Đs :
4/2a3
Bài 15: Cho tam giác đều ABC cạnh a và một điểm S ngoài mp (ABC) sao cho SA = SB
= SC=
3
3a2
.
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC).
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp (ABC).
Đs : a) a b) 60
0
.
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , BC = a và một điểm S ngoài mp (ABC) sao cho
SA = SB = SC=
3
2
a
.
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC).
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp (ABC).
Đs : a)
2/2a
b) 54
0
45’
Bài 17: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA v uäng góc
với mp (ABCD) và SA = a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB.

a) Chứng minh đường thẳng IO vuông góc với mp (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM. Đs:
30 /10a
Bài 18: Cho mp α và một điểm O ngoài α .A là một điểm cố định thuộc α sao cho OA
không vuông góc với α , d là một đường thẳng di động trong α nhæng luôn luôn qua
A. Gọi M là hình chiếu của O trên d.
a) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn tính chất nêu trên.
b) Tìm vị trí của d để độ dài OM là lớn nhất.
Bài 19: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
(ABCD) và SA = a Gọi M là điểm di động trên đoạn CD , ta đặt CM = x .Gọi K là
hình chiếu của S trên BM.
a) Tính độ dài đoạn SK theo a và x.
b) Tìm tập hợp các điểm K thỏa mãn tính chất nêu trên.
Đs: a
2 2 2 2
(2 ) / ( )a x a x+ +
Bài 20: Cho tam giác ABC với AB = 7cm,BC =5cm ,CA =8cm .Trên đường thẳng
vuông góc với mp (ABC) tại A , lấy điểm O sao cho AO = 4cm. Tính khoảng cách từ
điểm O đến đường thẳng BC. Đs : 8
Bài 21: Cho tam giác vuông ABC vuông góc tại A, cạnh AB= a và nằm trong mpα ,cạnh
AC =
2a
và tạo với α một góc 60
0
.CMR cạnh BC tạo với α một góc 45
0
.
Bài 22: Cho góc vuông xOy và một điểm M nằm ngoài mp của góc vuông.Khoảng cách
từ M đến đỉnh O của góc vuông bằng 23cm và khoảng cách từ M đến 2 cạnh Ox, Oy
đều bằng 17cm . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông. Đs : 7cm

Bài 23:
Cho tam giác đều ABC .Trên tia Ax vuông góc với mp (ABC) , lấy một điểm S di động
.Gọi K là trung điểm của SC.
a) CMR khi S di động ,đường thẳng BK luôn luôn nằm trong mp cố định.
b) Tìm tập hợp các hình chiếu của A trên BK khi S di động trên tia Ax.
Bài 24: Cho góc vuông xOy .Trên các tia Ox và Oy , lần lượt lấy hai điểm M và N sao
cho MN = a, với a là một độ dài cho trước.
a) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.
b) Trên đường thẳng vuông góc với mp (Oxy) tại O, lấy một điểm A cố định .Hãy
xác định vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất.
Bài 25: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
(ABCD) và SA= a
a) Gọi I là trung điểm của SD .Chứng minh AI vuông góc với (SCD).
b) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , M là điểm di động trên đoạn SD. Tìm tập hợp
các hình chiếu của O trên CM
Bài 26: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC =2a , cạnh SA
vuông góc với mp (ABC) và SA = a.
a) Chứng minh mp (SAB) vuông góc với mp (SBC).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
Đs : a)
3/6a
b)
6/6a
Bài 27: Tứ diện SABC có hai tam giác SBC và ABC nằm trong hai mp vuông góc với
nhau. SBC là tam giác đều cạnh a, ABC là tam giác vuông tại A và
∧
ABC
=ϕ.
a) Hãy xác định hình chiếu H của S trên (ABC).

