chuong3tichphannhieubien.pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (194.7 KB, 10 trang )
Pétítísốềếsố
Đ í é
t ế tí é
ũ t ề ệ tí ì t
tớ ệ tí ị ột ớ t ề tể
tí ì trụ sẽ t tớ ệ ớ tí
ớ
u = f(x, y) ị tụ tr ề
D ó ị tr Oxy
t í V ớ ở
ớ D (Oxy)
tr u = f(x, y)
t q ó ờ s s s ớ Oz
tự tr D
ì ẽ
í t ủ tí é
số u = f(x, y) ị tr ề D ó
ị D ột tỳ ý t n ỏ
1
,
2
, ...,
n
r ỗ S
i
ột ể tỳ ý
M
i
(x
i
, y
i
) ổ
I
n
=
n
i=1
f(x
i
, y
i
)S(
i
)
ợ ọ tổ tí ủ số f(x, y) tr ề
D
ọ d
i
= ờ í ủ
i
sup d(M, M
), M, M
i
ế n s max{d
i
} 0 I
n
tớ
ột ớ ữ I ụ tộ
ề D ể M
i
tr ỗ
i
tì ớ
ợ ọ tí é ủ số f(x, y) tr
ề D ý ệ
D
f(x, y)dS := lim
max{d
i
}0
I
n
D ề tí
f ớ tí
D
f(x, y)dS tồ t t ó f(x, y) tí tr ề
D
ì tí é ụ tộ ề D
t ỏ t ó tể D ở ọ ờ
t s s ớ trụ t ộ ó dS = dxdy
ó tể ết
D
f(x, y)dS =
D
f(x, y)dxdy
ú ý ế f(x, y) tụ tr ề ó ị
D tì tí tr ề
í t
ớ tết ó t tr tí ề
tí tí é ũ ó ột số tí t ố tí
ị
ế tí
D
(kf + lg)dxdy = k
D
fdxdy + l
D
gdxdy
ộ tí
ế ề D = D
1
D
2
tr int(D
1
)int(D
2
) =
tì
D
fdxdy =
D
1
fdxdy +
D
2
fdxdy.
tứ tự
f g,(x, y) D
t❤×
D
fdxdy ≤
D
gdxdy
✹✳ ◆Õ✉ m ≤ f(x, y) ≤ M,∀(x, y) ∈ D✱ m ✈➭ M ❧➭ ❤➺♥❣
sè✱ t❤×
mS(D) ≤
D
fdxdy ≤ M S(D)
✺✳ ➜▲ ✈Ò ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤
◆Õ✉ f(x, y) ❧✐➟♥ tô❝ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ ➤ã♥❣✱ ❜Þ ❝❤➷♥ D t❤×
∃M
0
(x
0
, y
0
) ∈ D : f(M
0
) =
D
fdxdy
S(D)
.
✶✳✸✳ ❈➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦Ð♣ tr♦♥❣ t♦➵ ➤é ✈✉➠♥❣ ❣ã❝
❚r♦♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♠ét ❧í♣✱ t❛ ➤➲ ➤Ò ❝❐♣ ➤Õ♥ ❜➭✐ t♦➳♥ tÝ♥❤
t❤Ó tÝ❝❤ ✈❐t t❤Ó t❤❡♦ t✐Õt ❞✐Ö♥ ♥❣❛♥❣ ❝ñ❛ ♥ã✳ t✐Õ♣ tô❝ ❣✐➯✐
t❤Ý❝❤ ❜➺♥❣ ❤×♥❤ ❤ä❝ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✷ ❧í♣ ♥❤➢ ❧➭ t❤Ó tÝ❝❤ ❤×♥❤ trô
❝♦♥❣✱ t❛ sÏ ➤➢❛ ✈✐Ö❝ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✷ ❧í♣ ✈Ò tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❧➷♣✳
• ▼✐Ò♥ D ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤÷ ♥❤❐t
a ≤ x ≤ b
c ≤ y ≤ d
I =
b
a
d
c
f(x, y)dy
dx :=
b
a
dx
d
c
f(x, y)dy
❍♦➷❝
I =
d
c
b
a
f(x, y)dx
dy :=
d
c
dy
b
a
f(x, y)dx
❦❤✐ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tr♦♥❣ ♥❣♦➷❝✱ t❤❡♦ ❜✐Õ♥ ♥➭② t❤× ❝♦✐ ❜✐Õ♥
❦✐❛ ❧➭ ❤➺♥❣ sè✳
• ▼✐Ò♥ D ❧➭ ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
a ≤ x ≤ b
y
1
(x) ≤ y ≤ y
2
(x)
y
1
(x), y
2
(x) ∈ C[a, b]
a ≤ x ≤ b
c ≤ y ≤ d
I =
b
a
y
2
(x)
y
1
(x)
f(x, y)dy
dx :=
b
a
dx
y
2
(x)
y
1
(x)
f(x, y)dy
✸
