Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
MỤC LỤC
PHẦN TRANG
MỤC LỤC 1
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 2
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 2
II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN: 5
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 15
I. CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 15
II. BÀI TẬP LUYỆN: 15
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 25
I - LÍ THUYẾT 25
II - BÀI TẬP 27
BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN 28
I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 28
II - BÀI TẬP 28
ĐẠI SỐ TỔ HỢP 29
I - LÝ THUYẾT 29
II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP 31
III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON 36
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 1
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Định nghĩa:
Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b), nếu
trong khoảng đó ta có: F'(x) = f(x).
+Giả sử trên khoảng (a, b) hàm y = f(x) có một nguyên hàm F(x) thì
mọi hằng số C: F(x) + C cũng là nguyên hàm của y = f(x) với mọi x
thuộc khoảng (a, b).

+Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là F(x) và k là một hằng số thì
hàm số: y = k.f(x) có nguyên hàm là k.F(x) trên (a, b).
+Giả sử trên (a, b) có hàm f(x), g(x), h(x) có các nguyên hàm tương
ứng là: F(x), G(x), H(x), thì hàm số y = f(x) + g(x) - h(x) có nguyên
hàm là: F(x) + G(x) - H(x).
+Từ đạo hàm ta có nguyên hàm các hàm cơ bản sau:
1. y = f(x) = x
α
→ F(x) =
1
x
1
+α
+α
+ C
2. y = f(x) =
x
1
→ F(x) =
xln
+C
3. y = f(x) = sinx → F(x) = -cosx +C
4. y = f(x) = cosx → F(x) = sinx + C
5. y = f(x) =
xsin
1
2
→ F(x) = -cotgx + C
6. y = f(x) =
xcos

1
2
→ F(x) = tgx + C
7. y = f(x) = e
x
→ F(x) = e
x
+ C
8. y = f(x) = a
x
→ F(x) =
aln
a
x
+C
+Mọi hàm liên tục trên một đoạn nào đó đều có nguyên hàm trên đoạn
đó. Người ta kí hiệu họ nguyên hàm: F(x) + C =
∫
dx).x(f
2. Vi phân:
Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) là một hàm số liên tục và có đạo
hàm y' = f'(x) trên khoảng (a, b). Xét một điểm x ∈ (a, b) tùy ý. Tại
điểm cho số gia ∆x, sao cho x + ∆x ∈ (a, b), thì tích số gia f'(x).∆x gọi
là vi phân của hàm số y = f(x) tại x tương ứng với số gia ∆x.
+dy = df(x) = f'(x).∆x ⇔ dy = y'dx.
Ví dụ:
+d(x
2
) = 2x.dx
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán

Trang 2
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
+ d(sinx) = cosxdx.
-Nếu y = y(u) và u = u(x) → dy = y'(u).du = y'(u).u'(x).dx =
y'
u(x)
.u'(x).dx
Ví dụ: y = (2x+5)
3
→ dy = 3. (2x + 5)
2
.dx
3. Tính chất của tích phân:
+
)x(fdx).x(f
'
=






∫
+
∫
+= C)u(Fdu).u(f
+
∫ ∫
= dx)x(f.adx)x(f.a

+
∫ ∫ ∫
+=+ dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
+
∫ ∫ ∫
−=− dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Giả sử F(x) có đạo hàm là f(x) từ đó suy ra:
∫
+= C)x(F))x(F(d
4. Công thức Newton - Lepnit:
∫
−=
b
a
)a(F)b(Fdx).x(f
5. Định nghĩa tích phân xác định:
+Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và có giá trị không âm xác định trên
khoảng (a, b), hình chắn phía trên bởi y = f(x) và phía dưới bởi trục Ox
và các đường thẳng x = a, x = b.
+Để tính diện tích hình thang cong người ta chia đoạn [a, b] thành các
đoạn nhỏ bởi các điểm x
0
, x
1
, , x
n
. Ta gọi ∆x
i
= x
i

- x
i-1
. Từ các điểm x
i
,
dựng các đường thẳng song song với trục Oy khi đó hình thang cong
được chia làm nhiều hình thang cong nhỏ.
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
0
x
y
a
b
Trang 3
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
+Trong mỗi đoạn ∆x
i
chọn một điểm ε
i
khi đó tung độ y
i
ứng với điểm
ε
i
là y
i
= f(ε
i
) suy ra, nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ đựng hình chữ nhật có
kích thước là (x

i
- x
i-1
); f(ε
i
) thì được mỗi hình chữ nhật đó là:
δ
i
= f(ε
i
) . (x
i
- x
i-1
). Suy ra diện tích toàn phần hình cong là:
S = S
1
+ S
2
+ + S
n
=
∑
n
1
i
S
+Nếu n càng lớn thì ∆x
i
càng nhỏ và độ chính xác càng lớn.

