Khoá luận tốt nghiệp
Luận văn tốt nghiệp
Đề tài: Áp dụng phương trỡnh Srodinger cho
một số hệ đơn giản
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá

1
Khoá luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành đề tài này, ngoài sự nỗ lục của bản thân tôi đã được sự
giúp đỡ tận tình, khoa học của cô giáo Th.s Lê Thị Thuỷ cùng sự giúp đỡ của
các thầy cô giáo trong tổ Hoá, các bạn sinh viên lớp K1 - ĐHSP lý – hoá và sự
động viên tinh thần của gia đình, bạn bè.
Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến cô giáo – Th.s Lê Thị Thuỷ người
trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ hoá đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình và các bạn trong tập thể K1 - ĐHSP lý
hoá đã động viên, góp ý để đè tài của tôi được tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Thanh Hoá, tháng 5 năm 2010
Đặng Thị Thuý
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
2
Khoá luận tốt nghiệp
PHẦN I :
PHẦN MỞ ĐẦU
I .Lí do chọn đề tài :
Trong hoá học, đại lượng quan trọng nhất là năng lượng E của một
nguyên tử, phân tử hay siêu phân tử và sự thay đổi năng lượng dọc theo toạ độ
của phản ứng hoá học.Người làm hoá học cần có các thông tin này để hiểu diễn

biến và cơ chế của phản ứng hoá học dựa trên những nguyên lý của nhiệt động
lực học và động học để có thể kiểm soát hay thay đổi được chúng. Cung cấp
thông tin về năng lượng của một hệ phân tử ở mọi trạng thái e là một mục đích
chính của việc áp dụng những nguyên lý cơ học lượng tử vào hoá học.
Có thể nói sự ra đời của cơ học lượng tử là một cuộc cách mạng trong vật
lý nói riêng và các lĩnh vực khoa học tự nhiên nói chung.
Cơ học lượng tử cho phép khảo sát bằng lý thuyết các hệ hoá học vi mô từ
electron, nguyên tử cho tới phân tử hay tập hợp lớn hơn một cách chi tiết.Kết
quả của sự khảo sát đó là cơ sở định lượng để giải thích kết quả thực nghiệm và
từng bước hướng dẫn thực nghiệm.
Một trong những cơ sở quan trọng hàng đầu của cơ học lượng tử
( CHLT) là phương trình Srodinger ở trạng thái dừng. Chỉ có thể giải thích được
chính xác phương trình này khi xét hệ 1e, 1 hạt nhân ( hệ đơn giản). Trên cơ sở
kết quả này, một số khái niệm quan trọng của hoá học được hình thành. Những
khái niệm đó không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu mà còn góp phần quan trọng
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
3
Khoá luận tốt nghiệp
trong việc cung cấp kiến thức cơ bản phục vụ cho việc học hoá học được tốt
hơn.
Không giống như mô hình của nguyên tử Bo. Các điện tử trong mô hình
sóng là các đám mây điện tử chuyển động trên các quỹ đạo và vị trí của chúng
được đặc trưng bởi phân bố xác suất chứ không phải là một điểm rời rạc. Điểm
mạnh của mô hình này là nó tiên đoán được các dãy nguyên tố có tính chất
tương tự nhau về mặt hoá học trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hoá học. Với
chuyên ngành hoá học đặc biệt là trong hoá học vô cơ đó là những kiến thức cơ
bản để giải thích cấu tạo và tính chất lý hoá học của các nguyên tố.
Cơ học lượng tử và phương trình Srodinger là một lý thuyết khó,
trừu tượng và phức tạp. Trong trường đại học do điều kiện thời gian, sinh viên
ngành hoá học chưa có điều kiện tìm hiểu sâu về những ứng dụng cụ thể của

phương trình Srodinger vào hệ đơn giản. Để góp phần làm tăng hiệu quả học tập
của mình và giúp cho các bạn sinh viên yêu thích lĩnh vực này hiểu biết sâu sắc,
tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài:
“ Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản"
II .Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương trình Srodinger tổng quát trong CHLT, từ đó xây
dựng phương trình Srodinger ở trạng thái dừng. Nghiên cứu những ứng dụng
của phương trình Srodinger trong các hộp thế và trường xuyên tâm. Trên cơ sở
đó làm sáng tỏ những ưu điểm khi áp dụng phương trình Srodinger cho một số
hệ đơn giản. Đây cũng là những kiến thức rất cần thiết dùng làm tài liệu cho
giáo viên và sinh viên môn hoá học. Đồng thời đó cũng là những kiến thức vô
cùng quan trọng giúp cho việc giảng dạy của em sau khi ra trường đạt kết quả
cao hơn.
III - Đối tượng nghiên cứu:
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
4
Khoá luận tốt nghiệp
Phương trình Srodinger tổng quát và phương trình Srodinger không phụ
thuộc thời gian.
Phương trình và nghiệm phương trình Srodinger trong bài toán hộp thế
và trường xuyên tâm.
Nghiệm phương trình Srodinger cho hệ đơn giản.
IV - Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Khái quát chung về phương trình Srodinger
1.1. Cơ sở hình thành phương trình Srodinger
1.2. Hàm sóng - phương trình Srodinger tổng quát
1.3. Phương trình Srodinger không phụ thuộc thời gian.
1.4. Những định luật bảo toàn trong CHLT
2. Áp dụng phương trình Srodinger trong bài toán hộp thế
2.1. Bài toán hộp thế một chiều

