Bồi dỡng đại trà học kì 2
A. CHơNG III thống kê
1. Thu thập số liêu thống kê, tần số:
Các số liệu thu thập đợc khi điều tra về một dấu hiệu gọi là số liệu thống kê. Mỗi số liệu là
một giá trị của dấu hiệu.
Số tất cả các giá trị (không nhất thiết khác nhau) của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra.
Số lần xuất hiện của một giá trị trong dẫy giá trị của dấu hiệu là tần số của giá trị đó.
2. Bảng tần số các giá trị của dấu hiệu:
Dấu hiệu (x)
x
1
x
2
x
k
Tần số (n)
n
1
n
2
n
k
N
Dấu hiệu (x) Tần số (n)
x
1
x
2
.
.
.

x
k
n
1
n
2
.
.
.
n
k
N
3. Biểu đồ:
Có thể biểu diễn số liệu bằng biểu đồ.
4. Số trung bình cộng của dấu hiệu: Kí hiệu
____
X
Tính bằng công thức:
______
1 1 2 2

k k
x n x n x n
N
X
+ + +
=
Trong đó: x
1
, x

2,
x
k
là các gia tri khac nhau cua dấu hiệu.
n
1
, n
2,
n
k
là các tần số tơng ứng.
N là số các giá trị.
Tính bằng cách lập bảng:
Dấu hiệu (x) Tần số (n) Các tích (x.n)
x
1
x
2
.
.
.
x
k
n
1
n
2
.
.
.

n
k
x
1
n
1
x
2
n
2
.
.
.
x
k
n
k
______
1 1 2 2

k k
x n x n x n
N
X
+ + +
=
N = n
1
+ n
2

+ + n
k
ý nghĩa: Số trung bình cộng thờng đợc dùng làm đại diện cho dấu hiệu.
Mốt của dấu hiệu: Giá tri có tần số lớn nhất trong bảng tần số . Kí hiệu: M
0
B. CHơNG IV BIểU THứC đạI Số
1. Biểu thức đại số :
Biểu thức mà trong đó ngoài các số, kí hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên
lũy thừa, còn có cả các chữ đại diện cho số(gọi là biến số) là biểu thức đại số.
2. Giá trị của một biểu thức đại số :
Tính giá trị của biểu thức đại số tại những giá trị cho trớc của biến, ta thay các giỏ trị
cho trớc vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.
3. Đơn thức
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc một tích giữa
các số và các biến. Số 0 là đơn thức không.
Bậc của đơn thức co hệ số khác 0 là tổng số mũ của tât cả các biến có trong
đơn thức đó
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.
Cộng trừ các đơn thức đồng dạng ta công trừ các hệ số với nhau và giữ
nguyên phần biến
Nhân hai đa thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau
và dùng lũy thừa ghi bậc của mỗi biến.
4. Đa thức
Đa thức là tổng của những đơn thức
Bậc của đa thức là bậc cao nhất của hạng tử trong dạng thu gọn của đa thức.
Đa thức không là đa thức không có bậc.
Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Mỗi số đợc
coi là một đa thức một biến.
Ta có thể cộng, trừ các biểu thức số và tơng tự ta cũng có thể thực hiện phép
toán cộng trừ đa thức

Nếu tại x = a mà đa thức P(x) = 0 ta nói a (hoặc x = a) là nghiệm của đa thức
đó.
II. bài tập
Bài 1: Một thầy giáo theo dõi thời gian làm một bài tập (Thời gian tính theo phút) của 30
học sinh (ai cũng làm đợc) và ghi lại nh sau.
10 5 8 8 9 7 8 9 10 8
5 7 10 9 8 8 9 7 14 7
9 8 9 10 10 10 7 5 5 14
a.Dấu hiệu ở đây là gì?
b. Lập bảng tần số và nhận xét
Đáp án
a, Dấu hiệu: thời gian làm 1 bài tập của mỗi học sinh
b, Bảng tần số
Giá trị (x) 5 7 8 9 10 14
Tần số (n) 4 5 7 6 6 2 N=30
Nhận xét: Thời gian làm bài ít nhất là 5 phút
Thời gian làm bài nhiều nhất là 14 phút
Số đông các bạn đều hoàn thành bài tập khoảng từ 8 đến 10 phút
Bài 2 Một giáo viên theo dõi thời gian làm bài tập ( tính theo phút ) của 30 học sinh
và ghi lại nh sau:
10 5 8 8 9 7 8 9 14 8
5 7 8 10 9 8 10 7 14 8
9 8 9 9 9 9 10 5 5 14
a)Lập bảng tần số:
b)Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu
Đáp án
a) Lâp bằng bảng tần số:
b)
X