S =
∑
=
∞→
n
1i
i
n
SLim
.
Giới hạn phía phải được kí hiệu là:
∫
∑
=
=
∞→
b
a
n
1i
i
n
dx)x(fSLim
.
+Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a, b].
Chia đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm (không nhất thiết phải cách
đều nhau) a = x
0
, x
1

, , x
n
= b.
Đặt ∆
i
= x
i
- x
i-1
(1 ≤ i ≤ n).
Gọi số lớn nhất trong các kí hiệu đó là Max∆
i
.
Trong mỗi đoạn [x
i-1
, x
i
] chọn một điểm ε
i
tùy ý: x
i-1
≤ ε
i
≤ x
i
.
Lập tích f(ε
i
).∆
i

trên mỗi đoạn chia.
Lập tổng
∫
∑∑
=
→∆
=→∆ε
b
a
n
1i
i
0Max
ii
SLimdx)x(fx).(f
i
Để tính tích phân theo định nghĩa ta thường chia thành các đoạn bằng
nhau:
∆x
i
= x
i
- x
i-1
= (b-a)/n = h.
Lấy điểm ε
i
là đầu mút phải (hoặc trái) mỗi đoạn.
ε
i

= a + (i-1).h (trái)
ε
i
= a + i.h (phải)
+Tính chất của tích phân xác định:
∫ ∫
=
b
a
b
a
dx)x(fCdx)x(f.C
∫ ∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[
-Nếu f(x) ≤ g(x) thì:
∫∫
≤
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(f
-Nếu m, M là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x) thì:

∫
−≤≤−
b
a
)ab(mdx)x(f)ab(M
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 4
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN:
DẠNG 1: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ TÍNH CHẤT:
1.
∫
+ dx)1e(
3x
2.
dx2e
xx
∫
3.
∫
−+
−
dx2ee
xx
4.
∫
+
dx
x1
x

2
5.
∫
xdxcos
2
6.
∫
xdxtg
2
7.
∫
xdxsin
3
8.
∫
dx.xcos.xsin
2
9.
dx.xa.x
22
∫
−
10.
∫
+
dx
1x
x
4
3

11.
∫
−
−+
dx
)x1(
xx1
32
2
12.
∫
+ dx)bax(
32
13.
dx)
x
1
x(
3
+
∫
14.
dx)x2x(
2
3
+
∫
15.
∫
xdxcosxsin

2
16.
∫
xdxsin
5
17.
dx
2x2x
1
2
∫
++
18.
∫
+
+
dx
)x1(x
)x1(
2
2
19.
dx.
xx
|x1|
2
∫
−
20.
∫

+ dx)ba(
2xx
21.
∫
+
dx
)bxa(
m
3
2
22.
dx.2x.x
3
32
∫
+
23.
∫
+ )xln1(cos.x
dx
2
24.
∫
+
dx
xcos21
xsin
25.
∫
+

+
dx
tgx1
xtg1
2
26.
∫
+
dx
4e
e
x2
x
27.
∫
+ )1x(x
dx
2
28.
∫
+
+++
dx
1x
2xxx
6
456
29.
∫
+

+
dx
e1
)e1(
x2
2x
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 5
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Giả sử tính tích phân của f(x)dx (1).
+Đặt t = ϕ(x), lấy vi phân để tính dx theo dt và t.
+Biến đổi f(x) theo t.
+Đưa (1) về dạng:
∫
+= C)t(Fdt)t(f
(2)
+Thay t trong biểu thức nguyên hàm bằng ϕ(x).
Chú ý: Nếu (1) là tích phân xác định thì (2) là tích phân xác định cận từ
ϕ(a) đến ϕ(b), khi đó không có bước cuối.
Bài tập:
1.
∫
− dx)x1.(x
82
2.
dx
4x2cos
x4sin
2

∫
+
3.
∫
+
dx
x
5x3
4.
∫
− dx)x21(x
43
5.
∫
+ dx)xln1.(x
x
6.
∫
+
dx
xcos1
xcos.xsin
2
3
7.
∫
+++
−
dx
1x4x4x

xx
246
3
8.
∫
+
dx
xcosxsin
xsin
9.
∫
+
dx
xcosxsin
xcos
10.
∫
+
dx
x)x1(
xarctg
11.
∫
)xln(ln.xln.x
dx
12.
∫
−
+
dx

xcosxsin
xcosxsin
3
13.
∫
+
dx
xln1x
xln
14.
dx
x
x1
6
∫
+
15.
dx
x
x1
4
3
∫
+
16.
∫
−
2/32
)x1(
dx

17.
∫
+
dx
x1
x
18.
∫
++
22
)x1x(
dx
19.
∫
+
dx
2
x
cos1
xsin
2
20.
∫
xcos.x
dx
21.
∫
xcos
dx
22.

