Đáp án HSG Gia Lai (2007-2008)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.52 KB, 4 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
GIA LAI Năm học 2007 - 2008
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN 9
( ĐỀ CHÍNH THỨC )
Bài 1: ( 2,5 điểm )
Ta có:
30 4 2008x y
+ =
⇔
15
502
2
x
y
= −
………………………………………1,0đ
Do đó:
x
,
y
nguyên dương
⇔
x
nguyên,
2xM
,
1004
0
15
x< <
…………… …0,5đ
⇔
x
nguyên,
2xM
,
1 66x
≤ ≤
……………………0,5đ
Vậy có 33 giá trị
x
thỏa mãn điều kiện trên.
Tương ứng với phương trình đã cho có 33 nghiệm nguyên dương……………0,5đ
Bài 2: ( 2 điểm )
Ta có:
( )
4 3 5 2 2 3a b c ab bc ca+ + ≥ + +
⇔
( ) ( ) ( )
2 2 2 3 2 0a ab b b bc c c ca a− + + − + + − + ≥
………………… 1,0đ
⇔
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 0a b b c c a− + − + − ≥
(đpcm)………………….0,5đ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
a b c= =
…………………………………….0,5đ
Bài 3: ( 2,5 điểm )
Để phương trình có hai nghiệm số trái dấu nhau, điều kiện là:
( ) ( )
2007 .2 2009 0m m
− − <
⇔
( ) ( )
2007 2009 0m m
− − <
………………………………………… 1,0đ
⇔
(
2007 0m
− >
và
2009 0m
− <
) hoặc (
2007 0m
− <
và
2009 0m
− >
)………0,5đ
⇔
(
2007m
>
và
2009m
<
) hoặc (
2007m
<
và
2009m
>
)
⇔
2007 2009m
< <
………………………………………………………… 0,5đ
Vậy:
2008m =
……………………………………………………………… 0,5đ
1
Bài 4: ( 3 điểm )
Ta có:
( )
( )
2
3 5 3 5 3 5
4 6 2 5
4 2 3 5
4 5 1
A
+ + +
= = =
+ +
+ +
+ +
( ) ( )
3 5 5 5
3 5 5 5
20 10
5 5
+ −
+ +
= = =
+
………………………1,0đ
Tương tự:
( )
3 5 5 5
10
4 2 3 5
B
− −
= =
− −
……………………………………1,0đ
Suy ra:
5
5
A B− =
,
1A B+ =
,
1
5
AB =
Vậy:
( )
( )
( ) ( )
( )
2
3 3 2 2
A B A B A AB B A B A B AB− = − + + = − + −
5 1 5 4 4 5
1 .
5 5 5 5 25
= − = =
÷
………………………………… 1,0đ
Bài 5: ( 4 điểm )
a) - Trường hợp 1:
0, 0
3
x y
x y
≥ ≥
+ =
hay
0, 0
3
x y
y x
≥ ≥
= − +
Phần đồ thị là đoạn thẳng
AB
, với
( )
3;0A
và
( )
0;3B
…… …………………0,5đ
- Trường hợp 2:
0, 0
3
x y
x y
≤ ≥
− + =
hay
0, 0
3
x y
y x
≤ ≥
= +
Phần đồ thị là đoạn thẳng
BC
, với
( )
3;0C
−
……………………………….…0,5đ
- Trường hợp 3:
0, 0
3
x y
x y
≤ ≤
− − =
hay
0, 0
3
x y
y x
≤ ≤
= − −
Phần đồ thị là đoạn thẳng
CD
, với
( )
0; 3D
−
……………………………… 0,5đ
- Trường hợp 4:
0, 0
3
x y
x y
≥ ≤
− =
hay
0, 0
3
x y
y x
≥ ≤
= −
Phần đồ thị là đoạn thẳng
DA
…………………………………………… 0,5đ
Kết luận: Tập hợp các điểm
M
là đường biên của hình vuông
ABCD
, nhận
O
là
tâm đối xứng…………………… 0,5đ
2
-3
-3
3
3
M2
M3
M4
M1
O
y
x
B
C
D
A
b) Điểm có khoảng cách đến
O
nhỏ nhất là chân các đường vuông góc
1 2 3 4
, , ,M M M M
hạ từ
O
lần lượt đến các cạnh
, , ,AB BC CD DA
.
Suy ra:
1 2 3 4
, , ,M M M M
lần lượt là trung điểm của
, , ,AB BC CD DA
… ……… 0,5đ
Vậy:
1
3 3
;
2 2
M
=
÷
,
2
3 3
;
2 2
M
= −
÷
,
3
3 3
;
2 2
M
= − −
÷
,
4
3 3
;
2 2
M
= −
÷
………………0,5đ
c) Hình vẽ:…………………………………….…………………………………0,5đ
Bài 6: ( 2 điểm )
Số điểm của mỗi bạn có thể xếp theo 5 loại sau đây:
- Làm đúng 5 bài, được 10 điểm.
- Làm đúng 4 bài, được 7 điểm.
- Làm đúng 3 bài, được 4 điểm.
- Làm đúng 2 bài, được 1 điểm.
- Loại còn lại, đều bị 0 điểm………………………………………………… 1,0đ
Vì 31 chia 5 có thương là 6 và dư 1, nên theo Nguyên lý Đi-rích-lê, có ít nhất 7
bạn có số điểm bằng nhau……………………………………………………….1,0đ
Bài 7: ( 4 điểm )
3
I
C
O
M
A
B
D
E
a)
MAC MDA∆ ∆:
⇒
MA AC
MD AD
=
.……………………………………………… 0,5đ
MBC MDB∆ ∆:
⇒
MB CB
MD DB
=
……………………………………………… 0,5đ
Mà:
MA MB=
,……………………………………………………… ……….0,5đ
Nên:
AC CB
AD DB
=
, hay:
. .AC DB AD CB=
………………………………… … 0,5đ
b) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với (O)…………………… 0,5đ
Ta có:
·
»
»
»
( )
»
»
( )
·
1 1 1
2 2 2
MAI sd AE sd AC sdCE sd AC sd ED MIA= = + = + =
…………… 0,5đ
Suy ra tam giác AMI cân. Do đó: MA = MI .
Mà MA = MB, nên: MB = MI .
Vậy tam giác BMI cân.
Suy ra:
·
·
MBI MIB=
…………………………………………………………….0,5đ
Do đó:
·
·
·
·
·
·
CBI MBI MBC MIB MDB DBI= − = − =
.
Vậy: BI là phân giác của góc CBD………………………………………… 0,5đ
(Lưu ý: Cách giải khác, nếu đúng, vẫn đạt điểm tối đa)
4