2.2. Bài toán hộp thế ba chiều
3. Áp dụng của phương trình Srodinger trong trường xuyên tâm
3.1. Trường xuyên tâm
3.2. Toạ độ cầu
3.3. Biểu thức của một số toán tử của hạt trong hệ toạ độ cầu
3.4. Trị riêng của toán tử L
2
và L
z
3.5. Hàm cầu
3.6. Hạt chuyển động trong trường xuyên tâm
4. Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản
4.1. Mở đầu
4.2. Phương trình Srodinger
4.3. Kết quả giải phương trình Srodinger
4.4. Quang phổ nguyên tử hidro
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
5
Khoá luận tốt nghiệp
4.5. Hàm mật độ - Mây electron
4.6. Obitan nguyên tử
5. Giá trị - ý nghĩa 4 số lượng tử
6. Một số dạng bài toán trong hệ đơn giản
V - Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến CHLT và phương trình
Srodinger, các tài liệu liên quan đến hoá học lượng tử.
Sử dụng công cụ toán học : Sử dụng các kiến thức giải thích, đại số để
xác định năng lượng, hàm sóng của hạt vi mô
Tham khảo ý kiến của các thầy cô hướng dẫn làm đề tài nghiên cứu.
PHẦN II :

NỘI DUNG
A - CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I - KHÁI QUÁT CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER
1 - Cơ sở hình thành phương trình Srodinger.
Trong những năm 1926- 1927 Srodinger ( 1887- 1961) đã hình thành một
lý thuyết trên cơ sở hoàn toàn mới. Ông xuất phát từ tư tưởng của Đơ Brơi về
sóng vật chất và từ sự tương tự quang cơ.
Lưỡng tính sóng hạt của ĐơBrơi
Năm 1924 nhà vật lí Pháp Luis ĐơBrơi cho rắng các vi hạt cũng có lưỡng
tính sóng hạt như ánh sáng.
Theo ĐơBrơi, ứng với chuyển động của hạt tự do ( tức có thế năng U =
0 ) có một quá trình sóng gọi là sóng liên đới của hạt ( hay sóng ĐơBrơi) lan
truyến theo hướng vectơ xung lượng
P

= mv của hạt và có bước sóng
λ
xác
định như sau:
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
6
Khoá luận tốt nghiệp
P =
P

= mv =
λ
h
hay
mv

h
=
λ
với m : khối lượng của hạt
v : tốc độ hạt
h : hằng số plăng h = 6,625.10
-34
j.s = 6,625.10
-27
ec.s
2. Hàm sóng (
ψ
) - phương trình Srodinger tổng quát.
2.1- Hàm sóng :
Trong CHLT trạng thái chuyển động của electron được đặc trưng bằng hàm
sóng
ψ
( pơxi).
ψ
là hàm hữu hạn, liên tục, đơn trị và bằng 0 ở những chỗ
không có
mặt electron và thoã mãn điều kiện chuẩn hoá hàm sóng:

∫
d
ψ
2
t = 1
toàn không gian
Mây electron là miền không gian gần hạt nhân nguyên tử. Trong đó xác

suất có mặt electron là nhiều nhất( khoảng 90%).Mây electron được xác định
bằng một bề mặt gồm các điểm có mật độ xác suất bằng nhau. Các mây electron
khác nhau có hình dạng và kích thước khác nhau.
VD : Mây electron 1s có dạng hình cầu r = 0,529
A
0
2.2 . Phương trình Srodinger tổng quát:
Hàm sóng
),( tq
ψ
mô tả trạng thái của hệ lượng tử biến thiên trong thời
gian theo phương trình Srodinger tổng quát:
i

t∂
∂
ψ
=
H
ˆ
ψ
(1)
Trong đó : i =
1−
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
7
Khoá luận tốt nghiệp

H
ˆ

là toán tử Hamintơn của hệ, trong trường hợp tổng quát,
H
ˆ

có thể phụ thuộc cả vào t, tức là
),
ˆ
,
ˆ
(
ˆˆ
tqpHH =
3. Phương trình Srodinger không phụ thuộc thời gian.
a, Thiết lập phương trình:
khi hệ lượng tử là kín( không tương tác với bên ngoài) hợac chuyển
động trong một trường ngoài không dổi theo t thì
H
ˆ
của hệ không chứa t :