∫
xsin
dx
23.
∫
+ ax
dx
2
24.
∫
+
−
dx
1x
1x
4
2
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 6
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
25.
∫
xdxcos
5
26.
dx.xtg
6
∫
27.
∫

xdxcosxsin
3
28.
∫
+
dx
xcos49
xsinx
2
29.
∫
+
dx
xcos1
xsinx
2
30.
∫
+
dx
xsinxcos
xcos
31.
∫
+
dx
xsinxcos
xsin
32.
dx

12
4x
x
2
∫
+
+
33.
∫
+
dx
x2cos2
xcos
34.
∫
+
dx
xsinbxcosa
xcosxsin
2222
(a ≠ b ≠ 0)
35.
dxx1
2
∫
+
36.
∫
+
dx

x1
x
3
2
3
37.
∫
+
−
dx
e1
e1
x
x
38.
∫
+
dx
)1x(
xln
2
39.
dx.gxcot.
xsin
xsinxsin
3
3
3
∫
−

40.
dx
xsinxcos
xcos
44
4
∫
+
41.
dx
xcos2
xsinx
2
∫
+
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 7
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Các vấn đề lý thuyết:
+Định lý: Cho hai hàm u, v liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có:
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vdu|v.uudv

+Để tính tích phân f(x)dx:
-Phải biến đổi tích phân f(x)dx về dạng tích phân của u.dv.
-Tính du và v.
-Tính tích phân của v.du.
+Các dạng thường gặp:
a.
∫
dx.Ax).x(P
(P(x) là một đa thức của x, Ax: e
x
, a
x
, sinx, cosx )
Thì ta sẽ đặt u = P(x), dv = Ax.dx.
b.
∫
dx.Ax).x(P
(P(x) là một đa thức của x, Ax: arsinx, arccosx,
arctgx )
2. Bài tập:
1.
∫
1
0
x
dxe.x
2.
∫
1
0

xarctgxdx
3.
∫
xdxcosx
2
4.
∫
xdxln
5.
∫
xdxsine
x
6.
∫
dx
xcos
x
2
7.
∫
dx)xcos(ln
8.
∫
+
dx
x1
xarcsin
9.
∫
dx)arctgx(x

2
10.
∫
+
++
dx
x1
)x1xln(.x
2
2
11.
dxxsine
2x2
∫
12.
∫
dx)x(arcsin
2
13.
∫
+
dx
)x1(
dx
22
14.
∫
+
222
)xa(

dx
15.
∫
−
dx
)1x(
x
34
8
16.
∫
dx)
x
xln
(
3
17.
∫
dx.xsinex
x2
18.
dx.bx
2
∫
+
19.
dxxa
22
∫
−

20.
dx
e
earcsin
x
x
∫
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 8
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
21.
∫
dx.xarccos.xarcsin
22.
∫
+ dx)x1ln(.arctgx.x
2
23.
∫
+
dx
)x1(
x
24
7
24.
dx
)x1(
)1xxln(.x
22

2
∫
−
++
25.
∫
+
dx
x1
arctgx.x
2
4
26.
dx.xsin.x
∫
27.
dx
x1
arctgx.x
2
2
∫
+
28.
∫
−
dx
x1
xarccos.x
2

3
29.
∫
+ dx).xcos1ln(.xcos
30.
∫
+
dx
)x1(
e.x
2/32
arctgx
31.
∫
dx.xarccos.x
2
32.
dx
x
xarcsin
2
∫
33.
∫
dx).xcos(ln
34.
∫
dx).xsin(ln
35.
∫

+
dx
)x1(x
arctgx
22
36.
dx).xsin(
3
∫
37.
∫
−
dx.x3cos.e
x2
38.
∫
dx.xln.x
3
39.
∫
−
dx.e.x
2/x
40.
∫
+ dx).x1ln(
41.
∫
++ dx)1xxln(.x
2

42. Tìm a để:
[ ]
12dxx4x).a44(a
1
0
32
=+−+
∫
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 9
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
DẠNG 4: TÍCH PHÂN CÁC LOẠI HÀM SỐ:
1. Hàm hữu tỷ:
a. Dạng tổng quát: Tính tích phân
dx.
)x(g
)x(f
∫
bậc của f(x) nhỏ hơn g(x).
+Nếu bậc f(x) lớn hơn bậc g(x) thì chia đa thức đưa về phân số tối giản.
+Nếu bậc f(x) nhỏ hơn bậc g(x) thì phương trình hàm hữu tỷ đã cho
đưa về hàm hữu tỷ đơn giản hơn bằng phương pháp cân bằng hệ số
bằng cách sau:
'cx'bx'a
CBx
bax
A
)'cx'bx'a)(bax(
1
22

++
+
+
+
=
+++
Tương đương với:
nn
)ax(
N

ax
A
)ax(
1
−
++
−
=
−
+Các dạng thường gặp khi tính tích phân xác định:
Tích phân
∫
α
−
dx
)ax(
A
=
∫

+α−
−
=−−
+α−
α−
1
)ax(
.A)ax(d)ax(.A
1
Tích phân
∫ ∫
−=
−
−
=
−
|ax|ln.A
ax
)ax(d
.Adx
)ax(
A
Tích phân
∫
++ cbxax
dx
2
tùy theo ax
2
+bx+c = 0 có nghiệm hay không.

