,
ApdVng
7
TrtrOng
tren
tr\lc
Khi
d6,
ta
thu
dm;rc
:
cua
m(it rna
mang
di~n
Tfnh lru(mg I(lO ra btri m(jt dia ban kinh
R,
mang m(ll
d(J
dif.n
m(1t
a =
cte,
t(1,i
m(jt diem
eren
tr{1C
coo.
no.
a

[1
0]
cos
2so
Tf\lc cila dla
la
mOt
tn.Ie
tron xoay eila phan b6
di~n
tich.
T!}i
mot
di~m
M cila
tn.Ie
nay,
trucmg
phili
bat
bi(~n
doi vai phep quay xung quanh
tn.Ic
tron xoay,
v~y
E
(M)
=
Erru(.i
z

.
Han
nua, tai diem doi
x(mg
eila M
d6i
vai
m~j.t
phfulg
eila dla,
ta
se
e6 :
V6i eae
kf
hi~u
eila hinh 20, thanh phan
trl,lC
eila
tn.rOng
t{li
M
la
:
Etr~c(
-z)
=
-Etr~c(z)
I
e a ds

di~u
nay
eilo
phep
ta
viet
mOt
bi(!.u
thuc
cua
Etruc(z)
c6
gHi.
trj
vai moi dau eua z (hlnh 21) :
Errf./c
(z)
:=
2
cos
a .
. a=O
4m::o
r
. 2trz
2
sinada
val ds = 2n z tanad(ztana) =

Etn,tc(z)

a dau(z)
[1-
Izi
].
2"'0
~R2
+
va r =
-"'-
(v6i z >
0)
cosa
Hinh 20.
4.3.
Cae
phep doi xUng
bQi
eos
3
a
• neu z < 0, Etn;lc
Hinh 21.
Cae truong
ilQ'p
nay toong ung
v6i
nhieu phep
d6i
x(mg
CO'

ban.
TI1U9c
ve
tnn'mg
hllP
nay eon c6 cae phan
b6
bat bien doi
v(ri
phep tjnh
tien
song song
v(ri
mot
trl,le
hoac tron xoay xung quanh
mOt
tn.Ic.
Ta
hay
neu them hai
tnn.'mg
hQP
doi
x(mg
eao
rna
ta
se
trlnh bay nhu S\l

ap
dl,lng
trl,lC
tiep eua
vi~e
sir
dl,ll1g
cae tinll eMt doi
x(mg
CO'
ban :
•
trt.n'm.g
eila mot pilan bo e6 tinh doi xung
trl,l,
tn.Ie
(Oz)
(Sl.!
phan ph6i
di~n
tich chi
la
ham
cila khoang each
Wi
tn.Ie
(Oz»
trong
toa
dO

tn.I,
e6
d\lllg
E (r,
(),
;::)
=
E(r)
e
r
.
•
truOllg
ella
mOt
phiin bo c6 tinh doi
x(mg
cau tam
0,
trong
toa
dO
cau,
e6
di;lng
E (r,
(),
rp)
=
E(r)

e
r
.
~f)~
luy~n
t~p
: BT 3 va
4.
30
f)1€U
CAN
CHI
NHO
•
efNH
LU~
T COULOMB
Ll.fc
COULOMB, lve
tlID'ng
lac tinh
di~n
do
di~n
tich ql
bie
d1;lng
len
difn
tich

q2
(hai
di~n
tich
d~t
trong
chan
khOng) bhng :
f
~
-
ql
q2
el~2
1
2-
~
41£1;;0
(M
1
M2)2
""
? " "
-'
• TRUONG CUA MQT PHAN
BO
• Truo-ng tinh
di~n
E
~i

M
tl;10
ra
b&i
cac
di~n
tich khac nbau
qi
nlim
tl;li
cac
dii!m
Pi
cho
ooi:
- _ 1
~
PM
E(qj,i=I

N)(r)=-4-£ J
qi
-
I
-3·
1£1;;0
i=1
~M
•
Ph

an
b6
theo
th~
tich :
E<llJ
(M)
=
_1_
SIT
p (P)
P~
dt.
41£1;;0
J<llJ
PM

lSI
PM
•
Phan
b6
theo be
m~it
:
E'!lJ
(M)
=

C'5

(P) 3
dS.
4m;o
'!lJ
PM.
•
Phan
bo
theo chieu dai :
E<llJ(M)
=
-l-f
/.(P)
p~
dl.
41t!>0
<llJ
PM
•
Trwng
Hnh
difn
coa
m~t
philn
bO
di~n
tich
9lJ
cho

boo
:
E<llJ(M)=_l_2:dq
ep~M
=_l-2:dqp
PM.
41£1;;0
Pe<llJ
p
PM
2
41£1;;0
PM
3
if
,
, '"
?

• CAC TINH
eOI
XlTNG CUA TRUONG
•
Trwng
Hnh
di~n
hI
mQt
d6i tmrng
ba

chieu co Hnh chilt d6i
xwg
coa
m(lt
vectO'
cve hay
vectO'
"thve
slf".
• Doi
xling
phting
Tren
m~t
m~t
phang
•
gm:rng
D coa
mQt
phan
bO
di~n
tich
9lJ,
truO'ng tinh
di~n
tl;10
ra
song

song
vo;
m~t
phA.ng
D.
Tl;li
cac
di~m
M va
M'
doi
xwg
qua
mQt
m~it
phiing •
glID'ng
D
coa
m~t
phan
bo
di~n
tich
9lJ,
cac
trwng
tinh
di~n
E va

E'
la doi
xwg
vui nhau.
• Ph/m
doi
xling
phting
Tren
mvt
m~t
phiing •
pMn
glID'ng
n *
coa
m~t
philn
bO
di~n
tich
9lJ,
trmmg
Hnh
di~n
tl;10
• *
ra
vuong g6c vo;
m~t

phiing n .
• *
Tl;1i
dit!m
M'
doi
xwg
vui M
qua
m~t
phang •
pMn
goong n coa
mQt
phan
b6
di~n
tich
9lJ,
trmmg tinb
di~n
E'
la vecby doi coa
vectO'
doi
xwg
coa
trwng
E
tl;10

ra
ooi
pMn
b6
tI;li
M.
Bai tc)p
, "
'"

Ar
DUNG
TRUC
TIEr
HAl
GIANG
1 TruOng
t~o
ra
bOi
m¢t
do~n
dai
tfeh
di~n
1) Thill tru6ng
t<,ti
mOt
di~m
M

co
toa
dO
trv
(r,
B,
z),
t<,to
fa
b&i
mOt
do<,tn
cua
trvc (Oz),
c6
m~H
dO
di~n
diU
deu
A,
bao
ham
giO'a
cae
di~m
PI va P
2
c6
cac

hoanh
dO
zi
va
z2'
dUQ'C
xac dinh vi tri boi
cae
goc
/31
va
/32'
2)
Bi~n
Juan tru6ng
hQ'P
day
thing
vo
h<,tn
tich
di~n
deu.
2 Truong
t~o
ra
t~i
tam ella m¢t qua e8u
tfeh
di~n

Gia sil nguUi
ta
co
th~
tich
di~n
cho
mOt
qua cau tam 0
v6i
~t
dO
di~n
m\it
a=
a 0 cosO (toa
dO
cau
tn,Ic
(Oz)
v6i goc
t<;li
0).
Hoi gia
tri
truUng cua
n6
t(,li
di~m
0.

3
Truong ella
m¢t
phan
bo
co
tfnh doi
xung
trl,l
Hay
chi
fO
hinh
d<;lng
cua
tru6ng
t<,to
fa boi
mOt
pMn
bo
c6
tinh doi x(mg trv trvc (Oz).
4 Truong ella m¢t phan
bo
co
tfnh doi
xung e8u
Cflng
diu

hoi tren doi v6i
mOt
pMn
bo
co
tinh doi
xung
cau
t<;li
tam
O.
5 Tfnh doi xung
va
tfnh bat bien
Cho
mOt
m~t
phing
dUQ'c
xac
dinh
b&i
cac
trvc (Ox)
va (Oy).
MOt
di~n
tich q
d~t
t<;li

P
t<,to
fa
t<,ti
M
mOt
tru6ng tInh
di~n
E.
Ta
hay
thl,l'C
hi~n
cung
mOt
pMp
bi(!'n
d6i
cho
cac
di~m
P va M.
Hay
nghien
cUu
tru6ng E trong
pMp
bien d6i nay,
trong
cac

tru6ng
hQ'P
sau :
,
,
\
\
\
\
\
Trwng
hQ'p
1
Trwng
hQ'p
2
Trwng
hQ'p
3
Trwng
hQ'p
4
y

,,'

_
,
,-
,

""
"

_ ,,'
P,M
tinh tien
P,M
quay
g6c
a
~
~
P,M
doi x(mg
qua
(yOz)
~
P,M
doi x(mg qua 0
~
x
f1,
Ml
P
2
,
M2
P
3
,