)
ˆ
,
ˆ
(
ˆˆ
qpHH =
tức là
0
ˆ

=
∂
∂
t
H
Khi đó có thể tách biến q và t của
),( tq
ψ
tức là có thể viết ;

),( tq
ψ
=
)().( tfq
ψ
(2)
Thay pt (2) vào (1) ta có :
i
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
tfqH
t
tfq

ˆ
.
ψ
ψ
=

∂
∂


i
( )
( )
( ) ( )
qHtf
t
tf
q
ψψ
.
ˆ
. =
∂
∂


i
( )
( ) ( )
( )
q
q
H
dt
tdf
tf

ψ
ψ
ˆ
1
=
(3)
Vế trái của phương trình (3) phụ thuộc vào biến t.Vế phải của phương
trình (3) phụ thuộc vào biến q. Do đó hai vế chỉ có thể bằng nhau nếu chúng
bằng một hằng số chung
λ
nào đó.Khi đó ta có :
i
( )
( )
tf
dt
tdf
λ
=
(4)

( ) ( )
qqH
ψλψ
.
ˆ
=
(5)
Phương trình (5) là phương trình trị riêng của
H

ˆ
. Khi không chứa t thì trị
riêng của
H
ˆ
là năng lượng toàn phần E của hệ lượng tử.
Vì
H
ˆ
là ecmít
==⇒ E
λ
số thực
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
8
Khoá luận tốt nghiệp
Trong CHLT, các trạng thái của hệ có mức năng lượng E xác định
( không phụ thuộc thời gian ) gọi là trạng thái dừng. Vậy ta có ;

( ) ( )
qEqH
ψψ
=
ˆ
(6)
(6) gọi là phương trình Srodinger dừng ( không phụ thuộc thời gian),
thường gọi đơn giản là phương trình Srodinger. Đó là phương trình quan trọng
nhất của hoá học lượng tử.
Với
H

ˆ
là toán tử Hamintơn :
U
m
UTH
h
ˆ
8
ˆˆˆ
2
2
2
+−=+=
∆
π
(7)

( )
q
ψ
là hàm sóng của e
E : là năng lượng toàn phần của e.Gọi là trị riêng của toán tử
Hamintơn.
Thay (7) vào (6) ta có :

( ) ( )
0.
ˆ
=− qEqH
ψψ

( ) ( )
0).(
8
2
2
2
=−−−⇔
∆
qUEq
m
h
ψψ
π

( ) ( )
0)(
8
2
2
2
=−+⇔
∆
qUE
m
q
h
ψψ
π
Với
zyx

2
2
2
2
2
2
2
∂
+
∂
+
∂
=
∂∂∂
∆
Ta có phương trình Srodinger dạng cụ thể hơn :
( )
0
8
2
2
2
2
2
2
2
2
=−+











∂
+
∂
+
∂
∂∂∂
ψψ
π
UE
m
hzyx
(8)
Nghiệm của phương trình Srodinger là hàm sóng
ψ
và năng lượng toàn
phần E
Hàm sóng Srodinger là hàm sóng có vô số nghiệm :
ψψψ
n
,
21


Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
9
Khoá luận tốt nghiệp
Phương trình chỉ có nghiệm đúng cho 1e và gần đúng cho hệ nhiều e
b, Một vài thuộc tính của trạng thái dừng :
+ / Trong trạng thái dừng mật độ xác suất
( )
tq,
2
ψ
không thay đổi theo thời
gian ( tức được bảo toàn)
+/ Trong trạng thái dừng, nếu toán tử
A
ˆ
không chứa t tức là :
00
ˆ
=⇒=
∂
∂
dt
Ad
t
A

Vậy
A
được bảo toàn ( không phụ thuộc thời gian)
4. Những định luật bảo toàn cần lưu ý trong cơ học lượng tử:

a/ Trong CHLT , đại lượng vật lý A gọi là hằng số hay tích phân chuyển động
khi :
+
0
ˆ
=
∂
∂
t
A
+
[ ]
0
ˆ
,
ˆ
=AH
Nếu hệ ở trạng thái dừng thì trạng thái này cũng là trạng thái riêng của
toán tử
A
ˆ
( vì
A
ˆ
giao hoán với
H
ˆ
).Khi đó trị trung bình của A đồng nhất với trị
riêng của toán tử
A

ˆ
và trị này được bảo toàn.
Mặt khác :
[ ]
0
ˆ
,
ˆ
=HH

khi
0
ˆ
=
∂
∂
t
H
thì năng lượng E của hệ là tích phân chuyển động.
Theo định nghĩa :
+ Nếu hệ ở trạng thái dừng thì E = const
+ Nếu hệ không ở trạng thái dừng thì
E
= const
b/ Định luật bảo toàn tính chẵn lẻ :
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
10
Khoá luận tốt nghiệp
Trong CHLT có định luật bảo toàn tính chẵn lẻ, có liên quan đến phép
biến đổi gọi là nghịch đảo toạ độ hay nghịch đảo không gian tức là đổi dấu toạ