8,6 phút
M
o
= 8 và M
o
= 9
Phần đa thức
Bài 1: Cho đa thức M(x) = 4x
3
+ 2x
4
x
2
x
3
+2x
2
-x
4
+1-3x
3
a. sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lỹ thừa giảm của biến
b. Tính M(-1) và M(1)
c. Chứng tỏ đa thức trên không có nghiệm
Đáp án
a. M(x) = x
4
+ x
2
+1

b. M(1) = 1
4
+ 1
2
+1 =3
M(-1) = (-1)
4
+(-1)
2
+1=3
c. Ta có x
4


0 với mọi x
x
2


0 với mọi x
nên x
4
+ x
2
+ 1

1> 0 với mọi x
vậy đa thức x
4
+ x

2
+ 1 không có nghiệm
Bài 2. Cho P(x) =
xxxxxx ++ 33374
5425
a, Thu gọn và sắp xếp đa thức P(x) theo lũy thừa giảm.
P(x) =
55425
33374 xxxxxx ++
=
373)34(
24555
++ xxxxxx
=
373
24
+ xxx
b, Cho Q(x) =
65
2
+ xx
. Tính P(x) + Q(x).
P(x)+Q(x)=(
373
24
+ xxx
)+(
65
2
+ xx

)
=
373
24
+ xxx
+
65
2
+ xx
=
3463
24
+ xxx
Bài 3: Tìm nghiệm cua đa thức N(x) = 7x 5
Đáp án
Nếu x là nghiệm của N(x)= 7x 5 thì N(x) = 0
Hay 7x 5 = 0
7x = 5
x =
7
5
Bài 4
a, Tính tích của hai đơn thức sau: - 0,5x
2
yz và -3xy
3
z. Tìm hệ số và bậc của tích tìm đợc.
b, Cho A = x
2
- 2x - y

2
+ 3y - 1 B = -2x
2
+ 3y
2
- 5x + y + 3. Tính A + B, A - B?
Đáp án
a. (-0,5x
2
yz).(-3xy
3
z) = 1,5x
3
y
4
z
2.
Hệ số 1,5 Bậc 9
b , A + B = (x
2
-2x - y
2
+3y -1) + (-2x
2
+ 3y
2
-5x + y +3)
= x
2
-2x - y

2
+3y -1 -2x
2
+3y
2
-5x +y + 3
= -x
2
-7x +2y
2
+4y +2
A - B = (x
2
-2x -y
2
+3y - 1) - (-2x
2
+ 3y
2
-5x +y +3)
= x
2
- 2x - y
2
+3y - 1 + 2x
2
- 3y
2
+ 5x - y - 3
= 3x

2
+3x - 4y
2
+2y - 4
Bài 5: Cho đa thức: P(x) = 5x
3
+ 2x
4
- x
2
+ 3x
2
- x
3
- x
4
+ 1 - 4x
3
a, Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo thứ tự giảm dần của các biến?
b, Tính P(1) và P(-1)?
c, Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm?
Đáp án
a, p(x) = 5x
3
+ 2x
4
- x
2
+ 3x
2

- x
3
- x
4
+ 1 - 4x
3
= x
4
+ 2x
2
+ 1
b, p (1)= 1
4
+ 2.1
2
+ 1= 4
p(-1)= (-1)
4
+ 2.(-1)
2
+ 1 = 4
c, x
4
0 x
2x
2
0 x nên p(x) = x
4
+ 2x
2

+ 1 1 x.
Bài 6: Tìm x:
a.
5+x
= 7
b.
x
= x
c.
( )
091
2
=+x
d.
32 +x
= -5
Đáp án
a.
5+x
= 7
x + 5 = 7
2= x
x + 5 = -7
12= x
b.
x
= x
0

x

c.
( )
091
2
=+x



( )
91
2
=+x

31
=+
x
x + 1 = 3

x = 2
x +1 = -3
4= x
d.
32 +x
= -5
Do
32 +x


0 mà -5 < 0


Vô lý
Vậy không tìm đợc giá trị của x thoả mãn đề bài.
Bài 7 Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x
2
+ 2mx + m
2
và
Q
( )
x
= x
2
+ (2m+1)x + m
2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Đáp án
P(1) = 1
2
+ 2m.1 + m
2
= m
2
+ 2m + 1
Q(-1) = 1 2m 1 +m
2
= m

2
2m
Để P(1) = Q(-1) thì m
2
+ 2m + 1 = m
2
2m

4m = -1

m = -1/4
Bài 8 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
A =
1+x
+5 B =
2
1
2
+x
C =
3
15
2
2
+
+
x
x
D =
3

5
22
22
++
++
yx
yx
Đáp án
A =
1+x
+5
Ta có :
1+x


0. Dấu = xảy ra

x= -1.