Nếu có nghiệm thì đưa về dạng:
∫






+
−
=
−
ax
ax
ln.
a2
1
au
du
22
Nếu không có nghiệm thì đưa về dạng sau:
∫
=
−
a
u
arctg.
a
1
au

du
22
b. Bài tập luyện:
1.
∫
+++
+−
dx
2x3x3x
3xx2
23
2
2.
∫
++
+
dx
)9x)(1x(
1x
22
3.
dx
)2x()1x(
5x18x17x5
3
23
∫
−−
−+−
4.

∫
++
dx
)x1).(x1(
x2
22
5.
∫
+ )1x.(x
dx
2
6.
∫
+
210
)1x.(x
dx
7.
∫
+
−
dx
1x
xx
8
5
8.
∫
+
+

dx
1x
1x
6
4
9.
∫
+−
+
dx
x2x3x
1x
23
4
10.
∫
++
dx
2x3x
x
24
5
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 10
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
11.
dx
)3x()1x(
1x
3

2
∫
+−
+
12.
dx
1x
x1
6
4
∫
+
−
13.
∫
+1x
dx
6
14.
∫
−
dx
1x
x
8
15.
∫
+−
++
dx

)1x)(2x(
13x2x2
22
2
16.
∫
+++
2
)3x)(2x)(1x(
dx
17.
∫
+++
2
)3x)(2x)(1x(x
dx
18.
∫
+++ )1xx)(1x.(x
dx
2
19.
∫
+1x
dx
3
20.
xd
)1x5x)(5x(x
1x

54
4
∫
+−−
−
21.
∫
++++
−
dx
1xxxx
1x
234
2
22.
∫
+
−
dx
)x1(x
x1
7
7
23.
∫
+
dx
)x1(
x
24

7
24.
∫
−
dx
)1x(
x
5
2
25.
∫
++
dx
3x2x
x
36
2
26.
∫
++ 1xx
dx
24
27.
∫
++
dx
5x6x
x
24
28.

∫
+
−
dx
)1x(
x2x
22
3
29.
∫
−
25
xx
dx
30.
∫
++
+
dx
29x10x
3x5
2
31.
∫
++
+
dx
1x2x5
1x
2

32.
∫
+−
−+
dx
)1x)(1x(
1x2x
2
2
2. Tích phân các hàm số lượng giác:
a. Các vấn đề lý thuyết:
+Tích phân có dạng:
xdxcos.xsin
nm
∫
-Trường hợp 1: Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt cosx = t.
-Trường hợp 2: Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt sinx = t.
-Trường hợp 3: Nếu m, n cùng chẵn, khác dấu thì đặt tgx = t.
-Trường hợp 4: Nếu m, n cùng chẵn, cùng dương thì hạ bậc.
+Tích phân có dạng:
∫
dx)xcos,x(sinR
thì đặt
t
2
x
tg =
.
+Sử dụng phương pháp tích phân từng phần trong trường hợp có thể:
Xem phương pháp tích phân từng phần.

b. Bài tập luyện:
1.
∫
+−
−+
dx
3xcos2xsin
3xcos2xsin
2.
∫
++ xcos3xsin53
dx
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 11
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
3.
∫
+ xcosxsin4xsin
xdxcos
2
2
4.
∫
dx
3
x
sin.
2
x
sin.xsin

5.
∫
dx
xsin
xcos
3
4
6.
∫
xcos.xsin
dx
53
7.
∫
4 53
xcos.xsin
dx
8.
∫
dx
xsin
xcos
5
9.
∫
xdxtg
5
10.
dxxgcot
3

∫
11.
∫
++ xcosxcosxsin2xsin
dx
22
12.
∫
xcosxsin
dx
4
13.
∫
xsinxcos
dx
4
14.
∫
xcosxsin
dx
4
15.
∫
−− 1xsinxcos
xdx2sin
23
16.
∫
+ xcosbxsina
dx

2222
17.
∫
xcos.xsin
dx
4
18.
∫
+ xcosxsin
dx.xcos.xsin
19.
∫
3
2
xsin.x3cos
dx
20.
∫
+
dx
xcos1
x2sin
4
21.
∫
xdxcos.xsin
42
22.
∫
xdxcos.xsin

54
23.
∫
−1xsin.4
xdxcos
2
3
24.
∫
dx
4
x
cos
4
x
sin
22
25.
∫
xdxcos
6
26.
∫
+ xcosxsin.xcos.xsin
dx
44
27.
∫
+ tgx34
dx

28.
∫
xdxcos.xsin
55
29.
∫
+
−
dx
)xcos2x(sin
xcosxsin
2
30.
∫
dx
xsin.x2sin
xcos
3
31.
∫
+
dx
x2sin
xsinxcos
32.
dxtgx
∫
33.
∫
xcos.xsin

dx
34.
∫
− xsin1
dx
35.
dx
xcosxsin
xsin
55
5
∫
+
3. Tích phân của các hàm vô tỷ:
a. Các vấn đề về lý thuyết:
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 12
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
Giả sử tính tích phân của f(x)dx.
+
)x,x,x,x(f)x(f
cba
=
Thì đặt
tx
s
=
với s là BSCNN của (a, b,
c, )
+