độ q thành – q.Đối với một hạt, điều này ứng với sự thay đổi hệ toạ độ phải bằng
hệ toạ độ trái.
Gọi toán tử chẵn lẽ hay toán tử nghịch đảo toạ độ
I
ˆ
là toán tử khi tác
dụng lên hàm sóng thì làm đổi dấu tất cả toạ độ

( ) ( )
qqI −=
ψψ
ˆ
Gọi I là trị riêng của toán tử
I
ˆ
:
( ) ( )
qIqI
ψψ
=
ˆ
Nếu tác dụng
I
ˆ
hai lần thì các toạ độ không đổi :

( ) ( ) ( )
qqq
I
I

ψψψ
==
2
2
ˆ
suy ra I
2
= 1 nên I =
1±
.Do đó :
( ) ( ) ( )
qqqI
ψψψ
±=−=
ˆ
Vậy khi đổi dấu tất cả toạ độ thì hàm sónh không đổi ( nếu là hàm chẵn )
hoặc đổi dấu ( nếu là hàm lẻ).
Nếu
H
ˆ
của hệ là bất biến trong phép nghịch đảo toạ độ thì
H
ˆ
giao hoán
với
I
ˆ
tức là có chung hàm riêng với
I
ˆ

:
[ ]
0
ˆ
, =IH

. Khi đó tính chẵn lẻ là tích
phân chuyển động. Nếu hàm sóng có tính chẵn lẻ xác định ở thời điểm đầu thì
tính chẵn lẻ này được bảo toàn.
II . ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER TRONG BÀI TOÁN HỘP THẾ.
1. Mô hình hộp thế 1 chiều :
a/ Giả sử electron chuyển động tự do (U = 0) theo trục x trên một đoạn giới hạn
0
ax ≤≤
trong hộp thế chữ nhật chiều sâu vô hạn, thành hộp phản xạ lý tưởng,
chiều rộng hộp bằng a.
U = ∞

U
= ∞
Điều kiện biên bài toán :
0
0
=
=
ψ
x

0
=

=
ψ
ax
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
11
Khoá luận tốt nghiệp
U = 0
0 a x
b/ Phương trình Srodinger cho hạt chuyển động trong hố thế :
( ) ( )
0
8
2
2
2
2
=+ xE
m
x
hx
ψψ
ψ
π
ψ
( vì U = 0 ,
0
2
2
2
2

=
∂
=
∂
∂∂
zy
)
( )
ψ
′′
⇔
x
+
( )
0
8
2
2
=
ψ
π
x
h
m
đặt K
2
=
E
m
h

2
2
8
π
> 0

( )
ψ
′′
⇔
x
+ K
2
( )
ψ
x

= 0 ( 9)
Phương trình ( 9) là phương trình vi phân đơn giản có nghiệm dạng :

( )
A
x
=
ψ
cosKx + B.sinKx
Đối chiếu với điều kiện biên bài toán ta có:
+ Tại x = 0 A = 0
+ Tại x = a
⇒


( )
ψ
x
= BsinKa = 0
sinKa = 0
⇒
Ka = n
π

a
n
K
π
=⇒
( với n = 1, 2, 3 )

( )






=
a
n
B
xn
π

ψ
sin
x
Hàm sóng
( )
ψ
xn
mô tả chuyển động của e trong hộp thế một chiều với
chiều rộng a thế năng U = 0
Vậy ta có :
( )
11
0
2
0
2
sin
=⇒=
∫






∫
dxdx
xn
aa
a

xn
B
π
ψ
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
12
Khoá luận tốt nghiệp

1
2
cos1
2
0
2
=






−⇔
∫
dx
a
xn
a
B
π


a
Ba
B
2
1
2
2
=⇒=⇒

Vậy hàm sóng sau khi được chuẩn hoá trở thành :

( )
a
xn
2
=
ψ
sin
a
xn
π

Hàm sóng
( )
ψ
xn
không phụ thuộc vào số nguyên n = 1, 2, 3 gọi là số
lượng tử
c, Mặt khác từ phương trình : K
2

=
h
mE
2
2
8
π

và K =
( )
a
n
K
a
n
2
2
2
π
π
=⇒
suy ra E =
( )
a
hn
m
2
2
8
Dựa vào phương trình trên ta xác định được năng lượng toàn phần của

electron trong hộp thế 1 chiều. Năng lượng toàn phần này nhận các giá trị gián
đoạn, rời rạc, phụ thuộc vào n. Ta nói rằng năng lượng của hạt trong giéng thế bị
lượng tử hoá.
Đối với một hạt trạng thái E
1
có năng lượng thấp nhất ứng với n =1 gọi là
trạng thái cơ bản, cavs trạng thái có năng lượng cao hơn gọi là trạng thái kích
thích
E
1
=
⇒
a
h
m
2
2
8
E
n
= n
2
E
1
d, Nút của hàm sóng :
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
13
E
1
E