b) Tính SA.
c) Gọi I là trung điểm của AB .C/m (SHI) vuông góc với (SAB).Tính khoảng cách
từ H đến (SAB). Đs : b) a c)
ϕϕ
2
sin32/sin3a +
Bài 28: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
µ
A
= 60
0
, các cạnh
SA,SB và SD cùng bằng
2
3a
.
a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và độ dài cạnh SC.
b) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) và SB vuông góc với BC.
c) Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SBD) và (ABCD). Tính tgϕ
Đs : a)
6/15a
;
2/7a
c)
5tg =
ϕ
Bài 29: Tứ diện SABC có
·
ABC
=1v, AB =2a ,BC =

3a
,SA vuông góc với mp (ABC) ,
SA =2a .Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tính góc giữa hai mp (SBC) và (ABC).
b) Tính đường cao AK của tam giác AMC.
c) Tính góc ϕ giữa hai mp (SMC) và (ABC).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC).
Đs: a) 45
0
; b)
2/3a
c) 66
0
36’ d)
19/572a
Bài 30: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a,AD
= DC = a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a.
a) Chứng minh (SAD) vuông góc với (SDC) và (SAC) vuông góc với (SCB).
b) Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SBC) và (ABCD). Tính tgϕ
Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879 Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879
c) Gọi α là mp qua SD và vuông góc với (SAC).
Hãy xác định α và thiết diện của hình chóp S.ABCD với α .Tính diện tích
của thiết diện. Đs:
2 / 2tg
φ
=
; S =
2
3 / 2a
Bài 31: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh B và AB = a ,đoạn SA vuông góc với (ABC)

và SA=
3a
. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SC và SB, M là một điểm trên
đoạn AB. Đặt AM=x (0<x<a).Gọi α là mặt phẳng chứa EM và vuông góc với
(SAB).
a) Hãy xác định mp α và thiết diện của tứ diện SABC với α
b) Chứng minh FM =
2 2
x ax a− +
.Tính diện tích của thiết diện theo a và x.
c) Gọi K là hình chiếu của S trên α .Tìm tập hợp các điểm K khi M di động từ A
đến B Đs:
2 2
1
( 2 )
4
S a x x ax a= + − +

Bài 32: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mp vuông
góc với nhau.Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh (SAD) vuông góc với (SAB).
b) Tính góc giữa SD và (ABCD).
c) Gọi F là trung điểm của AD.Chứng minh (SCF) vuông góc với (SID) .Tính
khoảng cách từ điểm I đến (SCF). Đs: b) 37
0
45’ c)
8/23a
Bài 33: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mp vuông góc với nhau, AC=AD
= BC= BD = a và CD = 2x. Gọi I và J là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh IJ vuông góc với AB và IJ vuông góc với CD.

b) Tính AB và IJ theo a và x .
c) Xác định x sao cho (ABC) vuông góc với (ABD).
Đs : b)
2 2
2( )AB a x= −
;
2/ABIJ =
c)
3 / 3x a=
Bài 34: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho AB =2a ,
AD =DC = a. Giả sử hai mp (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mp (ABCD) và
SA= a. Gọi E là trung điểm của SA , M là điểm trên đoạn AD. Đặt AM=x (0≤ x≤ a).
Gọi α là mp chứa EM và vuông góc với (SAD).
a) Hãy xác định α và thiết diện của hình chóp S.ABCD với α
b) Tính diện tích của thiết diện.
c) Tìm tập hợp các hình chiếu của D trên α khi M di động từ A đến D.
Đs: S =
2 2
(3 ) 4 / 4a x a x− +
Bài 35: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, các cạnh bên đều
bằng a.
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt đáy.
b) Tính khoảng cách từ O đến (SCD).
c) Gọi α là mp qua AB và vuông góc với (SDC) ,α cắt SC và SD tại M và N .Hãy
xác định các điểm M và N .Tính diện tích của tứ giác ABMN.
Đs: a)
2/2a
b)
6/6a
c)