A

5.
Dấu = xảy ra

x= -1.
Vậy: Min A = 5

x= -1.
B =

2
1
2
+x
Ta có x
2


0. Dấu = xảy ra

x = 0.

x
2
+ 2

2 ( 2 vế dơng ).


2
1
2
+x



2
1
Dấu = xảy ra


x= 0.
Vậy Max B =
2
1


x = 0
C =
3
15
2
2
+
+
x
x
=
( )
3
123
2
2
+
++
x
x
= 1 +
3
12
2

+x
Ta có: x
2


0. Dấu = xảy ra

x = 0


x
2
+ 3

3 ( 2 vế dơng )

3
12
2
+x



3
12



3
12

2
+x


4

1+
3
12
2
+x


1+ 4

C

5
Dấu = xảy ra

x = 0
Vậy : Max C = 5

x = 0.
D = 1 +
3
2
22
++ yx
Mà x

2
+ y
2
+ 3

3



3
2
22
++ yx



3
2


D

1+
3
2


D



3
5

Min D =
3
5


x= y = 0
Bài 9 Cho 3 số a, b, c khác nhau và khác 0 ( b+c, a+c, a+b

0 ).
Thoả mãn điều kiện :
ba
c
ca
b
cb
a
+
=
+
=
+
.
Tính giá trị biểu thức P =
c
ba
b
ca

a
cb +
+
+
+
+
Đáp án
Ta có :
ba
c
ca
b
cb
a
+
=
+
=
+
.=
bacacb
cba
+++++
++
=
( )
cba
cba
++
++

2

TH1 a +b + c

0


( )
cba
cba
++
++
2
=
2
1

ba
c
ca
b
cb
a
+
=
+
=
+
=
2

1

a
cb +
=
b
ca +
=
c
ba +
= 2
Vậy P =
a
cb +
+
b
ca +
+
c
ba +
= 6
TH2 a + b + c =0
* b + c = - a ; a + c = - b ; a + b = -c
Vậy P =
1 ( 1) ( 1) 3
a b c
a b c

+ + = + + =


Bài 10: Cho hai đa thức f(x) = 5x 7 ; g(x) = 3x + 1
a) Tìm nghiệm của f(x) , g(x)
b) Tìm nghiệm của đa thức A(x) = f(x) g(x).
Ta có với giá trị nào của x thì f(x) = g(x)
Đáp án
a) f(x) có nghiệm là
5
7
=x
g(x) có nghiệm là
3
1
=x
b) A(x) có nghiệm là x = 4
Khi x = 4 thì f(x) = g(x)
Bài 11:
Cho hai đa thức:
M = 3,5x
2
y - 2xy
2
+ 2xy + 3xy
2
+ 1,5x
2
y. ; N = 2x
2
y +3,2xy +xy
2
-4xy

2
- 1,2xy.
a) Thu gọn các đa thức M và N:
b) Tính M + N ; M - N.
Đáp án
a) M = 5x
2
y + xy
2
+ 2xy.
N = 2x
2
y - 3xy
2
+ 2xy.
b) M + N = 7x
2
y - 2xy
2
+ 4xy.
M - N = 3x
2
y +4xy
2
.

Phần hình học
Bài 1: Cho tam giác ABC biết
CBA




63 ==
a, Tìm số đo các góc A, B, C.
Theo định lí tổng 3 góc của 1 tam giác ta có
0
180



=++ CBA
Ta lại có






=
=






=
=
CB
BA

CB
BA








2
3
63
3
00
000
000
40

;120

20

180

9180

8
180


2.4180


4180


3
==
===+
=+=+=++
BA
CCCC
CCCBCBB
b, Vẽ đ ờng cao AD. Chứng minh rằng: AD < BC < CD .
Theo cmt thì trong tam giác vuông ABD có
00
50

40

== DABB

AD < BD (tính chất cạnh và góc đối diện) (1)
Trong tam giác ABC, ta lại có:
00
40

;20

== BC


AB < AC

BD < CD (tính chất hình chiếu và đờng xiên) (2)
Từ (1) và (2)

AD < BD < CD
Bài 2 Cho ABC cân tại A . Lấy điểm M trên tia đối của tia BC và diểm N trên tia đối
của tia CB sao cho BM=CN
a. Chứng minh: Góc ABM = góc CAN
b. Chứng minh:
^
AMN cân
c. So sánh độ dài các đoạn thẳng AM;AC
d. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = AM. Chứng minh rằng nếu MB
= BC = CN thì tia AB đi qua trung điểm đoạn thẳng IN .
Đáp án
vẽ hình ghi giả thiết kết luận
a. Góc ABM = 180
0
-
^
1
B
Góc ACN = 180
0