M3
P
4
,
M4
6 Truong
t~o
ra
bai m¢t qua e8u tfeh
di~n
deu
trem
be
m~U
Cho
mOt
qua
cau
tam
0 ;
ban
kinh a mang
di~n
tich
dUQ'c
pilan phoi
deu
tren
be
m~t

(mat
dO
di~n
m~t
a).
1) Sil d\mg
cac
nhan
xet
ve tinh d6i x(mg,
hay
xac
dilill tru6ng
cua
qua
cau
t<,ti
tam
O.
2) Hay
nghien
cUu
tru6ng E (sv dinh hu6ng va
cac
thong
so
rna
no
ph\!
tllUOC)

t<,ti
moi
di~m
trong
khong gian.
7 TruOng ella m¢t
m~t
bang (dai)
tfeh
di~n
MOt
bang
c6
be
m~t
vo
h<,tn,
dU'Q'C
rna
ta tren
sa
do,
mang
mat
dO
di~n
m~t
deu
a 0 •
Hay

tinh tru6ng tInh
di~n
t<,to
fa
boi bang
t<,ti
di~mM(O,
0,
z).
8 TnIOng
t~o
ra
bai
mQt
yang
t~i
mQt
diem tren
tr\Jc
cua
n6
Cho
mN
vang day hinh tron ban kinh R
tn,le
(Oz)
mang
mOt
m~t
dO

dien dai khang
dOi
Iv.
M
Hay tinh truong tllo ra
bOi
pban b6
di~n
Heh
nay
tili
m(H
diem M tren
tn,le
ella no.
""
",,'''',
VAN
DUNG
VON
KIEN
THU(
9 TruOng
t~o
ra bai
mQt
dia
t~i
mQt
dil~m

tren
tr\Jc
cua n6.
B~ll1g
each sir d\lng cae ket qua clla bai tap 8 (vong
tich
di~n),
hay tim lai truOng
tilo
ra
bOi
mOt
dia ban
kfnh R mang
m~t
dQ
di~n
m~t
deu
a,
t\ti
mOt
di~m
M
tren
tn,lc
clla no.
1
OTrucmg
t~o

ra
bai
mQt
dia
t~i
mQt
diem
trEm
tr\Jc
cua n6
Hay tim
l~i
tnrong t\to ra
bOi
mN
dia ban kfnh R
\
mang
m~t
dO
di~n
mat deu a,
tId
mOL
diem
M tren
tn,lc cua
n6, bang eaeh sir d\lng cae g6c
d;)c.
11

TruOng
t~i
tam cua
mQt
I~p
phuong
Cho
mOt
lap plurong
qUUl
a,
rna cae mat
ABeD
va
A'B'CD'
mang cae mat
dO
di~n
mat doi
xUng
a va
-(J.
Hay tilm
tru'Ong
t\ti
tam
eua lap phmmg.
3 .
DI€N
TV

HOC
1
B
B'
_1 ::>1
cr
1 2 Truong
t~o
ra
t~i
tam cua
mQt
qua cau
tich
di~n
mQt
phan
Tinh tnrbng tao
ra
bOi
mOt
qua cau ban kinh
R,
mang mat
dO
di~n
mat
phan bo deu tren
be
mat

ella no nam gifia
hai
m~.t
phi\ng
co
dO
cao
Zl
va
Z2
-; ~ +

y
(-R
~
Zl
~
Z
~
Z2
~
R),
t~i
tam 0 ella cau. Hay tim
Ill!
tnrbng
hQp
ban
C:\U
tich

di~n
da gi\p trong ap
d\lng
2.
13
TruOng cua
mQt
chiec yang, m9t
nlIa tich
di~n
+
A,
m9t
"lIa
tich
di~n
am
-A,
trEm
tr\Jc
cua n6
MOt
ehicc vong ban kinh R, tam
0,
tr\le (Oz) mang
mat
dO
dien dai
A.
dau

(y),
A la
mOt
so
kh6ng
dOi.
Hay xac dinh hu6ng ella truOng tao ra
bOi
vang
tili
mOt
diem
Mella
tr\lc (Oz). Tinh tnrbng
tili
diem
M.
y
1 4 Phuong trinh cua
mQt
dUOng
suc
truOng cho m¢t
t~p
hgp cac
di~n
tich
N
(1i/:n
tich

%,

,
qN
dU'Q'c
phan b6 tren tr\le (Oz).
ChUng
to
ding phmmg trinh clla
mOt
duOl1g
sue
tru'Ong
c6
d~ng
:
N
Lqi
cosei cte
i=I
trong
do
cac g6c e i
dU'Q'c
xac
dinh tren
sa
do
sau
:

I
,
I
I
1 5
Cae
duang
SLfe
truang
ella
mQt
h{!
hai
di{!n tieh
cling
dau
Hai dien tich diem
ql
va
q2
cling dau
dU'Q'c
d~l
t9i
A
va
B
tr~n
tl1)C
(Oz) c6 hoanh

dO
Ian
lU'qt
Ia
D
va
-D.
G6c
0
dU'Q'c
chon
la
diem
gifra
clla A
va
B.
MOt
vai
dU'ang
suc tmang clla M nay
dU'Q'c
mO
ta
tren
SO'
do
a.
Chung
dU'Q'c

ve
cho tmang
hQ'P
q2
3q1'
Trang
m!1t
ph:ing
cua So'
do
b,
phU'O'flg
trlnh
cua
duOng
sUe
truOng
c6 d
9
ng
ql
cosO]
+
q2
cos0
2
= cte
(x.
bill
t!lp

14).
Hay
giai
thich
t(li
sao
cac
duOng
sUe
truOng
l(li
nh!ln
mOt
phU'O'flg
liem
c!ln
0
vo
cung.
Ta
se
ki
hi~u
0
0
Iii
giao
diem
clla
ti~m

c!ln
v6i
tl1)C
(AB).
y
I

b)
I
I
,
,
,

I
,
,
,
,
.,
I
I
I
I
I
Ti~m
e~neu8
I
I
(llIilng

sue
t,"ilng /
\/
I
I
I
B
I
I
;r
112(-10)
0,
ql (+10)

-"


•
o.
• •
x •
x.
Ta quan tam den
mOt
duang suc lruang xuat pMt tll A
t9i
d6
n6
hQ'P
vai

tl1)C
(AB)
mOt
g6c
a.
Hay
xiic
dinh
g6c 0 a
hQ'P
boi
ti~m
c!ln
(a
khoang cach Ian) cua
duOng
sUe
nay
vai
lfl,lC
(Ox). Suy
ra
g6c
0L
d~c
trung cho giai
h9n
ngan cach cac
dU'ang
suc tnrang

xuat phat
lll'
A
va
cac duang
suc
tmang xuat pMt
tll
B, 0 khoang cach Ian.
Th1,1'c
hien
51,1'
iip
dl,!ng
bfing
s6
d6i
vai tmang
hQ'P
da
mO
phong va kiem
lai
giii
tr!
nay tren hlnh
ve.
ChUng
to
ding

mQi
duOng
tiem
c!ln
deu edt
nhau
[\11
cling
mOt
diem, nghla
la
diem 0
0
kMng
phI,!
thui.
1
c
VaG
O.
Hlly
giiii
thich ket qua
nay.
U11
61AI
1
1)
Trur'mg
I{lO

ra
l{lf
M bijj
m(jl
phiin
Illcua
day
dlU
dz,
co
vi
tri
xac
d/nh
biH
a,
la
m(jt
phin
III
dlli
dE
:
d
E

_1_
1dz
(cosa,c
r

sina.c
z
)
(M)
/\-
?
4lrBO
d-
VPy
lroong
l{ii
M nim
trong
mit
phing
(OM,
Oz),
va
la
co
:
- 1
JZ2
(cosa.e
r
-sina.e_)
E(M)

Adz
'

4Jrlio
Zl
d
2
vai
dz
=
d(r
Ian
a)
rda
vad
cos
2
a
cosa
r
Khi
do,
fa
dur,rc
:
E =
[_I_J'][(Sin
P
2
- sinp)
)e
r
+