9/a.62
2
Bài 36: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,các cạnh bên đều bằng
3
2
a
.Gọi α là mp qua A , song song với BC và vuông góc với (SBC).Gọi I là trung
điểm của BC.
a) Hãy xác định mpα ,α cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ?
b) Tính khoảng cách từ điểm I đến mpα
c) Tính góc giữa đường thẳng AB và α
Đs : b)
4/2a
c) 20
0
42’
Bài 37: Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh a.Trên hai tia Bx và Dy vuông góc với mp
(ABCD) và cùng chiều , lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM .DN =
2
2
a
.Đặt
·
·
, .BOM DON
α β
= =
a) Chứng minh tgα .tg β = 1.Kết luận gì về hai góc α và β
b) Chứng minh (ACM) vuông góc với (ACN).
c) Gọi H là hình chiếu của O trên MN . Tính OH . Từ đó CMR AH vuông góc với

HC và (AMN) vuông góc với (CMN)
Bài 38: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB =SC =SD =
2a
.Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC .
a) Chứng minh mp (SIJ) vuông góc với mp (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB. Đs: b)
7/42a
Bài 39: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vuông góc
với mp (ABC) và AA’ =
2 / 2a
.Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
.
a) Chứng minh AB vuông góc với mp (COO’)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ .
Đs: b)
10/3a
Bài 40: Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
với nhau ,tam giác ABC vuông tại A ,tam giác ADC vuông tại D .
a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC đều vuông .
b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC . Tìm điều kiện để IJ là đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC
Bài 41: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , AD vuông góc với BC , AD = a
và khoảng cách từ D đến BC là a .Gọi H là trung điểm của BC và I là trung điểm của
AH
a) Chứng minh BC vuông góc với mp (ADH) và DH = a
b) Chứng minh DI vuông góc với (ABC)
c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC
Đs: c)
8/39a
Bài 42: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc

0
60=
∧
A
và
có đường cao SO = a
a) Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC)
Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879 Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879
b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB
Đs : a)
19/3a
b)
19/3a2
Bài 43: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mp vuông góc
với nhau .Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng : a) AD và SB b) SA và
BD
Đs : a)b)
7/3a
Bài 44: Cho tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a , BC = a .Giả sử Bt và Cx là hai nửa
đường thẳng vuông góc với mp (ABC) và ở cùng phía đối với (ABC) .Trên Bt , lấy
điểm B’ sao cho BB’ = a .Trên Cx lấy điểm C’ sao cho CC’ = x
a) Tính theo a và x độ dài các đoạn AB’ , B’C’ và AC’ .Tìm giá trị x sao cho
0
90'C'AB =
∧
b) Tìm lại kết quả câu a) bằng cách áp dụng định lý về hình chiếu của góc vuông
Đs :
2 2 2 2
' 5; ' 5 ; ' ' 2 2 ;AB a AC a x B C x ax a x a= = + = − + =
Bài 45: Tứ diện SABC có SA vuông góc với mp (ABC) , SA = a ,

0
90BSC =
∧
, SB = 2a ,
SC =
2a
a) Tính góc ϕ giữa hai mp (SBC) và (ABC)
b) Tính diện tích của tam giác ABC
Đs: a) 60
0
b)
2/2á
2
Bài 46: Tam giác ABC có đỉnh A nằm trong mp α , hai đỉnh B và C có hình chiếu trên α
lần lượt là B’ và C’ , sao cho AB’C’ là tam giác đều cạnh a . Giả sử CC’ = a , BB’ =
a/2
a) Gọi I là giao điểm của BC và B’C’ .Chứng minh IA vuông góc với AC
b) Tính diện tích của tam giác ABC rồi suy ra giá trị của góc ϕ giữa α và (ABC)
Đs : b) S =
4/6a
2
; 45
0
.
Bài 47: Cho hình vuông ABCD , các tia Ax , By , Cz ,Dt vuông góc với (ABCD) và ở
cùng phía đối với mp (ABCD) . Một mp α lần lượt cắt Ax , By , Cz , Dt tại A’ , B’ ,
C’ , D’
a) A’B’C’D’ là hình gì ? Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’
b) CMR điều kiện để A’B’C’D’ là hình thoi là A’B’C’D’ có hai đỉnh đối cách đều
(ABCD)

