SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có 3 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 12 BT THPT
Ngày thi: 24 - 3 - 2010
Bài Ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm
Bài 1
5 điểm
1
3đ Tập xác định R
Sự biến thiên: y' = 3x
2
- 6x
y' = 0
0
2
x
x
=

⇔

=

0,5
Giới hạn:
lim ;lim

x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
0,5
Bảng biến thiên
x -
∞
0 2 +
∞
y' + 0 - 0 +
y
2
+∞
−∞
-2
1
Đồ thị đi qua (3; 2) và (-1; -2)
Đối xứng qua điểm (1; 0)
1
2
2đ
Phương trình
⇔
x
3
- 3x
2
+ 2 = 2 - m
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) với

đường thẳng (d): y = 2 - m
Từ đó suy ra:
2 2 0
2 2 4
m m
m m
− > <
 
⇔
 
− < − >
 
phương trình có một nghiệm.
1
Nếu m = 0 hoặc m = 4 phương trình có hai nghiệm.
Nếu - 2 < 2 - m < 2
⇔
0 < m < 4 phương trình có ba nghiệm. 1
1
2
3
x
0
2
-2
-1
y
Bài 2
4 điểm
1

2đ
3
sinx + cosx = 2
3 1π
sinx + cosx = 1 sin x + = 1
2 2 6
 
⇔ ⇔
 ÷
 
π π
x + = + k2π (k Z)
6 2
⇔ ∈
π π π
x = - + 2kπ x = + k2π
2 6 3
⇔ ⇔
Vậy phương trình có họ nghiệm là
π
x = + k2π
3
1
1
2
2đ
( )
2 2
2 2
2 2

2 2
2 x + y = 10
x - xy + y = 3
x + y = 5

xy = 2
x + xy + y = 7
2xy = 4



 
⇔ ⇔
  




( )
2
x + y = 3
(I)
xy = 2
x + y = 9
x + y = - 3
xy = 2
(II)
xy = 2






 

⇔ ⇔










0,5
0,5
Giải hệ phương trình (1) được hai nghiệm:
(x; y) = (1; 2); (2; 1)
Giải hệ phương trình (2) được hai nghiệm:
(x; y) = (-1; -2); (-2; -1)
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm (x; y) là:
(1; 2); (2; 1); (-1; -2); (-2; -1)
0,5
0,5
Bài 3
3 điểm
1
1đ

Đặt t = sinx
dt = cosxdx⇒
⇒
0
0
1
2
x
t
t
x
π
=

=


⇒
 
=
=



1
3
1
2
0
0

1
3 3
t
I t dt= = =
∫
0,5
0,5
2
2đ
Gọi số chẵn có ba chữ số là X =
1 2 3
a a a
(a
1
khác 0)
a
i
{ }
0;1;2; ;9∈ L
(i = 1; 2; . . . ;9)
0,5
Có 5 cách chọn a
3
từ các số: 0; 2; 4; 6; 8
Có 10 cách chọn a
2
và 9 cách chọn a
1
.
Do đó có: 5.10.9 = 450

0,5
0,5
0,5
Bài 4
4 điểm
1
2đ Gọi I là tâm của đường tròn (C): (x - 1)
2
+ (y +2)
2
= 9
thì I(1; -2) và bán kính R = 3
OI =
( ) ( )
2 2
0 1 0 2 5 3R− + = < =
Vậy điểm O ở trong đường tròn (C)
1
O
D
C
B
A
S
Vì điểm O ở trong đường tròn (C) và O là trung điểm của AB nên
OI AB
⊥ ⇔
AB có véc tơ pháp tuyến
(1; 2)n OI= = −
r uur

⇒
phương trình đường thẳng cần tìm là: 1(x - 0) - 2(y - 0) = 0
⇔
x - 2y = 0
1
2
2đ
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì khối chóp S.ABCD là khối
chóp tứ giác đều
⇒

( )SO mp ABCD⊥
và AC = a
2
;
OA = OC =
2
2
a
1
Xét tam giác vuông SOA có: SO
2
+ OA
2
= SA
2

2
2 2 2
2 2

2 2
a a
SO SA OA a
 
⇒ = − = − =
 ÷
 ÷
 
0,5
Thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD là:
3
2 2
1 1 1 2 2
3 3 3 2 6
a a
V Bh a SO a= = × = × =
0,5
Bài 5
4 điểm
1
2đ
Vì (
α
) vuông góc giá của
a
r
nên (
α
) có véc tơ pháp tuyến là:
(6; 2; 3)n a= = − −

r r
1
Phương trình mặt phẳng (
α
) là:
6(x + 1) - 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0
⇔
6x - 2y - 3z + 1 = 0
1
2
2đ Toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (
α
) là nghiệm
của hệ phương trình:
1 3 0
1 2 1
3 5 1
6 2 3 1 0 3
x t t
y t x
z t y
x y z z
= + =
 
 
= − + =
 
⇔
 
= − = −

 
 
− − + = =
 
1
Toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (
α
) là
M(1; -1; 3)
1
GHI CHÚ
Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ DỰ BỊ
(Gồm có 3 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 12 BT THPT
Bài Ý Hướng dẫn chấm Điểm
Bài 1
5 điểm
1
3đ
Tập xác định R \
{ }
- 1
Sự biến thiên:
( )

2
2
y' =
x + 1
y' > 0 với mọi x khác -1 . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
(- ; -1)∞
và (- 1; +
∞
). Hàm số không có cực trị.
0,5
y' > 0
2
0
x
x
>

⇔

<

Hàm số đồng biến trong khoảng (-
∞
; 0) và
(2; +
∞
)
y' < 0
⇔
0 < x < 2 Hàm số nghịch biến trong khoảng (0; 2)

Điểm cực đại (0; 2). Điểm cực tiểu (2; -2)
0,5
x ±
lim =1
→ ∞
suy ra đồ thị có tiệm cận ngang y = 1
1
x ( 1)
lim = -
+
→ −
∞
;
x ( 1)
lim = +
−
→ −
∞
nên đồ thị có tiệm cận đứng x = -1
Bảng biến thiên:
x -
∞
-1 +
∞
y' + +
y
+
∞
1
1 -

∞
1
Đồ thị đi qua điểm (-2; 3)
và (-3; 2)
0,5
x
1
2
3
-3
-1
-1
0
-2
1
y
2
2đ Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm x khác -1 của
phương trình:
x - 1
= x + m
x + 1
2
x - 1
= x + m x - 1 = (x + 1)(x + m)
x + 1
x + mx + m + 1 = 0 (*)
⇔
⇔
0,5

Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có
hai nghiệm phân biệt khác - 1.
2 2
m > 2 + 2 2
m 4(m + 1) > 0 m - 4m - 4 = 0
m < 2 - 2 2

⇔ − ⇔ ⇔



0,5
1
Bài 2
4 điểm
1
2đ sin2x + cos2x + sinx + cosx + 1 = 0
⇔
2sinxcosx + 2cos
2
x + sinx + cosx = 0
⇔
2cosx(sinx + cosx) + sinx + cosx = 0
⇔
(sinx + cosx)(2cosx + 1) = 0
1
4
t anx=-1
sinx+cosx=0
2

2
1
2cosx+1=0
3
cosx=-
2
2
2
3
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π

= − +






⇔ ⇔ ⇔ = +








= − +


(với k
∈
Z)
Phương trình có ba nghiệm: x = -
4
k
π
π
+
; x = -
2
2
3
k
π
π
+
và
x = -
2
2
3
k

π
π
+
(với k
∈
Z)
1
2
2đ
( )
2
2 2
3
x + y = 3
x + y = 5
2 5
3 3
9 2 5 2
x y
x y xy
x y x y
xy xy
+ =



⇔
 
+ − =




+ = + =
 
⇔ ⇔
 
− = =
 
1
x, y là hai nghiệm của phương trình t
2
- 3t + 2 = 0
Giải phương trình được t = 1; t = 2
Hệ có hai nghiệm (1; 2) và (2; 1)
1
Bài 3
3 điểm
1
1,5đ
Đặt u = lnx
dx
du =
x
⇒
⇒
1 0
1
x u
x e u
= =

 
⇒
 
= =
 
1
2 3
1
2
0
1 0
ln 1
3 3
e
x t
I dx t dt
x
= = = =
∫ ∫
2
1,5đ
Điều kiện:
3n
n N
≥


∈

( ) ( )

2 3
! !
4 4
2! 2 ! 3 !
n n
n n
C A
n n
= ⇔ × =
− −
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 2 4n n n n n n n⇔ − = − − ⇔ = − ⇔ =
M =
4! 4 1 24 5 29
5! 120 120
+ + +
= =
Bài 4
4 điểm
1
2đ Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng y = x + 2 tại điểm
M(2; 4) nên tâm của nó nằm trên đường thẳng (
∆
) với đường
thẳng: y = x + 2 tại điểm M.
Phương trình (
∆
): y = - x + b
Vì (
∆

) đi qua M nên 4 = - 2 + b
⇒
b = 6
Phương trình (
∆
): y = -x + 6
0,5
Vì tâm đường tròn thuộc trục Ox nên toạ độ tâm I thoả mãn:
6 6
(6;0)
0 0
y x x
I
y y
= − + =
 
⇔ ⇒
 
= =
 
0,5
Vì đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng y = x + 2 tại
điểm M nên: R
2
= IM
2
= (6 - 2)
2
+ (0 - 4)
2

= 32
Đường tròn phải tìm là: (x - 6)
2
+ y
2
= 32
1
2
2đ
'BD AC BD AC⊥ ⇒ ⊥
(định
lí ba đường vuông góc)
Tương tự ta có:
' ' ' 'BA AB BA AC⊥ ⇒ ⊥
Suy ra: AC' vuông góc với
mặt phẳng (A'BB)
1
Gọi V là thể tích của khối đa diện
Vì ABCDA'B'C'D' là hình lập phương nên ta có:
3
'. ' ' '. ' ' . ' . '
1 ' ' ' ' 1
'
3 2 6
B A C B D DA C A BDA C BDC
B A B C
V V V V B B a
×
= = = = × × =
=> V

B.DA'C'
= V
ABCDA'B'C'D'
- 4V
B'.A'C'B
= a
3
-
4
6
a
3
= a
3
-
2
3
a
3
=
3
3
a
1
5
4 điểm
1
2,5đ
AB
uuur

= (-3; 6; -3)
AC
uuur
= (-4; 5; 1)
AD
uuur
= (-2; 4; -1)
1
C'
A'
B'
D'
D
C
B
A
Tính được:
, (21;15;9)AB AC
 
=
 
uuur uuur
,AB AC AD
 
×
 
uuur uuur uuur
= 21. (-2) + 15.4 + 9.(-1) = - 42 + 60 - 9 = 9
≠
0

1
Nên A,B,C,C là bốn điểm của một tứ diện 0,5
2
1,5đ
Gọi S là diện tích tam giác ABC
S=
2 2 2
1 1
, 21 15 9 747
2 2
AB AC
 
= + + =
 
uuur uuur
1
GHI CHÚ
Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.