(cosP
2
-
cosp)
)ezl
4lrBO
r
1)
Ta
thu
dur;rc
troong
h!!fJ
sr;ri
day
vo
h{ln
bing
cach
fiy giai
h{in
PI
liin
lai
-!!
va
P?
tin
lai!! ,
cUe

ia
E=_A-ef'
2 - 2 2lrBor
2
Phiin
b6
djen
tfch
ia
tron
xoay
xung
quanh
If!/C
(Oz).
rai
dim
o
thu9c
hai
m;it
phing
oJi
xUng
(xOy)
va
(YOz),
flIimg
ffnh
djen

phlH
song
song
vOi
hai
m;il
phing
nay.
vpy
song song
vOi
If!/c
(Oz).
M.al
phing
(xOy)
ciing
la
m(jt
m;il
phing
dr5i
xUng
cua
phiin
b6
di{:n
tfch
(thay
z

thanh
-z
tUe
la
thay
(}
thimh
lr
-
0).
rai
dim 0
thu9c
m~1
phing
d6i
xUng
nay,
tnJt'mg
einh
di{:n
phiii
song
song
vOi
m;il
phing
dO.
Nhll
vPy,

khOng
clin
tinh
loan,
ta
thu
dur;rc
E(
0) = 0 .
3
Hai
mil
phing
d6i
xUng
chUa
m¢t
diem
M : mit
piling
III
chUa
M
va
trjJc
(Oz)
la
m91
trjJc
dr5i

xUng
tron
xoay
ciia
phfm
b6,
va
mit phing
II
2
chUa
M
va
vuong
goe
vai
trjJc
(Oz).
A z
I
7ili
M,
Iruimg
E
song song
val
hal
mfjt
phling
niiy,

vfiy
fa
truimg
xuyen
tam.
Nghia
fii,
trong
cae
tpa
d(j
tn,J
:
S,r,O,
z)
S,r,O,
z)e
r
Phan
b6
fa
bit
bin
d6i
val
phep
tjnh
tlin
song song
ven

m)e
(Oz),
va
d6i
vai
phep
quay
xung
quanh
tn)e
(Oz),
ta
thu
dU'Q'C
hai
S!l
d(Jn
giiln
hoa
phV
:
- -
S,r,O,z) =
S,r,O)
=
E(r)e
r
4
Xet
hal

mfit
phing
vuong
gac
chUa
tlim
d6l
xUng
0
va
dle'm
M,
chUng
la
cae
mfjt
phing
d6i
xUng
eiia
phan
M
di~n
tfeh.
Cae
mfjt
phing
nay
chUa
trur'mg

t;ti
diem
M
Tir
do,
trong
cae
tpa
d(j
du,
ta
suyra:
E(r,O,rp)
=
E(r,O,rp)e
r
Phan
M
dii
la
bit
biin
val
mpi
phep
quay
co
trve
chUa
diem

0,
ta
thu
dlIf!e
:
-
E(r,0,
rp)
= S,r)e
r
.
Chuin
eiia
trwng
phv
lhu(je
r,
hwng
eiia
no
phV
thu(je
0
va
rp.
5
El
=E;
thu
dlIf!e

bing
phep
quay
E
m(jl
goe
a
quanh
(Oz)
;
E3
Iii
dOl
xling
eua
E
dtJ'i
vOi
(yOz);
-
E4
=-E
,
l'hu
f
ring
trwng E
ehju
eung
m(jt

phep
biin
dol
Y
\E;
.\M
2
.'"

~
x
6
1)
Mpi
mfit
phing
chUa
tam
0
eiia
qua
du
d~u
fa
m(jt
mfjt
phing
d6l
XUng
eua

cae
di~n
tieh.
Nhll
vfjy
E
mang
bin
giao
tuyin
eua
hal
milt
phing
nay,
a
day
phili
thu
v~
m(jt
diem,
til
do
E
phili
bing
khOng
({Ii
0.

2)
Ta
hay
nghien
eUv
truimg
E
({Ii
m(Jt
diem
M
trong
khong
gian.
Cae
phep
d6i
xUng
ella
cae
di~n
tich
d6i
1'01
mvt
m~t
phing
chUa
diim
Mia: tit

ca
cae
mit
phing
chUa
cae
diem
0
va
M
d~u
Ja
cae
mit
phing
d6i
xUng
clla
cae
#n
tieh.
E a
eac
giao
tuyin
ella
chUng
dU'Q'C
mang
hOi

OM,
vfjy
E =
Ee[.
PflCp
&5f
Xlmg
du
cila
cfle
di,en
tich
bu(Jc
truimg
nay
chi
ph!!
thu(Jc
vila
:
OM
=
r,
nghia
1i1
E =
E(r)
e
r
(Ta

se
con
thiyring
ngoaJ
ra
trwng
E
con
bing
khoIlg
t{li
mpl
diem
ben
trong
qua
du).,
7
•
Tim
51,1'
dinh
huang
cua
trucrng
Mit
phing
(xOz)
1a
m(jt

mit
phing
d6i
xUng
eiia
cae
di¢n
tieh,
vfiy
trwng
tinh
di~n
phai
nk
trong
mit
phing
nay.
Mit
phing
(yOz)
ding
lii
m(jt
milt
phing
d6i
xUng
di~n
tich.

vfjy
trwng
tinh
di¢n
ding
n§m
trong
mit
phing
nay.
Nhll
vfjy/,nlrJng
E
dlIf!C
mang
bin
giao
tuyin
ella
hai
mit
phing
nay
E=
Ez.e
z
.
Phan
M
di¢n

tfeh
1a
bit
bin
vai
phep
tjnh
tjin
thea
lrvc
(Ox)
:
trwng
nay
khOng
phv
thu(jc
van
x.
Vfjy
ta
co: E = Eiz)ez'
•
Tinh
trucrng
Ta
da
thiy
0-
baJ

ttip
I,
trur'mg
ella
m(jt
s(fi
day
vo
h{Jn
mang
mfjt
d(j
di¢n
dili
A
b§ng
E =
_A_c[.
Ta
hay
sit
d!!ng
kit
qua
nay
b§ng
21ls
o
r
each

phiin
tieh
diii
bang
thilnh
m(jt
day
lien
dip
cae
day
vo
h{Jn
wng
dy
mang
mfjt
d(J
di¢n
dai
nguyen
(6
dl
a
od
y,
nhll
da
chi
rO

tren
hi'nh
ve.
Hi'nh
cmiu
eila
truimg
nguyen
t6
nay
tren
ltVc
(Oz)
eho
/xJi
:
dE
- a
o
CDsa
d
y
z
2Jrs
o
r
B
'~
•
z,

( , d
da)
,
Jel
rang
r =

va
y =
ztana
tue y=
Z-,-
,tmong
COfa
cos
2
a
phm
tim
bJng:
1::
=~
r,.
ro;
2
a.!y=
0"0
(
da=~Lh
'-2

~Joo,rfq;
'J
__
.
Jlirfq;
~
I::iq;
"'''V
tihll
.1a
biiu
thi
gac
toan
phim
durJi
do
ta
nhin
bJ
r{Jng
cila
biing
tit
die'm
M.
"}-]'
-E'
(To
{a)_

iVg
11a
a:
=-areta
-
eZ'
1'(&0
z
•
Nghieml;ri
Thanh
phim
eila
tmiJng
thea
(Oy)
eho
IxJi
:
0"0 r sinady 0"0 r .
Ey
= Jb~n)ng =
Jb~rQngCofaslnada
21'(&
0
bang
r
21'(&0
bang
Lla

0"0
[Sin
2
a]+-2_
= -

-0.
21'(&
0 2 _ Lle:
2
8
p} &
R
•
Si!
d~ng
cac
phep
d6i
xfmg
Mpi
mjIt
ph§ng
chUa
trpe
(Oz)
(v~y
chUa
M)
]a

m(jt
~t
phing
dai
X(lllg
di~n
tich.
Vpy
tmiJng
mang
IxJi
tfllc
(Oz),
tit
do
E(z) Ez(z).e
z
•
Tinh
toan
lrui'mg
Xet
tnimg
hqJ
z
>0
:
tnimg
dE
t;1o

11l
tiJi
M
biJi
rn{X
di.en
6eh
nguyen
t6
A.cP.
mang
biJi
rn{X
phim
ttrW
dl
cila
vang
t;1i
diim
P,
cho
biJi
:
dE=
Adl
41'(&0
PM
Vay
phim

dong
gop
cila
no
fren
trpc
(Oz)]ll :
dE
=
Adl
COfa
z
41'(&0
r2
.
VOi
m¢
diim
P
cila
vang,
a
va
r
d€u
nhll
nhau,
tif
do
co

biiu
thl.rc
" , " h (
R)
cua
tmong
tong
(JJJ
r=

:
sma
E =
J 21'(R
COfa
= A
cow
sin
2
a
Z
41'(&0
r2
2Eo
R
A
zR
2Eo
~.
(;

+
K)2
Bitu
thl.rc
tren
ciing
dung
vOi
z < 0
(E~
<0
).
9
•
SiJ
d~ng
phep
d5i
xfmg
MOi
m~t
ph~ng
chfra
(Oz)
(v~y
chUa
di~m
M)
d6u
Iii

mot
m~t
ph~g
dbi
xfmg
di¢n
rich.
Yay
tJ'lllmg
mang
00i
ff\lC
(Oz)
:
B z)
Ez(z)e
z
.
•
Tinh
roan
tJ'lIImg
Xet
{mimg
h(JJJ
z>
0:
tmimg
eim
tim

