ĐỀ THI KHẢO SÁT 11KDChuyên Vp (09 -10)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (108.9 KB, 4 trang )
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN III
Tổ Toán Tin MÔN TOÁN 11 khối D
===== THỜI GIAN 180’=====
Câu1/ : (2đ) Giải phương trình sau:
a/ 2.sin 7x .sin x + cos 8x +
3
sin 6x = 1
b/
2
x 1 x 1+ = −
Câu 2/ : (2đ)a/ Tìm x sao cho ba số sau :
x x 1 x 2
7 7 7
C ; C ; C
+ +
(theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng
b/ Dùng phương pháp qui nạp toán học
Chứng minh rằng : A = 10
n
+18n – 28 chia hết cho 27 (n là số tự nhiên dương)
Câu3 / (2đ) a/ Giải hệ phương trình :
7 3y x 22y 5x 13
x 4y 2 3y x 1
+ + + =
− − + =
b/ Gieo đồng thời 3 con xúc xắc đồng chất.
Tính xác xuất để tổng số chấm xuất hiện trên các mặt của ba con xúc xắc bằng 10
Câu 4/ (3đ) a/ Cho (E) có phương trình :
2 2
x y
1
6 2
+ =
.
Tìm các điểm M trên (E) sao cho
∠
F
1
MF
2
= 90
0
(F
1
,F
2
là tiêu điểm của (E))
b/ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
• Chứng minh rằng : mặt phẳng (A’DB) // mặt phẳng (D’CB’)
• Lấy điểm M trên cạnh AB. Xác định thiết diện qua M , song song với mặt phẳng
(ACC’) với hình hộp
Câu 5/ : (1đ) Cho a,b,c là các số dương sao cho ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng :
2 2 2 2 2 2
b 2a c 2b a 2c
3
ab bc ac
+ + +
+ + ≥
Giám thị không giải thích gì thêm.Chúc các em làm bài thi tốt
Hướng dẫn chấm, biểu điểm toán Khối 11 ban D
Stt Bài Giải vắn tắt Biểu
điểm
Câu 1
a)1đ
b) 1đ
a/ phương trình
⇔
cos 6x – cos 8x + cos 8x +
3
sin 6x = 1………………
⇔
cos 6x +
3
sin 6x = 1
1
cos 6x 6x k2
3 2 3 3
2
x k
6x k2
9 3
k
3
6x k2
x k
3
π π π
⇔ − = ⇔ − = ± + π
÷
π π
π
= +
= + π
⇔ ⇔ ∈
π
= π
=
Z
Vậy phương trình có hại họ nghiệm ……………………………………………
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b/ Đk x
≥
-1 : Với Đk này phương trình
2
4 2
2
x 1
x 1 0
x 2x x 0
x(x 1)(x x 1) 0
1 5
x 1; x
2
≥
− ≥
⇔ ⇔
− − =
+ − − =
+
⇔ = =
Vậy phương trình có hai nghiệm :
1 5
x 1; x
2
+
= =
………………………
0,5d
0,25đ
0,25đ
Câu 2
a)1đ
b/ 1đ
Giải :a/
Đk : x là số tự nhiên thoả mãn : 5
≥
x
≥
0
Nếu
x x 1 x 2
7 7 7
C ; C ; C
+ +
(theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng
⇔
x x 2 x 1
7 7 7
2C C C
+ +
+ =
………………………………………………………………
2
7! 7! 7!
2
(7 x)!.x! (7 x 2)!.(x 2)! (7 x 1)!.(x 1)!
