Chơng 3
Hàm số và giới hạn
3.1 Hàm số
1. Các định nghĩa
a. Định nghĩa hàm số
Cho tập XR, ánh xạ: f: XR đợc gọi là một hàm số xác định trên X, ký hiệu: y=f(x).
- X gọi là miền xác định của f, f(X)={y=f(x)R: xX} gọi là miền giá trị của f.
- Tập {(x,f(x)): xX}R
2
gọi là đồ thị của f(x).
Nh vậy hàm y=f(x), xX là quy luật f cho ứng mỗi phần tử xX với một phần tử xác định yR.
Khi đó x gọi là đối số còn y gọi là giá trị của hàm số.
Chú ý: Hàm số không phụ thuộc vào ký hiệu của đối số mà chỉ phụ thuộc quy luật f để xác định
giá trị của hàm số.
b. Một số dáng điệu đơn giản của hàm số
Cho hàm f(x) xác định trên tập X.
(i) Hàm đơn điệu
Cho tập VX, khi đó:
+ f(x) đợc gọi là hàm đơn điệu tăng (đồng biến) trên V nếu: x
1
,x
2
V: x
1
<x
2

f(x
1
)<f(x
2

)
+ f(x) đợc gọi là đơn điệu giảm(nghịch biến) trên V nếu:
x
1
,x
2
V: x
1
<x
2
f(x
1
)>f(x
2
)
+ f(x) đợc gọi là đơn điệu không giảm trên V nếu:
x
1
,x
2
V: x
1
<x
2
f(x
1
)f(x
2
)
+ f(x) đợc gọi là đơn điệu không tăng trên V nếu:

x
1
,x
2
V: x
1
<x
2
f(x
1
)f(x
2
)
Tất cả các hàm đơn điệu tăng, giảm, đơn điệu không tăng hay không giảm trên V đợc gọi chung là
các hàm đơn điệu trên V. Nếu f(x) đơn điệu tăng hay giảm trên V, ta nói f(x) đơn điệu ngặt, hay đơn
điệu thực sự trên V và khi đó chúng là các song ánh xác định trên V.
Nếu X đợc chia thành những tập con V mà trên đó f(x) là hàm đơn điệu thì ta nói f(x) đơn điệu
từng khúc trên X.
Ví dụ 3.1:
a. y=ln(1+x) là hàm đơn điệu tăng trên X=(-1,+).
b. y=sin x là hàm đơn điệu từng khúc trên R, nó đơn điệu tăng trên V=







2
,

2

.
(ii) Hàm chẵn, lẻ
Nếu X là miền đối xứng qua điểm 0, khi đó:
+ f(x) gọi là hàm chẵn nếu f(-x)=f(x), xX.
+ f(x) gọi là hàm lẻ nếu f(-x)=-f(x), xX.
Ví dụ 3.2: f(x)=
1
1cos2
2
2

+
xx
xx
là hàm chẵn
f(x)=
xx
tgxx
sin
2
3

là hàm lẻ
(iii) Hàm tuần hoàn
Nếu tồn tại số T sao cho:
f(x+T)=f(x), xX (1)
thì f(x) đợc gọi là tuần hoàn trên X. Số T>0 nhỏ nhất thoả mãn (1) đợc gọi là chu kỳ của f(x).
Ví dụ 3.3:

y=cos4x+2sin3x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T=2
(vi) Hàm bị chặn
+ f(x) đợc gọi là bị chặn trên nếu: M, f(x)M, xX.
+ f(x) đợc gọi là bị chặn dới nếu: M, f(x) M, xX.
+ f(x) đợc gọi là bị chặn nếu: M>0, f(x)M, xX.
c. Hàm hợp
Cho hàm số y=f(x) với miền xác định X và miền giá trị Y=f(X) và hàm số z=g(y) với miền xác
định Y, nh vậy:
ZYX
gf

. Khi đó hàm:
Trang 1
h(x)= (gof)(x)=g(f(x))
đợc gọi là hàm hợp của hai hàm f và g. ở đây x là biến độc lập còn y là biến phụ thuộc x.
Ví dụ 3.4: h(x)=
xx
e
sin
2


là hàm hợp của hàm g(y)=e
y
và f(x)=x
2
-sinx
2. Các phơng pháp cho hàm số
a. Hàm số cho dới dạng bảng số
Nếu miền xác định X của hàm y=f(x) có hữu hạn giá trị: x

1
, x
2
,,x
n
, ta có thể cho hàm dới dạng
bảng.
X x
1
x
2
x
n
f(x) f(x
1
) f(x
2
) f(x
n
)
Ví dụ 3.5: Hàm p=p(x) cho bằng bảng dới đây:
X 0 1 2 3 4
P
i
=p(x
i
) 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256
Các hàm cho dới dạng bảng hay đợc dùng trong phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
b. Hàm hiện
Nếu f(x) là một biểu thức của đối số x thì ta nói hàm số có dạng hiện.

Ví dụ 3.6: y=
x
x 21
2
+
Một hàm có thể cho bằng nhiều biểu thức trong những khoảng khác nhau.
Ví dụ 3.7: y=






<
<
xx
x
xxx
3
301
0sin.

Ta quy ớc rằng nếu hàm cho bằng biểu thức thì miền xác định của nó tà tập các điểm làm cho biểu
thức có nghĩa.
c. Hàm ẩn
Nếu từ biểu thức:
(x,y)=0
ứng với mỗi xX, xác định đợc y tơng ứng để biểu thức thoả mãn thì ta nói biểu thức xác định một
hàm ẩn trên X.
Ví dụ 3.8: x

2
+y
2
=1
Với mỗi xX=[-1,1] ta xác định đợc các giá trị y tơng ứng là: y
1
=
2
1 x
và y
2
=
2
1 x
Đó là trị tơng ứng với nửa trên và nửa dới của đờng tròn đơn vị.
d. Hàm cho bởi phơng trình tham số
Nếu x và y đều là những biểu thức phụ thuộc vào biến t, khi đó từ hệ thức:




=
=
)(
)(
tyy
txx
(xT)
sao cho ứng với mỗi tT ta xác định đợc bộ giá trị x, y tơng ứng thì ta nói hệ thức xác định phơng
trình tham số của hàm.