1a
511
eh6ng
chit
eila
nhiJl1g
tmr'mg
nguyen
ta
tilo
ra
IxJi
cae
vang
co
eung
tfllC.
Cae
vang
nay
1a
eac
phim
di.en
{feh
nlIm
gilra
hai
vang
lIon

biJn
kinh
r
va
r +
dr.
Mat
d(J
dipn
d3i
tren
cae
vang
nay
bling
dJ
=
mir
(ta
ding
co
21'( r
dr.
0"
= 21'( r d
J ).
Biet
rling
tmimg
nguyen

t6
cua
m(jl
yang
ban
kinh
r
cho
IxJi
:
dA
zr
dE
z
=-·
>
2eo.
~.
(;
+(2)2
Ta
aa
tim
JiJi
dung
gia
tJi
cila
lmimg
:

neuz>O: E
z
~[I_,[IZ
I;
2£0 ; +K )
,,6,,<0
,;
-
2:,[1+
fz'~
)
10.
Sudl)ng
cae
phep
dbi
xfmg
Mpi
mjIt
ph§ng
chUa
lflle
(Oz)
(v~y
chUa
diim
M)
d€u
1a
m(jt

m;it
ph§ng
dai
xUl1g
dipn
ticb.
Vay
tmimg
mang
IxJi
tflle
(Oz)
:
Fii;
=
Ez(z)e
z
.
•
Tinh
toan
truimg
Xet
lmimg
h(JJJ
z >
0:
dE
tilO
ra

tpi
M
IxJi
di.en
tfeh
mis,
nlim
liJi
P,
eho
bOi:
r
M
V~y
ph§n
dong
gop
ella
n6
vilO
troong
&
tren
tn,le
b~ng
dEz=~
dS.c~sO
=~ctn.
4~co
r

4~co
vai
en,
Ill.
gae
d~c
dooi
d6
ta
nhln
ph§n
tiI
di~n
tich
d S
tlli
P
tlr
diim
M.
Tir
d6
E=~fl,
vai
0,
HI
goe
d~e
dooi
d6

ta
nhin
4~co
di~n
tich
clla
rna
tir
diim
M.
Bi~t
r~ng
goc
d~e
djnh
ra
ooi
ml)t
hlnh
chop
e6
niIa
goc
&
dinh
a bhg 0 =
2rr.(
1
coso.),
&

day:
z
eosa
~
l-
+
k-
.
Ta
I\li
thu
drn;rc
dung
gia
trj
ella
troong
:
,imO
E'=:,[1
0):
,
0"(
Z 1
neu
z <
0:
Ez = -
2c
o

1 +
~
l-
+
k-
.
11
Ta
xet
cae
m~t
phing
khac
nhau
qua
0 :
•
cac
m~t
ph~ng
dbi
Xlmg
di~n
tich
:
(xOy)
va
(yOz),
v~y
E

drn;rc
mang
b&i
giao
tuyen
clla
chung,
-
nghia
la
Eo
==
Ee
y
;
•
cac
m~t
ph!ng
philn
dbi
Xlmg
di~n
tich
:
(xOz),
E
dung
Iii
vuong

g6c
vai
m~1
phing
nay.
A
•
Tinh
gia
tri
ella
E
Ta
hay
tinh
trm'1ng
t~o
ra
bai
m~t
ABCD
t\li
0 : d E
t~o
ra
t~i
0
b&i
di~n
tich

adS,
n~m
tlli
P
cho
bCri
:
dE
O"dS
OM
V
,
h~
d' , ,
'b~
dE
0"
dScmu
O"-In
IlY,P
an
onggopeuano
ang
= :;:o w.&,
4~tO?
4JlG
o
v61
dO,
Ill.

g6c
d~e
duUi
do
ta
nhln
ph§n
tiI
di~n
tich
d S
tlr
diim
O.
Do
dbi
Xlmg,
trm'1ng
1\10
ra
bai
ABCD
ciing
bAng
trm'1ng
t\lO
ra
bai
A'B'C'D',
tfr

do
E =
~fl,
v61
0
Ill.
goe
d~e
dum
do
ta
2~co
nhin
di~n
tich
ABCD
tfr
diim
O.
Cilc
gac
d~e
dooi
chung
ta
nhin
6
m~t
cua
I~p

phoong
d~u
gibng
nhau.
Bi~t
rling
g6c
d~e
clla
toan
khong
gian
bAng
4rr.,
nen
trm'1ng
dn
tim
bAng
E:;:o
~
e
y
.
3c
o
12
·
Su
dl)ng

dlc
tinh
dbi
Xlmg
Diim 0
t1lU9c
v~
cac
m~t
ph~ng
d5i
Xlmg
(xOz)
va
(yOz)
ella
phiin
b6
di~n
tich:
truUng
dUQ'C
mang
tx'ri
tf\Ic
(Oz),
tUe
E (0)
=Ee
z

.
•
Tinh
toan
troong
Troong
e~n
tlm
Ill.
SI!
ch6ng
ch~p
clla
cae
trm'1ng
nguyen
t5
t!to
ra
bo-i
cae
vong
c6
eung
trl)c
(Oz).
Cac
vong
nay
la

cae
ph§n
di~n
tich,
tren
m~t
du,
djnh
ra
bai
khong
gian
(g6c
d~c
d
0)
n~m
giira
hai
hlnh
n6n
c6
ni.'ra
gac
0-
dinh
a
va
a +
da

(d
0 =
2rr.sinada).
M~t
dl)
di~n
dai
Iren
cac
vong
nay
b~ng
:
d.:t=O"R
ctn
=O"Rsinada
(taciingco
R
2
dfl.0"
2~Rd.:t).
2~
Bi~t
rfuJg
truUng
nguyen
t5
cua
mi)t
vang

ban
kinh
r =
Rsino:.
cho
tx'ri
:
d
d.:i
cosasin
2
a
2c
o
r
ta
thu
drn;rc
:
d E
z
=
-~cosasinada
=
-~d(sin2
a),
2co
4co
- 0"[4
-~L

E=
rJ.
e
z
·
4C
o
1\
Ifrd6
:
Cho
toim
bl)
qua
du
(-z)
=
Z2
=
R),
hiin
nhien
la
co
tfl!crng
bling
kh6ng
t~i
tam,
va

eho
mh
qua
du
(z)
0,
va
y
Z2
=
R)
ta
tim
I~i
duqe
:
-
HPJ
D
0"
-
e.
4c
z
o
1 3 .
SU
dt,mg
cae
tinh

d5i
xiing
M
thu(X
v~
m~t
phllng
phan
d5i
xiing
(xOz)
eua
philn
b6
di~n
lieh,
Tnl'lYng
t;ll
M,
vuong
goe
vOl
m~t
phllng
nay,
se
song song
vOl
(Oy):
£(Z)=E/zJl;


,
•
Tillh
(Oan
trUl)ng
.
GOl
Z
(z>
0)
ia
hoanh
do
eua
dj~m
M
danh
d~u
di~m
P
vi\ch
ra
chi~c
vong
nhu
Qa
chi
ro
tren

hlnh
ve
cua
d~
blri.
Phftn
dong
gop
ella
hai
nila
vang
iii
nhu
nhau
:
v~y
truimg
toan
phftn
btng
hai
lfuJ
ph~n
dOng
gop
theo
true
(
Oy)

Clla
nila
vong
rren.
P Adl
d~,
o~ ~~~ ~~~
d-t,
-dE
Phtn
dong
gop
clla
truimg
dEy =
dEy.l;y
do
mot
phfuJ
tu
diii
dl,
n~m
lili
P
(R
cos
0,
R
sin

0,
0),
mang
di~n
tieh
Adl,
b'ang
:
E
.
u
Ad!
ep~l'y'fy
"
P'?
,J
).
d
y(1Y1!= :2.
V01
.W
= K +
E-
o
4"'&0
PM
va
RsinO
PM
, ' ,

2»t
J"SIIl'
OdO ~.
Ta
thu
dUl)'c
E~
(lOOn
phfuI
!iIi
z):::.:

Jo
4&olM
0
7lEoPAf
1 4
H~
Iii
tron
xoay
xung
quanh
tlllC
(Oz)
va
cae
duimg
sue
lIlnmg

d~u
nllin
trong
cae
m!it
phAng
ehfra
true
tron
xoay
nhu
Iii
Ill~!
ph~ng
hinh
ve,
TruOng
tao
ra
t;ll
M,
co
t9a
dO
tru
r
va
z,
bOi
N

dien
tich
di~m
co
loa
dO
Zj
b1lng:
-
~
qj
sinOje
r
+cosOje
z
Ep,1J
L
'
2'
i=l
4"'&0
[I~
+(z-Zj)
1
V6i
Illot
dieh
chuy~n
nguyen
t6

dr
=
dI.e
r
+dze
z
d9C
theo
m0t
-
duimg
soc
tru\yng
dr
1\
E=::O
,
nghla
la
:
N
'Od
·JJdr N
rd
(
)d
_
'"
sm
i

z-
cOSv
j
'"
z-
z-
Zj
I
0-
L qj)
2
L qj
3
i=!
r
+(Z-
Zj)
i=!
2 2
,.
[I
+(Z-
z)
j2
1 N l
(z-z)
]
= _
'"
qd