c) CMR điều kiện để A’B’C’D’ là hình chữ nhật là A’B’C’D’ có hai đỉnh kề cách
đều (ABCD).
Bài 48: Tam giác đều ABC cạnh a có hai đỉnh B và C nằm trong mp α , đỉnh A cách mp
α một đoạn bằng a/2
a) Tính góc ϕ giữa α và (ABC)
b) Gọi E và F là các điểm xác định bởi
→−→−→−→−
== AC
3
2
AF;AB
3
2
AE
.Tính diện tích
hình chiếu của tam giác AEF trên α
Đs: a) 35
0
15’ b)
18/2a
2
Bài 49: Cho tam giác ABC vuông tai B , AB = 2a , BC = a .Trên hai tia Ax và Cy vuông
góc ở cùng phía với (ABC) , lần lượt lấy hai điểm A’ và C’ sao cho AA’ = 2a , CC’ =
x
a) Xác định x sao cho
·
0
' ' 90A BC =
b) Xác định x sao cho
·

0
' ' 90BA C =
c) Cho x = 4a .Tính góc ϕ giữa hai mp (ABC) và (A’BC ’)
Bài 50: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a .Gọi E , F và M lần lượt là
trung điểm của AD , AB và CC’
a) Dựng thiết diện của hình lập phương với mp (EFM)
b) Tính góc ϕ giữa hai mp (ABCD) và (EFM)
c) Tính diện tích của thiết diện dựng được ở cáu a)
Bài 51: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA = a vuông góc
với mp (ABCD) .
a) Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông
b) Mp α qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB ,SC,SD tại B’ , C’ ,D’ . Chứng
minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB.
c) M là một điểm di động trên đoạn BC , gọi K là hình chiếu của S trên DM . Tìm
tập hợp các điểm K khi M di động
d) Đặt BM = x . Tính độ dài đoạn SK theo a và x .Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK
Bài 52: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc
0
60BAD =
∧
.Đường thẳng SO vuông góc với mp (ABCD) và đoạn SO = 3a/4 . Gọi E là trung
điểm của BC và F là trung điểm của BE.
a) Chứng minh mp (SOF) vuông góc với mp (SBC).
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mp (SBC).
c) Gọi α là mp qua AD và vuông góc với mp (SBC) .Xác định thiết diện của hình
chóp với α.Tính diện tích thiết diện này
d) Tính góc giữa α và ABCD
Bài 53: Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mp vuông
góc với nhau . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB ,CD và E , F lần lượt là trung
điểm của SA,SB

a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SCD) và góc giữa hai mp (SAB) và (SCD)
b) Gọi G là giao điểm của CE và DF .Chứng minh GE vuông góc với SA và GF
vuông góc với SB .Tính góc giữa hai mp (GEF) và (SAB). Hai mp này có vuông
góc với nhau không ?
c) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác SHK .Tính khoảng cách từ G đến mp
(SCD)
d) Gọi M là điểm di động trên đoạn SA . Tìm tập hợp hình chiếu của S trên mp
(CDM)
Bài 54: Trong mp α cho đường tròn (O) tâm O bán kính R , CD là một đường kính cố
định của (O) , EF là một dây song song hoặc trùng với CD .Trên đường thẳng vuông
góc với α tại O , ta lấy một điểm S sao cho
3RSO =
. Gọi H là trung điểm của EF
a) Giả sử EF song với CD .Chứng minh hai mp (SEF) và (SOH) vuông góc với
nhau
Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879 Hà Phước Chín Mobi : 090.5256879
b) Tính SE và SF . Chứng minh
0
60ESF ≤
∧
c) Gọi I và M lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác SCD và SEF . Giả
sử 0< OH < R . Chứng minh IM vuông góc với mp SEF
d) Giả sử 0 ≤ OH ≤ R . Tìm tập hợp các điểm M.
Bài 55: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các cạnh bên đều bằng
3a
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD)
b) Gọi α là mp qua A và vuông góc với SC .Hãy xác định thiết diện của hình chóp
với α
c) Tính diện tích của thiết diện nói trên
d) Gọi ϕ là góc giữa AB và α . Tính sinϕ

