Chương 23: THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI
V
ỚI KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM
Một thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm là
m
ột thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có các
thành phần nội lực là: Các mô men uốn M
x
, M
y
và lực dọc N
z
(không
xét đến lực cắt).
Ví như ống khói vừa chị
u uốn do tác dụng của gió, vừa chịu
nén do tr
ọng lượng bản thân, hoặc cột chống cầu treo khi chịu sức
căng
của dây treo không thẳng góc trục thanh, thành phần thẳng
góc trục thanh gây ra uốn, thành phần theo phương trục thanh gây
ra nén
7.4. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG.
Giả sử trên mặt cắt ngang nào đó của thanh chịu uốn đồng
thời với kéo (hay nén)
đúng tâm có các thành phần nội lực: M
x
, M
y
và N
z

.
Theo nguyên lý
độc lập tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm
b
ất kỳ (x, y) thuộc
mặt cắt
ngang là :
 
M
x
y

M
y
x

N
z
(7-13)
J
x
J
y
F
D
ấu của M
x
, M
y
như qui ước trong uốn

xiên.
Để tranh nhầm lẫn, ta dùng công thức:
  
| M
x
|
| y |

| M
y
|
|
x |

| N
z
|
(7-14)
J
x
J
y
F
Vi
ệc chọn dấu trước mỗi số hạng tùy theo các thành phần nội
lực tương ứng gây
nên ứng suất kéo hay nén tại điểm (x, y).
*
Ví dụ 5: Tính ứng suất pháp tại các
điểm góc A, B, C, D trên mặt cắt ngang chữ

nhật chịu lực như hình 7.8.
V
ới M
x
= 2,4 kNm, M
y
= 1,5 kNm,
N
z
= 60 kN. Kích th
ước mặt cắt ngang hình
ch
ữ nhật 12

20 (cm
2
).
Bài giải:
+





A
M
x B
O
x
N

z
M
y
D C
147
z
+

y
+



Hình 7.8: Tính
ứng su
ấ
t
148
3
Ta
có:
J

12
 20
x
12
 8.000cm
3
3

J

20 
(12)
y
12
 2880cm
3
(L
ực dọc N
Z
gây ra ứng suất kéo trên toàn mặt cắt)
2,4 10
2
10
1,5
10
2
 6 60

A
 

 
8000
288
0

12  20
 0,2625 KN / cm

2
2 2

B
 
2,4
10
800
0

10

1,5 10
 6
2880

60
12
 20
  0,3625 KN / cm
2

C
= 0,3 - 0,3125 + 0,25 = 0,2375 KN/cm
2

D
= 0,3 + 0,3125 + 0,25 = 0,6825 KN/cm
2
T

ại điểm D ba thành phần nội lực đều gây ra kéo nên ở đây có
giá trị  lớn nhất.
7.5. THANH CHỊU KÉO (HAY NÉN) LỆCH TÂM .
1.Định nghĩa: Một thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là một
thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có một thành
ph
ần lực song song với trục thanh nhưng điểm đặt lực nằm ngoài
tr
ọng tâm của mặt cắt đó.
Ví như trường hợp chịu lực của một cần cẩu cố định. Các lực
đặt
lên cần cẩu là những lực song song với trục giá cần cẩu, hợp lực
của chúng phải là một lực nào đó song song trục giá (hình 7.9a)
ho
ặc là bulông lệch tâm (hình 7.9b).
Ta th
ấy rằng thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là trường hợp
đặc
biệt của thanh
e
P
149
P
x x
c
e
y
C
c
z

N
a b
y
Hì
)
nh 7.9: Ví
d
ụ v
ề
)
l
ệ
ch
tâm
Hình
7.10:S
ơ
đồ
bài toán
l
ệ
ch
tâ
m
chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm. Thật vậy ví như
trên hình 7.10, tại điểm
C lệch tâm có một lực N song song với trục z tác dụng. Nếu
chuyển N về trọng tâm O
c
ủa mặt cắt ngang ta sẽ được:

- L
ực dọc đúng tâm N
Z
= N
- Mô men u
ốn M = Ne
150
Như vậy, chúng ta đã đưa bài toán thanh chịu kéo (hay nén)
l
ệch tâm về bài toán chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng
tâm. Mặt phẳng tác dụng của mô men uốn M cắt ngang theo đường
OC. Gi
ống như trong uốn xiên OC là đường tải trọng.
Chúng ta phân tích M ra 2 thành ph
ần: Mô men uốn quay
quanh tr
ục x và quay quanh trục y:
M M
x
= M sin
 = Ne sin = N
yc
= M
x
M
y
= M cos
 = Ne cos = N
yc
= M

y
2.Điều kiện bền: Nói chung, đối với thanh chịu uốn đồng thời
với kéo (hay nén) đúng tâm, hay thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm,
điều kiện bền là:
*
Đối với thanh bằng vật liệu giòn:

max




K
;

mi
n



n
* Đối với thanh bằng vật liệu
dẻo:
max

Z

 

* Nếu mặt cắt ngang của thanh có dạng đối xứng cả hai trục

n
hư mặt cắt chữ nhật, chữ I hay hai chữ I ghép lại: , I, II, thì:
M
x
M
y

max


W
x
W
y
M
x
M
y

min
 

W
x
W
y

N
z
F


N
z
F
(7-15a)
(7-15b)
nén
.
Trong
đó số hạng thứ ba lấy dấu (+) ,khi N
Z
là lực kéo và
d
ấu (-) khi, N
Z
là lực
* Ví dụ 6: Kiểm tra sức chịu lực của đất dưới móng máy, biết
r
ằng áp suất lớn nhất
mà
đất có thể chịu được là 20 N/cm
2
. Trọng lượng P của máy =
80kN và
được đặt ở điểm
C(0.2,0.1) . Tr
ọng lượng riêng của móng máy  = 25 KN/m
3
(xem
hình 7.11).

Bài giải: Đối với bài toán này,
chúng ta th
ấy ngoài P còn có R tr
ọng
z
P
151
1,2
m
2m
C
lượng của toàn móng máy,
nên ta gi
ải như thanh chịu
u
ốn đồng thời và nén đúng
tâm.
R
Xét mặt cắt ngang ở đáy móng
ti
ếp xúc nền đất. Nội lực trên
m
ặt cắt ngang này là:
N
z
= -(P+R)
2m
= -80-25

2


1,2

2
y
= -200kN (a)
B
y
Lực -P gây ta uốn:
M
x
= -Py
C
= -80

0,1= -8kNm
(làm c
ăng các thớ về
phía âm của trục y, M
x
<0)
M
y
= P
x
c
= -80  0,2
= -16 kNm làm
căng phía âm
của trục x, M

y
< 0.
(x=4,
A
17)
Đường
trung
hoà
x
x
c
2m
(y=

3)
Hình 7.11: Ví dụ
v
ề
nén
l
ệ
ch tâm
152
3
y
3
ta
có:
Khi xác
định được M

x
, M
y
,N
z
thì căn cứ vào biểu thức xác
định đường trung hoà
N M
M
y
200 8 16
 
z

x
 y 


x
 

 
y



x  0
F J
x
J

y
2

1,2
0,28
8
0,8
Trong đó, ta
tính:
J

2

1,2
x
12
 0,288m
4
; J

1,2

2
12
 0,8m
4
Tư đây ta xác định được đường trung hoà như
trong hình 7.11. Bây giờ ta tính ứng suất tại
góc A và B:


A
 

M
x
M
y
max
 

W W

N
z
F

800
2

1,2
2

16
1,2

2
2

200
1,2

 2


46,6KN
/
m
2
x y
6
6
= -4, 66 N/cm
2
 M
M
y
N

B
=

min
= -

B
 

min


x

 

W
x
W
y
z
 12N / cm
2
F
|

A
| < |

B
| < 20 N/cm
2
.
V
ậy đất dưới đáy móng chịu được áp lực do P và R tác dụng.
7.6. KHÁI NIỆM VỀ LÕI CỦA MẶT CẮT NGANG
7.6.1. Đường trung hòa trong kéo
(nén) l
ệch tâm:
Những điểm trên đường trung hòa dĩ nhiên có giá trị ứng
su
ất bằng không (theo
định nghĩa), cho nên từ biểu thức (7-13) chúng ta cho vế phải
bằng 0 thì sẽ tìm được

đường trung
hòa:
M
x
 y 
M
y

x 
N
z
 0
(a)
J
x
J
y
F
Trong tr
ường hợp riêng (kéo hoặc nén lệch tâm) thì (a) sẽ là:
N.y
c
 y 