J
IL
J !
1=1
0 ) -
[r
+(z-z)-]2
N
di~u
nllY
dam
bao
cho
kh
qua
Qa
yeu
du
L
qjd(cosO
j
)
0
i=1
1 5 a
khoang
each
l&n,
Ill\'lt
nguiJi

quan
sat
51'
chi
nhill
th~y
philn
b5
dum
d;mg
m\'lt
dien
tich
duy
nh~1
Q =
q]
+
q2
&
!
khoang
cach
(i
+
;)
i ,
sao
eho
die

duimg
soc
trmmg
khi
00
g'an
nhu
xu
yell
tam
va
ta
se
third
nh~
co
m0t
hu&ng
ti~m
c~n
(sau
nay
ta
se
th~y
s\l'tbn
tai
coa
m0t
tie-Ill

c~
khi
xi\(
dinh
di~m
0
0
,
)
Phoong
trinh
cua
duimg
soc
truimg
dang
xet
HI
:
ql
cosO
I
+
q}
eas0
2
ete=
q1
cosa +
q2'

a
kholmg
each
l&n
ql
cosOI
+ql
cos02
""
(q]
+q2
)cosO
a
.
vay
:
cosO
a
(qj +
q2)
Khi
gOc
a
VilCh
ra
khoang
[-1[ ;
"'},
thi
goc

e
bi~n
thien
trong
khoang
[-01.
;Od
vOl
cosO
L
Iqj
q21.
00
vOl
tlUI'mg
hap
da
roO
iqj
+q21
~
,
phong,
01.
=
arc
cos
(
~
) =

60°
.
Phoong
trinh
dtiOng
sin::
tru61lg
HI:
(z+D)
! =ql cosa+Q2'
'1
.,

[[4
+(z+Dt]2
Ti~m
can
nh~
m{Jt
phuong
trinh
e6
dang
r
:::
(z -
"0)
lane,
trong
do

7D
Ja
hoanh
d{J
ella
di~m
0
0
.
Thay
r
b1lng
bi~u
thoc
nay
vii
khai
tri~n
phtrung
trinh
tren
theo
mil
,1
0
cua
-,
la
UI)'C:
Z

B1lng
cach
dang
nh~t
cac
s5
hi\ng
b~c
khong,
ta
tIm
lili
dUl),e
giil
tri
eua
cose
dll
xae
d~nh.
Bay
gia
bling
each
dbng
nh~t
cae
s5
h~ng
h

Id
D(ql
q?)
V'
,,'
d"
0
t
eo
-,
ta
u()'c
2Q
= - .
ay
VI
tn
cua
Iem
0
Z
(%
+q2) , ,
khong
phu
thuPe
vao
goe
e.
K~t

qua
nay
la
kha
t1)'
nhien
: &
xa
hai
di~n
tich,
ngum
quan
sat
kham
pha
ra
moi
mrong
cit
gi5ng
v6i
tr1img
t~o
fa
bOi
mot
di~n
tich
Q =

ql
+
q2
d~t
tai
tam
tl
C\l'
cua
q]
va
q2'
1&"
THE
"""
1&
TINH
OlEN
-
Truong fInh a(en
eo
the
aU(lc
a(je trung
m(Jt
each
dun
gUm
nh&
m(Jt

ham
so
g9i
ia
the' tlnh
di~n
Vi~c
ch9n danh
tir
nay
se
aU(le
giai
thieh ro
bOi
ham
stf
nay
eo
quan
hf
vOi
the nling eita
m(Jt
ai~n
tfeh a(jt
dum tae dflng eita trU'ang
tucmg
((ng.
M V c

TIE
U
• Ltru
s6
cua
trl10ng
tInh
di~n
•
The
tInh
di~n
•
The
nang tuong tac tInh dien.
DIEU CAN
BIET
TRlJOC
• Trui:mg tInh
di~n
• Gradien
1
LU'u
so
eua
trU'ang
tinh
di~n
1.1.
£>inh

nghia
Xet
mOt
durrng
cong
rn6i
Hen
hai
di~m
A
va
B.
Lw
s6 C cua
mOt
t:ruOng
vecta E ,
tren
duUng
cong
r,
lirA
t61
B,dUQ'cxacdinhbOi
CABer) =
f:
Ed/,
en
trong
do

dl
Hl
vecta
dich
chuy~n
nguyen
t6
d9C
theo
duUng
cong
r(hlnh
1).
1.2.
LU1J
so
ella
trU'Ong
ella
mOt
di~n
tieh
di~m
1.2.1. S,! bao
to~m
luu
so
eua
truong
Tnnmg E

t;;to
fa
bOi
mOt
dien
tich
di~m
q,
d~t
t~i
diem 0
dU'Q'c
chon
lam
K •
,,-
q e
goc, trong
toa
dO
cau, bang:
E(M)
=
'
.
4;u;o
r2
Ltru
s6 nguyen
t6

E.di
lien ket vai
mOt
chuy~n
dai nho
di
bang:
E.dr
dr= = d

.
- _ q
e,
_ q
dr
q
(I
)
4Jt'&o
r2
4m,o
r2
4Jt'&o r
Ltru
s6
tiI
A tai B tren
durrng
cong r
(khOng

di
qua
0),
do
v~y,
bang:
I:(T)
E.dr
4;£
J
r~
r~
)-
No
khOng
phl,l
thuOc
vllo
S\I'
h,ra
chon
durrng
di
C
(khOng
di
qua g6c
0)
pMi thea
d~

di
tiI
A tai
B:
C
AB(T)
= C
AB(F')
.
Lw
s6 cua
t:ruOng,
tiI
mOt
di~m
A tai
mOt
di~m
B
dUQ'c
bao
toan
khi
ta
chuy~n
tiI
mOt
durrng
di
r sang

mOt
durrng
di
r'
n6i
hai
di~m
do :
luu
stf
cua
tmUng
to.
bao
toano
1.2.2. Truong eo gradien
Ltru
so nguyen t6 cua
t:ruOng
la
E.di
-dV(i)
, vai
V(M)
-q-+
cte
4Jt'&
or
Ta
co

thi!
dOng
nhat
t:ruOng
t~o
fa
bai dien tich
di~m
vUi
mOt
truUng
co
gradien E
-gradV
1.3.
LU1J
so
ella
trU'Ong
ella
mOt
philn
bo
1.3.1. Luu
so
bao toan eua truong
Nguyen
Ii
chOng
chat cho phep

ta
thu
dU'Q'c
t:ruOng
t~o
fa
bOi
mOt
phan b6
bang cach
cong cac tac
dl,lflg
cua cac phan nguyen
to
cua phan
b6.
Ltru
s6
f:
E.di
co
ci.rng
mOt
gHi
trj
d6i vai
moi
durrng
di
n6i A

vUi
B,
(T)
dieu
do
cO
nghla
III
:
Luu
s6
cua
trwng
tanh
di~n
dmyc
hao
toano
Hay, dieu nay tuung duung vai :
Luu
so
eua
trwng
tinh
di(!n
tren
mQt
dWng
cong khep kin
(dwng

vi~n)
bllng khOng :
A
Hinh 1.
~ B
Khi
vi:!
cae
DuOng
sUe
truOng,
ta
dn
cM
y
1m
mOt
h¢ qua ella tlnh chat
lren
:
m(jl
dutmg
sue
trutmg tlnh
di~n,
khOng
the
eo
d{l,ng
m¢1

eai vong
khep kin tren ehinh no.
ThVC
v~y,
lUll
s6 clla
truOng
lren yang,
dll
dUQ'c
dinh
hu&ng
boi
truOng,
chi co tM la
mOt
s6
dU01lg
(neu
khfing
truOng
phiH
. bang khong lren toan yang
ho~c
khfing
xac dinh
ti;li
mOt
vai diem,
dH~u

nay
khfing
eho phep eoi yang nhu
mOt
DuOng
sU'c
tnn'rng
mi'd) .

£).}
luy~n
t~p
: BT12
1.3.2. Tfnh lien
tl,lC
cua thanh phan tiep tuyen cua tnlcmg
khi di qua
mQt
m~t
mang
di~n
Ta
se
thay 0 ehuang
4,
truOng
tInh
dii;n
la
gian

dOC;ln
khi
di
qua
mOt
m~l
mang di¢n. Tuy nhien, thanh phan
ti1~'p
wyen ella
n6
IC;li
van lien tvc, dieu
ma
ta
sap
chUng
minh 0 day.
Mu6n
v~y,
La
hay
xel
mOt
Yang
nho
(duOng
cong
khep kin)
Fnhu
dll

ehi
rO
lren
hinh
2,
di
qua til' phia
nay
sang
phia
kia
cua
mOt
~t
;
m~t
nay
co
tM
mang
mOt
~t
dO
di~n
m~t
(iVa
ngau each
hai
mfii
truOng,

ki
hi¢u
CD
va
@.
Tren yang kin nay
IE.dl
=
O.
Neu kieh thooc dl cua yang
la
dll
nho,
thi
Ir
c6 the eoi
truOng
nhu khfing
dOi
tren eac pMn ella yang va
dUQ'c
ki hieu
HI
E1
ho;;lC
E2
tily
thea
mfii
lruOng,

nghia
la
:
- -

Ez.dl
+C
BC
+E1(-dl)+C
DA
=0
Hon
nfra,
La
se
quan tam
den
he
thU'c
gifra
eae
truUng
0
hai
phia
ella
~t
phau
each
nay.