)
dcx
bax
,
dcx
bax
,x(f)x(f
nm
+
+
+
+
=
thì đặt
t
dcx
bax
s
=
+
+
với s là BSCNN
của (a, b, c )
+
)cbxax,x(f)x(f
2
++=
biến đổi ax
2
+bx+c =

2
2
a4
)
a2
b
x(a
∆
−+
-Nếu ∆ < 0 thì: Nếu
)u,u()x(f
22
−α=
đặt u = α.sint
Nếu
)u,u()x(f
22
α−=
đặt u =
tsin
α
+Phép thế ơcle: Dùng để biến đổi
cbxax
2
++
.
-Phép thế 1: Nếu ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm và a > 0 thì đặt
tx.acbxax

2
+±=++
-Phép thế 2: Nếu c > 0: Thì đặt
ctxcbxax
2
±=++
-Phép thế 3: Nếu x
0
là một nghiệm của ax
2
+ bx+c=0 thì đặt
)xx.(tcbxax
0
2
−=++
b. Bài tập luyện:
1.
∫
+−+
++
dx
1x)1x(
x21x
2
2.
∫
++
−
dx
1x8x2

3x5
2
3.
∫
++
+
dx
2xx
2xx
3
3
4.
∫
−++
−−+
dx
1x1x
1x1x
5.
∫
+1xx
dx
22
6.
∫
++
dx
1x1
x
3

4
3
7.
∫
++ 21x2
xdx
2
8.
∫
−−
dx
xx23
x
2
9.
dx
xx1
x
2
2
∫
++
10.
dx
x1
x1
∫
+
−
11.

∫
+1xx
dx
23
12.
∫
+
+
dx
x1
x1
4
13.
∫
+
dx
x1
x
3
6
14.
∫
−−−
4
x21x21
dx
15.
∫
+
−

x
dx
.
x1
x1
16.
∫
−
2/32
)x1(
dx
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 13
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
17.
∫
−−+ 1x1x
dx
18.
∫
−
4
3
)xa(x
xdx
19.
∫
++−− 3x2x)1x(
dx
2

20.
∫
−++
2
3
xx21)1x(
dxx
21.
∫
−+
2
2
3
xx21
dxx
22.
∫
++
+
2x2x
dx)x4x(
2
2
23.
∫
−+ 11x
dxx
3
2
3

24.
∫
−+−
22
xx21)1x(
xdx
25.
∫
−−− 1xxx
dx
2
26.
dx
x
x1
3
∫
−
27.
dx
x
2x2x
2
∫
++
28.
∫
+
2
x1x

dx
29.
∫
−−+ xx11
dx
2
30.
∫
+++
++−
dx
2x3xx
2x3xx
2
2
31.
∫
−−+
2
xx211
dx
32.
∫
+++ 2x2x1
dx
2
33.
dx.`2x2xx
2
∫

+−
34.
∫
−+
2
))x2.(x1(
dx
35.
∫
+++ 1xxx
dx
2
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 14
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT
1. Công thức newtown - lepnit:
∫
=−=
b
a
b
a
|)x(F)a(F)b(Fdx).x(f
2. Một số chú ý trong phương pháp đổi biến:
-Phải đổi cận: Đặt t = ϕ(x) ⇒
∫ ∫
β
α

=
b
a
dt)t(gdx)x(f
α = ϕ(a); β = ϕ(b).
3. Công thức tính tích phân từng phần:
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vdu|uvudv
4. Tính chất:
+
∫ ∫
−
=
b
b
b
0
dx)x(f.2dx)x(f
với f(-x) = f(x).
+
∫
−
=

b
b
0dx)x(f
với f(x) = -f(-x).
+
∫ ∫
−
=
+
b
b
b
0
x
dx)x(fdx
1a
)x(f
với f(x) = f(-x).
+
∫ ∫ ∫
+=
b
a
c
a
b
c
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
+
[ ]

∫ ∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f
+
∫ ∫
−=
b
a
a
b
dx)x(fdx)x(f
+
∫ ∫
π π
π
=
+
=
+
2
0
2
0
mm

m
mm
m
4
dx
xcosxsin
xcos
dx
xsinxcos
xsin
+ f(x) ≥ 0 trên [a, b] ⇒
0dx)x(f
b
a
≥
∫
+ f(x) ≥ g(x) trên [a, b] ⇒
∫∫
≥
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(f
+ m ≤ f(x) ≤ M trên [a, b] ⇒ m(b - a) ≤
∫
b
a
dx)x(f
≤ M(b - a)

II. BÀI TẬP LUYỆN:
+) Tính các tính phân xác định sau:
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 15
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
1.
∫
π3
0
dx.x3sin.x2sin.xsin
2.
∫
+
3
1
3
3
dx
x
x4x
3.
dx
x
1x
4
2
2
3
∫
+