Ví dụ 3.9:



=
=
)sin(
)cos(
tby
tax
t[0,2]
là phơng trình của elip:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
3. Hàm ngợc
a. Định nghĩa
Cho hàm y=f(x), nếu tồn tại hàm z=g(y) mà tích: (gof)(x)=g(f(x))=x
thì g(y) đợc gọi là hàm ngợc của f(x), ký hiệu g(y)=f
-1
(y).
Vì hàm số không phụ thuộc ký hiệu của đối số nên nếu dùng x là ký hiệu đối số ta có thể viết:
y=g(x)=f

1
(x).
Tính chất:
(i) f(x) xác định trên X, khi đó f(x) có hàm ngợc f
1
(x) khi và chỉ khi f(x) đơn điệu thực sự trên
X.
(ii) Đồ thị của f(x) và f
1
(x) đối xứng qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất.
Trang 2
Ví dụ 3.10: Ký hiệu log
e
x=lnx ( đọc là loga Nepe của x) hàm y=e
x
và y=ln(x) là hai hàm ngợc
của nhau vì:
e
ln(x)
=ln(e
x
)=x
chúng có đồ thị đối xứng qua đờng phân giác thứ nhất:
Hình 1
b. Các hàm lợng giác ngợc
(i) Hàm y=arcsin x
Hàm y=sin x, với x








2
,
2

là một song ánh từ







2
,
2

lên [-1,1] nên nó có hàm ngợc:
x=arcsin y
Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=sinx là: y=arcsin x
Hàm y=arcsin x có miền xác định x[-1,1] và miền giá trị y








2
,
2

.
Hàm y=arcsin x có các tính chất:
1. arcsin(-x)=- arcsinx
2. sin(arcsin x)= arcsin(sin x)=x
3. Từ sin x=



+=
+=


kx
kx
2arcsin
2a rcs in
kZ
4. cos(arcsin x)=
2
1 x
(ii) Hàm y=arccosx
Hàm y= cosx , với x[0,] là một song ánh từ [0,] lên [-1,1] nên nó có hàm ngợc:
x=arccosy .Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=cosx là:
y=arccosx
Hàm y= arccosx có miền xác định x[-1,1] và miền giá trị y[0,].

y=arcsinx Hình 2 y=arccosx
Hàm y=arccos x có các tính chất:
1. arccos(-x)= - arccosx
2. cos(arccosx)= arccos(cosx)=x
3. Từ cosx= x= arccos +2k kZ
4. sin(arccosx)=
2
1 x
5. Từ sin x=cos(
x
2

) suy ra:
arcsinx+arccosx=
2

(iii) Hàm y=arctg x
Trang 3
Hàm y=tg x, với x







2
,
2


là một song ánh từ







2
,
2

lên (-

,+

) nên nó có hàm ngợc:
x=arctg y. Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=tgx là:
y=arctgx
Hàm y=arctg x có miền xác định x(-

,+

) và miền giá trị y








2
,
2

. Đồ thị của hàm
y=arctg x và y=tg x đối xứng qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất và có hai đờng tiện cận
ngang là: y=
2

và y=
2


.
Hàm y=arctg x có các tính chất:
1. arctg(-x)=- arctgx
2. tg(arctg x)= arctg(tg x)=x
3. Từ tg x= x=arctg +k kZ
(iv) Hàm y=arccotg x
Hàm y=cotg x , với x(0,) là một song ánh từ (0,) lên (-

,+

) nên nó có hàm ngợc:
x=arccotg y . Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=cotg x là:
y=arccotg x
Hàm y=arccotg x có miền xác định x(-

,+


) và miền giá trị y(0,). Đồ thị của hàm
y=arccotg x và y=cotg x đối xứng với nhau qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất và có hai đ-
ờng tiện cận ngang là: y=0 và y=.
y=arctgx Hình 3 y=arccotgx
Hàm y=arccotg x có các tính chất:
1. arccotg(-x)=- arccotgx
2. cotg(arccotgx)= arccotg(cotg x)=x
3. Từ cotgx= x=arccotg+k kZ
4. arctgx+arccotgx=
2

c. Hàm ngợc của các hàm Hypebôn
Xét các hàm:
shx=
2
xx
ee


, chx=
2
xx
ee

+
thx=
xx
xx
ee

ee
chx
shx


+

=
, cthx=
xx
xx
ee
ee
shx
chx



+
=
tơng ứng gọi là hàm sinhypebôn, coshypebôn, tanghypebôn và côtanghypebôn
Các hàm trên có các công thức biến đổi rất giống với các hàm lợng giác:
ch
2
x-sh
2
x=1
sh2x=2shx.chx
ch2x=ch
2

x+sh
2
x
sh(x+y)=shx.chy+chx.shy
ch(x+y)=chx.chy+shx.shy
sh(x-y)=shx.chy-chx.shy
ch(x-y)=chx.chy-shx.shy
Hàm y=shx là một song ánh từ R lên R. Từ y=
2
xx
ee


tính x theo y ta đợc:
012
2
=
xx
yee
Trang 4
Hay
1
2
+= yye
x
Vì hàm e
x
luôn dơng nên chỉ lấy dấu cộng. Vậy hàm y=shx có hàm ngợc:
(
)

1ln
2
++= xxy
Tơng tự hàm y=chx là một song ánh từ [0,+) lên [1,+) nên nó có hàm ngợc và hàm ngợc của nó
là:
(
)
1ln
2
+= xxy
4. Hàm sơ cấp
a. Định nghĩa
Định nghĩa 1: (Hàm sơ cấp cơ bản) Các hàm sau đợc gọi là các hàm sơ cấp cơ bản:
+ Hàm luỹ thừa x

.
+ Hàm mũ a
x
(a>0).
+ Hàm lôgarit log
a
x (a>0).
+ Các hàm lợng giác: sin x, cos x, tg x, cotg x.
+ Các hàm lợng giác ngợc: arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x.
Định nghĩa 2: (Hàm sơ cấp)
Hàm sơ cấp là các hàm đợc lập từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép tính tổng, hiệu, tích, thơng
và phép lấy hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Ví dụ 3.11:
+ Các hàm: y=arctg(x+
)1

2
x
, y=
1lg
2
+
+
x
x
x
là các hàm sơ cấp.
+ Các hàm:
y=
x
, y=




<+
01
0sin
xkhie
xkhixx
x
, sgn x=






>
=
<
01
00
01
xkhi
xkhi
xkhi
không là các hàm sơ cấp. Hàm sgn x gọi là hàm dấu của x.
3.2 Giới hạn của hàm số
1. Các định nghĩa
a. Giới hạn hàm số khi x dần tới x
0
hữu hạn
Định nghĩa 3: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x
0
), không cần xác định tại x
0
. Ta nói f(x) có
giới hạn L ( hữu hạn) trong quá trình xx
0
, ký hiệu:

Lxf
xx
=

)(lim

0
nếu với mọi dãy {x
n
}

=1n
, x
n
u(x
0
), x
n
x
0
và
0
lim xx
n
n
=

mà dãy các giá trị tơng ứng của hàm số
{f(x
n
)} đều có giới hạn:
=

)(lim
0
n

xx
xf
n
L
Ví dụ 3.12: Chứng tỏ
0
1
coslim
0
=

x
x
x
.
Hiển nhiên f(x)=xcos
x
1
không xác định tại x
0
=0. Lấy dãy {x
n
}(-1,1) bất kỳ và x
n
0, ta có:
n
n
n
n
n

x
x
x
x
x =
1
cos
1
cos0

Vì
0lim =

n
n
x
nên
0
1
coslim
0
=

x
x
x
.
Từ định nghĩa 1 ta thấy, nếu có hai dãy: {x
n
} và {x

n
} mà: x
n
x
0
, và x
n
x
0
nhng:
)'(lim)(lim
00
'
n
xx
n
xx
xfxf
nn


thì f(x) không có giới hạn khi xx
0
.
Ví dụ 3.13: Chứng tỏ hàm f(x)=cos
x
1
không có giới hạn trong quá trình x0.
Trang 5
Xét hai dãy



n
x
n
2
2
1
+
=
và

n
x
n
2
1
' =
ta có:
f(x
n
)=cos









n
x
1
=cos(
2

+2n)=00
f(x
n
)=cos








n
x'
1
=cos(2n)=11
Do đó cos
x
1
không có giới hạn trong quá trình x0.
Định nghĩa 4: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x
0
), không cần xác định tại x
0

. Ta nói f(x) có
giới hạn L ( hữu hạn) trong quá trình xx
0
, nếu >0 cho trớc, >0 sao cho x: 0<

<
0
xx
thì

< Lxf )(
.
Nh vậy khi xu

(x
0
) (xx
0
) thì f(x) u

(L).
Định nghĩa 1 và định nghĩa 2 là hai định nghĩa tơng đơng.
Chứng minh: (Phản chứng)
Giả sử L là giới hạn của f(x) khi xx
0
theo định nghĩa 1. Nhng
0
>0, >0, : 0<|-x
0
|<

mà |f()-L|
0

Lấy {
n
} là dãy hội tụ đến 0. Ký hiệu
n
là điểm thoả mãn giả thiết trên ứng với
n
.
Do |
n
-x
0
|<
n
và
n
0 nên
n
x
0
nhng |f(
n
)-L|
0
nên dãy { f(
n
)} không hội tụ về L, trái với
giả thiết, vậy từ định nghĩa 1 suy ra định nghĩa 2.

Giả sử >0, >0, x: 0<

<
0
xx
thì

< Lxf )(
và
xx
0
. Khi đó với đã chọn ở trên thì n
0
: n>n
0
, |x
n
-x
0
|<. Nh vậy ta có:
>0, n
0
: n>n
0
: |f(x
n
)-L| <
hay
=


)(lim
0
n
xx
xf
n
L với mọi dãy {x
n
} hội tụ đến x
0
.
Ví dụ 3.14: Chứng minh
0
1
coslim
0
=

x
x
x
Từ

<<== x
x
x
x
xxf
1
cos

1
cos0)(
Ta chỉ cần chọn:

=
, khi đó:
>0, >0, x:

<< x0
thì

<
x
x
1
cos
Hay
0
1
coslim
0
=

x
x
x
Chú ý: Định nghĩa 3 thờng thuận lợi cho việc chứng tỏ một hàm không có giới hạn trong một quá
trình nào đó, còn định nghĩa 4 đợc sử dụng khi tìm giới hạn của hàm số trong quá trình đó.
b. Giới hạn hàm khi x dần tới vô cực
Định nghĩa 5: Cho hàm f(x) xác định với mọi x có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý. Ta nói f(x) có giới hạn

L khi x nếu thoả mãn một trong hai điều kiện sau:
(i) Với mọi dãy {x
n
} mà x
n
thì dãy {f(x
n
)} L.
(ii) >0, M>0, x:
Mx >
thì

< Lxf )(
Ta ký hiệu:
Lxf
x
=

)(lim
Ví dụ 3.15: Chứng minh
1lim
2
1
=

x
x
e
Với >0 đủ bé, từ biểu thức: |
1

2
1

x
e
|

<
suy ra:
Trang 6

+<< 11
2
1
x
e

)1ln(
1
2

+<
x
x
2
>
)1ln(
1

+


)1ln(
1

+
>x
=M
Nh vậy với
)1ln(
1

+
>x
=M thì |
1
2
1

x
e
|<, hay
1lim
2
1
=

x
x
e
.

c. Giới hạn vô cùng của hàm số
Định nghĩa 6: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x
0
) không cần xác định tại x
0
. Ta nói f(x) có
giới hạn trong quá trình xx
0
, nếu M>0 cho trớc, >0 sao cho x: 0<

<
0
xx
thì
Mxf >)(
, ký hiệu
=

)(lim
0
xf
xx
.
Ví dụ 3.16: Chứng minh
=

2
1
0
lim

x
x
e
Từ biểu thức: |
2
1
x
e
|
Me
x
>=
2
1
hay
M
x
ln
1
2
>
x
2
<
Mln
1


=<
M

x
ln
1
Nh vậy với

=<
M
x
ln
1
thì |
2
1
x
e
|>M
Hay
=

2
1
0
lim
x
x
e
.
Định nghĩa 7: Cho hàm f(x) xác định với mọi x có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý. Ta nói f(x) có gới hạn L
khi x nếu
N>0, M>0, x:

Mx >
thì
Nxf >)(
Ta ký hiệu:
Lxf
x
=

)(lim
Nếu f(x) có giới hạn L khi x+ hoặc x- ta viết
L=
)(lim xf
x +
hoặc L=
)(lim xf
x
Trong một quá trình nào đó, một hàm có giới hạn 0 ta gọi nó là một vô cùng bé trong quá trình
đó; một hàm có giới hạn vô cùng ta gọi nó là một vô cùng lớn trong quá trình đó.
Các vô cùng bé và các vô cùng lớn tham gia vào cùng một biểu thức cần lấy giới hạn trong cùng
một quá trình sẽ lập nên những dạng bất định mà việc khử nó là vấn đề quan trọng khi lấy giới hạn.
d. Giới hạn một phía
Định nghĩa 8:
Nếu hàm f(x) xác định với những x<x
0
ta nói f(x) xác định ở lân cận bên trái x
0
. Khi cho x dần tới
x
0
từ các giá trị bé hơn x

0
, hay x dần tới x
0
từ bên trái, ký hiệu xx
0
-0, mà f(x)L thì L đợc gọi là
giới hạn trái của x
0
, ký hiệu f(x
0
-0), nh vậy:
f(x
0
-0)=
Lxf
xx
=

)(lim
0
0
Nếu hàm f(x) xác định với những x>x
0
ta nói f(x) xác định ở lân cận bên phải x
0
. Khi cho x dần tới
x
0
từ các giá trị lớn hơn x
0