Khi h
tien
ve
khfing,
!hi
eac
truOng
E1
hoae E2
van
bi
ch~
(X.
Chuang
2,
tip d[lng
7).
Cae
iuu
s6 C
BC
va
C DA
bang
khfing.
Cae phau
dong
gop chu
yeu
vao

lUll
s6 cua
truUng
tren
yang khi
do
tuong
(mg
v61
cae phau
~
~
-
AB
va
CD
0
hai
phia eua
m~t
pha.n
eaeh,
yay
(E
2
-
E}
)dl =
O.
Sl.l

dinh
hu&ng
ella phan
til'
dl
la
bllt
ki
lrong
m~t
phing tiep tuyen v6i
m~t
phan eaeh,
vi
yay :
Cae thanh
phan
WSp
tuyen ella
trwng
lil lien
tI.Je
khi di qua
mOt
m~t
mang
di~n
ho~e
kMng
:

E211
= E1I/ hay (li2 -
iiI)
/\
ti12
= 0
ii
12
lil
vectO'
dO'n
vi
tr\)t: giao
v6'i
m~t,
hmrng
til
moi
trwng
(i)
sang
moi
trwng
@.
2
The
tinh
di~n
2.1. Ltru
so

ella trU'Ong va
the
2.1.1. Ham
the
LUll
s6 ella
truOng
tinh
di~n
ia
baa toan,
ta
eo the dinh nghia
d~i
IlJQ'l1g
CAB
=
J:
E.dl
,
dOc
lap
vOi
duOng
ill
til' A
t61
B
de
tinh

luu
s6 cua
truOng.
CUng
nhu
yay,
La
cO
the
dinh
ngWa
ham V(T) Mi
VB
=
VA
+
S:
E.dl,
gia
tri ella ham s6 nay
t\li
A e6
th~
dUQ'c
xac dinh
mOt
cach
tllY
y (hang
s6

tieh pMn).
Minh
2.
Thilnh
phdn
tiep
tuyen
ella
E iii lien tile khi di qua
m~t
m(it
mang
di~n.
Ta
g9i
d~i
1l1Q11g
V iiI
ham
the
tlnh
difn,
dtrqe xae djnh sai kern
mOt
hAng
so:
Hi~u
di~n
the
gifra

di~m
A va B la :
,
rB
VA
-
VB
=
JA
E.dl .
-Ap
dung
1
The
cua
m()t
sQi
day thllng
vi)
h~.m
Hay xac dtnh
thi
lien
kit
vOi
m(jt
s¢
ddy thdng
vo
h(ln mang

m(1t
d(j
di~n
dai dJu
A
(TruOng
cua
phdn
bo
nay dti dupe tinh (y chuang hai bili
t(1p
1).
Ta
da
biet tnremg ella phan
bo
nay, trong t9a
dO
trt,1
e6
trt)e (Oz) trung
v6'i
sqi day,
e6
bieu
. A
thue
E= e
r
2m:or

Bieu thUe ella
mOt
dieh
ehuyen
nguyen
tola
:
dr
= dr.e
r
+ rdB.eo + dz.e
z
Hinh 3.
Thi
eua
m(Jt
di~n
tfeh diem v =
-q-
,
4Jrs
o
r
&
vo
eang V = o .

D~
luy,n
t~p

: BT1.
2.1

2.
TrU'Cmg
co
gradien
Trong
t9a
dO
tn,l,
ta thu
dUQ'e
:
V 8 =
VA
+ r -
E.dr
1
8 A
dr
A
[r8]
=V
A
+
=VA In-
\4
2Jrso
r

2Jrso
rA
Chu
y
dng
doi v6'i
mb
hinh phan
bo
vb
h~n
nay,
ta
kh6ng the
eh9n
tM
bling
khbng
a
vO
eung.
Ching
h~n,
neu ta
eh9n
V = 0 a
each
day
mOt
khoi'mg

R,
ta se
e6
:
V=
__
A
In[! ]
2Jrso
R
Hinh 4.
Thi
eua
m(Jt
Wi
day thdng
vo
h(ln
V
__
A_In!
Ta
tam
ro
ddng the 0 & khoang
2Jrs
o
R
each
hau

hfln
R
eua
day.
(J
vo
eang,
V
iii
vo
eang.
LUll
so
nguyen
to
ella troong, sai kern
ve
dau, d6ng
nhat
h6a
v6'i
vi
ph
an
(dung) ella
ham
so
V(M) :
E.dt
= E dx + E dv+ E dz

_(OV)dX_(OV)dy_(OV)dZ
=
-dV
x y . z ox
8y
GZ
Chu
thich:
SI! ch9n
d{iu
tru luc nay la tily y ; tuy nhien, ta se thtiy no cang rtit thich
h9P cho
m(Jt
Sl! lien
kit
trllC
tiep gifta tl:e tlnh
di~n
va khat
nitm
the
nang.
Tnrong
Hnh
di~n
lit
m9t
trmmg
co
gradien,

viet lit :
Phep titlh ve gradien
n~m
trong
ph{.l.
l{.l.e
2.
Nhu
vay
ta
e6
tM
nhan
ra
:
M<lt
trmmg
vectO'
E
co
lou
s6
b30 toitn lit
m9t
trmmg
co
gradien
III-
Eli
luy~n

t~p
: BT 4
va
13.
2.1.3.
Sl!
bat bien
vOi
muc (jauge)
nt'S tInll
di~n
dUQ'e
t?o ra
la
khong duy nhat.
The
tinh
di~n
dmyc
X3C
d!nh sai kern
m9t
hling s6.
V'
(r)
VCr)
+
Vo
(Va
la

mOt
hang s6
tuy
y)
la
mOt
thi!
khac c6 the chap
nhan
dUQ'c.
51)"
ch9n g6c nay, con g9i
Ut
ehpn
mue,
khOng
Hun
thay doi trubng,
dili
lmrng
vat
11
c6 the do duvc
bOi
nhi1ng
tac
d\lI1g
cua
n6
(l1)"c

COULOMB) :
Trmmg
Hnh
di~n
lit
bat
bien
vo; mm:, nghia
la
vti'i
moc de
tinh
the.
,
-/l
p
dung
2
The
lien ket vo;
m9t
trmmg
d~u
1) Tinh
grad(Eo.oM),
trong
d6
Eo
La
m!5t

,uing
veeto'.
1) Bang each
bieu
thi
tich vo hu6ng can
d\:lo
ham nho cae toa
dO
Descartes, ta c6
2)
Hay
bieu
th!
the lien
Ut
v6i
m(Jt
truiYng
tlnh
di~n
deu
Eo
,
~~
!II"
,"
•
, , I
,

M'
,-
,,' ,,'
I
Eo
r
~
~
,
~:
:
I:
,
: : "

: :
,'/
I I
,,'
~
y
Hinh 5
+
+
(r=
OM):
a
(E~
-)
a E E E

-::;- a·
r
=
""
(-Oxx
+
ov
y
+ 07Z)
oX
ox
.""
y
M
r/
x
A
z
0
'"
,
Cacd&ng
the'
Thanh phau
Clla
gradien
tren
(Ox)
eta
bang

E
Ox
'
tren
(Oy)
se
bang
Eoy
va
tren
(Oz)
bang
E
oz
.
Vliy
ta
thu
dUQ'c
:
~
~
grad
(Eo.1) =
Eo
Ket qua cuoi cling
Ia
dOc
Ilip
vm

h~
toa
di)
da
ch\)ll
de
thl,l'C
hi~n
phep tinh.
2)
Chi
can
dUng
bieu thuc cua
the
theo hru
s6
cua
truOng,
ta
co :
VB
VA+C-E.dl=VA-EO(;B
;A)
nghia
la:
V(i)
-EorcosO
+
ere

Ket
qua nay phu hqp
vm
phep tinh
sO'
cap
(;
tren.
3
The
t~o
ra
bai m9t phan bo
di~n
tich
3.1. S , chong chat ella cac tac
dl;.lng
Toan tu gradien
III
mN toan tu tuyen linh nen
ta
cling co the thu
dUQ'C
the
tInh
dien eua
mOt
phan bo
bang
Sl,l'

cMng cMt cac phau
dong
gop nguyen
to, tuung
tl,l'
nhu
the:
l;,to
ra
(sai
kern
mot hang
s6)
bOi
mOL
dien
Hch
di<!m
:
oV(M)
=
_1_
fiq
P (m6c
the
khOng,
(;
vO
cu.ng)
41l'Eo