Bài 56: Cho hình thang ABCD có
µ
A
và
µ
B
là góc vuông .AD = 2a , AB = BC = a . S là
điểm nằm trên tia Ax vuông góc với mp (ABCD) . Gọi C’ và D’ lần lượt là hình
chiếu của A trên SC và SD
a) Chứng minh
·
·
0
90SBC SCD= =
b) Chứng minh AD’ , AC’ và AB cùng nằm trong một mp .Từ đó CMR C’D’ đi qua
một điểm cố định khi S di động trên Ax
c) Cho AS =
2a
. Tính diện tích của tứ giác ABC’D’
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SC khi
AS =
2a
Bài 57: Tứ diện SABC có SA = SB =SC = a ,
·
·
·
0 0 0
60 , 90 , 120BSC CSA ASB= = =
. Gọi K
là trung điểm của đoạn AC

a) Tính AB , BC , và CA . Từ đó chứng minh rằng
·
0
90ACB =
b) Xác định hình chiếu của S trên mp (ABC).
c) Tính góc giữa các càûp mp(SAB) và (ABC) , (SAC) và (ABC).
d) Chứng minh KS là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SB
Bài 58: Trong mặt phẳng α , cho một đường tròn (O) , AB là một đường kính cố định của
(O) , M là một điểm di động trên (O) . Gọi S là một điểm cố định sao cho SA vuông
góc với α . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SM .
a) Giả sử M khác A và B . Chứng minh AK vuông góc với mp(SMB) , SB vuông
góc với mp(AKH).
b) Gọi β là mp qua A và vuông góc với SB . Xác định giao tuyến d của α và β
c) Tìm tập hợp điểm K khi M chạy khàõp đường tròn (O)
d) Giả sử M chạy trên (O) và không trùng B . Gọi I là giao điểm của BM và HK .
Tìm tập hợp các điểm I.
Bài 59: Cho tứ diện đều SABC cạnh a .Gọi I là trung điểm của BC , M là một điểm trên
đoạn IS sao cho IM : IS == 3 : 5
a) Tính
·
cos AIS
và độ dài đoạn AM
b) Gọi α là mp qua AM và song song với BC . Tính diện tích thiết diện của tứ diện
SABC với α
c) Tính khoảng cách từ I đến α
d) Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng α
Bài 60: Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc .Gọi I là trung điểm của của AD , M là trung điểm của AB , F là trung
điểm của SB và K là giao điểm của CM và BI
a) Chứng minh mp (CMF) vuông góc với mp(SIB)

b) Tính BK và KF và suy ra rằng tam giác BKF cân
c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SD
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA
Bài 61: Cho hai tia Ax và By nhận AB làm đoạn vuông góc chung và góc (Ax,By) = ϕ ,
(0
0
< ϕ < 90
0
. Đặt AB = 2a . Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By
sao cho AM = BN , và gọi α là mặt phẳng chứa By và song song với Ax .
a) Gọi M’ là hình chiếu của điểm M trên α .Chứng minh rằng NM’ song song với
một đường thẳng cố định và MN song song với một mặt phẳng cố định
b) Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AB và MN .Chứng minh rằng OI là đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng AB và MN
c) Tìm tập hợp các điểm I
d) Xác định vị trí của M sao cho góc giữa (OMN) và α bằng 45
0
Bài 62: Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB làm đoạn vuông góc chung
. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM + BN = MN .
Đặt AB = 2a , gọi O là trung điểm của AB , H là hình chiếu của O trên MN
a) Chứng minh rằng OH = a , HM = AM , HN = BN.
b) Gọi Bx’ là tia song song và cùng chiều với Ax và K là hình chiếu của H trên (Bx’
,By) . Chứng minh BK là phân giác của góc x’By
c) Chứng minh H ở trên một đường tròn cố định