N.x
c
 x 
N
 0
153

x
r
r
r

(b)
J
x
J
y
F
Chia t
ất cả
cho
N
ta được: 1 
y
c
 y

x
c
 x
 0
(c)
F
Ta đã biết
J
x
F

J
x

r
2
; F
J
y
F
J
y
2
F
y
T
ừ (c) => 1 
y
c
 y

x
c
 x
 0
(d)
2 2
x y
N
ếu
đặt

r
2 a 


y
x
c
r
2
; b


x
y
c
(7-16)
154
x
c
Cuối cùng đường trung hòa
có d
ạng:
x

y

1
(7-17)
a b
Giá tr

ị a và b là hoành độ và tung độ trên trục hoành và trục
tung mà đường trung hòa đi qua nó.
Đường trung hòa trong kéo (nén) lệch tâm có những tính chất
sau:
1-
Đường trung hòa không phụ thuộc vào giá trị của lực, mà
ch
ỉ phụ thuộc tọa độ của điểm đặt lực, đường trung hòa và điểm
đặt
lực luôn luôn nằm trong các góc phần tư đối đỉnh qua gốc tọa
độ (v
ì a, b bao giờ cũng ngược dấu với x
c
và y
c
, hình 17.12a).
2- N
ếu điểm đặt lực nằm trên trục x thì y
c
=0, do đó b = ;
có ngh
ĩa là đường trung hòa nằm song song với trục y và ngược lại.
3- Khi điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng không
qua g
ốc tọa độ, thì
đường trung hòa sẽ xoay quanh một điểm trên mặt phẳng của mặt
cắt ngang.
b
O
x

a
y
c
Đường
trung
x
P
do P
K
1
P O
C
x
O
2
C
1
C
Đường trung ho
2
à
C
do P
y
y
y
a)
b)
c)
Hình 7.12: Xác

đị
nh các tính chất
c
ủ
a
Điều này được chứng minh trên h
ờ
ình 7.12b, trong đó ta giả sử
điể
m đặt lực C di
chuy
ển trên đường thẳng  và rõ ràng lực P có thể phân thành hai
thành ph
ần theo hệ lực song song P
1
và P
2
mà các điểm đặt lực
c
ủa nó nằm trên trục x là C
1
và trục y là C
2
. Đường trung hoà
155
tương ứng với lực P
1
sẽ song song với trục y và vị trí đường trung
hoà này
đã xác địn. Hai đường trung hoà này giao nhau tại điểm K.

Chúng ta chú ý m
ột điểm tại điểm K, thì ứng suất do P gây ra cũng
bằng không (vì theo nguyên lí cọng tác dụng thì ứng suất tại K do
P gây ra c
ũng là bằng tổng ứng suất gây ra tại đó do P
1
và P
2
sinh ra bằng 0. Vậy điểm K cũng là điểm đi qua đường trung hoà
ứng với lực P tác dụng. Đến đây ta có thể nói các đường trung hoà
đều xoay quanh điểm K khi điểm đặt lực chạy trên đường thẳng ,
xem hình 7.12b.
4-N
ếu điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng đi qua
g
ốc toạ độ (hình
7.12c), thì
đường trung hoà sẽ dịch chuyển song song với chính nó.
N
ếu điểm đặt lực C tiến gần về gốc toạ độ O, thì đường trung hoà
s
ẽ lùi ra xa và ngược lại nếu điểm C lùi xa thì đường trung hoà sẽ
tiến gần về gốc toạ độ O.Ta chứng minh điều này:
156


x
2
h
/

2
Điểm đặt lực C di chuyển trên đường thẳng qua gốc toạ độ, thì
theo toán h
ọc ta có
:
y
c
 const .Bây giờ chúng ta xét về đường trung hoà.
x
c
C
ăn cứ vào (7-16), ta
l
ập tỉ số:
b
r
2
2