4.
dx
x1
3
x
1
2/1
2/2
2
2
∫






−
−
5.
∫
3
2/1
x
dx
6.
∫
π
π
−

3/
4/
2
2
dx
xcos
xgcot23
7.
∫
π
π
3/
6/
22
xcos.xsin
dx
8.
dx
xsin
xsin1
4/
6/
2
3
∫
π
π
−
9.
∫

−
−
3
3
2
dx|1x|
10.
∫
−+
2
0
2
dx|3x2x|
11.
∫
−
3
1
dx|2x|
12.
∫
+
2
1
2
xx
dx
13.
dx.x2cos1
2

0
∫
π
−
+) Dùng phương pháp đổi biến, tính các tích phân sau:
1.
∫
π 6/
0
dx.x3cos
2.
∫
−
2
1
5
dx)1x2(
3.
dx
)1x(
x
1
0
33
2
∫
+
4.
∫
π

+
4/
0
2222
xsinbxcosa
dx
5.
∫
π 4/
0
tgxdx
6.
∫
+
1
0
2
dx)x1ln(.x
7.
dx.x.x4
2
0
2
∫
−
8.
∫
π 2/
0
5

xdxcos
9.
dx
x
)xx(
1
3/1
4
3/13
∫
−
10.
∫
π
π
4/
6/
dx.gxcot
11.
∫
π 2/
0
3
dx.xcos.xsin
12.
∫
+
1
0
4

x1
dx.x
13.
∫
π 2/
0
xsin
dx.xcos.e
14.
dx.xcos.xsin41
6/
0
∫
π
+
15.
∫
−
1
0
x2
dx.x.e
16.
∫
4
1
x
dx
x
e

17.
dx.1x
1
0
2
∫
+
18.
dx
x1
x
1
0
3
3
2
∫
+
19.
dx
x
1xln
e
1
∫
+
20.
∫
π
+

2/
0
xsin2
dx
+) Dùng phương pháp tích phân từng phần:
1.
∫
1
0
x4
dx.e.x
2.
∫
π
0
dx.xsin.x
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 16
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
3.
∫
π
+
0
dx.xcos).1x2(
4.
∫
π 2/
0
2

dx.xcos.x
5.
∫
1
0
dx.arctgx.x
6.
∫
2/1
0
dx.xarcsin
7.
∫
e
1
dx).xcos(ln
8.
∫
π
0
x
dx.xsine
9.
∫
π 2/
0
x
dx.xcose
10.
∫

π 4/
0
2
dx
xcos
x
11.
∫
+
1
0
dx
x1
xarcsin
12.
dx
x1
)x1xln(.x
1
0
2
2
∫
+
++
+) Sử dụng các tính chất đặc biệt của tích phân:
∫ ∫
−
=
+

a
a
a
0
x
dx).x(fdx.
1a
)x(f
∫∫
ππ
π=
+
=
+
2/
0
mm
m
2/
0
mm
m
4/dx
xcosxsin
xcos
dx
xsinxcos
xsin
∫
−

=
a
a
0dx)x(f
nếu f(x) = -f(-x).
∫ ∫
−+=
b
a
b
a
dx).xba(fdx)x(f
1.
∫
−
++
1
1
2x
)1x)(1e(
dx
2.
∫
π
+
2/
0
55
5
dx

xcosxsin
xsin
3.
∫
π
+
0
2
dx
xsin1
xsinx
4.
∫
π
+
4/
0
dx
xcosxsin
xcos
5.
∫
−
−
+1
2/1
2/1
dx.
x1
x

ln.xcos
6.
dx
xcos
1xx7x3x
4/
4/
2
357
∫
π
π−
+−+−
7.
dx)x1xln(
1
1
2
∫
−
++
ĐỀ THI MỘT SỐ TRƯỜNG ĐẠI HỌC
1. ĐHQG - D/99:
∫
−
−
xx
e4e
dx
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán

Trang 17
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
2. ĐHBK -99:
Cho hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x.
a. Tìm học nguyên hàm của hàm số g(x).
b. Tính:
dx
1e
)x(g
2/
2/
x
∫
π
π−
+
3. ĐHTN A/99:
Chứng minh với mọi n nguyên dương ta có:
∫
=−
−+
1
0
xx1x2
0dx.e.)1x2(
2
4. ĐHSPII.99:
Tìm nguyên hàm của f(x) =
x2sin3x6sinx4sin3
xsin

3
−+
5. ĐHKTQD-99:
Tìm họ nguyên hàm:
f(x) = tgx +
1x21x2
1
−++
6. ĐHTDTT 99:
Tính
dx.x1x
1
0
2
∫
−
7. ĐHMỎ 99:
a. Tính
∫
+
1
0
n32
dx.)x1(x
(n > 2)
b. Tính I(t) =
∫
t
0
2

dx.)xsin.x(
+Tính khi t = π.
+Chứng minh I(t) + I(-t) = 0 (∀ t ∈ R)
8. ĐHTCKT - 99:
Tính các tích phân sau:
a.
∫
π
π
+
+
3/
4/
dx
x2sin3
xsinxcos
b.
dx
1x
1x
1
0
6
4
∫
+
+
c.
dx.
5xcos3xsin4