2
E
3
E
x
E
3
=2E
1
E
2
=4E
1
h/8ma
2
0
Khoá luận tốt nghiệp
Nút của hàm sóng là những điểm mà tại đó
0
=
ψ
n
không kể ở hai thành
giếng
(+) Với n = 1 Ta có :
( )
a
x
2
=

ψ
sin
a
x
π
và E
1
=
a
h
m
2
2
8

( )
⇒=⇔=
0sin0
a
x
x
π
ψ
x =0 hoặc x= a

( )
2
1sin
max
a

x
a
x
x
=⇒=⇔
π
ψ
(+) Với n = 2 Ta có :
( )
a
x
2
2
=
ψ
sin
a
x
π
2
và E
2
= 4
E
h
m
1
2
2
4

8
=
π

( )
2
0
2
sin0
2
a
x
a
x
x
=⇒=⇔=
π
ψ
hoặc x = 0

( )
4
1
2
sin
max2
a
x
a
x

x
=⇒=⇔
π
ψ

( )
⇔
ψ
min2 x
sin
4
3
1
2 a
x
a
x
=⇒−=
π
(+) Với n = 3 Ta có :
( )
a
x
2
3
=
ψ
sin
a
x

π
3
và E
3
= 9
E
h
m
1
2
2
9
8
=
π

( )
⇔=
0
3
ψ
x
sin
ax
a
x
a
xx
a
x

====⇒= ,
3
2
,
3
,00
3
π

( )
6
5
,
6
1
3
sin
max3
a
x
a
x
a
x
x
==⇒=⇔
π
ψ

( )

⇔
ψ
min3 x
sin
2
1
3 a
x
a
x
=⇒−=
π

Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
14
3
( )x
ψ
1
( )x
ψ
2
( )x
ψ
( )
n
x
ψ
a/2 a
.

0
Khoá luận tốt nghiệp
2. Mô hình hộp thế 3 chiều :
Xét e (electron) chuyển động tự do trong hộp thế 3 chiều :
VVV
zyx
V


++=
E = E
x
+ E
y
+ E
z

( ) ( ) ( ) ( )
ψψψψ
zyxxyz

=
Ta có phương trình Srodinger cho electron là :

( )
0
8
2
2
=−+∆

ψψ
π
UE
m
h
với U = 0
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
2
1
( )x
ψ
2
2
( )x
ψ
2
3
( )x
ψ
2
( )
n
x
ψ
x
0
15
Khoá luận tốt nghiệp

( )

0
8
2
2
2
2
2
2
2
2
=+++










∂
+
∂
+
∂
⇒
∂∂∂
XYZ
EEE

h
m
zyx
zyx
π
ψ
b
c

( )
=+++++⇔ XYZ
d
Z
XY
d
Y
XZ
d
X
YZ
EEE
h
m
z
d
y
d
x
d
zyx

2
2
2
2
2
2
2
2
8
.
π
0

0
8
1
8
.
1
8
.
1
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
=








++










++









+⇔
E
hz
d
E
hy
d
E
hx
d
zyx
m
d
Z
Z
m
d
Y
Y
m
d
X
X
πππ
Ta có :
0
8

1
2
2
2
2
=+
E
hx
d
x
m
d
X
X
π

0
8
2
2
2
2
=+⇒ X
m
d
X
E
hx
d
x

π
(10)

0
8
1
2
2
2
2
=+
E
hy
d
y
m
d
Y
Y
π

0
8
2
2
2
2
=+⇒ Y
m
d

Y
E
hy
d
y
π
(11)
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
16
Khoá luận tốt nghiệp

0
8
0
8
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=+⇒=+ Z
m
d
Zm
d
Z

Z
E
hz
d
E
hz
d
zz
ππ
(12)
Vậy nghiệm của phương trình (10) , (11). (12) lần lượt là :
Pt (1) là :
( )
a
Xnx
2
=
ψ
sin
a
n
x
π
x E
x
=
a
hn
m
x

2
22
8
Pt (2) là :
( )
b
Yny
2
=
ψ
sin
b
n
y
π
y E
y
=
b
hn
m
y
2
22
8

Pt (3) là :
( )
c
Znz

2
=
ψ
sin
c
n
z
π
z E
z
=
c
hn
m
z
2
22
8
Vậy ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
ψψψψ
ZnzYnyXnxxyz

=
E = E
x
+ E
y
+ E
z


=










++
c
n
b
n
a
n
h
z
y
x
m
2
2
2
2
2
2

2
8
Chú ý : n
x
, n
y
, n
z
là 3 số lượng tử trong không gian 3 chiều của e ( số
lượng tử chính n, số lượng tử phụ l, số lượng tử từ m )
III. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER TRONG TRƯỜNG XUYÊN
TÂM
1.Trường xuyên tâm :
1.1. Khái niệm:
Trường lực được gọi là trường lực đối xứng xuyên tâm nếu lực tác
dụng vào một vật chuyển động trong trường đó đi qua một điêm cố định được
chọn làm tâm của trường và độ lớn của lực tác dụng chỉ phụ thuộc vào khoảng
cách từ vị trí của vật đến tâm của trường, không phụ thuộc vào phương
Từ đó ta có thế năng
( )
U
r

chỉ là hàm của
r

nghĩa là :
U =
( )
U

r
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
17
Khoá luận tốt nghiệp
Mặt khác hàm sóng của hạt :
( )
ψ
ψ
r