, hay x dần tới x
0
từ bên phải, ký hiệu xx
0
+0, mà f(x)L thì L đợc gọi
là giới hạn phải của x
0
, ký hiệu f(x
0
+0), nh vậy:
f(x
0
+0)=
Lxf
xx
=
+
)(lim
0
0
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn khi xx
0
là nó có giới hạn phải và giới hạn
trái tại x
0
và hai giới hạn đó bằng nhau.
Ví dụ 3.17:
1. Tìm
x
x

x 0
lim

.
Ta có



<

=
0
0
xkhix
xkhix
x
do đó:
Trang 7

11limlimlim
000
===
+++ xxx
x
x
x
x
11limlimlim
000
==


=
+ xxx
x
x
x
x
Vậy hàm số không có giới hạn khi x0.
2. Tìm
x
x
e
1
0
lim

.
Đặt t=
x
1
ta có:
+==
++
t
t
x
x
ee limlim
1
0

0li mlim
1
0
==

t
t
x
x
ee
Vậy hàm số không có giới hạn khi x0.
3. Một số tính chất của hàm có giới hạn
Từ đây trở đi khi viết
Lxf
ax
=

)(lim
nếu không nói gì ta hiểu L là hữu hạn còn a có thể hữu hạn
hoặc có thể bằng vô cùng.
Định lý 1
1. Nếu f(x)=C, x thì
Cxf
ax
=

)(lim
2. Nếu
Lxf
ax

=

)(lim
thì giới hạn là duy nhất.
Với a=x
0
hữu hạn
3. Cho
Lxf
xx
=

)(lim
0
(i) Nếu L>0 (hoặc L<0) thì >0 (đủ nhỏ) sao cho xU

(x
0
), f(x)>0 (f(x)<0).
(ii) Nếu >0 đủ nhỏ sao cho:xU

(x
0
), f(x)>0 (f(x)0) thì L 0
4. Nếu >0 đủ nhỏ sao cho xU

(x
0
): f(x)>g(x) (hoặc f(x)g(x)) thì:
)(lim

0
xf
xx

)(lim
0
xg
xx
4. Các phép toán về giới hạn của hàm
Định lý 2: Cho
1
)(lim Lxf
ax
=

và
2
)(lim Lxg
ax
=

khi đó:
1.
1
)(lim CLxCf
ax
=

với C là hằng số.
2.

21
)]()([lim LLxgxf
ax
=

3.
21
.)]().([lim LLxgxf
ax
=

4.
2
1
)(
)(
lim
L
L
xg
xf
ax
=

nếu L
2
0
5. Nếu có:
0
)(l im uxu

ax
=

và
)()(lim
0
0
ufuf
uu
=

thì:
)()](lim[))((lim
0
ufxufxuf
axax
==

Chú ý:
Định lý 2 cha cho ta khẳng định trong các trờng hợp vô định sau:
1. Khi L
1
=0, L
2
=0 ta có dạng vô định
0
0
.
2. Khi L
1

=, L
2
= ta có dạng vô định: - và


.
3. Khi L
1
=0, L
2
= ta có dạng vô định 0..
Trang 8
Khi gặp các dạng vô định trên ta phải thực hiện khử các dạng vô định đó rồi mới áp dụng các quy
tắc trên để lấy giới hạn.
Ví dụ 3.18:
1.
1
1
lim
1



m
n
x
x
x
có dạng
0

0
.
Dùng đẳng thức:
x
p
-1=(x-1)(1+x++x
p-1
) (p nguyên, p>1)
ta có:
1
1
1
1
1
1
) 1)(1(
) 1)(1(
1
1




+++
+++
=
+++
+++
=



m
n
m
n
m
n
xx
xx
xxx
xxx
x
x
Vậy
m
n
x
x
m
n
x
=



1
1
lim
1
2.

1
lim
+
+
+
x
xx
x
có dạng


.
Thực hiện chia tử và mẫu cho
x
đợc:

1
lim
+
+
+
x
xx
x
=
1
1
1
1
1

lim =
+
+
+
x
x
x
3.












3
1
1
2
1
3
lim
xx
x
có dạng - .

Đặt x=y
6
, x1, y1. Ta có:












3
1
1
2
1
3
lim
xx
x
=
2
1
)1)(1(
21
lim

2
1
=
+++
+

yyy
y
y
4.
(
)
xxx
x
+
+
1lim
2
giới hạn có dạng .0 vì:

0
1
1
lim)1(lim
2
2
=
++
=+
++

xx
xx
xx
Vậy
(
)
xxx
x
+
+
1lim
2
=
2
1
1
lim
2
=
++
+
xx
x
x
5. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
a. Tiêu chuẩn Côsi
Định lý 3: Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn tại x
0
là: >0, >0, x, x: 0<


<
0
xx
và

<
0
' xx
thì

< )'()( xfxf
.
b. Tiêu chuẩn kẹp
Định lý 4: Giả sử cho các hàm f(x), g(x) và h(x) thoả mãn bất đẳng thức:
f(x)g(x)h(x), xU (x
0
)
Khi đó nếu
Lxhxf
xxxx
==

)(lim)(lim
00
thì:
Lxg
xx
=

)(lim

0
Ví dụ 3.19: Ví dụ quan trọng nhất của định lý 4 là giới hạn quen thuộc đã đợc chứng minh ở lớp
phổ thông trung học:
1
sin
lim
0
=

x
x
x
áp dụng kết quả trên tìm các giới hạn sau:
Trang 9
1.
2
1
1.
2
1
2
2
sin
2
1
lim
cos1
lim
2
0

2
0
==












=


x
x
x
x
xx
2.
2
0
2
0
)3cos1()1(cos
lim

3coscos
lim
x
xx
x
xx
xx
+
=


4
2
1
9
2
1
)3(
3cos1
lim.9
cos1
lim
2
0
2
0
=+=

+


=

x
x
x
x
xx
3. Dùng hằng đẳng thức: 1-ab=(1-a)b+(1-b) ta có:
x
xxx
x
xx
xx
cos1
2cos12cos)cos1(
lim
cos1
2coscos1
lim
00

+
=



52.
2
1
.41

cos1
.
)2(
2cos1
lim42coslim
2
2
00
=+=










+=

x
x
x
x
x
xx
c. Tiêu chuẩn cho hàm đơn điệu
Định lý 5:
1. Cho f(x) là hàm đơn điệu không giảm xác định trên R; khi đó nếu f(x) bị chặn trên thì tồn tại

giới hạn:
Lxf
x
=
+
)(lim
Với L là số không lớn hơn cận trên đúng của f(x) (xR).
2. Cho f(x) là hàm đơn điệu không tăng xác định trên R; khi đó nếu f(x) bị chặn dới thì tồn tại giới
hạn:
Lxf
x
=
+
)(lim
Với L là số không lớn hơn cận dới đúng của f(x) (xR).
Ví dụ 3.20: Chứng minh
x
x
x






+
+
1
1lim
e

x
x
x
=






+=

1
1lim
Với mọi x>1 đều có số tự nhiên n sao cho: n x n+1
Do đó:
nxn
11
1
1

+
Hay
1
1
1
1
1
1
1

1
+






+






+






+
+
nxn
nxn
Chuyển giới hạn qua bất đẳng thức kép ta đợc:
x
x
x







+
+
1
1lim
=e
Đổi biến t=-(x+1), khi x - thì t +, khi đó:
x
x
x






+

1
1lim
=
)1(
1
1
1lim

+
+






+

t
t
t
=
)1(
1
lim
+
+






+
t
t
t
t

=






+
=
+
+
1
1
lim
t
t
t
t
e
tt
t
t
t
=







+






+
++
1
1lim.
1
1lim
Chú ý: Đặt
x
1
=

ta đợc:
( )
e=+




1
0
1lim
Các biểu thức
x

x






+
1
1
và
( )


1
1+
là các dạng vô định loại

1
, mà khi gặp dạng vô định

1
ta hay dùng nó để khử.
Trang 10
Ví dụ 3.21:
1.
2
1
2
2

1
22
2
2
2
2
2
1
2
1lim
1
1
lim e
xx
x
x
x
x
x
x
x
=


















+=









+



2.
( ) ( ){ }
22
1
0
1
0

cos11limcoslim
x
x
x
x
xx =

2
1
2
sin2
2
sin2
1
2
0
2
2
2
2
sin21lim




=

















e
x
x
x
x
x
6. Vô cùng bé
Định nghĩa 9: Hàm (x) có giới hạn 0 trong một quá trình xx
0
( hay x

) thì (x) đợc gọi
là một vô cùng bé ( viết tắt VCB) trong quá trình ấy.
a. Tính chất của VCB và liên hệ giữa VCB và hàm có giới hạn
1. VCB là hàm có giới hạn 0 trong một quá trình nào đó nên nó có các tính chất của hàm có giới
hạn trong quá trình đó.
2. Tích của một VCB với một hàm bị chặn trong cùng một quá trình là một VCB.
Ví dụ 3.22:

Vì
1
1
cos
x
trong quá trình x0 nên:
0
1
cos.lim
0
=

x
x
x
3. Nếu
Lxf
xx
=

)(lim
0
thì (x)=f(x)-L là một VCB khi x0.
Thật vậy, ta có:
( )
Lxfx
xxxx
=

)(lim)(lim

00

0)(lim
0
===

LLLxf
xx

b. So sánh các VCB
Khi xét các VCB trong cùng một quá trình, điều quan trọng là xét xem tốc độ hội tụ về 0 của cái
nào nhanh hơn, để thực hiện điều đó ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 10: Cho
)(x

và
)(x

là hai VCB trong cùng một quá trình, khi đó:
1. Nếu
0
)(
)(
lim =
x
x


hay
=

)(
)(
lim
x
x


Ta nói
)(x

là VCB cấp cao hơn
)(x

, hay
)(x

là VCB cấp thấp hơn
)(x

, ký hiệu:
)(x

=o(
)(x

).
Nh vậy một VCB cấp cao hơn là VCB hội tụ về 0 nhanh hơn.
2. Nếu
0(
)(

)(
lim = kk
x
x


, k hữu hạn)
Ta nói
)(x

và
)(x

là hai VCB cùng cấp, và ký hiệu
)(x

=o(
)(x

), đặc biệt nếu:
1
)(
)(
lim =
x
x


Ta nói
)(x


và
)(x

là hai VCB tơng đơng và ký hiệu:
)(x


)(x

.
Nếu
)(x

C
)(x
k

thì C
)(x
k

đợc gọi là phần chính của
)(x

so với
)(x

.
3. Nếu không tồn tại giới hạn:

)(
)(
lim
x
x


thì ta nói
)(x

và
)(x

là hai VCB không so sánh đợc.
d. Các VCB tơng đơng thờng gặp
Nếu trong một quá trình nào đó u là một VCB thì:
1.
1
sin
lim
0
=

u
u
u
nên sin u u
Trong giới hạn trên đặt u=arcsin t ta đợc arcsin t t.
Trang 11
2.

1
2
cos1
lim
2
0
=


u
u
u
nên 1- cos u
2
2
u
. Hay
2
2
u
là phần chính của 1- cos u so với u.
3.
( )
( ) ( )
1ln1limln1lnlim
1ln
lim
1
0
1

00
==






+=+=
+

euu
u
u
u
u
u
uu
nên
)1ln( u+
u.
4. Đặt v = e
u
-1 ta có:

1
)1ln(
lim
1
lim

00
=
+
=


v
v
u
e
v
u
u
nên e
u
-1u.
5.
u
e
u
u
u
uu
.
1
lim
.
1)1(
lim
)1ln(

00
àà
àà

=
+
+

1
.
)1ln(.
lim
0
=
+
=

u
u
u
à
à
nên
à
)1( u+
-1 à.u
e. Thay thế VCB tơng đơng và ngắt bỏ VCB bậc cao
Dùng định nghĩa chúng ta dễ dàng chứng minh đợc các quy tắc thay thế các VCB trong cùng một
quá trình.
1. Thay thế VCB tơng đuơng

Trong cùng một quá trình, nếu:
)(x


)(x

và
)(x


)(x

thì:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
x
x
x
x




=
Ví dụ 3.23: Dùng phép thay thế các VCB tơng đơng:
1- cos u

2
2
u
và
à
)1( u+
-1à.u
ta có:
4
2
2
lim
cos1
1)1(
lim
2
2
0
22
0
==

+

x
x
x
x
xx
2. Ngắt bỏ VCB bậc cao

Trong cùng một quá trình, nếu:
)(x

=o(
)(x

) thì:
)(x

+
)(x


)(x


Nh vậy, nếu
1
(x) là VCB bậc thấp hơn các VCB:
2
(x),,
n
(x) còn
1
(x) là VCB bậc thấp hơn
các VCB:
2
(x),,
m
(x) thì:

)(
)(
lim
)( )()(
)( )()(
lim
1
1
21
21
x
x
xxx
xxx
m
n




=
+++
+++
Ví dụ 3.24:
[ ]
xx
xx
xx
xx
xx

2
2
0
2
2
0
sin2
)cos1(1)1(
lim
sin2
cos)1(
lim
+
++
=
+
+

1
2
2
lim
sin2
2
2
lim
0
2
2
0

==
+
+

x
x
xx
x
x
xx
Chú ý:
1. Số 0 là VCB cấp cao nhất trong mọi quá trình.
2. Hiệu hai VCB tơng đơng là một VCB cấp cao hơn.
Thật vậy, nếu
)(x


)(x

ta có:
0
)(
)(
1l im
)(
)()(
lim =









=

x
x
x
xx




Trang 12
Ví dụ 3.25:
1. Ta thấy sin xtgxx nhng:

1
cos
2
2
.
lim
cos
2
)cos1(sin
lim
2

sin
lim
3
2
0
3
0
3
0
==

=


x
x
x
x
x
x
xx
x
xtgx
xxx
Nh vậy tgx sin x
2
3
x
.
2. Ta có: (

121 + x
) (
131
3
+ x
) x nhng:
2
3
0
)131()121(
lim
x
xx
x
++


2
3
0
2
0
)1(31
lim
)1(21
lim
x
xx
x
xx

xx
++

++
=

))1(31)1()31((
)331(31
lim
))1(21(
)21(21
lim
2
3
3
22
32
0
2
2
0
xxxxx
xxxx
xxx
xxx
x
x
++++++
++++


+++
+++
=


))1(31)1()31((
)3(
lim
))1(21(
lim
2
3
3
22
32
0
2
2
0
xxxxx
xx
xxx
x
x
x
++++++
+

+++


=


=
2
1
1
2
1
=+
Tuy nhiên nếu
)(x

và
)(x

là hai VCB cùng cấp nhng không tơng đơng thì trong hiệu hai VCB
vẫn thay thế tơng đơng đợc.
Ví dụ 3.26:
151
3
+ x

x
3
5
và
171
5
+ x


x
5
7

Chúng là hai VCB cùng cấp không tơng đơng nên:

( ) ( )
x
xx
x
xx
xx
171151
lim
7151
lim
53
0
53
0
++
=
++

15
4
15
4
lim

7
5
1
5
3
1
lim
00
==

=

x
x
x
xx
xx
6. Vô cùng lớn
Hàm A(x) có giới hạn

trong một quá trình xx
0
( hay x

) thì A(x) đợc gọi là một vô
cùng lớn (viết tắt VCL) trong quá trình ấy.
Hiển nhiên, trong một quá trình nếu
)(x

là một VCB thì A(x)=

)(
1
x

là một VCL trong cùng quá
trình đó; ngợc lại, nếu A(x) là một VCL thì
)(x

=
)(
1
xA
là VCB trong quá trình đó. Vì vậy các kết
quả của VCL có thể nhận đợc từ các VCB.
Cho A(x) và B(x) là hai VCL trong cùng một quá trình, khi đó:
1. Nếu
0
)(
)(
lim =
xB
xA

Ta nói A(x) là VCL cấp thấp hơn B(x), hay B(x) là VCL cấp cao hơn A(x).
Nh vậy một VCL cấp cao hơn là VCL hội tụ về

nhanh hơn.
Trang 13
2. Nếu
0(

)(
)(
lim = kk
xB
xA
, k hữu hạn)
Ta nói A(x) và B(x) là hai VCL cùng cấp, đặc biệt nếu:
1
)(
)(
lim =
xB
xA
Ta nói A(x) và B(x) là hai VCL tơng đơng, ký hiệu:
A(x) B(x).
1. Thay thế VCL tơng đuơng
Trong cùng một quá trình, nếu: A(x)
)(xA
và B(x)
)(xB
thì:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xB
xA
xB

xA
=
2. Ngắt bỏ VCL bậc thấp
Trong cùng một quá trình, nếu: A(x) là VCL bậc thấp hơn B(x) thì: A(x) +B(x) B(x)
Chú ý: Tích của một hàm bị chặn với một VCL trong một quá trình không chắc đã là một VCL,
chẳng hạn:
f(x)=x
2
.cos x
không là một VCL khi x

vì dãy con x
k
=


k+
2
có cos(x
k
)=0.
3.3 Sự liên tục của hàm số
1. Điểm liên tục của hàm số
a. Định nghĩa
Định nghĩa 11: Hàm f(x) đợc gọi là liên tục tại x
0
nếu:
1. f(x) xác định tại x
0
và lân cận x

0
.
2. Tồn tại
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=

Cho x
0
và x ta gọi: x=x-x
0
là số gia của đối số x tại x
0
, khi đó biểu thức:
)()()()(
000
xfxxfxfxff +==
là số gia tơng ứng của hàm số tại x
0
. Khi đó do mối liên hệ giữa hàm có giới hạn và VCB ta có: f(x)
liên tục tại x
0
khi và chỉ khi f là một VCB khi x0.
Định nghĩa 12: Hàm f(x) đợc gọi là liên tục trái tại x
0
nếu:
1. f(x) xác định tại x

0
và lân cận trái của x
0
.
2.
)()(lim)0(
0
0
0
0
xfxfxf
xx
==

Định nghĩa 13: Hàm f(x) đợc gọi là liên tục phải tại x
0
nếu:
1. f(x) xác định tại x
0
và lân cận phải của x
0
.
2.
)()(lim)0(
0
0
0
0
xfxfxf
xx

==+
+
Từ định nghĩa ta có: Hàm f(x) liên tục tại x
0
khi và chỉ khi nó liên tục phải và liên tục trái tại x
0
.
Ví dụ 3.27:
1. Hàm dấu:
sign x=





>
=
<
01
00
01
x
x
x

có sign(-0)=-1, sign(+0)=1 là hàm không liên tục trái và không liên tục phải tại x
0
=0.
2. Hàm




>
+
=
01
02sin
)(
x
xx
xf
Không liên tục tại 0 nhng liên tục trái tại đó.
b. Sự liên tục của các hàm sơ cấp
Bằng định nghĩa chúng ta chứng minh đợc các hàm sơ cấp cơ bản:
x

, a
x
(a>0), log
a
x (a>0), sin x, cos x,
tg x, cotg x, arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x
liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của chúng.
Định lý 6: Nếu các hàm f(x) và g(x) liên tục tại x
0
thì các hàm:
f(x)g(x), f(x).g(x), c.g(x) (c=const)
Trang 14
cũng liên tục tại x
0

, còn hàm
)(
)(
xg
xf
liên tục tại x
0
(trừ trờng hợp g(x
0
)=0).
Định lý 7: Nếu hàm f(x) liên tục tại x
0
hàm g(u) liên tục tại u
0
và f(x
0
)=u
0
thì hàm hợp g(f(x))
liên tục tại x
0
.
Từ các định lý trên ta thấy:
Hệ quả: Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của chúng.
2. Điểm gián đoạn của hàm số
a. Định nghĩa
Một hàm không liên tục tại x
0
ta nói nó gián đoạn tại x
0

.
Nh vậy f(x) gián đoạn tại x
0
nếu:
1. Hoặc f(x) không xác định tại x
0
.
2. Hoặc f(x) xác định tại x
0
nhng

)(lim
0
xf
xx
3. Hoặc
)(lim
0
xf
xx
=L f(x
0
).
Ví dụ 3.28: Hàm
1.
x
xxf
1
cos.)( =
gián đoạn tại 0 vì nó không xác định tại 0.

2.





=
+
=
00
0
1
sin
)(
x
x
x
x
xf

gián đoạn tại 0 vì tuy nó xác định tai 0 nhng không tồn tại
)
1
sin(lim
0
x
x
x
+


.
3.