6xcos7xsin
2/
0
∫
π
++
++
d.
∫
π
0
34
dx.xsin.xcos.x
9. ĐHCĐ 99:
Tính các tích phân sau:
a.
∫
+
aln
0
x
1e
dx
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 18
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
b.
∫
π
+

2/
0
x2sin1
dx
c.
∫
π
−
2/
0
2
dx.xcos).1x2(
10. ĐHY 99:
a. Biết
C)3xxln(
3x
dx
2
2
+++=
+
∫
Tìm nguyên hàm F(x) =
dx.3x
2
∫
+
b.
∫
π

π
3/4
2
x
sin
dx
11. HVBCVT 99:
∫
−
+
1
1
x
4
dx.
21
x
12. GTVT 99:
y =
∫
−
−
1
1
dx.
x45
x
+
∫
3

0
dx.arctgx.x
13. HVNH 99:
a.
∫
+
dx
xcos.3xsin
xcos
2
b.
∫
++−
2
1
2
dx.|ax)1a(x|
(a là một số cho trước)
14. ĐHTS 99:
∫
π
+
2/
0
2
dx.xsin).1x(
15. ĐHTM 99:
∫
+
4

1
2
)1x(x
dx
16. ĐHXD 99:
a. Cho f(x) =
1x
x
2
2
−
Tính
∫
3/8
2/3
dx).x/1(f
b.
dx.
xcos
)xasin(
2
∫
+
(a là một số cho trước)
17. ĐHKT 99:
∫
π 2/
1
3xsin
dx.xcos.xsin.e

2
18. ĐHNT A-99:
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 19
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
∫
++
1
0
22
)2x3x(
dx
19. ĐHNT A-99:
dx
3x
9x2
1
0
∫
+
+
20. ĐHNN 99:
∫
π
+
+
3/
0
3
dx

1x3
1x
21. ĐHNT 99:
∫
++
1
0
2
)2x3x(
dx
22. ĐHNNI B -99:
∫
−
1
0
19
dx.)x1.(x
23. ĐHXD 99:
a. Chứng minh 2,5 <
∫
<
3
2
4
2.9
dx).x(f
với f(x) =
1x
x
2

2
−
b.
dx.
xcos
)xasin(
2
∫
+
(a là hằng số cho trước).
24. HVKTMM 99:
a.
dx).1xxln(.xcos
2/
2/
2
∫
π
π
++
b.
dx
1x
1x
1
0
6
4
∫
+

+
c.
∫
π
π
3/
6/
4
xcos.xsin
dx
d. Chứng minh:
∫
<
+
<
1
0
3
10
25
3
26
1
dx.
x1
x
226
1
25. ĐHTL 99:
∫

+
25
1
5
)1x.(x
dx
26. ĐH MỎ ĐC 99:
Giải bất phương trình:
∫ ∫
+
−
<
xln2
xln
x
e
x3
t
dt
t2
dt
27. ĐH AN NINH 99:
∫
+
4
7
2
9x.x
dx
28. ĐH THỦY LỢI 2000:

Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 20
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
y =
∫
π
+
+
2/
0
22
dx.
xcos4xsin3
xcos4xsin3
29. TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 2000:
dx.
1xx
x
1
0
24
∫
++
30. ĐH MỎ 2000:
I
1
=
dx.2xgcotxtg
3/
6/

22
∫
π
π
−+
I
2
=
∫
π
π
π
+
3/
6/
)
6
xsin(.xsin
dx
31. ĐH BÁCH KHOA 2000:
I =
dx.
1e
e
2ln
0
x
x2
∫
+

32. ĐH GTVT 2000:
∫
π
π−
−
+
2/
2/
2
dx.
xsin4
xcosx
33. ĐH THƯƠNG MẠI 2000:
I =
dx.
)xcosx(sin
xsin.4
2/
0
3
∫
π
+
34. ĐH CÔNG ĐOÀN 2000:
I
1
=
∫
+
1

0
x2
3e
dx
I
2
=
∫
+
2
1
2
dx.
x
)1xln(
35. ĐHSPHNII 2000:
I
1
=
∫
π
−+
2/
0
44
dx).xsin.xcosx10sinx10(cos
I
2
=
∫

+
2
1
3
x1x
dx
I
3
=
∫
++
1
0
n nn
x1)x1(
dx
( n = 1, 2, )
36. ĐHTHNGUYÊN 2000:
I =.
∫
π
+
2
0
dx).nxxsin(sin
(n ∈ Z).
37ĐH DƯỢC 2000:
I =
dx.e.
xcos1

xsin1
2/
0
x
∫
π
+
+
38. ĐHNNI 2000:
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 21
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
I
1
=
∫
+
2
1
3
)x1.(x
dx
I
2
=
∫
π 4/
0
4
dx.xtg.x