=
Xét một hạt có khối lượng m
o
chuyển động trong trường xuyên tâm. Theo
công thức (14), (15), (17) dễ thấy :
0,
ˆˆ
2
=






LL
z
,
0,
ˆ

ˆ
2
=






L
H
,

Vì vậy 3 toán tử có chung hàm riêng
( )
ψ
ϕθ
,,r

Vậy
( )
( ) ( )
YR
lmr
r
ϕθ
ϕθ
ψ
,
,,

.
=

1.2. Sự bảo toàn tính chẵn lẻ của trạng thái hạt trong trường xuyên tâm.
Trong phép nghịch đảo toạ độ :
rr

−→
. Khi đó tác dụng của phép
nghịch đảo toạ độ I lên hàm cầu như sau :

( )
( )
( )
YY
lm
l
lm
I
ϕθϕθ
,,
1
.
ˆ
−
=

Vậy hàm cầu là hàm riêng của toán tử
I
ˆ

và ứng với trị riêng I =
( )
1−
l

I = -1 khi l lẻ ( l = 1, 3, 5 )
I = 1 khi l chẵn ( l = 0, 2, 4 )
Tất cả các trạng thái có l chẵn ( trạng thái s, d ) đều là trạng thái chẵn
( không đổi dấu ) trong phép nghịch đảo toạ độ.
Tất cả trạng thái có l lẻ ( trạng thái p, f ) đều là trạng thái lẻ ( đổi dấu)
trong phép nghịch đảo toạ độ
Khi hạt chuyển động trong trường xuyên tâm thì :
[ ]
0
ˆ
,
ˆ
=IH
hay tính chẵn
lẻ của hạt được bảo toàn.
2. Toạ độ cầu :
Hạt có mô men động được xét tốt nhất trong hệ toạ độ cầu. Một điểm
M được xác địng bởi 3 toạ độ cầu là một khoảng cách r và hai góc
θ
và
ϕ
.
Toạ độ r =
r


là độ dài véc tơ vị trí
MOr


=
.
Nó chỉ nhận những giá trị không âm từ 0
∞→
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
18
x
z
M
M
’
ϕ
θ
y
Khoá luận tốt nghiệp
Góc
θ
tính từ trục z đến OM, biến thiên từ 0
π
→
(rad)
Góc
ϕ
tính từ trục x đến hình chiếu OM
'
của OM

trên mặt phẳng xoy biến thiên từ 0 đến 2
π
(rad)
Mối liên hệ giữa toạ độ đềcac và toạ độ cầu là :
x = r.sin
θ
cos
ϕ
y = r.sin
ϕθ
sin
z = r.cos
θ
r
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
Khi lấy
tích phân của
những hàm phụ
thuộc vào các toạ
độ của một hạt
Khi lấy tích phân
của những hàm phụ
thuộc vào các toạ độ của một hạt trong toàn không gian thì cấn biết phần tử thể
tích dT và phạm vi biến thiên toàn không gian của các toạ độ. Đối với toạ độ

Đêcác ta có :
-
+∞≤≤∞ zyx ,,
, dT = dxdydz
Đối với toạ độ cầu dT có dạng phức tạp hơn :
dt = r
2
drsin
ϕθ
d
= r
2
drd
Ω
( với d
ϕθθ
ddsin=Ω
)
0
+∞≤≤ r
0
πθ
≤≤
0
πϕ
2≤≤
d
Ω
là phần tử góc khối tính theo đơn vị steradian.Toàn bộ mặt cầu có
diện tích là 4

r
2
π
, góc khối tương ứng với nó là
π
4=Ω
( steradian)
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
19
Khoá luận tốt nghiệp
3. Biểu thức của một số toán tử trong hệ toạ độ cầu:
3.1. Toán tử Laplaxơ :
Trong toạ độ cầu toán tử laplaxơ của một hạt trong toạ độ cầu có dạng :

r
r
rr
rr
r
2
2
22
22
1 ∧
+







∂
∂
∂
∂
=
∧
+==∆
∇∇
(13)
Với
ϕ
θ
θ
θ
θ
θ
2
2
22
sinsin
1
sin.
1
∂
+







∂
∂
∂
∂
=∧
∂


∧
là laplaxiên góc ( phần laplaxiên chỉ phụ thuộc vào
ϕθ
,
)
3.2. Toán tử
L
ˆ
2
và
L
z
ˆ
của một hạt trong toạ độ cầu có dạng :