• ▼✐Ò♥ D ❧➭ ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
c ≤ y ≤ d
x
1
(y) ≤ x ≤ x
2
(y)
x
1
(y), x
2
(y) ∈ C[c, d]
I =
d
c
x
2
(y)
x
1
(y)
f(x, y)dx
dy :=
d
c
dx
y
2
(x)
y
1
(x)
f(x, y)dy
• ▼✐Ò♥ D ❧➭ ♠✐Ò♥ ♣❤➻♥❣ ❜✃t ❦ú
❈❤✐❛ D t❤➭♥❤ ❝➳❝ ♠✐Ò♥ ♥❤á rê✐ ♥❤❛✉✱ ❝ã ❞➵♥❣ ë tr➟♥✳
❱Ý ❞ô✿ ❇➭✐ t❐♣ ✻✳✶✱ ✻✳✷✱ ✻✳✸✳
✶✳✹✳ ➜æ✐ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦Ð♣
✶✳✹✳✶✳ ❈➠♥❣ t❤ø❝ tæ♥❣ q✉➳t
❚❛ ❞ï♥❣ ♣❤Ð♣ ➤æ✐ ❜✐Õ♥ s❛✉✿
x = x(u, v)
y = y(u, v)
(1)
t❤♦➯ ♠➲♥
∃x(u, v), y(u, v), x
u
, x
v
, y
u
, y
v
∈ C(D
)
(1) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét s♦♥❣ ➳♥❤ tõ D ❧➟♥ D
✳
➜Þ♥❤ t❤ø❝ ❏❛❝♦❜✐ ✭❏❛❝♦❜✐❛♥✮ J =
D(x,y)
D(u,v)
=
x
u
x
v
y
u
y
v
= 0 tr♦♥❣ D
.
❑❤✐ ➤ã
I =
D
f(x, y)dxdy =
D
f[x(u, v), y(u, v)] |J|dudv
❍×♥❤ ✈Ï
●✐➯✐ t❤Ý❝❤ ❝ñ❛ ↕str➠❣r❛t①❦✐
✹
❱í✐
x = x(u, v)
y = y(u, v)
(1)
A
1
(u, v) A
2
(u + du, v) A
3
(u + du, v + dv) A
4
(u, v + dv)
B
1
[x(u, v), y(u, v)], B
2
[x(u + du, v), y(u + du, v)]
B
3
[x(u + du, v + dv), y(u + du, v + dv)] B
4
[x(u, v + dv), y(u, v + dv)]
◆Õ✉ ❣✐í✐ ❤➵♥ ①Ðt ❝➳❝ sè ❤➵♥❣ ❜❐❝ ♥❤✃t t❤❡♦ du✱ dv t❤× ❝ã
t❤Ó ❧✃② ❣➬♥ ➤ó♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ó♠✿
B
1
[x, y], B
2
[x +
∂x
∂u
du, y +
∂x
∂u
du]
B
3
[x +
∂x
∂u
du +
∂x
∂v
dv, y +
∂y
∂u
du +
∂y
∂v
dv]
B
4
[x +
∂x
∂v
dv, y +
∂x
∂v
dv]
❱í✐ ➤é ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❜Ð✱ ❜❐❝ ❝❛♦✱ tø ❣✐➳❝ B
1
B
2
B
3
B
4
❧➭
♠ét ❤×♥❤ ❜×♥❤ ❤➭♥❤✳ ❉✐Ö♥ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ♥ã ❣✃♣ ➤➠✐ ❞✐Ö♥ tÝ❝❤
❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ B
1
B
2
B
3
✳ ❚õ ❤×♥❤ ❤ä❝ ❣✐➯ tÝ❝❤✱ t❛ ➤➲ ❜✐Õt
r➺♥❣ ❤❛✐ ❧➬♥ ❞✐Ö♥ tÝ❝❤ t❛♠ ❣✐➳❝ ❝ã ❝➳❝ ➤Ø♥❤ t➵✐ ❝➳❝ ➤✐Ó♠
(x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), (x
3
, y
3
) ❜➺♥❣ ❣Ý trÞ t✉②Öt ➤è✐ ❝ñ❛
x
2
− x
1
x
3
− x
2
y
2
− y
1
y
3
− y
2
➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ➤ã ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝ñ❛ t❛✱ t❛ ❝ã✿ ✈í✐
➤é ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ➤Õ♥ ❝➳❝ ➤é ❜Ð ❜❐❝ ❝❛♦ ❤➡♥ t❤×
S =
∂x
∂u
du
∂x
∂v
dv
∂x
∂u
du
∂y
∂v
dv
=
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂u
∂y
∂v
dudv
❱× ✈❐②
I =
D
f(x, y)dS =
D
f[x(u, v), y(u, v)] |J|dudv
✶✳✹✳✷✳ ➜æ✐ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ tä❛ ➤é ❝ù❝
❛✳ ➜æ✐ ❜✐Õ♥✿ D
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
✈í✐ r ≥ 0; 0 ≤ ϕ < 2π
↔ D
r
1
(ϕ) ≤ r ≤ r
2
(ϕ)
ϕ
1
≤ ϕ ≤ ϕ
2
✺