(x 1)(x 2) (6 x)(7 x) 2(7 x)(x 2)
x 5x 4 0
⇔ + =
− − − + − − +
⇔ + + + − − = − +
⇔ − + =
x 1;x 4 ⇔ = =
Vậy có hai giá trị của x thoả mãn đk bài toán
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b/ *) Khi n = 1 ta có Vt = 0 chia hết cho 27 (Mệnh đề đúng với n = 1)……
*) Giả sử đúng n = k (k
≥
1) tức là : A = 10
k
+18k – 28 chia hết cho 27
ta xét n = k +1 :
A = 10
n+1
+18(n+1) – 28 = (10
n
+18n – 28 ) .10 – 9.18n +270 ………………
= (10
n
+18n – 28 ) .10 + 27. (10 - 6n ) chia hết cho 27
Vậy A chia hết cho 27 (n
≥
1)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3
a/ 1đ
Giải : a/ Đk :
x 4y 0
3y x 0
− ≥
+ ≥
.Đặt
x 4y a 0; 3y x b 0− = ≥ + = ≥
thì hệ có dạng
2 2 2 2
2 2 2
a 2b 1 a 2b 1
7b 6b a 13 7b 6b (2b 1) 13
a 2b 1
a 2b 1 a 2b 1
a 5
7
b 2
b 2;b 0
7b 6b 4b 4b 1 13 2b 3b 14 0
2
− = = +
⇔ ⇔
+ − = + − + =
= +
− = − =
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
−
=
= = <
+ − − − = + − =
Vậy ta có hệ phương trình :
x 4y 25 x 13
x 3y 4 y 3
− = =
⇔
+ = = −
thoả mãn Đk
Hệ phương trình có nghiệm (13; - 3 )
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b/ 1đ Gọi A là biến cố có “ Tổng số chấm của ba con xúc xắc xuất hiện là 10”…………………
Thì kết cục đồng khả năng xuất hiện khi tung xúc xắc là 6.6.6= 216 =
Ω
………………
Ta có 10 = 1+3+ 6 = 1+ 4+ 5 = 2+2+6 =2+3+5 = 3+ 3+ 4 Do đó kết cục thuận lợi cho biến
cố A xuất hiện là các hoán vị có thể có của các tổng trên
A
Ω
= 6+6+3+6+3 = 24 ……………………………………………………………
Vậy p (A) = 24/216 = 1/9 ……………………………………………………………………
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 4
a/ 1đ
Giải : Giả sử M(x;y) trên (E) .Vì
∠
F
1
MF
2
= 90
0
nên M nằm trên đường tròn tâm O bán kính c = 2 ………………………………
Vậy Toạ độ điểm M thoả mãn hệ
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
x y 4
x y 4 x 3
x 3
x y
y 1
2x 6y 12 y 1
1
6 2
+ =
+ = =
= ±
⇔ ⇔ ⇔
= ±
+ = =
+ =
……………………….
KL : có 4 điểm trên đường tròn thoả mãn Đk bài toán
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b/2đ */ Hình vẽ đúng , đẹp (Không có hình không chấm điềm)…………………………………
Ta có A’D // B’C (t/c hình hộp)…………………………………………………………
DB// D’B’ (t/c hình hộp) nên …………………………………………………
Mặt phẳng (A’DB) // mặt phẳng (D’CB’)………………………………………………
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Mặt
phẳng (ACC’) chính là (ACC’A’)
ta thấy Mặt phẳng qua M // với (ACC’A’) nên
giao tuyến của nó với hình hộp phải // các cạnh
cuả ACC’A’
Trong mặt phẳng ABCD Kẻ ML// AC
Trong mặt phẳng B’BCC’ Kẻ JL// C’C
Trong mặt phẳng B’A’D’C’ Kẻ JI// C’A’
Trong mặt phẳngA’ABB’ Nối MI
Hình bình hành MLIJ là thiết diện cần dựng
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
(1đ)
Cho a,b,c là các số dương sao cho ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng :
2 2 2 2 2 2
b 2a c 2b a 2c
3
ab bc ac
+ + +
+ + ≥
(*)
Xét véc tơ
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
x ; ; y ; ;z ; x y z ;
a b b c c a a b c a b c
= = = ⇒ + + = + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
r r r r r r
Rõ ràng
2 2
1 1 1 1 1 1 ab bc ca
x y z x y z 2 3 3
a b c a b c abc
+ +
+ + ≥ + + = + + + + + = =
÷ ÷
uur uur ur
r r r
Mà
x y z+ +
uur uur ur
=
2 2 2 2 2 2
b 2a c 2b a 2c
ab bc ac
+ + +
+ +
nên ta có Đpcm
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =3
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
D
C
B
A
A'
B'
D'
C'
D
C
B
A
A'
B'
D'
C'
M
L
J
I
