Đề-Đáp án HSG Toán 8 Y.2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (69.15 KB, 4 trang )
đề thi học sinh giỏi Toán 8 .2
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
A=(a+b+c)
3
+(a+b-c)
3
+(b+c-a)
3
+(c+a-b)
3
Bài 2: (2đ)
Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn:
abcd-a=1961
abcd-b= 961
abcd-c= 61
abcd-d= 1
Bài 3: (2đ)
a.So sánh cặp số:
A= 1993.1995 và B=1994
2
b.Cho P=
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
Bài 4: (1,5đ)
Chứng minh rằng mọi giá trị của biến số x các đa thức sau đây nhận giá trị d-
ơng:
a. P= x
2
-6x+10
b. Q= x
2
+x+1
c. R=(x-3)(x-5)+4
Bài 5: (2đ)
Cho
yx0
nhọn trên 0x lấy 2 điểm A và B, trên 0y lấy 2 điểm C và D sao cho
AB=CD, M và N là điểm giữa của AC và BD
Chứng minh rằng MN//0Z ( 0Z là phân giác góc
yx0
)
Hết đề thi
Đáp án đề Toán 8 .2
Bài 1: (2,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
A=(a+b+c)
3
+(a+b-c)
3
+(b+c-a)
3
+(c+a-b)
3
Đặt:
a+b-c=x (1)
b+c-a=y (2)
c+a-b=z (3)
Cộng vế với vế ta đợc a+b+c= x+y+z (4) 0,5đ
Ta thay (1), (2), (3), (4) vào đầu bài ta đợc:
A=(x+y+z)
3
-x
3
-y
3
-z
3
= [(x+y+z)
3
-x
3
] (y
3
+z
3
)
0,5đ
= (x+y+z-x)[( x+y+z)
2
+ (x+y+z)x+x
2
]- (y+z)( y
2
-yz+z
2
)
= (y+z)[( x+y+z)
2
+ (x+y+z)x+x
2
]- (y+z)( y
2
-yz+z
2
)
= (y+z)( x
2
+y
2
+z
2
+2xy+2xz +2yz +x
2
+xy+xz+x
2
-y
2
+yz-z
2
) 0,5đ
= (y+z)( 3x
2
+3xy+3xz +3yz)
= (y+z)( 3x
2
+3xy+3xz +3yz)
= 3(y+z)[(x
2
+xy)+(xz +yz)]
= 3(y+z)[x(x+y)+z(x +y)]
= 3 (x+y)(y+z)(x +z) (5) 0,5đ
Thay Ta thay (1), (2), (3) vào (5) ta đợc:
A=3(a+b-c+ b+c-a)( b+c-a+ c+a-b)(a+b-c+ c+a-b)
= 3(b+ b)( c+ c)(a+a)
= 24abc 0,5đ
Bài 2: (2đ)
Chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn các đẳng thức đã cho.
Phân tích vế trái đẳng thức thành nhân tử ta có:
a(bcd-1) =1961 (1)
b(acd-1) = 961 (2) 0,5đ
c(abd-1) = 61 (3)
d(abc-1) = 1 (4) 0,5đ
Vế phải của (1) là một số lẻ do đó vế trái phải là tích của 2 số lẻ, suy ra a
là một số lẻ. Tơng tự nh vậy, từ (2), (3), (4) ta có b, c, d đều là số lẻ. 0,5đ
Bốn số a, b, c, d lẻ nên tích abcd là số lẻ và hiệu abcd-a (hiệu hai số lẻ)
là một số chẵn, mâu thuẫn với đẳng thức (1) đã cho. 0,5đ
Bài 3: (2đ)
a. 1đ
A= 1993.1995=(1994-1)(1994+1)=1994
2
-1
0,5đ
B=1994
2
Rõ ràng B>A 0,5đ
b.1đ
Rút gọn biểu thức P:
P =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
=
1)1(
)1(3
2
+++
+
xxx
x
=
)1)(1(
)1(3
2
++
+
xx
x
=
1
3
2
+x
0,5đ
Biểu thức
1
3
2
+x
lớn nhất khi x
2
+1 nhỏ nhất.
x
2
0 nên nhỏ nhất khi x=0
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3 0,5đ
Bài 4: (1,5đ)
a. 0,5đ
P= x
2
-6x+10= x
2
-6x+9+1=(x-3)
2
+1 0,25đ
=(x-3)
2
0 nên P>0 (đpcm) 0,25đ
b. 0,5đ
Q= x
2
+x+1= x
2
+x+
4
1
+
4
3
=(x+
2
1
)
2
+
4
3
0,25đ
Tơng tự nh (a.) Q>0 0,25đ
c. 0,5đ
R=(x-3)(x-5)+4=x
2
-5x-3x+15+4= x
2
-8x+16+3 0,25đ
=(x-4)
2
+3
Cũng tơng tự nh (a.) R>0 0,25đ
Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ
Hạ AE
0Z , BF
0Z , AE và BF cắt 0y ở K và H
A0K cân vì có 0E là đờng phân giác và là đờng cao. Tơng tự
B0H cũng
cân, nên ta có AE=EK và BF=FH. 0,5đ
Từ đó suy ra EM là đờng trung bình của
AKC
FN là đờng trung bình của
BHD
Ta có: EM//KC và EM=
2
KC
(1)
FN//HD và FN=
2
HD
(2)
Chứng tỏ EM//FN và cùng song song với 0y 0,5đ
K
B
C
A
F
0
Z
2
1
H y
N
M
D
E
x
Mặt khác tứ giác HKAB là hình thang cân (từ
B0H cân và AE
0Z , BF
0Z suy ra)
Vậy AB=HK=CD
Ta lại có KC+CH=KH
HD+CH=CD nên KC=HD (3) .
Từ (1), (2) và (3) suy ra EM=FN
Tứ giác EMNF có EM=FN và EM//FN nên nó là hình bình hành
Vậy MN//EF hay MN//0Z (đpcm) 0,5đ
Hết đáp án
Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp), nếu có
lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang
Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh
