ĐỀ THI HSG LỚP 9 NH 2009-2010
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (83.46 KB, 4 trang )
UBND HUYỆN CẦU KÈ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
PHÒNG GIÁO DỤC NĂM HỌC: 2006 – 2007
(Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Thí sinh làm tất cả các bài toán sau đây:
Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
1. 4x
2
– 8x + 3
2. x
2
– y
2
+ 10 x – 6y + 16
3. x
5
+ x + 1
4. a (b
2
– c
2
) + b (c
2
– a
2
) + c (a
2
– b
2
)
Bài 2: (5 điểm)
1. Xác đònh hệ số a, b sao cho đa thức: x
4
+ ax
3
+ b chia hết cho x
2
– 1.
2. Cho biểu thức:
a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trò của x để P = 1.
c. Tìm các giá trò của x để P > 0.
Bài 3: (4 điểm)
1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc.
2. Cho và x, y, z khác 0. Tính giá trò của biểu thức:
Bài 4: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm đối xứng là điểm O. trên
đường chéo BD lấy một điểm M, ttrên tia AM lấy điểm E sao cho M Là trung
điểm của AM. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E trên BC và DC. Chứng
minh rằng:
1. Tứ giác HEKC là hình chữ nhật.
2. OM // CM.
3. HK // AC.
4. Ba điểm M, H, K thẳng hàng.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A. Điểm E nằm trong tam
giác sao cho: . Tính số đo góc AEB ?
HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2006 - 2007
BÀI CÂU NỘI DUNG
BIỂU
ĐIỂM
1
(4 đ)
1
2
3
4
4x
2
– 8x + 3 = 4x
2
– 2x – 6x + 3
= 2x(2x – 1) – 3(2x – 1)
= (2x – 1)(2x – 3)
x
2
– y
2
+ 10x – 6y +16 = x
2
+ 10x + 25 – y
2
– 6y – 9
= (x
2
+ 10x + 25) – (y
2
+ 6y + 9)
= (x + 5)
2
– (y + 3)
2
= (x + 5 + y + 3)(x + 5 – y – 3)
= (x + y + 8)(x – y + 2)
x
5
+ x + 1 = x
5
– x
2
+ x
2
+ x + 1
= x
2
(x
3
– 1) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x – 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)( x
3
- x + 1)
a (b
2
– c
2
) + b (c
2
– a
2
) + c (a
2
– b
2
) =
= a (b
2
– c
2
) + b(c
2
– b
2
+ b
2
– a
2
) + c (a
2
– b
2
)
= (b
2
– c
2
)(a – b) + (a
2
– b
2
)(c – b)
= (b + c)(b – c)(a – b) – (a + b)(a – b)(b – c)
= (a – b)(b – c)(c – a)
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu
2
(5 đ)
1
2
Thực hiện phép chia đa thức x
4
+ ax
3
+ b cho đa thức x
2
-1 ta được thương là x
2
+ ax + 1, số dư là ax + (b + 1)
Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi x
Do đó: a = 0 và b + 1 = 0
Vậy: a = 0 và b = - 1
a.
1
0.5
0.5
0.5
BÀI CÂU NỘI DUNG
BIỂU
ĐIỂM
=
b. ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ - 3; x ≠ ± 2
P = 1 <=> = 1 <=> x + 4 = 6 <=> x = 2 (không
thỏa mãn)
Vậy không có giá trò nào của x để P = 1.
c. P > 0 <=> > 0 <=> x + 4 > 0 (vì 6 > 0)
<=> x > - 4 (và x ≠ 0 ; x ≠ - 3 ; x ≠ ± 2)
1
0.5
0.5
0.5
Câu
3
(4đ)
1
2
a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = a
3
+ (b + c)
3
– 3bc (b + c) – 3abc
= (a + b + c){a
2
– a(b + c) + (b + c)
2
} – 3bc (a + b + c)
= (a + b + c) (a
2
– ab – ac + b
2
+ 2bc + c
2
– 3bc)
= (a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ac – bc)
Áp dụng câu 1: nếu a + b + c = 0 thì: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Ta co ù:
Vậy: A = xyz = 3
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu
4
(4 đ)
1
2
2
2
I
1
1
B
E
K
O
M
H
C
D
A
Ta có: => tứ giác HEKC là hình chữ nhật
(vì có 3 góc vuông).
Gọi I là giao điểm của HK và CE, O là giao điểm của
Hình
vẽ
0.5
0.5
BÀI CÂU NỘI DUNG
BIỂU
ĐIỂM
3
4
AC và BD.
Ta có: OM là đường trung bình của ACE
Vậy: OM // CE.
Ta có: = (góc đồng vò) (1)
COD cân tại O; CIK cân tại I
Do đó: = (2)
= (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : =
Vậy: HK // AC
Xét ACE có đường thẳng HK đi qua trung điểm I
của CE và HK // AC nên đường thẳng HK đi qua trung
điểm của AE, tức đi qua điểm M.
Vậy 3 điểm M, H, K thẳng hàng.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
5
K
E
C
B
A
Trong ABC lây điểm K sao cho
⇒ KAB = EAC (c – g – c)
Do đó: AK = AE ⇒ AKE cân tại A
= 90
0
– 2. 15
0
= 60
0
Nên AKE là tam giác đều
Mà = 360
0
– (150
0
+ 60
0
) = 150
0
⇒
Ta có: BAK = BEK (c – g – c)
⇒
Vậy: = 60
0
+ 15
0
= 75
0
Hình
vẽ
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
