Thầy Ngô Hữu Dân
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
( )
2
ax 0 0bx c a+ + = ≠
1/Các dạng PT :
- Dạng :
2
ax 0c+ =
(a.c <0) PT có hai nghiệm phân biệt :
1 2
,
c c
x x
a a
− −
= − =
(a.c >0) PT vơ nghiệm
- Dạng :
2
ax 0bx+ =
PT ln có hai nghiệm phân biệt

1 2
(ax+b)=0 0,
b
x x x
a
−
⇔ ⇔ = =
-Dạng :

2
ax 0bx c+ + =
xét :
2
4b ac∆ = −
*
∆
>0 : PT có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
*
0
∆ =
: PT có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
−
= =
*
0
∆<

: PT vơ nghiệm
2/ Cơng thức nghiệm thu gọn : PT
( )
2
ax 0 0bx c a+ + = ≠
Khi
'
2b b=

'
2
b
b⇒ =
xét
' '2
b ac∆ = −

*
'
∆
>0 PT có hai nghiệm phân biệt
*
'
0∆ =
PT có nghiệm kép
*
'
∆
< 0 PT vơ nghiệm
3/ Phương trình bậc hai có tham số m :

Tìm điều kiện của tham số để PT :
2
ax 0bx c+ + =
Có :
a) Hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

∆ >

Hoặc
'
0
0
a ≠


∆ >

b) Nghiệm kép
0
0
a ≠

⇔

∆ =


Hoặc
'
0
0
a ≠


∆ =

c) Vô nghiệm
0
0
a ≠

⇔ ∆ <


Hoặc
'
0∆ <
d) Có nghiệm * Xét a = 0
⇒
PT có nghiệm hay không ?
* Xét a
0
≠
và
0
∆ ≥


3.1) Tìm giá trò hoặc chứng minh tham số m thoả mãn điều kiện của đề bài :
BT1/ Chứng minh PT :
2 2
3 1 0x mx m− + − =
có hai nghiệm phân biệt với mọi m
BT 2/ Tìm giá trò của tham số m để PT sau có nghiệm kép

2
( 7) 2( 9) 7 15 0m x m x m+ − − − + =

BT 3/ Tìm giá trò của tham số m để PT sau vô nghiệm

2
( 3) 2(3 1) 9 2 0m x m x m− − + + − =
BT 4/ Cho PT
2 2
(2 3) 0x m x m− + + =
a/Xác đònh m để PT có nghiệm kép
b/Tính nghiệm kép đó
1
Thầy Ngô Hữu Dân
BT 5/ Cho PT :
2
( 3) 3 4 0x m x m− + + + =
a/Xác đònh m để PT có nghiệm kép
b/Tính nghiệm kép đó
BT 6/ Tìm các giá trò của m để các PT sau có nghiệm :
a)
2

( 1) 2 1 0m x x m+ − + − =
b)
2 2
( ) 2 1 0m m x mx− + + =
3.2)Giải và biện luận ( về số nghiệm của PT bậc hai )
BT :1/ Giải và biện luận PT :
2 2
2( 2) 4 0x m x m− − + − =
2/ Giải và biện luận PT :
2
( 4) 2 2 0m x mx m− − + − =
3/Giải PT : a)
2 2
2
x m x
x x m
+
+ =
+
b)
3 1 4
2x m m x m
+ =
+ +
4/Tìm các giá trò của m để hai PT sau có ít nhất một nghiệm chung :

2
2
8 0
0

x mx
x x m
+ + =
+ + =

3.3) Chứng minh ít nhất một trong những PT bậc 2 đã cho có nghiệm:

2
2
0(1)
0(2)
ax bx c
mx nx p
+ + =
+ + =
Chứng minh
1 2
0∆ + ∆ ≥
BT : 1/ Chứng minh rằng ít nhất một trong các PT sau có nghiệm :

( )
( )
( )
2
2
2
2 0 1
2 0 2
0 3
ax bx c

bx cx a
cx ax b
+ + =
+ + =
+ + =
2/ Cho hai PT :

2
1 1
2
2 2
0 (1)
0(2)
x p x q
x p x q
+ + =
+ + =
Chứng minh rằng nếu
( )
1 2 1 2
2p p q q≥ +
thì ít nhất một trong hai PT đã cho có nghiệm
4/ Hệ thức Vi et : PT :
( )
2
ax 0 0bx c a+ + = ≠
Có nghiệm
1 2
,x x


0
⇔ ∆ ≥
hoặc
'
0∆ ≥

1 2 1 2
;
b c
S x x P x x
a a
−
⇒ = + = = =
Không giải PT - T ính : *
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
x 2x x x x x+ = + −
*
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
4x x x x x x− = + −
*
( )
2
1 2 1 2 1 2
4x x x x x x− = + −
*

( ) ( )
2
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x
 
+ = + + −
 
BT :Không giải PT tính giá trò của biểu thức nghiệm PT bậc hai
Phương Pháp : * Xét
0
∆ ≥
hoặc
'
0∆ ≥

⇒
PT có hai nghiệm x
1
, x
2

2
Thầy Ngô Hữu Dân
*Tìm tổng S và tích P rôì thay vaò biểu thức

1/ Cho PT
2
6 8 0x x− + =
:Không giải PT , hãy tính :


2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 1
) ) )a x x b c x x
x x
+ + −
d)
3 3
1 2
x x+
2/ Cho PT bậc hai :
a)
2
6( 1) 9( 3) 0mx m x m− − + − =
. Tìm giá trò của tham số m để hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn :

1 2 1 2
x x x x+ =
b)
2 2
(2 1) 2 0x m x m− + + + =
Tìm giá trò của tham số m để hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn :


1 2 1 2
3 5( ) 7 0x x x x− + + =
c)
2
( 1) 5 6 0x m x m+ − + − =
Tìm giá trò của tham số m để hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn :
1 2
4 3 1x x+ =
d)
2
2( 1) 2 4 0x m x m− − + − =
1) Chứng minh PT có hai nghiệm phân biệt
2) Tìm giá trò của tham số m để hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn

2 2
1 2
y x x= +
đạt giá trò nhỏ nhất
e)
2
2( 1) 3 0mx m x m− + + + =
;
1) Tìm giá trò của m để PT có nghiệm

2) Tìm giá trò của m để tổng các nghiệm củaPT bằng 6 , khi đó hãy tính nghiệm
3) PT có nghiệm
1 2
,x x
. Hãy tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với m
5/ Ứng dụng Hệ thức Vi et :
5.1 - N ếu a+b+c = 0 th ì PT
( )
2
ax 0 0bx c a+ + = ≠
có hai nghiệm
1 2
x 1 ,
c
x
a
= =
- Nếu a-b+c = 0 th ì PT
( )
2
ax 0 0bx c a+ + = ≠
có hai nghi ệm
1 2
x 1 ,
c
x
a
−
= − =
BT:1/ Tìm m để PT sau có một nghiệm bằng 1 , tìm nghiệm còn lại :

2 2
2 2 6 0x mx m m− + − − =
2/ Tìm m để PT sau có một nghiệm bằng -1 , tìm nghiệm còn lại :
2
2( 1) 2 10 0x m x m− + + + =
3/Xác đònh m và tìm nghiệm còn lại, biết rằng :
2
( 1) 2 5 0m x mx m+ − + − =
có một nghiệm bằng 2
5.2 - Tìm hai số u và v , biết tổng của chúng S = u+v và tích của chúng bằng P= uv
Thì u , v là hai nghiệm của PT :
2
0x Sx P− + =
BT : 1/Tìm hai số m , n trong mỗi trường hợp sau :
a) m+n = 29 và mn = 198 b) m – n = -2 và mn = 80 c)
2 2
13m n+ =
và mn = 6
2/ Lập PT bậc hai biết các nghiệm :
a)
1 2
3; 2x x= =
b)
1 2
1
; 3
4
x x= =
3/Cho PT bậc 2 :
2 2

2 0x x m− − =
có các nghiệm
1 2
,x x
. Lập PT bâc 2 có các nghiệm
1 2
,y y
sao
cho:
1 1 2 2
3 , 3y x y x= − = −
5.3 Xét dấu hai nghiệm
1 2
,x x
của PT bậc hai
( )
2
ax 0 0bx c a+ + = ≠
a) Hai nghiệm trái dấu :
1 2
.x x
< 0
⇔
a
c
< 0
3
Thầy Ngô Hữu Dân
b) Hai nghiệm cùng dấu :
1 2

.x x
> 0
0
0
a
c
∆ ≥


⇔

>


c) Hai nghiệm cùng dương :
⇔

0
/ 0
/ 0
b a
c a
∆ ≥


− >


>


d) Hai nghiệm cùng âm
0
/ 0
/ 0
b a
c a
∆ ≥


⇔ − <


>

BT :1/Cho PT :
2 2
(2 3) 2 2 0x m x m m− − + − + =
Đònh m để PT có hai nghiệm phân biệt đều âm
2/Cho PT :
2
( 2) 2 0x m x m− − − =
a) Chứng minh rằng PT luôn có nghiệm
1 2
,x x
với mọi m
b) Tìm m để PT có hai nghiệm cùng dương
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa
1 2
,x x
độc lập đối với m

3/Cho PT :
2
3 10 0x x m− + =
.Tìm m sao cho PT :
a) Có 2 nghiệm dương b) Có 2 nghiệm trái dấu
c) Có một nghiệm bằng 0 . Tính nghiệm còn lại d) Vô nghiệm
6/Phương trình thu về PT bậc hai :
6.1 Dạng :
2
0
n n
ax bx c+ + =
(1) Cách giải đặt
n
X x=
(chú ý điều kiện nếu có)
(1)
2
0aX bX c⇔ + + =
(2)
Trường hợp n chẵn
Pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
⇔
pt(1) có 4 nghiệm phân biệt
Pt (2) có 1nghiệm =0 và 1nghiệm dương
⇔
pt(1) có 3 nghiệm phân biệt
Pt (2) có nghiệm kép nghiệm dương hoặc 2nghiệm trái dấu
⇔
pt(1) có 2nghiệm phân biệt

Pt (2) có 2nghiệm âm hoặc vô nghiệm
⇔
pt(1) vô nghiệm
BT Giải các PT sau : a)
4 2
8 9 0x x− − =
b)
4 2
36 13 1 0t t− + =
6.2 Dạng
0ax b x c+ + =
(2) đặt
X x=
(X
≥
0)
(2)
2
0aX bX c⇔ + + =
BT Giải các PT sau : a)
7
2
4
x x− + =
b)
4 19 4x x− − =
6.3 Dạng
2 2
( )( )ax bx c ax bx p m+ + + + =
Đặt

2
X ax bx= +
đưa về PT bậc hai
BT Giải các PT sau : a)
2 2
( 5 4)( 5 6) 24x x x x+ + + + =
b)
( 3)( 2)( 3)( 4) 7x x x x− − + + =
6.4 Dạng PT chứa ẩn ở mẫu
BT Giải các PT sau :
1/
2
1 1 2 1
1
x x
x x x x
− −
− =
+ +
2/
2 2
2
2
1 1 1
x x x
x x x
− =
− + −

4