∧−=

2
2
ˆ

L
(14),
ϕ
∂
∂
−= i
L
z
ˆ
(15) ( i =
1−
)
3.3 Toán tử động năng của một hạt có dạng :









∧
+−=−=
∇∇
r
r
mm
T
2

2
2
2
2
22
ˆ

(16)
3.4. Toán tử Hamintơn của một hạt là :

U
m
m
UTH
r
r
+∧−−=+=
∇
2
2
2
2
2
2
ˆˆˆ

(17)
4./ Trị riêng của
L
ˆ

2
và
L
z
ˆ
4.1. Trị riêng của
L
z
ˆ
:
Trong toạ độ cầu ta có :

ϕ
∂
∂
−= i
L
z
ˆ
Xuất phát từ phương trình trị riêng ta có:

U
U
iUU
LL
L
zz
z
=
∂

∂
−⇔=
ϕ

ˆ

+=⇔=
∂
⇔
ϕϕ
LL
zz
i
Ud
i
U
U

ln
const
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
20
Khoá luận tốt nghiệp

e
L
CU
z
i
ϕ


=⇔
( C là hằng số với
( )
θϕ
,, rCC =
)
Dựa vào điều kiện đơn trị của hàm riêng ta có :
U
( ) ( )
πθθ
2,,0,, rUr =

( ) ( )
1,,
22
=⇒=⇔
ee
LL
rCrC
zzz
ii
ππ
θθ


π
ππ
m
LL

zz
2
2
1
2
cos =⇒=






⇔

( với m
Z∈
)

m
L
z
=⇔
4.2. Trị riêng của toán tử
L
ˆ
2
Trong CHLT ta có hệ thức giao hoán như sau :
[ ]
[ ]
LLL

LLL
z
z
ˆˆˆ
ˆˆˆ
,
,
−−
++
−=
+=


( với
LLLLLL
yxyx
ii
ˆˆˆˆˆˆ
, −=+=
−+
)
LLLLL
LLLLL
zz
zz
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
−−−
+++
−=−

=−⇔


( * )
(*) được viết lại là :
LLLLL
zz
ˆˆˆˆˆ
±±±
±= 
( * 1)
tác dụng lên hai vế của (*1) với U
m
ta có:

( )
U
L
U
L
U
L
U
L
U
LL
U
LL
mmm
mm

z
m
z
mm
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
1
±±±
±±±
±=±=
±=



Như vậy :
U
L
m
ˆ
±
là hàm riêng của toán tử
L
z
ˆ
tương ứng với trị riêng
( )
1±m
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
21
LLLLL

LLLLL
zz
zz
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
−−−
+++
+=
+=⇔


Khoá luận tốt nghiệp
Mặt khác hàm riêng của toán tử
L
z
ˆ
tương ứng với trị riêng
( )
1±m
là
U
m 1±
Xét hàm số không suy biến ( các hàm sóng được sai khác nhau một
hằng số nhân)

UU
L
mm
const
1

.
ˆ
±
±
=⇔
Mặt khác :
LLL
z
ˆˆˆ
22
0, ⇒=






và
L
z
ˆ
có chung hàm riêng
Vì U
m
phải có ý nghĩa vật lý nên m phải giới nội tức là nếu gọi l là giá
trị lớn nhất của m thì :

0
1
ˆ

==
+
+
UU
L
ll
const
Vì
LLLLL
zz
ˆˆˆˆˆ
22
++=
+−

Tác dụng lên 2 vế hàm U
l


( )
UUlU
U
L
U
L
U
LL
U
L
lll

l
z
l
z
ll
lll



2
2
2
22
1
ˆˆˆˆˆ
+=+=
++=
+−

⇒
Trị riêng của
L
ˆ
2
là : L
2
= l( l + 1)

2
Vậy trị riêng của

( )
1
ˆ
+= llL
l gọi là số lượng tử obitan ( hay số lượng tử phụ ) của hạt. Nó chỉ có
thể nhận những giá trị gián đoạn là một dãy nguyên tố không âm.
Gọi m là số lượng tử từ obitan của hạt. m có thể nhận những giá trị :
l, l - 1, l - 2, 0 l - 2, - l -1, - l
tức là m có : ( 2l + 1 ) giá trị.
Theo qui ước, những trạng thái của hạt gọi là :
s p d f g h i k
khi l = 0 1 2 3 4 5 6 7
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
22
Khoá luận tốt nghiệp
Bốn chữ đầu s, p, d, f theo tên ( tiếng anh ) chỉ các dãy quang phổ
nguyên tử kiềm, các chữ sau theo thứ tự bảng chữ cái la tinh sau chữ f.
5. Hàm riêng của toán tử
ϕ
∂
∂
−= i
L
z
ˆ
là :

( )
e
im

m
ϕ
π
ϕ
φ
2
1
=
( i =
1−
)
6. Hàm cầu :
Gọi
( )
ϕθ
,
Y
lm
là hàm riêng đồng thời của
L
ˆ
2
và
L
z
ˆ