PM
Bi~u
thth: Heh
pMn
eua
the,
tri~t
tieu
iY
vo eung,
t~o
ra
bOi
mflt
phan
bo
di~n
Heh
tJj)
eo
kich thuri'e
hlO
h~n,
eo
d~ng
:
Crn
con pMi xac dinh phau tu dien
tfeh
doi

vm
IO<,l.i
phan
b6
tJj)
dang xet,
va
tily
thea
truOng
hop neu
ra,
ta
se
su
dl,l11g
mOt
trong cac bieu thuc sau
day
cho
the
tinh
di~n
t<,l.O
ra
bOi
I}/),
sai kern
mOt
hang

so.
3.2. Cac
bi£!u
thuc clla
the
•
Tlilp
hQ'p
eae
di~n
Heh
di~m
:
Vm
cac dien tfeh
qi
d(it
t<,l.i
cac diem
~
N
V(M)=
L 1
i=141l'
E
o
Pi
M
•
PMn

bo
di~n
tich
theo
th~
tich :
V(M)
=
fIT
1
Jq41Z'E
O
PM
•
Phau
bo
di~n
tich
theo
~
mi,U
V
(M
) =
fT
1 cr(P
l1S
J:2li41l'Eo
PM
44

Thanh phan eua gradien
tren
(Ox)
eta
bang
E
Ox
'
tren
(Oy)
se
bang
Eoy
va
tren
(Oz)
bang
EoZ'
V\ly
ta
tlm
dUQ'c
:
grad
(Eo
,f)
=:
Ii'o
Ket
qua cuoi cung la

dOc
l~p
v6i
M toa
dO
da
ch9n
de
th\l'C
hien phep
tinh.
2) Chi can dung bieu thac cua
the
theo
Itru
so
cua
truOng,
ta
co:
VB
=V
A
+
S:
E.dl
VA
-EO(;B
-;A)
nghla

la:
V(r)
-EorcosB
+ cte
Ket
qua nay phil
hQ'P
v6i
PheP
tinh
sa
cap a
tren.
3
The
t~o
ra
bai m9t phan
bo
di~n
tich
3.1.
S,,!
chong chat cua cae tac dvng
Toan
ti'r
gradien la
mOt
toan
ti'r

tuyen tinh nen
ta
cOng
co
the
thu
dUQ'C
the
tInh
di~n
cua
mOt
phan
bo
bang
SI,I
chOng
chat cac phan
dong
gop nguyen
to,
tmmg
tl,Inhu
tlle
t;.lO
ra (sai
kern
mOt
Mng
so)

bOi
mOt
(lien
tteh diem:
Oq
bY(M)
=:
_1_
E
(mOe
the kh6ng.lJ
vo
ciJng)
41feo
PM
Biiu
thm.:
tieh
pMn
ella the,
tri~t
tieu
cY
vo
cilng,
tl,lO
ra
bOi
mt;lt
phan

bo
di~n
tich
Ij})
co
kich thuri'c hiiu
hl,ln,
co
dJ;I.ng
:
V(M)
fI'r
1
J!!tl41fb'
PM
o
Chi
eon pMi
X:lC
dinh phan til dicn tich
doi
v6i
IO;.li
philn
b6
Ij})
dang xet,
va
tuy
theo

truOng
hQ'P
neu ra,
ta
se
si'r
dl,mg
mOt
trong cac
bi~u
thac sau
day cho
the
tInh
dien
t:;to
ra
bOi
'llJ,
sai
kern
mOt
hang
so.
3.2. Cae
biE!u
thuc cua
the
• Tl)p htrp cae
di~n

tich
di~m
:
V6i
cac dien tich qi
d~t
t<,li
cac
di~m
~
N
V(M)=
L 1
/=1
4m
,0
PiM
•
Phan
bo
di~n
tieh theo
th~
tich :
V(M)
=
fIT
_1_
p(P):Ir
J@41fb'0

PM
• Philn
bo
di~n
tieh
theo
be
m~t
V
(M
) =
fT
_1_
a(P
):IS
J@41feo
PM
• Philn
bo
di~n
tich
theo
chi~u
diti
V(M)=f
_l_
A
(p)
dip
'l!J4;rco

PM
~
•
TrutJc
Mt.
de
dam
baa
cho
cac
tfch
phtin c6 y
nghia.
cac
bieu
thuc
tren
chi
dU(Jc
ap
d?mg
CI10
truimg
hflP
cac
phtin bo
e6
kfeh
thutJc
hftu

ht;m.
Trang
trt((rng
lu,
Yp
nll''''
ta
chpn
the
Mng
khOng
(1
vo
cemg
eho
cae
bieu
thue
•
D6'i
vrn
truimg
hflP
dely
vo
ht;m
da
duvc nghib1
eCat
trOl1g

ap
d(,mg
1.
SIt
(1p
d?lI1g
bieu
thuc
cuoi
cung
se
dan
tm
m9t
S1,f
phr1n
ki loga
cua
rich
phtin.
1II
t;
/c
dau
[fcll
pMn
tucmg
(mg
vm
truimg

It;ti
h9i
II,t.
Ta
da
biet
each
thuc
gifti quvet
kh6
kluln
nay
va
da
nh(ln
thay
doi
vOi
mo
htnh tren lhi
khOng
rile
chpn
V = 0
(1
vo
cung.
Hinh
7.
•

Cang
ve
S1,f
hpi lit
cua
Ifch
pMn.
mpl
van
d~
khac
nlly sinh ntu
ta
muon
rfnh
1M
I?li
111(51
diern
cua
pMn
b6,
nghla la I(li
m91
diem
ma
PM
= 0 khi
[fnh
rich

pMn.
Vm
mpi
pMn
bo
Iheo
lhe
Ifch.
neu
klu)ng
c6
cac
di~n
Ifch
tJ
vo
cung
rhl
Ifch plu'ln
se
hPj
l1,t.
3.3. The tren
trl:lC
cua
mQt
dia tlch
di{m
• Ta hay
thve

hi~n
phep tinh
the
t\lO
fa
bOi.
mOt
di'a
ban kinh
R,
mang
m~t
<10
<1i~n
m~t
a=
cle
t\li
mOt
diem tren
Ir\lc
cua
dTa.
V6i cac
ki
hi~u
tren hinh 7,
the
dUQ'C
viet

la
:
V(M)=
L
~dS,
a=O
4;rc
o
r
v(h
dS
= 2.n(ztana)d(ztana) = 2m
2
sina
da
va
r =
_z_
(v6i
z>
0).
cos
3
a cosa
Nhu vay,
ta
c6:
Vtruc(z) =
~(~
R2

+
Z2
-I
z
I)
.
2&0
•
Khi
di
qua
m~t
tich
di~n,
t.n.n'mg
tInh
di~n
(y
tren
Ir\lc
(dUQ'c
tinh
(y
ehuung
2)
chju
mOt
S1,l'
gian
do\Ul

hUt!
h\Ul
[
~
)e
z
va
the
la
lien
tl,Jc
(hlnh
8).
Chu
Ihich,'
Cdn
nhtJ
ding
vi,ec
biel gia Irt
cua
lhe (y Iren
Irl,tC
cang
kMng
cho
pMp
.rac
djnh Iruang (y tren
Irf,tC

nay,'
V(O,
0,
z)
da
biel
va
la
chi c6 lhe Ifnh "
E
(0
°
)
=
av(o,o,z)
Z ' ,z
az'
Tuy
nllien. vi
Irw
(Oz) la mpl
Ir{iC
Irbn xoay
caa
pMn
b6,
nen
Iren
Ir{iC
nay

E\
= Ey = O.
la
da
xac djnh xong lruang Iren
Irf,tC
(Oz). phu
h(Jp
vOi
Ur
qua
dillhiel
l(lp (y
chucmg
2.
Khi
di
qua
m~t
mang
mOt
m~t
dO
di~n
m~t
a.
the
la lien
t1,lC
;

di~u
nay cho
ta
khing djnh :
The
lit
lien
tl}C
neu n6 dmrc xac d!nh
~
D~
luy~n
t~p
: BT 2 va
7.
45
E V
z
Hinh
8.
TM
la fUn
IltC
khi
iii
qua
m(jt
m(11
mang
di,en.

4 Tepe eua
the
tinh
di~n
4.1. Cae
m~t
dang
the
eua
mQt
phan
bo
4.1.1. fJinh
nghia
M()l
miil
da ng
the,
co
the
V
o
,
dux;rc
xac
dtnh
lXri
phuong trinh
V(M)
Vo.