1
Mà
^

1
B
=
1
( gt)

góc ABM = góc CAN
b. . Chứng minh ABM = ACN (c.g.c)

AM = AN (2 cạnh tơng ứng)
Vậy AMN cân tại A
c, Chứng minh góc ACN là góc tù
CAN có góc CAN là góc tù nên AN là cạnh lớn nhất
Do đó AN > AC
Mà AN = AM (chứng minh trên)
Nên AM > AC
d, Ta có AM = MI nên NM là đờng trung tuyến của NAI
Mà CN = CB = BM (gt)

BN =
3
2
NM

B là trọng tâm NAI
Do đó AB là đờng trung tuyến của NAI
vậy tia AB đI qua trung điểm của đoạn thẳng IN
Bài 4. Cho tam giác ABC. Đờng trung trực của cạnh AB cắt tia BC tại D. Trên tia AD
lấy AE = BC.
a) Chứng minh ABC = BAE

b) Chứng minh AB // CE
a,
CDA BEC

=
và
DCA HBE


=
.
Tam giác DBE là tam giác cân và có đơng cao BH vẽ từ đỉnh B cũng là đờng
trung tuyến vẽ từ đỉnh ấy
Suy ra BH là đờng phân giác của góc B của
DBE
, tức là
32

B

B=
có
D

D

21
=
vì đối đỉnh.
Mà

DBE vỡBED D
2
=

cân
Suy ra:
BED D
1

=
; tức là
BECCDA

=
Ta có:
0
2221
90B D =+=+ DC


Vì
D
21

=D
nên suy ra :
21
B



=C
Từ đó:
HBEDCACCC






=====
313221
BB B
b, BE

BC.
Ta có:
0
211321
90B B =++=++= CCBBCBE


Vậy BE

BC.
Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 90
o
), tia phân giác của góc B cắt AC ở E,
từ E kẻ EH vuông góc BC (H thuộc BC) chứng minh rằng:
a, ABE bằng HBE.
b, BE là đờng trung trực của đoạn thẳng AH.

c, EC > AE.
Đáp án Vẽ hình:
E
A
C
B
k
H
a, Xét ABE và HBE ; BE (cạnh chung)
có ABE = HBE (BE là tia phân giác của góc ABC)
BAE = BHE (=90
0
)
ABE bằng HBE (cạnh huyền và góc nhọn
b, Gọi K là giao điểm của BE và AH; xét ABK và HBK
ta có ABK = KBH (tia BE là phân giác góc ABC)
AB = BH (ABE = HBE);BK (cạnh chung) ABK =HBK (cgc)
nên AK = KH(1), AKB = HKB mà góc AKB kề bù góc HKB
AKB = HKB (= 90
0
)(2)
từ 1 và 2 ta có BE là đờng trung trực của đoạn thẳng AH
c, Ta có AK = HK (chứng minh trên)
KE (cạnh chung ); AKE = HKE (= 90
0
)
AKE = HKE
suy ra AE = HE (1)
Tam giác EHC có ( EHC = 90
0

) => EC > EH (2) (cạnh huyền trong tam giác vuông
) từ (1) và (2) ta có EC > AE
Bài 6 : Cho ABC vuông ở A, AB = 3 cm ; AC = 4 cm. Phân giác góc B, góc C cắt nhau tại
O. Và OE AB ; OF AC.
a) Chứng minh rằng AB + AC BC = 2AE.
b) Tính khoảng cách từ O tới các cạnh của ABC.
c) Tính OA, OB, OC.
E
F
D
O
A
C
B
Đáp án
Vẽ hình ,ghi GT, KL
a) Chứng minh đợc AB + AC BC = 2AE
b) Tính đợc BC = 5 cm,
Tính đợc AE = 1 cm,
Tính OE = AE = OF = 1 cm,
c) Tính đợc BE = 2 cm , CF = 3 cm ,
Tính OA =
2
cm
OB =
5
cm
OC =
10
cm

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở C có góc A bằng 60
o
. Tia phân giác của góc BAC
cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc với AB ( K

AB ). Kẻ BD vuông góc với tia AE ( D

tia AE ).
Chứng minh:
a) AC = AK.
b) AE là đờng trung trực của đoạn thẳng CK.
c) KA = KB.
d) AC < EB
Đáp án
* Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận:
a) Cm :

ACE =

AKE

AC = AK và EK = EC (cạnh tơng ứng)
b) Theo chứng minh trên ta có:
AC = AK v EC = EK

AE là đờng trung trực của đoạn thẳng CK
c) Cm :

EAB cân tại E
Trong tam giác EAB cân nên EK cũng là đờng trung tuyến


KA = KB
d) Trong tam giác vuông ACE tại C có: AC < AE,
mà AE = EB

AC < EB
A
B
C
D
E
K