( )
Y
lm

ϕθ
,
là nghiệm của phương trình vi phân :

( )
01 =++∧
YY
lmlm
ll
(
∧
là laplaxieen góc )
Dạng cụ thể của một vài hàm cầu đầu tiên :

π
4
1
00
=
Y

θ
π
cos
4
3
10
=
Y


e
Y
i
ϕ
θ
π
+
= sin
8
3
11

e
Y
i
ϕ
θ
π
−
−
= sin
8
3
1,1

7. Hạt chuyển động trong trường xuyên tâm :
7.1. Phương trình Srodinger trong trường xuyên tâm :
Toán tử
H
ˆ

của hạt trong trường xuyên tâm có dạng :

( )
U
r
ñr
m
m
UTH +
∧
−−=+=
∇
2
2
2
2
2
2
ˆˆˆ

Vì
( )
( ) ( )
YR
r
r
ϕθ
ψ
,
=


Phương trình Srodinger được viêt là :

( ) ( )
ψψ
rr
EH

=
ˆ

( ) ( ) ( ) ( )
YRYR
rr
EH
ϕθϕθ
,,
ˆ
=

Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
23
Khoá luận tốt nghiệp

( )
[ ]
Y
Y
E
m

R
R
U
rr
rr
∧
−=−+⇔
∇

2
2
2
2
2
(18).
Kí hiệu R là
( )
,
R
r
Y là
( )
Y
ϕθ
,
Từ đó ta có 2 phương trình :
+ Phương trình bán kính :

( )
[ ]

λ
=−+
∇
U
r
r
r
r
E
m
R
R

2
2
2
2
2
+ Phương trình góc :
0=+∧⇒=
∧
YY
Y
Y
λλ
(19) với
( )
1+= ll
λ
Điều kiện chuẩn hoá hàm bán kính là :

( )
1
0
22
=
∫
∞
dr
rR
r
với
( )
( )
[ ]
R
R
rr
2
=
7.2. Mật độ xác suất theo bán kính và theo góc:
Đối với hạt chuyển động trong trường xuyên tâm, có thể nghiên cứu sự
phân bố xác suất của hạt theo 2 cách :
+ Theo bán kính độc lập với góc
+ Theo góc độc lập với bán kính
7.2.1. Mật độ xác suất theo bán kính :

( ) ( )
rRP
rr
22

=
Chứng minh : Để tìm hàm mật đọ xác suất tương ứnh với hàm bán kính
( )
R
rnl
trước hết ta xét xác suất tìm thấy e trong một thể tích vô cùng nhỏ được
gọi
là nguyên tố thể tích ( kí hiệu là dV) của không gian. Ta có :
dV = dxdydz =
Ω= drddddr
rr
22
sin
ϕθθ
Xác suất tìm thấy e trong nguyên tố thể tích dV là :

( ) ( )
ϕθθ
ψψ
dddr
r
dV
r
r
sin
2
22

=
Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá

24
Khoá luận tốt nghiệp
Xét xác suất tìm thấy e trong một lớp cầu mỏng có tâm ở hạt nhân, bán
kính trong là r, bán kính ngoài là r + dr. Kí hiệu xác suất này là
( )
P
r
. Ta có :

( )
( )
ϕθθ
π π
ψ
dddr
r
rP
r
sin
2
2
0 0
2
∫∫
=

Đưa biểu thức
( )
( ) ( )
YR

r
r
ϕθ
ψ
,
=

vào
Ta có :
( )
( )
ϕθθ
ϕθ
π π
dddr
YrRP
r
sin
,
2
0 0
2
22
∫∫
=
Hàm cầu đã chuẩn hoá nên thừa số
( )
1
,
2

0 0
2
=
∫∫
π π
ϕθ
Y
Do đó :
( )
dr
rRP
r
22
=
Hàm R
2
r
2
được gọi là hàm phân bố xác suất theo bán kính ( độc lập với
góc). Có thể nói P(r) là xác suất để thấy hạt tại khoảng xác định giữa r và r + dr
tới tâm của trường, độc lập với
ϕθ
,
7.2.2. Mật độ xác suất theo góc:
Mật độ xác suất theo góc bằng bình phương môdun của hàm cầu :

( )
( )
YP
lm

ϕθ
ϕθ
,
2
,
=
ý nghĩa :
( )
P
ϕθ
,
là xác suất để thấy hạt trong góc khối d
ϕθθ
ddsin=Ω
theo
hướng
ϕθ
,
độc lập với r, tức r có thể nhận mọi giá trị bất kì từ 0
→
+
∞
IV - ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN
GIẢN:
1. Mở đầu :
Hệ đơn giản mà ta xét là hệ gồm 1e và 1 hạt nhân. Đó là nguyên tử
Hidro và giống Hidro như He
+
, Li
2+


Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá
25