39. ĐH LÂM NGHIỆP 2000:
∫
π
++
2/
0
xcosxsin2
dx
40. ĐH NGOẠI THƯƠNG 2000:
∫
π
++
4/
0
3
dx.
)2xcosx(sin
x2cos
41. CĐSPHN 2000:
I
1
=
∫
−
+++
0
1
2x4x
dx
I

2
=
∫
π
+
+
4/
0
dx.
xcosxsin3
xcos2xsin
42. ĐHQG - A - 2001
∫
+−++
−
dx
)1x3x)(1x5x(
1x
22
2
43. ĐHSPHN - B - 2001.
∫
−
1
0
23
dxx1x
44. ĐHSP VINH - A - 2001
a)
∫

π
+
+
+
2
0
xcos1
dx
xcos1
)xsin1(
ln
b)
∫
π
π
−
3
3
2
dx
xcos
xsinx
45. ĐHSP VINH - D - 2001
∫
π
−
2
0
dx.x2sin1
46. ĐHNN - 2001

∫
−−
1
0
22
dx)xx1(
47. ĐHGTVT - 2001
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 22
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
∫
π
+
−
2
0
3
dx
)xsinx(cos
xsin4xcos5
48. ĐH KIẾN TRÚC - 2001
∫






π
3

2
0
3
dxxsin
49. ĐH TL - 2001
∫
π
+
4
0
.dx)tgx1ln(
50. ĐHNNI - 2001
∫
π
π
2
4
4
6
dx
xsin
xcos
51. ĐHNNI - B - 2001
a)
∫
−
+
1
1
22

)x1(
dx
b)
∫
π
+
2
0
dx
xcosxsin
xcos
52. ĐHTN - A - 2001
∫
+
+−
+
2
51
1
24
2
dx
1xx
1x
53. ĐH DƯỢC - 2001
∫
10
1
2
xdxlgx

54. ĐHNT - A - 2001
∫
π
+
4
0
66
dx)
xcosxsin
x4sin
(
55. ĐHTM - 2001
dx
e1
e
1
0
x2
nx2
∫
+
−
. Với n
N
∈
56. ĐHAN - 2001
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 23
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
∫

3
1x
xdx
57. HVKTQS - 2001
∫
+
−
b
0
22
2
dx
)xa(
xa
. Với a, b là các tham số cho trước.
58. ĐH Y HN - 2001
∫
−
3
2
2
dx1x
59. ĐHSPKT TPHCM - A - 2001
∫
π
2
0
n
xdxcos
.Với n là số nguyên dương.

60. ĐHSP TPHCM - A - 2001
∫
−
1
0
35
dxx1x
61. ĐHNT TPHCM - A - 2001
Tìm họ nguyên hàm của f(x) =
xsin1
gxcot
9
+
62. ĐHQG TPHCM - A - 2001
Đặt I =
∫
π
+
6
0
2
xcos3xsin
xdxsin
và J =
∫
π
+
6
0
2

dx
xcos3xsin
xcos
a) Tính I - 3J và I + J
b) Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và
K =
∫
π
π
−
2
5
2
3
xsin3xcos
xdx2cos
63. CĐSPHN - 2001
∫
−
++
1
1
2x
)1x)(1e(
dx
64. TSĐH - A - 2003
∫
+
32
5

2
4xx
dx
65. TSĐH - B - 2003
∫
π
+
−
4
0
2
dx
x2sin1
xsin21
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 24
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404
66. TSĐH - A - 2004
∫
−+
2
1
dx
1x1
x
67. TSĐH - B - 2004
∫
+
e
1

dx
x
xlnxln31
68. TSĐH - A - 2005
69. TSĐH - B - 2005
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I - LÍ THUYẾT
1) DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
a) Cho hàm số y = f(x), liên tục và
không âm trên [a, b]. Ta biết rằng
diện tích S của hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị của f(x), các
đường thẳng x = a, x = b và trục
hoành là:
S =
∫∫
=
b
a
b
a
dx)x(fdx)x(f

+Nếu f(x) âm trên [a, b] thì diện tích
của hình thang cong A'B'BA bằng diện
tích của hình thang cong A'B'B
1
A
1
là

hình đối xứng của hình thang cong đã
cho qua trục hoành khi đó ta có:
S = S
A'B'BA
=
11
BA'B'A
S
=
∫ ∫
=−
b
a
b
a
dx)x(fdx)x(f
b) Từ công thức tính diện tích của hình thang cong, ta có diện tích của
hình phảng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của hai
hàm số y
1
= f
1
(x) và y
2
= f
2
(x) liên tục trên [a, b] được cho bởi công
thức: S =
∫
−

b
a
21
dx)x(f)x(f
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 25
B
B'
A
A'
a
b
O
x
y
y = f(x)
x
y
O
B1
B'
B
b
A1
A'
A
a