x
c
 const
vì
r
2
x
 const
a r
y
y

c
r
y
Điều này chứng tỏ các đường trung hoà sẽ song song với
nhau. M
ặt khác cũng từ (7-16) ta thấy rằng: nếu giá trị tuyệt đối
x
x
, y
c
càng nhỏ (điểm C gần gốc O) thì b và a càng lớn, tức là
đường trung hoà xa gốc O và ngược lại. Cũng từ tính chất này ta
tìm m
ột vị trí nào đó của điểm đặt lực C
*
để có đường trung hoà
ti
ếp xúc với chu vi mặt cắt, khi điểm đặt lực nằm trong đoạn OC
*
thì
đường trung hoà sẽ nằm chu vi mặt cắt ngang.
Những tính chất trên rất quan trọng trong thực tế như việc xác
đị
nh lõi của mặt cắt mà ta sẽ trình bày sau.
7.6.2. Lõi của mặt cắt ngang:
* Trong các công trình xây dựng, thủy lợi, cơ khí chúng ta
th
ường gặp những vật liệu chủ yếu chỉ chịu được lực nén, chịu kéo
r
ất kém như nền đất ở nơi tiếp giáp giữa móng và nền. Vì vậy trong

khi thi
ết kế các công trình chịu nén lệch tâm, ta phải xác định vị trí
c
ủa điểm đặt lực sao cho trên mặt cắt ngang chỉ chịu ứng suất nén,
ngh
ĩa là đường trung hòa do tải trọng sinh ra không cắt qua mặt cắt
ngang (trên m
ặt cắt ngang chỉ chịu một loại ứng suất nén). Như
phần trên ta đã biết, vị trí của đường trung hòa phụ thuộc vào điểm
đặt
lực, cho nên để thỏa mãn điều kiện đã nói thì điểm đặt lực C
ph
ải ở trong vùng nén đó bao quanh trọng tâm của mặt cắt ngang.
Mi
ền diện tích ấy được gọi là lõi của mặt cắt ngang.
* Lõi của mặt cắt ngang được xác định như sau:
- V
ẽ một số đường trung hòa
ti
ếp xúc với chu vi mặt cắt ngang. Vị
trí các đường trung hòa này được xác
định bởi các tọa độ gốc a
i
, b
i
tương
ứ
ng. Với mỗi một đường, ta xác định
được tọa độ điểm đặt
lực (x

ci,
y
ci
) tương
ứ
ng theo (7-16):
157
h/
2
b
b
/2
/
2
A B
Đường
1
trung
x
ci
r
y
  ;
a
i
y
ci
 
r
x

b
i
(7-
18)
2

2


1
ho
à
x
lõi
.
- Nối các điểm đặt lực C
i
ta được chu vi của
- Chú ý:
Đường trung hòa chỉ được tiếp xúc
D C
với chu vi chứ không được cắt mặt cắt
ngang, cho nên dù mặt cắt ngang có là
đa giác lồi hay lõm thì lõi cũng là một
đa giác lồi.
* Lõi của một số mặt cắt
thường gặp:
1- Lõi của hình chữ nhật (hình
7.13
)

y
Hình 7.13: Xác
đị
nh lõi
h
Cho
đường trung hòa tiếp xúc với cạnh AB ta có: a
1
=  ;
b
1
=


2
158
r
Tọa độ của điểm đặt lực C
1
(điểm 1) tương ứng là:
x
c1
=



r
2 2
h
y


0
; y
c1
= 
y
 

a
1
b
1
6
Tương tự ta cho đường trung hòa trùng với AD thì:
b
V
ậy tọa độ điểm
C
2
sẽ là:
a
2
=





r
2

va
ì
2
b
2
b
2
 




b
r
2
x
c 2



y
 

; y
c2
= 
x
 0
b
a

2
12b
6
2
2
Do tính chất đối xứng nên các điểm 1' và 2' dễ dàng xác
định. Cuối cùng ta nối
122'1' ta được lõi của nó.
2- Lõi m
ặt cắt hình vành khăn: Lõi sẽ là hình tròn có bán
kính (hình 7.14a):
r
r
r
R
x
R
x
Đường
trung
hoà
Đường
trung
hoà
y
y
a
b)
Hình 7.14
)

: Lõi của mặt cắt tròn
r


R
(1


2
)
;
V
ới  =
4
r
(r: bán kính trong; R: bán kính
ngoài)
R
Nếu là hình tròn đặc ta cho r= 0, thì rõ ràng lõi cũng là 1
hình tròn có bán kính
r'=
R
(xem hình 7.14b).
4
3- Lõi mặt cắt chữ I, xem hình 7.15.
159
Cũng tương tự như cách xác định các lõi của những hình
trên, ta có các
đường trung hòa trùng với AB, BC, CD và DA ta
s

ẽ xác định 4 điểm giới hạn của lõi và nối lại là những đa giác
lồi.