=

+
=
01
0
11
)(
x
x
x
x
xf
gián đoạn tại 0 vì nó tuy xác định tại 0 và
)(lim
0
xf
x

nhng
1)0(
2
111

lim)(lim
00
==
+
=

f
x
x
xf
xx
b. Phân loại điểm gián đoạn
Cho x
0
là điểm gián đoạn của hàm f(x)
1. Nếu f(x) có giới hạn phải f(x
0
+0) và có giới hạn trái f(x
0
-0) hữu hạn thì x
0
đợc gọi là điểm
gián đoạn loại một của f(x).
2. Nếu x
0
không là gián đoạn loại một thì ta gọi chung là điểm gián đoạn loại hai.
Khi x
0
là điểm gián đoạn loại một ta gọi số:
f(x

0
+0) f(x
0
-0)
là độ dài bớc nhảy tại x
0
. Nếu
f(x
0
+0)=f(x
0
-0)f(x
0
)
thì x
0
gọi là điểm gián đoạn khử đợc vì khi đó ta thay f(x
0
) = f(x
0
+0) thì x
0
trở thành điểm liên tục của
hàm.
Chú ý: Trong bài toán xét sự liên tục của hàm số không sơ cấp ta thờng chia miền xác định của
hàm số thành các miền nhỏ mà trên mỗi miền nhỏ hàm số có công thức trùng với một hàm sơ cấp nào
đó. Vì thế ta có ngay kết quả về sự liên tục của hàm số trên các miền đó. Sau đó xét riêng tại các
điểm chia.
Ví dụ 3.29: Xét sự liên tục của hàm số:







+
<
=
0
0
1
sin
)(
xbax
x
x
x
xf
Ta có:
+ Với x<0 f(x)=
x
x
1
sin
là hàm sơ cấp nên liên tục.
+ Với x>0 f(x)=a x+b là hàm sơ cấp nên liên tục.
Tại x=0 ta có:
Trang 15
f(-0)=
0

1
sinlim
0
=

x
x
x
, f(+0)=
)0()(lim
0
fbbax
x
==+
+
Do đó x=0 là điểm gián đoạn khử đợc. Thật vậy nếu a tuỳ ý còn cho b=0 thì f(x) liên tục tại 0 và do
đó f(x) liên tục với mọi x.
3. Hàm số liên tục trên một khoảng
a. Định nghĩa
Định nghĩa 14: Hàm f(x) đợc gọi là liên tục trên khoảng XR nếu nó liên tục tại mọi điểm trong
của X và liên tục trái hoặc phải tại các điểm biên trái hoặc phải tơng ứng (nếu có) của nó.
b. Tính chất
Hàm liên tục trên một khoảng có các tính chất quan trọng sau.
Định lý 8: Cho hàm f(x) xác định và liên tục trên khoảng đóng [a,b], nếu f(a).f(b)<0 khi đó tồn tại
c(a,b) sao cho f(c)=0.
Định lý 3 khẳng định, nếu f(x) thoả mãn điều kiện của định lý thì phơng trình f(x)=0 có ít nhất
một nghiệm trên (a,b).
Chứng minh: Ta có thể giả thiết f(a)<0, ngợc lại ta xét g=-f.
Đặt c
0

=a, d
0
=b nh vậy f(c
0
)<0 và f(d
0
)>0. Đặt
2
00
0
dc
u
+
=
nếu f(u
0
)=0 thì c=u
0
. Nếu f(u
0
)<0 thì đặt c
1
=u
0
, d
1
=d
0
, nếu f(u
0

)>0 đặt c
1
=c
0
, d
1
=u
0
. Trên [c
1
,d
1
] ta lại
có f(c
1
)f(d
1
)<0, đặt:
2
11
1
dc
u
+
=
lặp lại quá trình trên hoặc ta đợc c, hoặc đến bớc thứ n ta luôn có:
f(c
n
)f(d
n

)<0 và đặt
2
1
nn
n
dc
u
+
=
+
, nếu f(u
n+1
)=0 thì c=u
n+1
. Nếu f(u
n+1
)<0 thì đặt c
n+1
=u
n+1
, d
n+1
=d
n
, nếu
f(u
n+1
)>0 đặt c
n+1
=c

n
, d
n+1
=u
n+1
.
Quá trình tiếp tục ta đợc các dãy {u
n
}, {c
n
}, {d
n
} thoả mãn:
c
n
u
n
d
n
Vì {c
n
} đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi b; {d
n
} đơn điệu giảm và bị chặn dới bởi a nên chúng có
giới hạn. Do |c
n
-d
n
|0 nên chúng có giới hạn chung là c. Vì f(c
n

)<0 nên do tính liên tục của f(x) có:
0)'()lim()(lim ==

cfcfcf
n
n
n
n
Tơng tự:
0)'()lim()(lim ==

cfdfdf
n
n
n
n
do đó f(c)=0.
Định lý 9: ( Định lý Vâyertras) Cho hàm f(x) xác định trên một khoảng đóng [a,b], khi đó f(x) bị
chặn trên [a,b], hơn nữa tồn tại các điểm c,d [a,b] để:
m=f(c)=
],[
)(min
bax
xf

, M=f(d)=
],[
)(max
bax
xf


Định lý 10: Nếu f(x) xác định và liên tục trên khoảng đóng [a,b] thì à[m,M] c[a,b] mà
f(c)=à. Trong đó:
m=f(c)==
],[
)(min
bax
xf

, M=f(d)=
],[
)(max
bax
xf

Chứng minh: Giả sử à là một giá trị nằm giữa f(c) và f(d): f(c)< à <f(d). Đặt g(x) = f(x) - à, khi
đó g(c)<0 và g(d) >0, hiển nhiên g(x) liên tục trên [c,d] vì vậy theo định lý 8, tồn tại c[c,d] mà
g(c)=0 hay f(c)= à.
Định lý 10 đợc gọi là định lý về các giá trị trung gian của hàm liên tục.
Định lý 11: Cho f(x) xác định và liên tục trên khoảng X, điều kiện cần và đủ để f(x) có nghịch đảo
f
-1
(x) trên X là f(x) đơn điệu ngặt trên X.
c. Hàm số liên tục đều trên một khoảng
Định nghĩa 15: Hàm f(x) xác định trên X đợc gọi là liên tục đều trên X nếu:
>0, >0: x,x
0
X:x-x
0
< thì f(x)-f(x

0
)<
Nh vậy là số chung cho mọi x
0
X, hay khi chia miền X thành những khoảng nhỏ hơn thì độ
lệch của hàm số trên mọi khoảng đó đều nhỏ hơn .
Hiển nhiên hàm liên tục đều trên X thì liên tục trên X, điều ngợc lại nói chung không đúng. Tuy
nhiên ta có kết quả sau.
Định lý 12 (Định lý Cantor)
Nếu f(x) liên tục trên khoảng đóng [a,b] thì nó liên tục đều trên đó.
Trang 16
Ví dụ 3.30: f(x)=
x
1
không liên tục đều trên (0,1].
Giả sử 0 < x < x<1 và >0, >0 mà:


<<<

==
2
''
'
'
11
)'()(
x
xxxx
xx

xx
xfxf
chỉ cần chọn 0 <


2
<x
và x=2x sao cho 0<x<x<1 là bất đẳng thức không thoả mãn.
Tuy nhiên với mọi a>0 thì f(x)=
x
1
liên tục đều trên [a,+)


<

<

==
2
'
'
'
'
11
)'()(
a
xx
xx
xx

xx
xfxf
Ta chọn
2
a

=
.
Bài tập chơng 3
1. Tìm miền xác định của hàm số
a. f(x)=arcsin
1
1

+
x
x
b. f(x)=
2
12

+
x
x
arctg
c. f(x)=
2
5
12
log

8,0

+
+
x
x
d. f(x)=
xsin
e. f(x)=lg






x

sin
f. f(x)=
2
cos x
2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm sau:
a. f(x)=
xx
x
+
+
2
2
3

b.
x
x
xf

+
=
1
1
lg)(
3. Cho f(x) và g(x) là hai hàm xác định trên X. Chứng minh
a. Nếu f(x) và g(x) là hàm chẵn thì f(x).g(x) và f(x)+g(x) là hàm chẵn.
b. Nếu f(x) và g(x) là hàm lẻ thì f(x).g(x) là hàm chẵn.
c. Nếu f(x) là hàm chẵn và g(x) là hàm lẻ thì f(x).g(x) là hàm lẻ.
4. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ tuần hoàn của các hàm số
a. f(x)= acos x+b sin x
b. f(x)=sin x+
2
1
sin 2x+
3
1
sin 3x
c. f(x)=2tg
2
x
- 3tg
3
x
d. f(x)= sin

2
x
e. f(x)= sin x
2
f(x)= sin
x
5. Tìm f(f(x)), g(g(x)), f(g(x)), g(f(x))
a. f(x)=x
2
g(x)=2
x
b. f(x)=sgn(x) g
x
x
1
=
6. Tìm f(x) nếu
a. f(x+1)=x
2
-3x+2
b.
)2(
11
2
2
+=







+ x
x
x
x
xf
c.
2
1
1
xx
x
f ++=






d.
2
1
x
x
x
f =







+
7. Tìm và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau
Trang 17
a. f(x)=
)4)(1(
1
2
2
−+
−
xxx
x
b. f(x)=
1
23
2
−
+−
x
xx
c. f(x)=
x
x
sin
sin
d. f(x)=
32

1
xx
x
x
−
−
+
e. f(x)=





=
≠
00
0
1
x
xe
x
8. T×m giíi h¹n b»ng ®Þnh nghÜa
a.
1)45(lim
1
=−
→
x
x
b.

1)cos(lim
0
=+
→
xx
x
c.
0sinlim
0
=
→
ax
x
c.
0)1ln(l im
0
=+
→
x
x
9. T×m c¸c giíi h¹n sau
a.
103
202
2
)1612(
)2(
lim
+−
−−

→
xx
xx
x
b.
1

lim
2
1
−
−+++
→
x
nxxx
n
x
d.
2
1
)(
)()(
lim
ax
axnaax
nn
ax
−
−−−
−

→
e.
22
321
lim
4
−−
−+
→
x
x
x

f.
)1(51
lim
5
2
0
xx
x
x
+−+
→
g.
1
1
lim
1
−

−
→
n
m
x
x
x
10. T×m c¸c giíi h¹n
a.
1
lim
+
++
∞→
x
xxx
x
b.
12
lim
4
3
+
++
∞→
x
xxx
x
c.
(

)
xxxxxx
x
++−+
∞→
22
22lim
d.
3 3
2
1
3
lim
+
−
∞→
x
x
x
e.
(
)
xxxx
x
23lim
2
3
23
−−+
∞→

f.
1
1
lim
−
+
∞→
x
x
x
11. T×m c¸c giíi h¹n
a.
x
xx
x
3
0
5131
lim
+−+
→
b.
2
3
0
3121
lim
x
xx
x

+−+
→
c.
x
xx
x
53
0
3121
lim
+−+
→
d.
2
4
3
0
4131
lim
x
xx
x
+−+
→
e.
x
xx
nm
x
βα

+−+
→
11
lim
0
f.
x
xx
nm
x
111
lim
0
−++
→
βα
12. T×m c¸c giíi h¹n
a.
x
x
2lim
0→
b.
tgx
x
2
lim
π
→
c.

arctgx
x ∞→
lim
d.
ztgz
z
2
)1(lim
1
π
−
→
e.
nx
mx
x
cos
cos
lim
2
π
→
13. T×m c¸c giíi h¹n
a.
1
12
32
lim
+
∞→







+
+
x
x
x
x
b.
x
x
x
xx
xx
−
∞→








++
+−

1
2
2
3
12
13
lim
c.
1
1
2
2
1
1
lim
+
−
∞→








+
−
x
x

x
x
x
d.
tgx
x
x)(sinlim
2
π
→
e.
m
m
m
x






∞→
coslim
14. T×m c¸c giíi h¹n
a.
α
α
α
)1ln(
lim

e+
∞→
b.
[ ]
nnn
n
ln)1ln(lim −+
∞→
Trang –18
c.










1lim
1
n
n
an
d.
[ ]
)sin(ln)1sin(ln(lim xx
x
+

+
15. Tìm giới hạn
a.
x
x
x21lim
0


b.
x
x
xcoslim
0
c.
( )
1
2
lim
+


nn
n
xxn
(x>0)
16. Tìm giới hạn của hàm
a.
ax
ax

ax



sinsin
lim
b.
x
xcoxx
x
cos1
32coscos1
lim
0



c.
xx
ee
xx
x


sinsin
lim
0




()
d.
3
0
sin11
lim
x
xtgx
x
++

e.
x
xx
x
2
3
0
sin
coscos
lim


17. Khi x0, tìm k để các VCB sau cùng cấp với x
k
, tìm phần chính của các VCB đó so với x.
a.
xx 3121 ++
b.
3

3121 xx ++
c.
xtgx sin11 ++
d.
xx 2coscos
e.
3
coscos xx
f.
1
2
2

xx
e
g.
11 +
à
x
h. ln(cos x)
18. Xét sụ liên tục của hàm số
a. f(x)=





=

00

0
1
sin
x
x
x
x
b. f(x)=





=


00
0
2
1
x
xe
x
c. f(x)=



+
<+
0

0sin1
xbax
xx
d. f(x)=
[ ]







+
<<
2
22


xax
xarctgx
19. Các hàm sau có liên tục đều trên miền đã cho
a. f(x)=
11
4
2


x
x
x

b. f(x)=ln x 0<x<1
c. f(x)=cos x
2
x>0
Trang 19