Hat
milt
d[mg
the
tuO'ng
(rug
veri
cac
tI~
khac
nhau
khong
tbe
cat
nhau.
4.1.2. Cae
m~t
d~ng
the
va
dU'ong
sue
trU'Crng
Xet
hai
diem rat gan nhau nam tren
ctmg
mOt
m~l
dang

the c6 the
Va
(hinh
9).
G~)i
M
Hl
dii~m
thll nMI, N
Hl
di~m
thll
haL
N
c6
dl.l1!c
tir
M
bang
mOt
phep djch chuyen nguyen
to
di
c6
huOng
bal
ki
trong
mill
ph.1ng

tiep
tuyen
veri
mill
dang
the
l~i
M.
lheo
dtnh
ngbIa
Ctta
di?n
the
V(N) = V
M
E'(M).dr
va
tIleo
djnh
nghia
Clla
milt
dang
the
V(N) V(M).
Yay
trui'rng
tinh
di~n

tn,rc
giao
veri
mat
dang
tile
(tinh
cMt
cua
grddien)
01l11hfch~

Tr'ing qual
/wn,
rtl9t m(it xac
djnh
btli
fer) = cte nh(in veeto' gradf
nhu
11191
vec/O'
mec
giao.
Bay
gib'
ta
XCI
mOt
du6ng
sUe

tn.rOng
g;lp
(n6i chung
Ia
vuong g6e)
hai
lll\it
ding the, C(l eae the
V]
va
V
2
,
t'.li
eae
(liCm
M]
va
M 2 (hinh
10).
Neu
lnnmg
huOng
theo du6ng
tir
M]
den M
2
,
ta

c6:
V
2
-Vj
=V(M
2
)-V(M
j
)=
r
M2
_
E
.
dl
<O
JM]
Trmmg
la
vuong
goe
vOi
cae
m~t
diing
the
va
cae
dmmg
s1i'c

trmmg
hmrng
theo
ehi~u
cae
di~n
the
giiim.
eM
)'
:
Gin
nhtr nliUng
kel
lu(j.n
(ren day de
lhl,l.·c
hifn
cac
hinh
ve
djnh lfnh cac
JWlng
sur
lrucmg
va
mat
dlt cac m(il dang
the
tren m9f hlnh

ve.
Tltv nhien,
phtli
can lh(in :
tmang
tinh
difn,
b('lng khOng hay khtlc kh6ng,
deu vuong g6c vm cac
m(1t
dang
the.
C6 the
la
se
g(ip truang
h9'P
m9t
duang
sCrc
trulmg
kh6ng vu6ng g6c vm
m(5t
m(il
dlzng
th{!,
khi
diem ma n6
un
m(lt nav fa m(jI diem (ruang

Mng
kMng.
Hluh
9.
Hiuh
10
46
_
GuOng
sue
truang
,
-Ap
dyng
3
M~t
the
khOng
ciia
mQt
h~
hai
di~n
tich
di~m
1)
Bang
each
elu,Jn
the

khOng
&
va
eung,
hay
neu
day
du
d(ie
tinh
eua
m(it d(lng the v = 0
eua
mOl
h~
hai
di~n
tiel!
diem
Q
(>
0)
l(Ii 0
va
-q
« 0) l(Ii
diem
e6
hoanh
do

d tren
trlrle
(Oz).
2)
rren hlnh
vI.'
J
J,
cae
vel
eua
cac
m(il Mng
1M
da
dur;c
vI.'
lrong
mpt
m(it
pMng
chUa
IrlrlC
(Oz).
Dang the v = 0
dU9'e
vI.'
Mng
mau
nh(u.

Hoi
ve
gia Ir!
lUy~t
doi,
di~n
tich
nao
l&n
fum.
Tim
gia
Irt
eua
Ii
so I
~I·
3)
Hay
cho
dang
ve
eua
eac
dutlng
sue
Irutlng
neu
Q>
O.

1)
men
tM
tl,tO
ra
tl,ti
mOt
di~m
M
e6
toa
dO
d.u
(r,
B,
q;) bang v
_Q-
-
-q-,
vai
4;rc
or
4;rc
or'
I
r'=
[r
2
- 2dreosB + d
2

]2.
M~H
e6
tM bang
khong tuung
(rug
vai!
Q (dieu nay ehi
e6
r'
q
nghia neu hai dien tich nguqe dau nhau). Neu
q =
Q,
do la
m~t
ph~ng
trung
ttvc
eila hai
di~n
Hch.
Neu
q;t:
Q, d6
130
mOL
qua
d.u.
Trong toa

dO
Descartes, phuung trlnh eua no
Hi
:
x
2
+ l + [ z +
(/
ll2
q d
2
Q
2 •
(f-l
[ei
q-]
tam eua n6
la
mOt
diem e6 hoanh
dO
Zc
= [ 1 d
~:
1
"en
true
(Oz)
va
ban

kinh
cu,
d
no bang R = .
I~
~I
2) Dang
tM
V = 0 bao quanh dien tich -q.
Hoanh
dO
Zc
eua tam eua
n6
130
duong,
v~y
Q > -q.
Ta
eo
Ule
doc
Ulay
ti
s6
~,
b~ll1g
I
Zc
I

Hlnlt
11.
Dang
tM
e6
tM
V = 0
La
m(JI
vong
tron
e6
duang
klnh AB, v6i A (+6)
va
B(+12).
Hinh 12. Sa
do
nay
eho
thdy
rO
dang
1M
Iron
V = 0
(mau
d(1m
V>
0

va
mau
nh(ll V < 0).
I
~I
,bang
~.
Hlnh 13. ffinh
dang
eua
cae
dutlng
sue
truong.
3)
Hinh
13
eho hinh dang ella cae
duOng
sUe
truOng
~
~
£)~
luy~n
t~p
: BT
6,
8, 9
va

10
4.2.
Cae
nh~n
xet
ve
tinh doi
xling
4.2.1. TrlfOng
VQ
hlf6ng
Luu
so
nguyen to
E.dl
lien quan den tfeh
ella
hai
veeta
(e1,l'C),
va
eo tinh
ehat
doi
xUng
ella
mot
tn.rOng
vo
hu6ng.

Ta
eo
tM se ehon moe (hang so tich philn)
d~
thu duqe
mot
the v
(r)
co
cae thili eMt doi
xUng
ella
philn
b6
di~n
tich.
Vi
dl,l,
IIong
tn.rOng
hgp philn
b6
(!j)
nhfin
mOt
m~t
ph~.ng
phan doi
xUng
n * •

ta
se
eh~)n
V = 0 lIen
m~t
phing
do.
Tai
mOt
diem M
va
t~i
diem doi
xlrng
M'
ella
no
qua
m~t
phfug n * ,
thi
the khi
do
eo eae
gi{l
IIi
doi nhau.
Trong
I.ru'Ong
hQ'p

philn
bo
fl
nh;ln
mOt
mi,it
phfug
d6i
xUng
[l,
thi the
t~i
mOt
diem M
va
diem d6i
xUng
M'
ella
n6
qua
~t
phing
[l,
eo
eung
mOt
gia
IIi.
Cae tinh ehat doi

xUng
ella the
eUng
co
th~
e6
dU'Q'e
d\l'<l
VllO tinh
ehilt
doi
xUng
ella
I.ru'Ong
t~o
ra
bOi
phan b6 dang
xet.
D6i v6i cae phep
doi xung thong
thuOng,
thi
cae tinh ehat ella the
thu
dU'Q'c
ngay
bang
tn,rc
giae nhu cae

vi
dl,l
dooi day se rninh hoa.
4.2.2. Cae bat bien
Ta
hay
nghien
ciru
bieu
thtic
tong
quat
ella
the
doi
v6i
cae
bat
bien
khae
nhau :
• V
6i
mOt
phlln
bO
bat
bien
d6i
v6i

mQi
phep
Unh
tien
song
song
v6i
lIl,le
(Oz).
the
chi
c6
the
ph\!
thuQc
van
cae
bien
s6
vi
tri x
va
y.
Di~u
nay
co
the
dUtle
khang
dinh

boi ket
qua
da
thu
dUQ'C
a ehuong
2,
eho
dang
Clla
trux'mg
:
E(x,y,z)
£(.17,y) Et(.17,y)e
x
+
Ev(x,y)e
y
• Wri
m1)t
phan
bo
e6 tinh d6i
xUng
tron xoay
d6i
v6'i
tr1)c
(Oz),
thi

thay
n)
ngay ham the chi
phl,l
thuQe
vao cae
bj(~n
r
va
z ella cac
l~Ja
dO
tr1),
tr\!C
(Oz), phil hgp v6i
truOng
da thu
dU'Q'e
:
E(r,B,z)=Er(r,z)e
r
+
(r,z)e
z
•
V6'i
mOt
philn
bo
e6 tinh d6i

xUng
II\!
tr1)c
(Oz),
thi
ham tM chi co the
phl,l
thuQc
van khoang caeh r
t6i
lIl,le
(Oz)
V(r)
V(r,B,Z)
=
V(r),
phu hgp
v6'i
d~g
ella
tn.rOng
:
E(r,B,z)
E(rre
r
.
• V
(ri
mOt
pha.n

bo
e6 tinh
d6i
xUng
cau tam
0,
thi
ham the chi
ph\!
thuOe
va~
khoang each r
t6i
tam a :
V(f)
V(r,B,cp) =
V(r).
Va
chiing,
IIuOng
cUng
co
d~g
:
E(r,B,cp)
E(r)e
r
.
5
The

nang tU'ong tac tinh
di~n
5.1.
The nang
eua
m9t
di~n
tfeh
d~t
trong m9t truemg
5.1.1. Cong eua hIe tinh
di~n
Cong
nguyen
to
ella
11,l'C
J
qE
trong
mOt
ehuyen
db'i
elM
ella
11)C
nay
bang:
oW =
/.dM

= qdM. E
-qdM.
grad V
-qdV
-d(qV)
48